第24頁(yè)（共24頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期中必刷常考題之利用三角函數(shù)測(cè)高一．選擇題（共5小題）1．（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L水平距離為8km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為53°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° D．2．（2024秋?威縣期末）如圖，從點(diǎn)P觀測(cè)點(diǎn)B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA3．（2024秋?榆樹(shù)市校級(jí)期末）南湖大橋是長(zhǎng)春的重要橋梁，某同學(xué)在校外實(shí)踐活動(dòng)中對(duì)此開(kāi)展測(cè)量活動(dòng)，在橋外點(diǎn)A測(cè)得大橋主架與水面的交匯點(diǎn)C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測(cè)量點(diǎn)與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時(shí)大橋主架頂端離水面的高CD為（）A．a(chǎn)sinα+asinβ B．a(chǎn)cosα+acosβ C．a(chǎn)tanα+atanβ D．a(chǎn)cotα+acotβ4．（2024秋?宿松縣期末）如圖，小明先在涼亭A處測(cè)得湖心島C在其北偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛200米到達(dá)涼亭B處，測(cè)得湖心島C在其北偏西60°的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-5．（2025?汕頭模擬）港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國(guó)從橋梁大國(guó)走向橋梁強(qiáng)國(guó)的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”，某校九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走160米（BC＝160米），到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．80米 B．803米 C．160米 D．80二．填空題（共5小題）6．（2024秋?博山區(qū)期末）如圖，無(wú)人機(jī)在空中A處測(cè)得某校旗桿頂部B的仰角為30°，底部C的俯角為60°，無(wú)人機(jī)與旗桿的水平距離AD為6m，則該校的旗桿高約為m．（結(jié)果保留根號(hào)）7．（2024秋?煙臺(tái)期末）有一輪船由東向西航行，在A處測(cè)得西偏北15°有一燈塔P，繼續(xù)航行10海里后到B處，又測(cè)得燈塔P在西偏北30°，如果輪船航向不變，則燈塔與船之間的最近距離是海里．8．（2024秋?棲霞市期末）如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距220米（點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上），某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡頂D處，斜坡CD的坡比i＝1：2.4，在D處測(cè)得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）9．（2024秋?通遼期末）數(shù)學(xué)興趣小組在測(cè)量教學(xué)樓高度的活動(dòng)中需要測(cè)量觀察教學(xué)樓頂P的視線與水平線的夾角，他們制作了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，使用方法如下：如圖1所示，量角器的圓心O在垂直于地面的支桿OM一端上，量角器90°刻度線ON與支桿OM重合．如圖2所示，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使教學(xué)樓頂P與直徑兩端點(diǎn)A，B在同一條直線上，此時(shí)視線OP與水平線OC的夾角∠POC＝∠MON．請(qǐng)用你學(xué)過(guò)的一個(gè)幾何知識(shí)解釋簡(jiǎn)易測(cè)角儀的工作原理：．10．（2024秋?臨泉縣期末）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹(shù)的高度．如圖，AB，BC，CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上．從點(diǎn)C測(cè)得楊樹(shù)底端B點(diǎn)的仰角是30°，BC長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的D點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)頂端A點(diǎn)的仰角為45°，則楊樹(shù)AB的高度為米．三．解答題（共5小題）11．（2025?碑林區(qū)校級(jí)一模）“綠水青山就是金山銀山”．為了解學(xué)校附近山坡邊一棵直立的大樹(shù)的高度，該校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，如圖，在坡頂?shù)狞c(diǎn)C處測(cè)得大樹(shù)頂端A的仰角為53°，大樹(shù)底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的點(diǎn)D處，測(cè)得頂端A的仰角為26.5°．已知CD＝4米，求大樹(shù)AB的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）12．（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）2024年，中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲3A大作《黑神話(huà)：悟空》一經(jīng)上線，即火爆全球，反映了中國(guó)文化的對(duì)全世界的吸引力．