PAGE1-第五節橢圓[考綱傳真]1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.駕馭橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡潔幾何性質．1．橢圓的定義(1)我們把平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓．這兩定點F1，F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點F1，F2間的距離叫作橢圓的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a＞0，c＞0.①當2a＞|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓；②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2；③當2a＜|F1F2|時，M點的軌跡不存在．2．橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關系c2＝a2－b2eq\o([常用結論])與橢圓定義有關的結論以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)Seq\s\do8(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，Seq\s\do8(△PF1F2)取最大值，為bc.(4)焦點三角形的周長為2(a＋c)．(5)已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓． ()(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F2構成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)． ()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． ()(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改編)設P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點，若F1，F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]3．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓，則m的取值范圍是()A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)C[由方程表示橢圓知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))解得－3<m<5且m≠1.]4．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝()A．2B．3C．4D．9B[由左焦點為F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]5．(教材改編)已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率為eq\f(1,2)，則橢圓的標準方程為________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c＝2，,b2＝3，))故橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]橢圓的定義與標準方程1．已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3)D．12C[由橢圓的方程得a＝eq\r(3).設橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).]2．(2024·濟南調研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C．eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1D[設圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.]3．(2024·徐州模擬)已知F1、F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.3[設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以Seq\s\do8(△PF1F2)＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]4．已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓方程為________．eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1[設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up10(2)m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up10(2)n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.][規律方法]1.橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．(2)通常定義和余弦定理結合運用，求解關于焦點三角形的周長和面積問題．2．求橢圓標準方程的常用方法(1)求橢圓的標準方程多采納定義法和待定系數法．(2)利用定義法求橢圓方程，要留意條件2a>|F1F2|；利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．橢圓的幾何性質?考法1求離心率的值或取值范圍【例1】(1)(2024·浙江高考)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()A.eq\f(\r(13),3)B.eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,9)(2)若橢圓上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))(1)B(2)D[(1)∵橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故選B.(2)設P到兩個焦點的距離分別為2k，k，依據橢圓定義可知：3k＝2a，又結合橢圓的性質可知，橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥eq\f(1,3).又∵0<e<1，∴eq\f(1,3)≤e<1.]?考法2依據橢圓的性質求參數的取值范圍問題【例2】(1)已知橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A．8B．7C．6D．5(2)(2024·合肥質檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上隨意一點，則eq\o(PF,\s\up13(→))·eq\o(PA,\s\up13(→))的最大值為________．(1)A(2)4[(1)∵橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＞0，,10－m＞0，,m－2＞10－m，))解得6＜m＜10.∵焦距為4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.(2)由題意知a＝2，因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.設P點坐標為(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因為F(－1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up13(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up13(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up13(→))·eq\o(PA,\s\up13(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2.當x0＝－2時，eq\o(PF,\s\up13(→))·eq\o(PA,\s\up13(→))取得最大值4.][規律方法]1.求橢圓離心率的方法(1)干脆求出a，c的值，利用離心率公式干脆求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程或不等式求解．2．利用橢圓幾何性質求參數的值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質有關的參數問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系．建立關于a、b、c的方程或不等式．(1)已知F1，F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P，使得線段PF1的中垂線恰好經過焦點F2，則橢圓C離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))(2)已知焦點在x軸上的橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB|＝1，則該橢圓的離心率為________．(1)C(2)eq\f(\r(3),2)[(1)如圖所示，∵線段PF1的中垂線經過F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即橢圓上存在一點P，使得|PF2|＝2c，∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).(2)因為橢圓eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的焦點在x軸上，所以c＝eq\r(a2－1)，又過右焦點且垂直于x軸的直線為x＝c，將其代入橢圓方程中，得eq\f(c2,a2)＋y2＝1，則y＝±eq\r(1－\f(c2,a2))，又|AB|＝1，所以2eq\r(1－\f(c2,a2))＝1，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)(負值舍去)．]直線與橢圓的位置關系【例3】已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點．[解]將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)時，方程③有兩個不同的實數根，可知原方程組有兩組不同的實數解．這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．(2)當Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時，方程③有兩個相同的實數根，可知原方程組有兩組相同的實數解．這時直線l與橢圓C有兩個相互重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．(3)當Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)時，方程③沒有實數根，可知原方程組沒有實數解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．[規律方法]直線與橢圓的位置關系的類型及解題方法(1)類型：一是推斷位置關系；二是依據位置關系確定參數的取值范圍．(2)解題方法：一是聯立方程，借助一元二次方程的判別式Δ來推斷，二是借助幾何性質來推斷，如下面的跟蹤訓練．直線y＝kx－1與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a)＝1相切，則k，a的取值范圍分別是()A．a∈(0,1)，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．a∈(0,1]，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))C．a∈(0,1)，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．a∈(0,1]，k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B[∵直線y＝kx－1是橢圓的切線，且過點(0，－1)，∴點(0，－1)必在橢圓上或其外部，∴a∈(0,1]．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,a)＝1))消去x，得(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.∵直線和橢圓相切，∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，∴k＝0或a＝1－4k2.∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1，∴k2＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(2)，∴k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))]1．(2024·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(2\r(2),3)C[不妨設a>0，因為橢圓C的一個焦點為(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).]2．(2024·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1D[由題設知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故選D．]3．(2024·全國卷Ⅰ)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)B[不妨設直線l經過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,4)×2b，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，