考點01軸對稱與等腰三角形

知識框架

「軸對稱圖形與軸對稱的概念

軸對稱圖形的性質

線段的垂直平分線的性質和判定

基礎知識點角平分線的性質和判定

畫軸對稱圖形

等腰（等邊）三角形的概念、性質定理和判定

等腰三角形“三線合一”

’判斷軸對稱圖形

軸對稱性質的應用（折疊）

線段的垂直平分線性質的運用

角平分線性質的運用

重難點題型

等腰三角形的性質與判定

復雜的尺規作圖

利用軸對稱性質求最值

等腰（等邊）三角形與全等三角形綜合題

基礎知識點

知識點1-1軸對稱圖形與軸對稱的概念

1）軸對稱圖形：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁部分折疊后能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。

這條直線就是它的對稱軸。

注：①對稱軸必須是一條直線例：太極圖不是對稱圖形

△:△電

②對稱圖形是一幅圖例I不是I是

③軸對稱，對稱軸可將圖形分為兩個全等部分，但被對稱軸分為全等兩個部分的圖形不一定是對稱圖形。（即僅

翻折，平移、旋轉不可）

例：

3）軸對稱：將一個圖形沿某一條直線折疊，它能與另一圖形重合。我們稱這兩個圖形關于這條直線（成軸）對

稱。這條直線叫作對稱軸。折疊后重合的點叫作對應點

注：①對稱軸必須是直線；②對稱圖形是兩幅圖形；③軸對稱的兩個圖形一定全等，但全等的兩個圖形不一定軸

對稱.

1.（2021?江蘇省天一中學九年級三模）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

4fB?4一監

2.（2021?揚州中學教育集團樹人學校九年級三模）橫撇豎捺，構架成一個個文字，在下列表示生肖的方塊字中,

是軸對稱圖形的是（）

鼠B牛。馬。羊

3.（2021?江蘇九年級二模）二十四節氣是歷法中表示自然節律變化以及確立“十二月建”的特定節令，下面四幅

設計作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中軸對稱圖形的是（）

A②B⑤"卷）0（^）

4.（2021?河北七年級期末）下面的圖形是用數學家名字命名的，其中是軸對稱圖形的是（）

①角;②線段;③等腰三角形;④等邊三角形;⑤一般三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（2021?江蘇九年級二模）如圖的四個圖案中，具有一個共有的性質,那么在下列各數中也滿足上述性質的是

D.808

知識點1-2圖形軸對稱的性質

1）垂直平分線（中垂線）：經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線

2）中垂線的畫法：（尺規）

原理：AC=BC=BD=AD/.△ACD^ABCD.-.ZACO=ZBCO--AACO^ABCO

AO=OB且/COA=NCOB=90。，CD為AB的中垂線

3）畫2個軸對稱圖形，連接對應點，尋找規律

①軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的中垂線

②如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的中垂線

4）確定對稱軸的方法：找出一組對應點，連線后作中垂線即為對稱軸。

1.（2021北京市八年級期中）下列說法中正確的是（）

①對稱軸上沒有對稱點；②如果AABC與△A3。關于直線L對稱，那么SAABC=Sd,夕c；③如果線段=直

線L垂直平分A4，，則和A8關于直線L對稱；④射線不是軸對稱圖形.

A.②B.①④C.②④D.②③

2.（2021?江蘇八年級專題練習）如圖,若平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關于BC所在直線對稱，ZABE=90°

,則NF的度數為（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

3.（2021?黑龍江八年級期末）如圖所示，ZMON=45。，點P為NMON內一點，點P關于OM、ON對稱的對稱

點分別為點片、鳥，連接。P、。6、%、理、啊耳鳥分別與。M、ON交于點A、B,連接ARBP,則N4PB的

度數為________

4.（2021?安徽九年級一模）如圖，在四邊形A3CD中，請在所給的圖形中進行操作：①作點A關于5。的對稱點

P：②作射線PC交3。于點。；③連接AQ.試用所作圖形進行判斷，下列選項中正確的是（）

A.ZPCB=ZAQBB.ZPCB<ZAQBC.NPCB>ZAQBD.以上三種情況都有可能

5.（2021?黑龍江哈爾濱市?八年級期末）下列說法正確的是（）

A.如果兩個三角形全等，則它們是關于某條直線成軸對稱的圖形

B.如果兩個三角形關于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形

C.等邊三角形是關于一條邊上的中線成軸對稱的圖形

D.一條線段是關于經過該線段中點的中線成軸對稱的圖形

5.（2021?河南駐馬店市?八年級期末）把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方

向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換.在自然界和日常生活中，存在著很多這種圖形變換（如圖

①）.結合軸對稱變換和平移變換的有關性質，你認為在滑動對稱變換過程中，兩個對應三角形（如圖②）的對

應點所具有的性質是.