作為重要取景地的濟(jì)南四門(mén)塔是中國(guó)現(xiàn)存唯一的隋代石塔，也是中國(guó)現(xiàn)存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔，某興趣小組利用所學(xué)知識(shí)開(kāi)展以“測(cè)量四門(mén)塔的高度”為主題的活動(dòng)，并寫(xiě)出如下報(bào)告：課題測(cè)量四門(mén)塔的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、無(wú)人機(jī)等測(cè)量示意圖測(cè)量過(guò)程如圖②，測(cè)量小組使無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以10m/s的速度豎直上升8s后，飛行至點(diǎn)B處，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂D的俯角為20°，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D和點(diǎn)A的俯角均為45°．說(shuō)明點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)A，E在同一水平線上，DE⊥AE．結(jié)果精確到1m．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離；（2）求四門(mén)塔DE的高度．13．（2024秋?河北區(qū)期末）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為80m，從甲的頂部A處測(cè)得乙的頂部D處的俯角為50°，測(cè)得底部C處的俯角為62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88．14．（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）宜賓五糧液集團(tuán)公司的鵬程廣場(chǎng)有五糧液標(biāo)志性建筑物——五糧液瓶樓，2003年被大世界基尼斯評(píng)定為“全球規(guī)模最大的實(shí)物廣告”．小張學(xué)習(xí)了解直角三角形后，想用所學(xué)知識(shí)測(cè)量五糧液瓶樓的高度．在垂直地面的五糧液瓶樓前階梯下有一廣場(chǎng)，小張?jiān)陔A梯CD前26米A處（AC＝26米）測(cè)得瓶樓頂B的仰角為45°，走上階梯CD，在D處測(cè)得瓶樓頂B的仰角為60°，又知道階梯CD的坡度i＝1：2，階梯CD的坡面長(zhǎng)度為65（1）求階梯CD的垂直高度；（2）求瓶樓高度．15．（2024秋?渝北區(qū)期末）如圖，一艘貨船從A港口出發(fā)，需要運(yùn)至其正北方向260海里處的港口B，由于航道條件限制，貨船有兩種可能的航行路線：①由港口A出發(fā)，經(jīng)港口C，D休整，最后駛向港口B；②由港口A出發(fā)，經(jīng)港口E休整，最后駛向港口B（休整時(shí)間忽略不計(jì)）．經(jīng)勘測(cè)，港口C在港口A東北方向，港口D在港口C正北方向80海里處，港口D在港口B東南方向，港口E在港口B南偏西60°方向，港口E在港口A北偏西30°方向.(（1）求港口A和港口E之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）考慮到航行時(shí)間和成本，貨船需要選擇路程更短的路線，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是選擇路線①還是路線②．（結(jié)果精確到個(gè)位）

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期中必刷常考題之利用三角函數(shù)測(cè)高參考答案與試題解析題號(hào)12345答案DBCBB一．選擇題（共5小題）1．（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L水平距離為8km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為53°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得：AL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR?tan53°＝8tan53°（km），∴這枚火箭此時(shí)的高度AL為8tan53°km，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?威縣期末）如圖，從點(diǎn)P觀測(cè)點(diǎn)B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】B【分析】根據(jù)俯角的定義求解即可．【解答】解：∵水平線與視線的夾角，即是俯角，∴從點(diǎn)P觀測(cè)點(diǎn)B的俯角為∠CPB，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵要明確：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．3．（2024秋?榆樹(shù)市校級(jí)期末）南湖大橋是長(zhǎng)春的重要橋梁，某同學(xué)在校外實(shí)踐活動(dòng)中對(duì)此開(kāi)展測(cè)量活動(dòng)，在橋外點(diǎn)A測(cè)得大橋主架與水面的交匯點(diǎn)C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測(cè)量點(diǎn)與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時(shí)大橋主架頂端離水面的高CD為（）A．a(chǎn)sinα+asinβ B．a(chǎn)cosα+acosβ C．a(chǎn)tanα+atanβ D．a(chǎn)cotα+acotβ【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)求出BC、BD，即可求解．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，tanα=BC∴BC＝AB?tanα＝atanα，在Rt△ABD中，tanβ=BD∴BD＝AB?tanβ＝atanβ，∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?宿松縣期末）如圖，小明先在涼亭A處測(cè)得湖心島C在其北偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛200米到達(dá)涼亭B處，測(cè)得湖心島C在其北偏西60°的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．由題意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，sin30°=ADAB=AD200=12，cos30°=BDAB=BD200=32，解得AD＝100，BD=1003，在Rt△ACD【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．