第21頁（共21頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期中必刷常考題之等腰三角形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?海州區校級期末）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．7 C．12 D．9或122．（2024秋?石獅市期末）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM＝ND，若∠A＝α，則∠C＝（）A．32α B．90°-12α C．120°﹣α D．3．（2024秋?石獅市期末）用反證法證明命題：“已知△ABC，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”第一步應先假設（）A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC4．（2024秋?石獅市期末）如圖，點A，B在方格圖的格點上，在此圖中再確定一格點C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的格點C共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個5．（2025?雁塔區校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于點D，AC的垂直平分線交AC于點E，交BC于點F，若FC＝6，則BD的長為（）A．32 B．22 C．33 二．填空題（共5小題）6．（2024秋?鄞州區期末）等腰三角形的一個內角是80°，則它頂角的度數是．7．（2024秋?海州區期末）如圖，等邊△AOB的邊長為2，則點A的坐標為．8．（2024秋?朝天區期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為．9．（2024秋?招遠市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為BC邊上一點，∠ADC＝75°，若AB＝AC+CD，則∠B的度數為．10．（2024秋?永康市期末）“三等分角”是古希臘三大幾何問題之一，借助如圖1的三等分角儀可以三等分角．圖2是這個三等分角儀的示意圖，有公共端點P的兩條線段PA，PB，可以繞點P轉動，點C固定，點D，E在槽中可以滑動，且CE＝DE＝CP．若∠DEB＝87°，則∠APB的度數為°．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?山陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝32°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于點D．（1）求∠BDC的度數；（2）延長CB至E，連接DE，當DF垂直且平分EC時，求證：△BED是等腰三角形．12．（2024秋?吳忠期末）如圖，已知∠AOB，作∠AOB的平分線OC，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點D落在OA邊上，DN邊與OC交于點P．判斷△DOP是否為等腰三角形，如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由．13．（2024秋?方城縣期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數．14．（2024秋?沂源縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點E．（1）線段AD與CE是否垂直？說明理由；（2）若AB＝10，AC＝6，求△BDE的周長．15．（2024秋?淮安期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，延長BC到點E，使CE＝CD，試求出∠BDE的度數．

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期中必刷常考題之等腰三角形參考答案與試題解析題號12345答案CDADC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?海州區校級期末）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系．【答案】C【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，由于2+2＜5，則三角形不存在；（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為5+5+2＝12．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．2．（2024秋?石獅市期末）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM＝ND，若∠A＝α，則∠C＝（）A．32α B．90°-12α C．120°﹣α D．【考點】等腰三角形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根據看垂直平分線的性質可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，NM＝ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，進而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，最后由三角形內角和求出∠C即可．【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α，∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC，∴BN平分∠NDM，∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，∴∠C＝2α﹣90°，故選：D．【點評】本題考查垂直平分線的性質，角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．3．（2024秋?石獅市期末）用反證法證明命題：“已知△ABC，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”第一步應先假設（）A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC【考點】反證法．【專題】反證法；運算能力．【答案】A【分析】直接利用反證法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反證法證明命題：“已知△ABC，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”第一步應先假設∠B≥90°．故選：A．【點評】此題主要考查了反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．4．（2024秋?