第22頁（共22頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷常考題之二次函數(shù)與一元二次方程一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?阜陽期末）拋物線y＝2x2+x﹣c與x軸只有一個公共點，則c的值為（）A．18 B．-18 C．8 2．（2024秋?沂源縣期末）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點（﹣2，0）．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整數(shù)根，則p的值有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2025?浙江一模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+b交于點A（﹣4，p），B（2，q），則關(guān)于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞44．（2024秋?萊州市期末）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標(biāo)分別為A（﹣3，9），B（1，1），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解為（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣35．（2024秋?芝罘區(qū)期末）如圖，拋物線y1＝a（x+1）2+n與y2＝x2﹣4x+5交于點A（1，2），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C，則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②x＞1時，y1＜y2；③AB＝3AC；④當(dāng)a＝﹣2時，y2過y1的頂點．其中正確結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③二．填空題（共5小題）6．（2024秋?煙臺期末）若拋物線y＝（x﹣h）2+k與x軸只有一個公共點，且過點A（m，n），B（m﹣8，n），則n＝．7．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為．8．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）若拋物線y＝x2﹣2x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是．9．（2024秋?招遠(yuǎn)市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一個根為x＝2，且拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為．10．（2024秋?張店區(qū)期末）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝mx+n相交于A（﹣3，2），B（1，﹣2）兩點，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝mx+n的解為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?煙臺期末）已知，拋物線y＝x2+mx與直線y＝﹣x+b相交于點A（2，0）和點B．（1）求m和b的值；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）畫出函數(shù)圖象，并直接寫出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集．12．（2024秋?瑞金市期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點A，B（點B在點A右側(cè)），A點坐標(biāo)為（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，頂點為C，連接AC，BC．（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．13．（2024秋?集賢縣期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點C、D是二次函數(shù)圖象上一對對稱點，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象過點B、D．（1）直接寫出點C、D的坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)圖象求ax2+bx+3＜mx+n的解集．14．（2024秋?鄄城縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值．若沒有，請說明理由．15．（2024秋?遵化市期末）已知拋物線y＝x2﹣mx+m﹣2．（1）求證：不論m為何值，此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）若該拋物線與x軸兩交點為（x1，0）和（x2，0），且x1+x2＝2x1x2，求m的值．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷常考題之二次函數(shù)與一元二次方程參考答案與試題解析題號12345答案BCDDC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?阜陽期末）拋物線y＝2x2+x﹣c與x軸只有一個公共點，則c的值為（）A．18 B．-18 C．8 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【答案】B【分析】拋物線與x軸有一個交點，y＝0的方程就有兩個相等的實數(shù)根，根的判別式就等于0．【解答】解：∵拋物線y＝2x2+x﹣c與x軸只有一個公共點，∴方程2x2+x﹣c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12+4×2?c＝0，∴c=-故選：B．【點評】本題考查方程與二次函數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想是解這類題的關(guān)鍵．2．（2024秋?沂源縣期末）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點（﹣2，0）．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整數(shù)根，則p的值有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】拋物線與x軸的交點；根的判別式；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知一元二次方程的根應(yīng)為整數(shù)ax2+bx+c＝p（p＜0），通過拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（﹣2，0）．可以畫出大致圖象判斷出直線y＝p（﹣16a≤p＜0，），觀察圖象當(dāng)﹣16a≤y＜0，時，拋物線始終與x軸相交于（﹣2，0）于（6，0）．故自變量x的取值范圍為﹣2＜x＜6．所以x可以取得整數(shù)﹣1，0，1，2，3，4，5，共7個．