C

承AK

圖①圖②

6.（2021學年七年級數學下學期期末專項復習）如圖，“BC中，C、。關于對稱，B、9關于AC對稱，。、

￡分別在A3、AC上，S.CD//BC//B'E,BE,CD交于點F,若NBFD=a,/BAC=/3,則a與￡之間的關系為

（）

A.2￡+a=180。B.a—2,/3C.a=1■/D.a—180°-1■/

知識點1-3線段的垂直平分線的性質和判定

1）性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

cPA=PB

2）判定：到一條直線兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。.

3）三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點

外心性質：外心到該三角形三頂點的距離相等

1.（2021?河北保定市?八年級期末）AMC內一點尸到三邊距離相等，則點P一定是AABC（）

A.三條角平分線的交點B.三邊垂直平分線的交點

C.三條高的交點D.三條中線的交點

2.（2021?全國九年級專題練習）如圖，在AABC中，AB=6,AC=8,8C=11,A8的垂直平分線分別交AB,BC

于點。、E,AC的垂直平分線分別交AC,BC于點F、G,則AAEG的周長為_.

3.（2021?遼寧九年級二模）如圖，在RMABC中，/。=90。,/3=22。,「。垂直平分48,垂足為。，交8c于點

P.按以下步驟作圖：以點A為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交邊AC,A8于點。，E；分別以點。，E

為圓心，以大于;的長為半徑作弧，兩弧相交于點B作射線AR射線AF與直線尸。相交于點G,則/AG。

的度數為度.

4.（2021?江西八年級期末）如圖，在AABC中，DE是邊AC的垂直平分線，交AC于點。，交AB于點E,點、P

是直線DE上的一個動點，若AB=5,則加+PC的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

5.（2021?山東濟南市?七年級期末）如圖，在AABC中，ZBAC=12.0°,分別作AC,AB兩邊的垂直平分線PM、

PN,垂足分別是點M、N.以下說法正確的是（填序號）.

①/尸=60。；?ZEAF=ZB+ZC；?PE=PF；④點P到點3和點C的距離相等.

p

B

5.（2021?內蒙古中考真題）如圖，在KAABC中，NACB=90。，根據尺規作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是

A.ZBDE=ZBACB./BAD=NBC.DE=DCD.AE^AC

6.（2021?遼寧九年級二模）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉得到△AB'C',點C的對應點為點C',C?的延

長線交BC于點。，連接AD則下列說法錯誤的是（）

A.AABC=AAB'CB.AB'/IBCC./CDC'=/CAC'D.AD平分/BDB'

知識點1-4角平分線的性質和判定

1,角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.

2、性質：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

如圖，已知OC平分NAOB,CD±OA,CELOB,則CD=CE.

3、利用尺規，作NAOB的平分線.

求作：射線OC,使=

作法：（1）在Q4和。8上分別截取O。，OE,使O￡>=OE.

（2）分別以。，石為圓心、以大于‘DE的長為半徑作弧，兩弧在/A05內交于點C.

2

（3）作射線OC.OC就是N496的平分線.

1.（2020?呼和浩特市啟東中學八年級月考）三條相互交叉的公路，現要建一個貨物轉運站，要求它到三條公路

的距離相等，則可供選擇的地址有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2021?江蘇南通市?八年級期末）如圖①,已知443C,用尺規作它的角平分線（如圖②）.

尺規作圖具體步驟如下，

第1步：以3為圓心，以「為半徑畫弧，分別交射線54,5。于點RE；

第2步：分別以為圓心，以加為半徑畫弧，兩弧在NABC內部交于點歹；

第3步：畫射線8尸.射線即為所求.下列說法正確的是（）

A.廠有最小限制，機無限制B.r>0,加的長

2

C.r..0,加<二。后的長D.連接。E,則OE垂直平分BE

2

3.（2020?福建省福州民族中學八年級月考）如圖，已知AABC.（1）尺規作圖：作NBAC的角平分線交BC于

點D,作/ABC的角平分線交AC于點E,且AD、BE交于點O（保留作圖痕跡）。（2）連接OC,若AB=6,

BC=4,AC=8,求S^ABO:SAACO-Sgco的比值?

