PAGE3-課后限時集訓(六十四)參數方程(建議用時：60分鐘)A組基礎達標1．已知P為半圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數，0≤θ≤π)上的點，點A的坐標為(1,0)，O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧eq\x\to(AP)的長度均為eq\f(π,3).(1)以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，求點M的極坐標；(2)求直線AM的參數方程．[解](1)由已知，點M的極角為eq\f(π,3)，且點M的極徑等于eq\f(π,3)，故點M的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).(2)由(1)知點M的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)．故直線AM的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t為參數)．2．已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝2t＋6))(t是參數)，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)cosθ.(1)求直線l的一般方程與曲線C的直角坐標方程；(2)設M(x，y)為曲線C上隨意一點，求x＋y的取值范圍．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝2t＋6))得y＝2x＋6，故直線l的一般方程為2x－y＋6＝0.由ρ＝2eq\r(2)cosθ，得ρ2＝2eq\r(2)ρcosθ，所以x2＋y2＝2eq\r(2)x，即(x－eq\r(2))2＋y2＝2，故曲線C的直角坐標方程為(x－eq\r(2))2＋y2＝2.(2)依據題意設點M(eq\r(2)＋eq\r(2)cosφ，eq\r(2)sinφ)，則x＋y＝eq\r(2)＋eq\r(2)cosφ＋eq\r(2)sinφ＝eq\r(2)＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))，所以x＋y的取值范圍是[－2＋eq\r(2)，2＋eq\r(2)]．3．(2024·新鄉模擬)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ，曲線M的直角坐標方程為x－2y＋2＝0(x＞0)．(1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數，寫出曲線M的參數方程；(2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0x＞0，,y＝kx))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1).))故曲線M的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k為參數，且k＞\f(1,2))).(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，∴k1＋k2＝4.故直線OA與直線OB的斜率之和為4.4．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－3＝0，曲線C的參數方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2sinφ))(φ為參數)．(1)求直線l和曲線C的一般方程；(2)直線l與x軸交于點P，與曲線C交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|.[解](1)直線l的極坐標方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－3＝0，化為eq\r(3)ρsinθ＋ρcosθ－3＝0，即l的一般方程為x＋eq\r(3)y－3＝0，由曲線C的參數方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2sinφ))消去φ，得C的一般方程為x2＋y2＝4.(2)在x＋eq\r(3)y－3＝0中令y＝0得P(3,0)，∵k＝－eq\f(\r(3),3)，∴傾斜角α＝eq\f(5π,6)，∴l的參數方程可設為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcos\f(5π,6)，,y＝0＋tsin\f(5π,6)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))代入x2＋y2＝4得t2－3eq\r(3)t＋5＝0，Δ＝7＞0，∴方程有兩解，又t1＋t2＝3eq\r(3)，t1t2＝5＞0，∴t1，t2同號，故|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3eq\r(3).5．已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數)．(1)寫出曲線C的參數方程，直線l的一般方程；(2)過曲線C上隨意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．[解](1)曲線C的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數)．直線l的一般方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上隨意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|＝eq\f(\r(5)|5sinθ＋a－6|,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(4,3)))，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).6．已知直線的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(其中t為參數，m為常數)．以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，直線與曲線C交于A，B兩點．(1)若|AB|＝eq\f(\r(15),2)，求實數m的值；(2)若m＝1，點P的坐標為(1,0)，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．[解](1)曲線C的極坐標方程可化為ρ2＝2ρsinθ，轉化為一般方程可得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))代入x2＋(y－1)2＝1并整理可得t2－(m＋eq\r(3))t＋m2＝0，(*)由條件可得Δ＝(m＋eq\r(3))2－4m2＞0，解得－eq\f(\r(3),3)＜m＜eq\r(3).設A，B對應的參數分別為t1，t2，則t1＋t2＝m＋eq\r(3)，t1t2＝m2≥0，|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(m＋\r(3)2－4m2)＝eq\f(\r(15),2)，解得m＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),6).(2)當m＝1時，(*)式變為t2－(1＋eq\r(3))t＋1＝0，t1＋t2＝1＋eq\r(3)，t1t2＝1，由點P的坐標為(1,0)知P在直線上，可得eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝1＋eq\r(3).B組實力提升1．已知曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數)，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數)．(1)化C1，C2的方程為一般方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點P對應的參數為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t為參數)距離的最小值．[解](1)由C1消去參數t，得曲線C1的一般方程為(x＋4)2＋(y－3)2＝1.同理曲線C2的一般方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．(2)當t＝eq\f(π,2)時，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)．故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ))，又C3的一般方程為x－2y－7＝0，則M到直線C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|3sinθ－4cosθ＋13|＝eq\f(\r(5),5)|5sin(θ－φ)＋13|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ滿意tanφ＝\f(4,3))).所以d的最小值為eq\f(8\r(5),5).2．平面直角坐標系中，直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝\r(3)t＋1))(t為參數)．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ).(1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程；(2)已知與直線l平行的直線l′過點M(2,0)，且與曲線C交于A，B兩點，試求|AB|.[解](1)由l的參數方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝\r(3)t＋1))得其一般方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＋1＝0.將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直線方程得eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－eq\r(3)＋1＝0.由ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)可得ρ2(1－cos2θ)＝2ρcosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，故曲線C的直角坐標方程為y2＝2x.(2)∵直線l的傾斜角為eq\f(π,3)，∴直線l′的傾斜角也為eq\f(π,3).又直線l′過點M(2,0)，∴直線l′的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4