由題意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝200米，∠ABD＝30°，∴sin30°=ADAB=AD200解得AD＝100，BD=1003在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，則AD＝CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝（1003+故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（2025?汕頭模擬）港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國(guó)從橋梁大國(guó)走向橋梁強(qiáng)國(guó)的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”，某校九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走160米（BC＝160米），到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．80米 B．803米 C．160米 D．80【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為D，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BAC＝∠ACD＝30°，從而可得AB＝BC＝160米，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為D，∵∠ABD是△ABC的一個(gè)外角，∠ABD＝60°，∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABD﹣∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∴AB＝BC＝160米，在Rt△ABD中，AD＝AB?sin60°＝160×32=∴該主塔的高度是803米，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?博山區(qū)期末）如圖，無(wú)人機(jī)在空中A處測(cè)得某校旗桿頂部B的仰角為30°，底部C的俯角為60°，無(wú)人機(jī)與旗桿的水平距離AD為6m，則該校的旗桿高約為83m．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】83．【分析】分別在Rt△ABD和Rt△ACD中利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出該旗桿的高度．【解答】解：在Rt△ABD，AD＝6米，∠BAD＝30°，∴tan30°=BD解得：BD＝23米，在Rt△ACD，AD＝6米，∠CAD＝60°，∴tan60°=CD解得：DC＝63米，故該校的旗桿高約為：BC＝BD+DC＝23+6故答案為：83．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握直角三角形中銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．（2024秋?煙臺(tái)期末）有一輪船由東向西航行，在A處測(cè)得西偏北15°有一燈塔P，繼續(xù)航行10海里后到B處，又測(cè)得燈塔P在西偏北30°，如果輪船航向不變，則燈塔與船之間的最近距離是5海里．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】作PD⊥AB于D，則PD即為所求距離．根據(jù)已知先求得BP的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)即可求得PD的長(zhǎng)．【解答】解：由題意得，∠1＝15°，∠2＝30°，AB＝10．∴∠APB＝∠2﹣∠1＝15°．∴∠1＝∠APB＝15°．∴AB＝PB＝10．作PD⊥AB于D．在Rt△PDB中，∠2＝30°，∴PD=12PB=12【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是方向角在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)解答．8．（2024秋?棲霞市期末）如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距220米（點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上），某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡頂D處，斜坡CD的坡比i＝1：2.4，在D處測(cè)得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為14米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】14米．【分析】過(guò)D點(diǎn)作DH⊥BC于H點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥DH于E點(diǎn)，如圖，先根據(jù)坡度的定義得到DHCH=512，則設(shè)DH＝5x米，則CH＝12x米，利用勾股定理得到CD＝13x，所以13x＝130，求出x得到DH＝50米，CH＝120米，再計(jì)算出BH＝AE＝100米，接著在Rt△ADE中利用俯角的定義和平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝20°，則利用正切的定義可計(jì)算出DE＝36.4米，然后計(jì)算出【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥BC于H點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥DH于E點(diǎn)，如圖，在Rt△CDH中，∵斜坡CD的坡比i＝1：2.4，∴DHCH設(shè)DH＝5x米，則CH＝12x米，∴CD=(5x)∴13x＝130，解得x＝10，∴DH＝50米，CH＝120米，∵BC＝220米，∴BH＝BC﹣CH＝100米，∴AE＝100米，在Rt△ADE中，∵∠DAE＝20°，∴tanDAE＝tan20°=DEAE∴DE＝100×0.364＝36.4（米），∴EH＝DH﹣EH＝50﹣36.4＝13.6（米），∴AB＝EH＝13.6米≈14米．答：建筑物AB的高度約為14米．故答案為：14米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角與俯角問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題要了解仰角與俯角的定義，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形．也考查了坡度．9．（2024秋?通遼期末）數(shù)學(xué)興趣小組在測(cè)量教學(xué)樓高度的活動(dòng)中需要測(cè)量觀察教學(xué)樓頂P的視線與水平線的夾角，他們制作了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，使用方法如下：如圖1所示，量角器的圓心O在垂直于地面的支桿OM一端上，量角器90°刻度線ON與支桿OM重合．