A

B

4.（2020?浙江省紹興市錫麟中學八年級月考）如圖，AB〃CD,以點A為圓心，小于AC長為半徑作弧，分別

交AB,AC于E,F兩點；再分別以點E,F為圓心，大于上EF長為半徑作弧，兩條弧相交于點G,作射線AG

2

交CD于點H.若NC=140。，則/AHC的度數是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

5.（2021?廣東中山市?八年級期末）如圖，已知AABC.

（1）尺規作圖：作NABC的角平分線交AC于點G（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）如果AB=8,BC=12,AABG的面積為18,求AC8G的面積.

6.（2021?四川八年級期末）如圖，在用AABC中，ZC=90°,利用尺規在班，2C上分別截取=3N；分別

以點Af,N為圓心，以大于1皿的長為半徑作弧，兩弧在/C附內部交于點E；作射線BE交AC于點產.若

CF=2,點H為線段上的一動點，則的最小值是.

知識點1-5畫軸對稱圖形

1）關于對稱軸1成軸對稱圖形的性質：

①兩個圖形完全相等（全等）；②對應點的連線組成的線段被對稱軸1垂直平分

2）畫一個與已知圖形關于對稱軸對稱圖形步驟：

①描出圖形關鍵點；②過關鍵點畫對稱軸垂線，并截取對應長度線段，端對為對應點

③按上述步驟確定所有關鍵點的對應點；④連線

注：①折線部分：特殊點之間直線連接即可；②曲線部分：選取曲線中的特殊點，找出這些特殊點，再用曲線連

接。

例：I以圓心為特殊點

1.（2021?浙江九年級一模）如圖，己知圖形X和直線/.以直線/為對稱軸，圖形X的軸對稱圖形是（

X'

2.（2021?河北秦皇島市?九年級一模）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③

④的某一位置，使它與原來7個小正方形組成的圖形是軸對稱圖形，并且只有一條對稱軸，這個位置是（）

D.④

3.（2021?江蘇蘇州中學八年級期中）如圖，是由大小一樣的小正方形組成的網格，AABC的三個頂點落在小正

方形的頂點上，在網格上能畫出三個頂點都落在小正方形的頂點上，且與△A3c成軸對稱的三角形共有

__________個.

4.（2021?河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以

多次反彈），則球最后落入的球袋是（

1號袋2號袋

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

5.（2021?湖南九年級其他模擬）圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過翻折后得到的有（

6.（2020?無錫市積余實驗學校八年級月考）小明站在河岸邊看見水中的自己胸前球衣的號碼是弓［,則實際的號

碼為—.

7.（2021?湖北八年級期末）如圖，3c的頂點A,B,。都在小正方形的頂點上，利用網格線按下列要求

畫圖.

（1）畫△A4G，使它與AA5c關于直線/成軸對稱；

（2）在直線/上找一點p,使點p到點A,點3的距離之和最短；

（3）在直線/上找一點。，使點。到邊AC,的距離相等.

知識點1-6等腰三角形的概念、性質定理和判定

1）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形

腰：相等的兩邊底邊：不相等的那條邊

頂角：兩腰的夾角底角：腰與底邊的夾角

注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性質都滿足；②等腰三角形是軸對稱圖形

2）性質一：等腰三角形的兩個底角相等。等角O等邊

證明：作中線、作高、作角平分線皆可證明

注：涉及等腰三角形的角或邊時，一般要指出頂角、底角，底邊、腰。若未指出，會存在多解情況。

例：等腰三角形，一邊長7cm,另一邊長8cm,則三角形周長為:

3）等腰三角形的判定

等腰三角形~兩個角相等

應）

兩個邊相等

4）等邊三角形的性質與判定:

性質：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60。；等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.

判定：（1）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.

