第22頁（共22頁）2024-2025學年下學期初中數學人教版八年級期中必刷常考題之勾股定理一．選擇題（共5小題）1．（2015?大連）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，點D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=5，則BCA．3-1 B．3+1 C．5-1 D2．（2016?株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關系滿足S1+S2＝S3圖形的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2015?黑龍江）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點P是BC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則PD+PE的長是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．54．（2018?棗莊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC＝3，AB＝5，則CE的長為（）A．32 B．43 C．53 5．（2024秋?高新區期中）若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（）A．13 B．13或119 C．13或15 D．15二．填空題（共5小題）6．（2015?黃岡）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為cm2．7．（2012?慶陽）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4＝．8．（2015?株洲）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．9．（2022?香洲區校級一模）如圖，已知直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為．10．（2013?張家界）如圖，OP＝1，過P作PP1⊥OP，得OP1=2；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法繼續作下去，得OP2012＝三．解答題（共5小題）11．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE+CD．12．（2016秋?嵊州市期末）在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四邊形周長為32，求BC和CD的長度．13．（2015?重慶校級模擬）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點E是CD的中點，求AE的長．14．（2015?宜昌模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分別是AB邊上的中線和高．（1）求證：AE＝ED；（2）若AC＝2，求△CDE的周長．15．（2015?徐州模擬）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、5、13；（3）如圖3，點A、B、C是小正方形的頂點，求∠ABC的度數．

2024-2025學年下學期初中數學人教版八年級期中必刷常考題之勾股定理參考答案與試題解析題號12345答案DDAAB一．選擇題（共5小題）1．（2015?大連）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，點D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=5，則BCA．3-1 B．3+1 C．5-1 D【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【答案】D【分析】根據∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判斷出DB＝DA，根據勾股定理求出DC的長，從而求出BC的長．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA=5在Rt△ADC中，DC=AD2∴BC=5+故選：D．【點評】本題主要考查了勾股定理，同時涉及三角形外角的性質，二者結合，是一道好題．2．（2016?株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關系滿足S1+S2＝S3圖形的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】勾股定理．【專題】計算題；推理填空題．【答案】D【分析】根據直角三角形a、b、c為邊，應用勾股定理，可得a2+b2＝c2．（1）第一個圖形中，首先根據等邊三角形的面積的求法，表示出3個三角形的面積；然后根據a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．（2）第二個圖形中，首先根據圓的面積的求法，表示出3個半圓的面積；然后根據a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．（3）第三個圖形中，首先根據等腰直角三角形的面積的求法，表示出3個等腰直角三角形的面積；然后根據a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．（4）第四個圖形中，首先根據正方形的面積的求法，表示出3個正方形的面積；然后根據a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．【解答】解：（1）S1=34a2，S2=34b2，S3∵a2+b2＝c2，∴34a2+34b2=∴S1+S2＝S3．（2）S1=π8a2，S2=π8b2，S3∵a2+b2＝c2，∴π8a2+π8b2=∴S1+S2＝S3．（3）S1=14a2，S2=14b2，S3∵a2+b2＝c2，∴14a2+14b2=∴S1+S2＝S3．（4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．綜上，可得面積關系滿足S1+S2＝S3的圖形有4個．故選：D．【點評】（1）此題主要考查了勾股定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．（2）此題還考查了等腰直角三角形、等邊三角形、圓以及正方形的面積的求法，要熟練掌握．3．（2015?黑龍江）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點P是BC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則PD+PE的長是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【考點】勾股定理；等腰三角形的性質．【專題】動點型．【答案】A【分析】過A點作AF⊥BC于F，連接AP，根據等腰三角形三線合一的性質和勾股定理可得AF的長，由圖形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入數值，解答出即可．【解答】解：過A點作AF⊥BC于F，連接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF=AB∴12×8×3=12×5×PD12=12×5×（PDPD+PE＝4.8．故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質，解答時注意，將一個三角形的面積轉化成兩個三角形的面積和；體現了轉化思想．4．（2018?棗莊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC＝3，AB＝5，則CE的長為（）A．32 B．43 C．53 【考點】勾股定理；角平分線的性質．【答案】A【分析】方法一：根據三角形的內角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根據角平分線和對頂角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定與性質得出答案．方法二：根據三角形的內角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根據角平分線和對頂角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用勾股定理得出FG的長，即可得出答案．【解答】方法一：解：過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴BFAB∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，∴4-FC∵FC＝FG，∴4-FC解得：FC=3即CE的長為32故選：A．方法二：過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，在Rt△AFC和Rt△AFG中，AF=∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL），∴AC＝AG＝3，∴設FG＝x，則BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2，∴FG2+BG2＝BF2，則x2+22＝（4﹣x）2，解得：x=3即CE的長為32故選：A．【點評】本題考查了直角三角形性質、等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理以及相似三角形的判定與性質等知識，關鍵是推出∠CEF＝∠CFE．5．（2024秋?高新區期中）若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（）A．13 B．13或119 C．13或15 D．15【考點】勾股定理．【答案】B【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：當12是斜邊時，第三邊是122當12是直角邊時，第三邊是122+故選：B．【點評】如果給的數據沒有明確，此類題一定要分情況求解．二．填空題（共5小題）6．（2015?