如圖2所示，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使教學(xué)樓頂P與直徑兩端點(diǎn)A，B在同一條直線上，此時(shí)視線OP與水平線OC的夾角∠POC＝∠MON．請(qǐng)用你學(xué)過(guò)的一個(gè)幾何知識(shí)解釋簡(jiǎn)易測(cè)角儀的工作原理：同角的余角相等．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】同角的余角相等．【分析】由圖可得∠POC與∠CON互余，∠MON與∠CON互余，得到∠POC＝∠MON是運(yùn)用“同角的余角相等”，據(jù)此可解答．【解答】解：∵ON是90°刻度線，∴∠PON＝90°，∴∠POC與∠CON互余，∵支桿OM垂直地面，OC是水平線，∴∠COM＝90°，∴∠MON與∠CON互余，根據(jù)“同角的余角相等”可得∠POC＝∠MON．故答案為：同角的余角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等角或同角的余角相等，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．10．（2024秋?臨泉縣期末）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹(shù)的高度．如圖，AB，BC，CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上．從點(diǎn)C測(cè)得楊樹(shù)底端B點(diǎn)的仰角是30°，BC長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的D點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)頂端A點(diǎn)的仰角為45°，則楊樹(shù)AB的高度為（1+33）米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1+33）．【分析】延長(zhǎng)AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)AB交DC于H，則∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BH=12BC＝3米，CH=32BC∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+33）米，∴AB＝AH﹣BH＝（4+33-3）米＝（1+33故答案為：（1+33）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2025?碑林區(qū)校級(jí)一模）“綠水青山就是金山銀山”．為了解學(xué)校附近山坡邊一棵直立的大樹(shù)的高度，該校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，如圖，在坡頂?shù)狞c(diǎn)C處測(cè)得大樹(shù)頂端A的仰角為53°，大樹(shù)底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的點(diǎn)D處，測(cè)得頂端A的仰角為26.5°．已知CD＝4米，求大樹(shù)AB的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】6米．【分析】延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，則DE⊥AB，由已知條件易得BE＝CE，AC＝DC＝4米，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出AE、CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)AB＝AE+EB即可得解．【解答】解：在坡頂?shù)狞c(diǎn)C處測(cè)得大樹(shù)頂端A的仰角為53°，大樹(shù)底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的點(diǎn)D處，測(cè)得頂端A的仰角為26.5°，如圖，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，則DE⊥AB，∴∠AED＝∠BEC＝90°，∵∠BCE＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∵∠ACE＝53°，∠ADC＝26.5°，∴∠DAC＝53°﹣26.5°＝26.5°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝DC＝4米，在Rt△ACE中，AE＝AC?sin53°≈4×0.80＝3.2（米），CE＝AC?cos53°≈4×0.60＝2.4（米），∴BE＝CE＝2.4米，∴AB＝AE+EB＝3.2+2.4＝5.6≈6（米），∴大樹(shù)AB的高度約為6米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）2024年，中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲3A大作《黑神話(huà)：悟空》一經(jīng)上線，即火爆全球，反映了中國(guó)文化的對(duì)全世界的吸引力．作為重要取景地的濟(jì)南四門(mén)塔是中國(guó)現(xiàn)存唯一的隋代石塔，也是中國(guó)現(xiàn)存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔，某興趣小組利用所學(xué)知識(shí)開(kāi)展以“測(cè)量四門(mén)塔的高度”為主題的活動(dòng)，并寫(xiě)出如下報(bào)告：課題測(cè)量四門(mén)塔的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、無(wú)人機(jī)等測(cè)量示意圖測(cè)量過(guò)程如圖②，測(cè)量小組使無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以10m/s的速度豎直上升8s后，飛行至點(diǎn)B處，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂D的俯角為20°，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D和點(diǎn)A的俯角均為45°．說(shuō)明點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)A，E在同一水平線上，DE⊥AE．結(jié)果精確到1m．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離；（2）求四門(mén)塔DE的高度．