L（2021.江蘇八年級期中）有下列說法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的兩底角相等，③等腰三角形

的中線、高線和角平分線互相重合；④等腰三角形兩底角的平分線相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高

線其中正確的有（）個

A.1B.2C.3D.4

2.（2021?山東九年級一模）如圖，等邊三角形紙片ABC的周長為6,E,尸是邊上的三等分點.分別過點E,

廠沿著平行于R4,C4的方向各剪一刀，則剪下的△。口的周長是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2021?江蘇中考真題）如圖，在4x4的正方形網格中有兩個格點A、B,連接A5,在網格中再找一個格點C,

使得aABC是等腰直角三角形，滿足條件的格點。的個數是（）

B.3C.4D.5

4.（2021?福建九年級二模）如圖，正五邊形ABCDE中，尸為8邊中點，連接AF,則NBAF的度數是（）

A.50°B.54°C.60°D.72°

5.（2021廣東九年級一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=8,AD是角平分線，座是中線，則。石的長為（）

BDC

A.3B.4C.5D.6

6.（2021?遼寧九年級一模）如圖，AABC是等邊三角形，AO是2C邊上的中線，點E在AD上，且=

則NAFE=（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

7.（2021?廣西欽州市?八年級期末）如圖,△ABC是等邊三角形,是中線，延長3C至E,使CE=CE>,則下

列結論錯誤的是（

A.ZCED=30°B.NBDE=120°C.DE=BDD.DE=AB

8.（2021?廣東八年級期末）如圖，ZABE=ZACD,ZEBC=ZDCB,則下列結論正確的有（）

?AB=AC；@AD=AE；③BD=CE；?CD=BE.

C.3個D.4個

9.（2021?重慶八年級期末）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,點。是3c邊的中點，點P是AC

邊上一個動點，連接PO,以尸。為邊在PO的下方作等邊三角形PQ。，連接CQ.則02的最小值是（）

p

Q

A.走B.1C.V2D.-

22

10.（2021?四川省宜賓市第二中學校九年級一模）如圖，A,B,E三點在同一直線上，AABC,△（?￡>￡都是等

邊三角形，連接AD,BE,OC:下列結論中正確的是（）

①△ACD0ZXBCE；②△CPQ是等邊三角形；③0c平分NAOE；④△BP。絲△即。

11.（2021?淮安市浦東實驗中學八年級期中）如圖，ZAOB=60°,C是延長線上一點，若OC=18cm,動點

尸從點C出發沿CB以2cm/s的速度移動，動點。從點。沿Q4以1cm/s的速度移動，如果點P、。同時出發，用心）

表示移動的時間，當》=s時，△PO。是等腰三角形？

知識點1-7等腰三角形“三線合一”

1）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）

注：①“三線合一”僅指等腰三角形中的一條線、另外兩條線無此規律；

②利用“三線合一”，可判斷等腰三角形；

③只要“兩線合一”，則必定“三線合一”（用全等易證）

1.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，已知AB=AC,BC=6,尺規作圖痕跡可求出（）

A

A.2B.3C.4D.5

2.（2021?上饒市第二中學初二期中）如圖，在△A5C中，48=&。,七＞為5。的中點，有下列四個結論：①

其中正確的結論有（）

ZB=ZC；②ADLBC；③NBAC=2/BAD；@SAABD=SAACD.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2020?廣東廣州?綠翠現代實驗學校初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高，BD=4cm,

貝!]BC=cm.

4.（2020?福建中考真題）如圖，A。是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5,則CD等于（）

A.10B.5C.4D.3

5.（2021?上海風華初級中學初二月考）如圖所示，已知在五邊形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,ZB=ZE,點F

是CD的中點，求證：AFXCD.

6.（2021?成都市初二月考）如圖AD是等腰△ABC的頂角的平分線,E點在上,尸點在AC上，且AD平分NEE*,

則下列結論錯誤的是（）

A

ZBDE=ZCDEC.?BED?CFDD.ZBDE=ZDAE

重難點題型

題型1判斷軸對稱圖形

方法技巧：掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么

稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

注意：理解軸對稱圖形的定義應注意兩點:

（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質。

（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。

1.（2021?云南師大附中初二期末）2020年初，新型冠狀病毒引發肺炎疫情.一方有難，八方支援，危難時刻,

全國多家醫院紛紛選派醫護人員馳援武漢.下面是四家醫院標志的圖案部分，其中是軸對稱圖形的是（）

齊魯醫院華西醫院湘雅醫院協和醫院

2.（2021?湖北武漢初三二模）在下列四個交通標志圖中，是軸對稱圖形的是（）

嗓。瓜A

3.（2021?廣東高州?初二期末）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

B（§）

4.（2021?湖南師大附中高新實驗中學初三二模）下列航空公司的標志中，是軸對稱圖形的是（）

5.（2020?江蘇儀征初三一模）下列四個騰訊軟件圖標中，屬于軸對稱圖形的是（）

6.（2020?江蘇吳江?初二期末）下面四個圖形分別是節能、節水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸

對稱圖形的是（）

題型2軸對稱性質的應用（折疊）

方法技巧：常見應用為折疊問題。折疊問題中，折痕就是圖形的對稱軸，折疊前后的圖形關于對稱軸對稱。

1.（2021?江蘇七年級期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，ADHBC,將長方形紙片沿8。折疊，點A落在點E

處，DE交邊BC于點、F,若NAD3=2O。，則NOR?等于（）

C.50°D.40°

2.（2021?石家莊市欒城區教育局教研室七年級期中）如圖，將長方形A3CD沿折EF折疊后，ED與8尸交于G點,

若NEFG=50。，則的度數為（

C.120°D.130°

3.（2021?江蘇七年級期末）如圖，在長方形ABCD紙片中，AD//BC,AB//CD,把紙片沿折疊后，點C、D

分別落在C'、DC的位置.若NEFB=65。,則ZAED'等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

4.（2021?重慶七年級期末）如圖，為等腰直角三角形，NC=90。、將AABC按如圖方式進行折疊，使點A

與BC邊上的點尸重合，折痕分別與AC、AB交于點。、點E.下列結論：@Z1=Z2;②4+N2=90。；③

/3+/8=90。；@DF//AB.其中一定正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2021?江蘇七年級期中）如圖，將四邊形紙片A8C。沿MN折疊，點A、。分別落在點4、d處.若/1+

6.（2021?湖北襄陽市?八年級期末）如圖，四邊形48CZ）中，AD//BC,DCLBC,將四邊形沿對角線折疊,

點A恰好落在。C邊上的點E處，若/EBC=2Q°,求/防。的度數.

題型3線段垂直平分線性質的應用

方法技巧：掌握線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

注意：（1）這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長度。

（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。

1.（2021?河南八年級期末）如圖，在nABCZ）中，連接AC,按以下步驟作圖：分別以點A,C為圓心，以大于

gAC的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點"，N,作直線MN,交8于點E,交A3于點歹.若A3=5,BC=3,

則AADE的周長為（）

D

A.7B.8C.9D.10

2.（2021?山東臨沂市?八年級期末）如圖，AABC中，AB=AC,BC=3,S^BC=6,于點。，EF是AB

的垂直平分線，交A5于點￡,交AC于點尸，在石尸上確定一點P,使必+夕。最小，則這個最小值為（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

3.（2021?廣東七年級期末）如圖，在△A3C中，ZB=65°,ZC=28°,分別以點A和點。為圓心，大于;AC畫

弧，兩弧相交于點"，N,作直線MN,連接A。，則NBA。的度數為一.

4.（2021?山東八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=6,BC=1,AC=4,直線加是△ABC中BC邊的垂直平

分線，2是直線加上的一動點，則4相。的周長的最小值為.

5.（2021?河北九年級二模）如圖，已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規作圖，并保留了作圖痕跡.

CH

①一

②

步驟1：以C為圓心，C4長為半徑畫弧①；

步驟2：以B為圓心，班長為半徑畫弧②，交弧①于點。；

步驟3：連接AD,交的延長線于點H.

則下列說法不正確的是（）

A.A”是AABC中2C邊上的高B.AH^DHC.AC平分ZS4D

D.作圖依據是：①兩點確定一條直線；②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

6.（2021.江蘇八年級期中）如圖，AABC中，邊AB,3C的垂直平分線交于點P.

（1）求證：PA=PB=PC.⑵點P是否也在邊AC的垂直平分線上？請說明理由.

7.（2021?湖南懷化市?八年級期末）如圖.在AABC中,ZC=90°,ZA=30°.

（1）用直尺和圓規作AB的垂直平分線，分別交A3、AC于。、E,交8c的延長線于F,連接班.（不寫作法,

保留作圖痕跡）（2）求證：平分NABC.（3）求證：AE=EF.