黃岡）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為126或66cm2．【考點】勾股定理．【專題】三角形．【答案】126或66．【分析】此題分兩種情況：∠B為銳角或∠ABC為鈍角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的長，利用三角形的面積公式得結果．【解答】解：當∠B為銳角時（如圖1），在Rt△ABD中，BD=AB2-在Rt△ADC中，CD=AC2-∴BC＝21，∴S△ABC=12?BC?AD=12當∠ABC為鈍角時（如圖2），在Rt△ABD中，BD=AB2-在Rt△ADC中，CD=AC2-∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11（cm），∴S△ABC=12?BC?AD=12故答案為：126或66．【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關鍵．7．（2012?慶陽）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4＝4．【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質．【專題】規律型．【答案】見試題解答內容【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據此即可解答．【解答】解：觀察發現，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．則S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案為：4．【點評】運用了全等三角形的判定以及性質、勾股定理．注意發現兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積．8．（2015?株洲）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于6．【考點】勾股定理的證明．【答案】見試題解答內容【分析】根據面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4＝96，設AE為a，DE為b，即4×12ab＝∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，AH＝DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故答案為：6．【點評】此題考查勾股定理的證明，關鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得a，b的值．9．（2022?香洲區校級一模）如圖，已知直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為24．【考點】勾股定理．【專題】應用題．【答案】見試題解答內容【分析】在直角三角形ABC中，由AC與BC的長，利用勾股定理求出AB的長，陰影部分面積＝半圓AC+半圓BC+直角三角形ABC面積﹣半圓AB，求出即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根據勾股定理得：AB=AC則S陰影＝S半圓AC+S半圓BC+S△ABC﹣S半圓AB=322π+422π+12故答案為：24【點評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．10．（2013?張家界）如圖，OP＝1，過P作PP1⊥OP，得OP1=2；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法繼續作下去，得OP2012＝2013【考點】勾股定理．【專題】壓軸題；規律型．【答案】見試題解答內容【分析】首先根據勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長度找到規律進而求出OP2012的長．【解答】解：由勾股定理得：OP4=2∵OP1=2；得OP2=3；OP3依此類推可得OPn=n∴OP2012=2013故答案為：2013．【點評】本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是由已知數據找到規律．三．解答題（共5小題）11．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE+CD．【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，進而得出AB＝BC；（2）首先證明CDEF是矩形，再根據△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，進而證明結論．【解答】證明：（1）連接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）過C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE與△CBF中∴∠AEB∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及三角形的全等證明，根據已知得出四邊形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解決問題的關鍵．12．（2016秋?嵊州市期末）在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四邊形周長為32，求BC和CD的長度．【考點】勾股定理；等邊三角形的判定與性質．【答案】見試題解答內容【分析】如圖，連接BD，構建等邊△ABD、直角△CDB．利用等邊三角形的性質求得BD＝8；然后利用勾股定理來求線段BC、CD的長度．【解答】解：如圖，連接BD，由AB＝AD，∠A＝60°．則△ABD是等邊三角形．即BD＝8，∠1＝60°．又∠1+∠2＝150°，則∠2＝90°．設BC＝x，CD＝16﹣x，由勾股定理得：x2＝82+（16﹣x）2，解得x＝10，16﹣x＝6所以BC＝10，CD＝6．【點評】本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定與性質．根據已知條件推知△CDB是解題關鍵．13．（2015?重慶校級模擬）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點E是CD的中點，求AE的長．【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質．【答案】見試題解答內容【分析】如圖，延長AE交BC于F，構造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），則對應邊AE＝FE，AD＝FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得線段AF的長度．【解答】解：如圖，延長AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵點E是CD的中點，∴DE＝CE．∵在△AED與△FEC中，∠D∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，AF=∴AE=12AF＝【點評】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質．注意，本題輔助線的作法．14．（2015?宜昌模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分別是AB邊上的中線和高．（1）求證：AE＝ED；（2）若AC＝2，求△CDE的周長．【考點】勾股定理；等邊三角形的判定．【專題】計算題；證明題．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得CD＝AD，根據直角三角形的兩個銳角互余，得∠A＝60°，從而判定△ACD是等邊三角形，再根據等腰三角形的三線合一的性質即可證明；（2）結合（1）中的結論，求得CD＝2，DE＝1，只需根據勾股定理求得CE的長即可．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AD＝DB．∵∠B＝30°，∴∠A＝60°．∴△ACD是等邊三角形．∵CE是斜邊AB上的高，∴AE＝ED．（2）解：由（1）得AC＝CD＝AD＝2ED，又AC＝2，∴CD＝2，ED＝1．∴CE=∴△CDE的周長=CD【點評】此題綜合運用了直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質以及勾股定理．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形的兩個銳角互余．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．15．（2015?徐州模擬）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、5、13；（3）如圖3，點A、B、C是小正方形的頂點，求∠ABC的度數．【考點】勾股定理．【專題】作圖題．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據勾股定理畫出邊長為10的正方形即可；（2）根據勾股定理和已知畫出符合條件的三角形即可；（3）連接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．【解答】解：（1）如圖1的正方形的邊長是10，面積是10；（2）如圖2的三角形的邊長分別為2，5，13；（3）如圖3，連接AC，CD，則AD＝BD＝CD=2∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC＝BC=3∴∠ABC＝∠BAC＝45°．【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積，直角三角形的判定的應用，主要考查學生的計算能力和動手操作能力．

考點卡片1．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．2．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．4．等腰三角形的判定與性質1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上