由于x＝﹣1與x＝5，x＝0與x＝4，x＝1與x＝3關(guān)于直線x＝2軸對稱，所以于x＝﹣1與x＝5對應(yīng)一條平行于x軸的直線，x＝0與x＝4對應(yīng)一條平行于x軸的直線，x＝1與x＝3對應(yīng)一條平行于x軸的直線，x＝2時對應(yīng)一條平行于x軸且過拋物線頂點的直線，從而確定y＝p時，p的值應(yīng)有4個．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，∴-b2解得b＝﹣4a，又∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的一個交點為（﹣2，0），把（﹣2，0）和b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+8a+c，解得：c＝﹣12a，∴y＝ax2﹣4ax﹣12a（a＞0），對稱軸h＝2，最小值k=4a×(-12如圖：頂點坐標(biāo)為（2，﹣16a），令ax2﹣4ax﹣12a＝0，即x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴當(dāng)a＞0時，拋物線始終與x軸交于（﹣2，0）與（6，0），若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整數(shù)根，即常函數(shù)直線y＝p（p＜0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c有交點，∴﹣16a≤y＜0，由圖象得當(dāng)﹣16a≤y＜0時，﹣2＜x＜6，其中x為整數(shù)時，x＝﹣1，0，1，2，3，4，5，∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）的整數(shù)解有7個．又∵x＝﹣1與x＝5，x＝0與x＝4，x＝1與x＝3關(guān)于直線x＝2軸對稱，當(dāng)x＝2時，直線y＝p恰好過拋物線頂點，所以p值可以有4個．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象拋物線與x軸及常函數(shù)y＝p（p＜0）直線的交點橫坐標(biāo)與一元二次方程根的關(guān)系．3．（2025?浙江一模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+b交于點A（﹣4，p），B（2，q），則關(guān)于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4【考點】二次函數(shù)與不等式（組）．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+b交于點A（﹣4，p），B（2，q），∴拋物線y＝ax2+c與直線y＝﹣kx+b交于點橫坐標(biāo)為﹣2和4，如圖所示，∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)和不等式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用圖象解決問題．4．（2024秋?萊州市期末）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標(biāo)分別為A（﹣3，9），B（1，1），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解為（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)．【解答】解：由圖象可知，關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是拋物線y＝ax2（a≠0）與直線y＝bx+c（b≠0）的兩個交點坐標(biāo)分別為A（﹣3，9），B（1，1）的橫坐標(biāo)，即x1＝1，x2＝﹣3．故選：D．【點評】本題考查拋物線與x軸交點、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會利用圖象法解決實際問題，屬于中考常考題型．5．（2024秋?芝罘區(qū)期末）如圖，拋物線y1＝a（x+1）2+n與y2＝x2﹣4x+5交于點A（1，2），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C，則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②x＞1時，y1＜y2；③AB＝3AC；④當(dāng)a＝﹣2時，y2過y1的頂點．其中正確結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【考點】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【答案】C【分析】熟悉二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，結(jié)合圖象，逐項分析解答即可得解．【解答】解：由圖可知：拋物線y2=x2-4x+5開口向上，頂點（2，1）在x當(dāng)x＞1時，拋物線y1=a(x+1)2+n圖象在拋物線y將A（1，2）代入y1=a(x+1)2+n得n＝2﹣4a，故y1=a(x+1)2+2-4a，令y1＝2，得到x1＝﹣3，x2＝1，AB＝|x1﹣x2|＝4；由y2=x2-4x+5，令y2＝2，得x2﹣4x+5＝2，解得：x當(dāng)a＝﹣2時，y1=-2(x+1)2+2+8=-2(x+1)2+10，頂點為（﹣1，故選：C．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?煙臺期末）若拋物線y＝（x﹣h）2+k與x軸只有一個公共點，且過點A（m，n），B（m﹣8，n），則n＝16．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】16．【分析】根據(jù)題意得出拋物線的頂點坐標(biāo)，即可得出k＝0，再利用圖象上對稱兩點的坐標(biāo)A（m，n），B（m﹣8，n）即可求出h的值，從而得出拋物線的解析式，然后把A（m，n）代入，即可得出答案．【解答】解：由題意可得：拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，k），且k＝0，∴y＝（x﹣h）2，∵拋物線y＝（x﹣h）2過點A（m，n），B（m﹣8，n），∴該拋物線的對稱軸為直線x=即：h＝m﹣4，∴y＝[x﹣（m﹣4）]2，把A（m，n）代入，得：n＝[m﹣（m﹣4）]2＝（m﹣m+4）2＝42＝16，故答案為：16．【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，y＝（x﹣h）2+k的圖象與性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式等知識點，根據(jù)題意求得h的值是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．【答案】x＝1或x＝3．【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)，由此求得關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（3，0），∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3，故答案為：x＝1或x＝3．【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)．8．