題型4角平分線的運用

1.（2021?廣東深圳市?八年級期末）如圖，Rt^ABC中，NC=90。，AD平分44C,交BC于點。，AB=18,

^^ABD=27,則6的長為（)

2.（2021?河南七年級期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,AABC的面積為10,3。平分ZABC,若M、

N分別是80、8C上的動點，則C0+MN的最小值為（）

A.4B.5C.4.5D.6

3.（2021?湖南八年級期中）在AABC中，NC=90。，角平分線交BC于點D,BC=32,BD：CD=9：7,則

D點到AB邊的距離為（）

A.18B.16C.14D.12

4.（2021?重慶南開中學七年級期末）如圖，在膽AABC中，ZACS=90°,點。在2C邊上，連接AD,點E、F

分別為A8邊，AC邊上的點，連接。E、DF,使得DA平分NEDF,MDE=DF,過點。作。GLA8于點G.（1）

若DFHAB,求證：AE=DE；（2）求證：DG=CD.

5.（2021?福建九年級一模）如圖，將AABC繞點A按逆時針方向旋轉NZMC的度數得到AA￡D.

（1）尺規作圖：確定AAED的頂點E的位置（保留作圖痕跡，不寫作法與證明過程）；

（2）連接AE,DE,設BC的延長線交DE于點G,連接AG.求證：AG平分

D

C

6.（2021?湖北）（1）模型:如圖1,在AMC中，AD平分44C,Z）E_LAB,求證：:SAADC=AB:AC.

（2）模型應用：如圖2,AD平分/E4c交BC的延長線于點。，求證：AB:AC=BD:CD.

（3）類比應用：如圖3,A3平分N2ME,AE=AD,/Z）+/E=180。，求證：BE:CD=AB:AC.

7.（2021?江蘇七年級期末）如圖，任意畫一個44c=60。的AABC,再分別作AABC的兩條角平分線班和8,

BE和CO相交于點尸，連接AP,有以下結論:①NBPC=120。；②:S^p=AB:AC；③尸￡>=尸石；④AD=AE；

⑤BD+CE=BC.其中正確的結論為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型5等腰三角形的性質

方法技巧：掌握等腰三角形的性質：

1.等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。

2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。

3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。

1.（2021?廣東清遠市?八年級期中）如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=50°,8。為NA8C的平分線，則

A

2.（2021?江蘇九年級二模）頂角是36。的等腰三角形叫做黃金三角形.如圖，AC.AD,3E是正五邊形鉆3的

3條對角線，圖中黃金三角形的個數是.

3.（2021?山東濟南市?八年級期末）如圖，AABC和△。所是兩個等腰直角三角形，/BAC=/DFE=9。。,AB=

AC,FD=FE,ADEE的頂點E在邊8C上移動，在移動過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與線

段。1相交于點。，當E為2C中點，連接AE、PQ,若AP=3,AQ=4,PQ=5,則AC的長=.

4.（2021?重慶南開中學八年級期末）如圖，在等邊"BC中，點。、E分別在邊AC、BC上，AD=CE,連接

AE,點M、N分別在線段BE、BD上，滿足BM=BN,MN=ME,若/DBC：ZBEN=8：7,則NAEN的度數為

5.（2021?重慶八中八年級期末）如圖，在AASC中，4=30。，M、N為邊AB、BC上的兩個動點，將ABMN沿

翻折，翻折后點8的對應點。落在直線8c上方，連接CQ,ZDCB=2ZAMD,且N/WD>20。，則當△CZW

是等腰三角形時，ZAMD=度.

6.（2021?四川）如圖，已知/MON=30。，點A、4、A3…在射線QV上，點耳、星、鳥…在射線上，△4月4、

△&BH、△444…均為等邊三角形，若0A=1，則△4。2。22。2。4⑼的邊長為

7.（2021?陜西交大附中分校九年級其他模擬）如圖，在四邊形A8CD中，AB=6,4。=8。=3,E為AB邊中點,

且NCE￡>=120。，則邊0c長度的最大值為.

題型6復雜的尺規作圖

方法技巧：熟悉尺規作圖的五種基本做法，結合題設要求解題即可

1.（2021?成都市初二月考）某小區為方便M、N兩幢住宅樓的住戶投放分類后的垃圾，擬在小區主路AB、AC的

交叉區域內設置一個垃圾投放點P,現要求尸點到兩條道路的距離相等，且使PM=PN,請你通過尺規作圖找

出這一尸點（不寫作法，保留作圖痕跡）

2.（2021?浙江九年級一模）如圖，電信部門要在S區修建一座電視信號發射塔.按照設計要求，發射塔到兩個

城鎮A,8的距離必須相等，到兩條高速公路機和〃的距離也必須相等.發射塔應修建在什么位置？請用尺規作

圖標出它的位置.

m

B

o

n

3.（2021?北京七年級期末）已知：點尸是三角形ABC內一點.