石獅市期末）如圖，點A，B在方格圖的格點上，在此圖中再確定一格點C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的格點C共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【考點】等腰三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】滿足AC＝BC的點C的位置有5個，滿足AC＝AB的點C的位置有1個，滿足CB＝AB的點C的位置有1個，由此得出答案即可．【解答】解：如圖，滿足條件的格點C共7個，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握分類討論思想的運用是解題的關鍵．5．（2025?雁塔區校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于點D，AC的垂直平分線交AC于點E，交BC于點F，若FC＝6，則BD的長為（）A．32 B．22 C．33 【考點】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】連接AF，根據線段垂直平分線性質求出AF＝CF＝6，推出∠C＝∠CAF＝30°，求出∠AFD＝60°，則∠DAF＝30°，根據含30°角的直角三角形的性質求出DF和AD，根據等腰直角三角形性質即可求解．【解答】解：連接AF，∵AC的垂直平分線交AC于點E，交BC于點F，FC＝6，∴AF＝CF＝6，∵∠C＝30°，∴∠C＝∠CAF＝30°，∴∠AFD＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAF＝30°，∴DF=12AF＝3，AD=3DF＝∵AD⊥BC，∠B＝45°，∴BD＝AD＝33．故選：C．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，掌握含30°角的直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?鄞州區期末）等腰三角形的一個內角是80°，則它頂角的度數是80°或20°．【考點】等腰三角形的性質．【答案】見試題解答內容【分析】先分情況討論：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的頂角，再根據三角形的內角和定理進行計算．【解答】解：當80°是等腰三角形的頂角時，則頂角就是80°；當80°是等腰三角形的底角時，則頂角是180°﹣80°×2＝20°．故答案為：80°或20°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．7．（2024秋?海州區期末）如圖，等邊△AOB的邊長為2，則點A的坐標為（1，3）．【考點】等邊三角形的性質；坐標與圖形性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1，3）．【分析】根據等邊三角形的性質和平面直角坐標系解答即可．【解答】解：過A作AD⊥x軸，∵等邊△AOB的邊長等于2，∴OD＝1，∴AD=O∴點A的坐標（1，3），故答案為：（1，3）．【點評】此題考查等邊三角形的性質，關鍵是根據等邊三角形的性質得出OD和AD的長．8．（2024秋?朝天區期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為60°或120°．【考點】等腰三角形的性質；三角形內角和定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】分頂角為鈍角和頂角為銳角兩種情況：當頂角為鈍角時，則可求得其鄰補角為60°；當頂角為銳角時，可求得頂角為60°；可得出答案．【解答】解：當頂角為鈍角時，如圖1，可求得其頂角的鄰補角為60°，則頂角為120°；當頂角為銳角時，如圖2，可求得其頂角為60°；綜上可知該等腰三角形的頂角為120°或60°．故答案為：60°或120°．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等及直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．9．（2024秋?招遠市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為BC邊上一點，∠ADC＝75°，若AB＝AC+CD，則∠B的度數為30°．【考點】等邊三角形的性質．【專題】推理能力．【答案】30°．【分析】延長BC至E，使得AC＝CE，則∠E＝∠CAE，結合三角形外角的定義及性質得出∠E＝∠CAE＝30°，由三角形內角和定理計算得出∠EAD＝∠CAD+∠CAE＝75°＝∠ADC，從而可得AE＝DE，結合題意可得AB＝DE＝AE，即可得解．【解答】解：如圖：延長BC至E，使得AC＝CE，則∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°，∴∠E＝∠CAE=12∵∠ADC＝75°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠EAD＝∠CAD+∠CAE＝75°＝∠ADC，∴AE＝DE，∵DE＝CD+CE＝CD+AC，AB＝AC+CD，∴AB＝DE＝AE，∴∠B＝∠E＝30°，故答案為：30°．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，掌握三角形外角的定義及性質、三角形內角和定理是解題的關鍵．10．（2024秋?永康市期末）“三等分角”是古希臘三大幾何問題之一，借助如圖1的三等分角儀可以三等分角．圖2是這個三等分角儀的示意圖，有公共端點P的兩條線段PA，PB，可以繞點P轉動，點C固定，點D，E在槽中可以滑動，且CE＝DE＝CP．若∠DEB＝87°，則∠APB的度數為29°．【考點】等腰三角形的性質；三角形的外角性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】29．【分析】由等腰三角形的性質推出∠P＝∠CEP，∠ECD＝∠EDC，由三角形的外角性質得到3∠P＝∠DEB，即可求出∠APB的度數．【解答】解：∵CE＝DE＝CP，∴∠P＝∠CEP，∠ECD＝∠EDC，∵∠ECD＝∠P+∠CEP＝2∠P，∠EDC＝2∠P，∵∠P+∠CDE＝∠DEB，∴3∠P＝∠DEB，∵∠DEB＝87°，∴∠APB＝29°．故答案為：29．【點評】本題考查等腰三角形的性質，三角形的外角性質，關鍵是由以上知識點推出3∠P＝∠DEB．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?山陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝32°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于點D．（1）求∠BDC的度數；（2）延長CB至E，連接DE，當DF垂直且平分EC時，求證：△BED是等腰三角形．【考點】等腰三角形的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）69°；（2）見解析．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠ABC＝∠ACB=180°-32°2=74°，根據角平分線的定義得到∠BCD＝∠ACD=12×74°＝37°，于是得到∠BDC＝∠A（2）根據線段垂直平分線的性質得到DC＝DE，得到∠E＝∠BCD＝37°根據等腰三角形的判定定理得到結論．