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）若拋物線y＝x2﹣2x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是c＞1．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意得，方程x2﹣2x+c＝0沒有實數(shù)根，即Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸沒有交點，∴方程x2﹣2x+c＝0沒有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故答案為：c＞1．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．9．（2024秋?招遠(yuǎn)市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一個根為x＝2，且拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，5）．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．【答案】（2，5）．【分析】由題意得當(dāng)x＝2時，y＝ax2+bx+c＝5，即拋物線y＝ax2+bx+c過點（2，5），進(jìn)而可得拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，5）．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一個根為x＝2，∴當(dāng)x＝2時，y＝ax2+bx+c＝5，即拋物線y＝ax2+bx+c過點（2，5）．∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝2，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，5）．故答案為：（2，5）．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．（2024秋?張店區(qū)期末）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝mx+n相交于A（﹣3，2），B（1，﹣2）兩點，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝mx+n的解為x1＝﹣3，x2＝1．【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】x1＝﹣3，x2＝1．【分析】根據(jù)圖示，由交點橫坐標(biāo)即可求解．【解答】解：已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝mx+n相交于A（﹣3，2），B（1，﹣2）兩點∴ax2+bx+c＝mx+n的解為x1＝﹣3，x2＝1，故答案為：x1＝﹣3，x2＝1．【點評】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象交點求方程的解，理解交點的意義是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?煙臺期末）已知，拋物線y＝x2+mx與直線y＝﹣x+b相交于點A（2，0）和點B．（1）求m和b的值；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）畫出函數(shù)圖象，并直接寫出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集．【考點】二次函數(shù)與不等式（組）．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）m＝﹣2，b＝2；（2）（﹣1，3）；（3）x＜﹣1或x＞2．【分析】（1）將點A（2，0）代入y＝x2+mx和y＝﹣x+b求解，即得答案；（2）聯(lián)立方程組y=（3）先畫出圖形，根據(jù)圖形可得兩函數(shù)的交點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系，即可得到答案．【解答】解：（1）由題知，點A（2，0）為兩函數(shù)的交點，∴0＝22+2m，解得m＝﹣2，0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）聯(lián)立方程組y=解得x1=2y所以兩個交點為（2，0）或者（﹣1，3），所以點B的坐標(biāo)為（﹣1，3）；（3）如圖，經(jīng)過（1，﹣1）（0，0）（2，0）（﹣1，3）（3，3）畫出y＝x2﹣2x，經(jīng)過（2，0）和（﹣1，3）畫直線；由圖可知，x2+mx＞﹣x+b的解集為：x＜﹣1或x＞2．【點評】本題考查了畫一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與不等式，正確理解函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?瑞金市期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點A，B（點B在點A右側(cè)），A點坐標(biāo)為（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，頂點為C，連接AC，BC．（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）B（1，0），C（﹣1，4）；（2）8．【分析】（1）根據(jù)點A坐標(biāo)和對稱軸，可求出拋物線的函數(shù)解析式，進(jìn)而可解決問題．（2）由A（﹣3，0），B（1，0），得出AB＝1﹣（﹣3）＝4，即可解決問題．【解答】解：（1）將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，9a﹣3b+3＝0①，又因為拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，所以-b2由①②解得，a＝﹣1，b＝﹣2．所以拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．令y＝0得，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．所以B點坐標(biāo)為（1，0）．將x＝﹣1代入函數(shù)解析式得，y＝﹣1+2+3＝4，所以C點坐標(biāo)為（﹣1，4）．（2）因為A（﹣3，0），B（1，0），所以AB＝1﹣（﹣3）＝4，又因為點C坐標(biāo)為（﹣1，4），所以S△【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及拋物線與x軸交點，能根據(jù)點A坐標(biāo)及拋物線的對稱軸求出拋物線的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?集賢縣期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點C、D是二次函數(shù)圖象上一對對稱點，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象過點B、D．（1）直接寫出點C、D的坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)圖象求ax2+bx+3＜mx+n的解集．