（1）過點P作AC的平行線交于點E,交2C于點色（2）過點尸作AB的垂線，垂足為點。；

（3）測量NEPQ=°；（4）測量線段瓦三cm.

4.（2021?廣東八年級期末）如圖，在AABC中，平分NABC,ZA=80°,ZC=40°.

（1）作邊上的高A。，求NBA。的度數；（2）作NA4C的平分線AE,分別交BC,BF于點E,O,求/AOB

的度數.（要求尺規作圖，保留作圖痕跡.不寫作法）

5.（2021?重慶八年級期末）在RtMBC中，ZA=90°,AB=4,ZC=30°.

（1）用尺規完成以下基本作圖：作D8的平分線交AC于點￡）,過￡>作直線BC的垂線交8c于點E；

（2）求ADEC的周長.

6.（2020?江陰初級中學初三月考）如圖，在MAABC中，ZC=90°,點。是AB的中點，AC<BC.

（1）試用無刻度的直尺和圓規，在3c上作一點E,使得直線瓦（平分ABC的周長；（不要求寫作法，但要保留作

圖痕跡）.（2）在⑴的條件下，若。E分尺柩48。面積為1：2兩部分，請探究AC與BC的數量關系.

題型7利用軸對稱性質求最值

1.如圖，RaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,尸分別是A8,BC,AC邊上的動點，則ADEP的周長的

最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

2.如圖，NAO3=25。，點M,N分別是邊Q4,。8上的定點，點P,。分別是邊。3,上的動點，記=&,

ZPQN=J3,當MP+PQ+QV的值最小時，尸―。的大小=（度）.

Q

M

3.如圖，在Rt^ABC中.ACIBC,若AC=5,BC=12,AB=13,將Rt^ABC折疊，使得點C恰好落在

AB邊上的點E處，折痕為AD,點P為AD上一動點，則的周長最小值為一.

4.如圖，點。是銳角NAOB內一點，DELOA于點E,點尸是線段OE的一個動點，點G是射線的一個動

點，連接。尸、FG、GD,當A￡>^G的周長最小時，NEDG與NAO3的數量關系式是.

5.下圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸

氣管線最短？(不寫做法，保留作圖痕跡)

A鎮

I-----!燃氣管

6.如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G(-3,0),B(-2,0),HC與GB關于y軸對稱，ZGAH

=60°,P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP+PQ+CQ的最小值是()

A.6B.7C.8D.9

7.如圖，在四邊形ABDE中，C是的中點，AB=3,BD=4,DE=5,若NACE=120。，則線段AE的最大

值為___________

題型7等腰三角形與全等三角形綜合題

1.如圖，在銳角AABC中，點。在線段C4的延長線上，8C邊的垂直平分線分別交邊于點E,交/54c的

平分線于點交BAD的平分線于點N,過點C作AM的垂線分別交AM于點孔交MN于點O,過點。作OG

_LAB于點G,點G恰為邊的中點，過點A作A/LBC于點/,交OC于點H,連接。4、08,則下列結論中，

(l)ZMAN=90°；(2)ZAOB=2ZACB；(3)OH=2OG；(4)AAF0^AAFH；(5)AE+AC=2AG.正確的是.(填

序號)

2.如圖1,在等邊三角形A3C中，ACBC于RCELAB于與CE相交于點0.

(1)求證：04=200；(2)如圖2,若點G是線段AD上一點，CG平分N3CE,ZBG尸=60。,G尸交CE所在直

線于點廠.求證：GB=GF.(3)如圖3,若點G是線段OA上一點(不與點。重合)，連接3G,在BG下方作

ZBGP=60。,邊G尸交CE所在直線于點尸.猜想：OG,OF.OA三條線段之間的數量關系，并證明.

3.如圖1,在AABC中，2。_14(7于點。，AO=BO=3,0C=l,過點A作A8/BC于點X,交2。于點P.(1)

求線段0P的長度；(2)連接。/，求證：/OHP=45。；

(3)如圖2,若點D為A8的中點，點M為線段8。延長線上一動點，連接過點。