【解答】（1）解：∵∠A＝32°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=180°-32°2∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD=12×74∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝69°；（2）證明：由（1）知∠ABC＝74°，∠BCD＝37°，∵DF垂直且平分EC，∴DC＝DE，∴∠E＝∠BCD＝37°，∠BDE＝∠ABC﹣∠E＝74°﹣37°＝37°，∴∠BDE＝∠E，∴BD＝BE，∴△BED是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．12．（2024秋?吳忠期末）如圖，已知∠AOB，作∠AOB的平分線OC，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點D落在OA邊上，DN邊與OC交于點P．判斷△DOP是否為等腰三角形，如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由．【考點】等腰三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】是等腰三角形，證明見解析．【分析】根據平行線的性質結合角平分線的定義，推出∠DOP＝∠DPO，等角對等角，即可得證．【解答】解：△DOP為等腰三角形，證明如下：已知：∠AOB中，OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠BOP=12∠由題意可知：DN∥EM，∴∠DPO＝∠BOP，∴∠DOP＝∠DPO，∴OD＝PD，∴△DOP為等腰三角形．【點評】本題考查等腰三角形的判定，關鍵是等腰三角形判定定理的應用．13．（2024秋?方城縣期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數．【考點】等腰三角形的性質；線段垂直平分線的性質．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接AE，根據垂直平分線的性質，可知BE＝AE＝AC，根據等腰三角形三線合一即可知AD⊥BC（2）設∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根據三角形ABC的內角和為180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）連接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中點∴AD⊥BC（2）設∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性質，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【點評】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是正確理解等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，本題屬于中等題型．14．（2024秋?沂源縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點E．（1）線段AD與CE是否垂直？說明理由；（2）若AB＝10，AC＝6，求△BDE的周長．【考點】等腰三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用條件證明△AED≌△ACD，利用等腰三角形的三線合一的性質可證明結論；（2）可求得BC的長，再利用（1）的結論可求得BE，且DE＝DC，可求得BD+BE+DE．【解答】解：（1）垂直，理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ACB＝90°，在△AED和△ACD中∠EAD∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE；（2）∵AB＝10，AC＝6，∴在△ABC中由勾股定理可求得BC＝8，∵AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，又∵△AED≌△ACD，∴DC＝DE，∴BE+BD+DE＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12，即△BDE的周長為12．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質和全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的對應邊、對應角相等和等腰三角形底邊上的中線、高線和頂角的平分線相互重合是解題的關鍵．15．（2024秋?淮安期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，延長BC到點E，使CE＝CD，試求出∠BDE的度數．【考點】等邊三角形的性質；等腰三角形的性質．【答案】見試題解答內容【分析】先根據等邊三角形的性質得出∠BDC＝90°、∠ACB＝60°，由CE＝CD可知∠E＝∠EDC，再根據三角形外角的性質即可得出∠BDE的度數．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，∴BD⊥AC，即∠BDC＝90°，∠ACB＝60°．∵CE＝CD（已知），∴∠E＝∠EDC（等邊對等角）．∵∠ACB＝∠E+∠EDC（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），∴∠EDC＝∠E＝30°．∴∠BDE＝∠BDC+∠EDC＝120°，即∠BDE的度數是120°．【點評】本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質．解題的關鍵是利用等腰三角形的三線合一的性質．

考點卡片1．坐標與圖形性質1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的符號．2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規律．3、若坐標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．2．三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．3．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．5．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．6．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．7．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．8．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等