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）80m；（2）35m．【分析】（1）根據(jù)題意求出AB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC；（2）延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)DE＝xm，用x表示出DF、BF，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）由題意可知：AB＝10×8＝80（m），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝80m，答：無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離為80m；（2）如圖，延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形ABFE為矩形，∴EF＝AB＝80m，設(shè)DE＝xm，則DF＝（80﹣x）m，在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，則FC＝DF＝（80﹣x）m，∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，∵tan∠∴DF＝BF?tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36，∴80﹣x＝57.6﹣0.36x，x﹣0.36x＝80﹣57.6，x＝35，答：四門(mén)塔DE的高度約為35m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?河北區(qū)期末）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為80m，從甲的頂部A處測(cè)得乙的頂部D處的俯角為50°，測(cè)得底部C處的俯角為62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】甲建筑物的高度AB約為150m，乙建筑物的高度DC約為55m．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)題意可得：DE＝BC＝80m，BE＝CD，AF∥DE∥BC，從而可得∠ADE＝∠FAD＝50°，∠ACB＝∠FAC＝62°，然后分別在Rt△ADE和Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE和AB的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由題意得：DE＝BC＝80m，BE＝CD，AF∥DE∥BC，∴∠ADE＝∠FAD＝50°，∠ACB＝∠FAC＝62°，在Rt△ADE中，tan∠∴AE＝DE?tan∠ADE≈80×1.19＝95.2（m），在Rt△ACB中，tan∠∴AB＝BC?tan∠ACB≈80×1.88＝150.4≈150（m），∴CD＝BE＝AB﹣AE＝150.4﹣95.2≈55（m），∴甲建筑物的高度AB約為150m，乙建筑物的高度DC約為55m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）宜賓五糧液集團(tuán)公司的鵬程廣場(chǎng)有五糧液標(biāo)志性建筑物——五糧液瓶樓，2003年被大世界基尼斯評(píng)定為“全球規(guī)模最大的實(shí)物廣告”．小張學(xué)習(xí)了解直角三角形后，想用所學(xué)知識(shí)測(cè)量五糧液瓶樓的高度．在垂直地面的五糧液瓶樓前階梯下有一廣場(chǎng)，小張?jiān)陔A梯CD前26米A處（AC＝26米）測(cè)得瓶樓頂B的仰角為45°，走上階梯CD，在D處測(cè)得瓶樓頂B的仰角為60°，又知道階梯CD的坡度i＝1：2，階梯CD的坡面長(zhǎng)度為65（1）求階梯CD的垂直高度；（2）求瓶樓高度．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）CD的垂直高度DM為6米；（2）瓶蓋高度為（48+163）米．【分析】（1）延長(zhǎng)AC與BE相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DM垂直AH，垂足于點(diǎn)M．設(shè)DM為x米，則CM＝2x米，利用勾股定理構(gòu)建方程求解；（2）設(shè)BE為y米，根據(jù)BH＝AH，構(gòu)建方程求解．【解答】解：（1）延長(zhǎng)AC與BE相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DM垂直AH，垂足于點(diǎn)M．∵CD的坡比為1：2，∴tan∠DCM=DM設(shè)DM為x米，則CM＝2x米，∴x2+（2x）2＝（65解得x＝6（﹣6舍去）所以CD的垂直高度DM為6米；（2）設(shè)BE為y米，在Rt△BED中∠BDE＝60°，∴tan60°=BE∴DE=33又∵CM＝2DM＝12，∠A＝45°，∴BH＝AH，y+6=33y解得y＝48+163，∴瓶蓋高度為（48+163）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．15．（2024秋?渝北區(qū)期末）如圖，一艘貨船從A港口出發(fā)，需要運(yùn)至其正北方向260海里處的港口B，由于航道條件限制，貨船有兩種可能的航行路線：①由港口A出發(fā)，經(jīng)港口C，D休整，最后駛向港口B；②由港口A出發(fā)，經(jīng)港口E休整，最后駛向港口B（休整時(shí)間忽略不計(jì)）．經(jīng)勘測(cè)，港口C在港口A東北方向，港口D在港口C正北方向80海里處，港口D在港口B東南方向，港口E在港口B南偏西60°方向，港口E在港口A北偏西30°方向.(（1）求港口A和港口E之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）考慮到航行時(shí)間和成本，貨船需要選擇路程更短的路線，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是選擇路線①還是路線②．（結(jié)果精確到個(gè)位）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）港口A和港口E之間的距離為1303海里；（2）選擇路線②更短，理由見(jiàn)解答部分．【分析】（1）連接AB，作EF⊥AB于點(diǎn)F，易得∠BEA＝90°，那么可得BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得AE的長(zhǎng)度；（2）作DM⊥AB于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，易得△BMD≌△ANC，那么可得BM和DN的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出兩條路線的長(zhǎng)度，比較即可得到較短的路線．【解答】解：（1）連