【考點】二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）點C坐標(biāo)為（0，3），點D坐標(biāo)為（﹣2，3）；（2）二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（3）x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出拋物線的對稱軸為x＝﹣1，求出點C的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可求出點D的坐標(biāo)；（2）將A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程組即可求出拋物線的解析式；（3）根據(jù)拋物線與一次函數(shù)的交點橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象，即可求解．【解答】解：（1）由題意可得：y＝ax2+bx+3的對稱軸為直線x=令x＝0，得y＝0+0+3＝3，故點C的坐標(biāo)為（0，3），∵點C、D是二次函數(shù)圖象上一對對稱點，故點D的坐標(biāo)為（﹣2，3）．（2）將A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：0=a解得：a=∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象過點B、D．且B（1，0），D（﹣2，3），∴ax2+bx+3＜mx+n的解集為：x＜﹣2或x＞1．【點評】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)交點確定不等式的解集．14．（2024秋?鄄城縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值．若沒有，請說明理由．【考點】拋物線與x軸的交點；軸對稱﹣最短路線問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，Q（﹣1，2）；（3）存在，278【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關(guān)鍵是確定點Q的位置，找到點A關(guān)于對稱軸的對稱點B，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，直線BC與對稱軸的交點即是所求的點Q；（3）首先求得BC的坐標(biāo)，然后設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，利用x表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：-1+解得b=則拋物線的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x＝﹣1對稱，∴直線BC與x＝﹣1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小，對于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，故點C（0，3），設(shè)BC的解析式是y＝mx+n，則-3m+則BC的解析式是y＝x+3．x＝﹣1時，y＝﹣1+3＝2，∴點Q的坐標(biāo)是Q（﹣1，2）；（3）過點P作y軸的平行線交BC于點D，設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則P的坐標(biāo)是（x，﹣x2﹣2x+3），對稱軸與BC的交點D是（x，x+3）．則PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．則S△PBC=12（﹣x2﹣3x）×3=-32x2-92x==∵-32＜0，故△PBC【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值問題一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解．15．（2024秋?遵化市期末）已知拋物線y＝x2﹣mx+m﹣2．（1）求證：不論m為何值，此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）若該拋物線與x軸兩交點為（x1，0）和（x2，0），且x1+x2＝2x1x2，求m的值．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）見解析；（2）4．【分析】（1）證明一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0中Δ＞0即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2和x1x2，根據(jù)x1+x2＝2x1x2列等式即可求解．【解答】（1）證明：令y＝x2﹣mx+m﹣2＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴Δ＝（m﹣2）2+4＞0，∴x2﹣mx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴不論m為何值，此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）解：∵該拋物線與x軸兩交點為（x1，0）和（x2，0），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0的兩個根，∴x1+x2=--m1=m∵x1+x2＝2x1x2，∴m＝2（m﹣2），解得m＝4．【點評】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確進(jìn)行運算是解題關(guān)鍵．

考點卡片1．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．2．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．3．一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標(biāo)是（-bk，0）；與y軸的交點坐標(biāo)是（0，直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．4．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是（-b2a，4ac-b24a），對稱軸直線x=-b2a，二次函數(shù)y＝①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-b2a時，y隨x的增大而減小；x＞-b2a時，y隨x的增大而增大；x②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-b2a時，y隨x的增大而增大；x＞-b2a時，y隨x的增大而減小；x③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|-b2a|個單位，再向上或向下平移|45．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．6．二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是（-b2a①拋物線是關(guān)于對稱軸x=-b2②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x7．二次函數(shù)的最值（1