中心對(duì)稱圖形——平行四邊形(8大新定義型題型)

01思維導(dǎo)圖

目錄

【新定義題型】.................................................................................1

題型一平行四邊形中的新定義型問題............................................................1

題型二矩形中的新定義型問題..................................................................8

題型三菱形中的新定義型問題.................................................................17

題型四正方形中新定義型問題.................................................................23

題型五與中位線有關(guān)的新定義型問題...........................................................31

02新定義題型

題型一平行四邊形中的新定義型問題

例題：(23-24八年級(jí)下?北京?期中)定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形為“等對(duì)邊四邊形”.

(1)請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是“等對(duì)邊四邊形”的名稱；

(2)如圖，在△4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊NC、邊上，且滿足/D2C=,線段CE、BD交

于點(diǎn)

求證：/BDC=/AEC.

鞏固訓(xùn)練

2.（23-24八年級(jí)下?江蘇無錫?期中）我們定義：如圖1,在中，把48繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)"

（0。＜々＜180得到把/C繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)方得到NC,連接*U,當(dāng)】+/=180。時(shí)，我們

稱公AB'C'是^ABC的“旋補(bǔ)三角形"，Z^AB'C邊B'C上的中線4。叫做“BC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋

補(bǔ)中心’

BC

圖1

⑴特例感知：在圖2、圖3中，△48'C'是A48C的“旋補(bǔ)三角形"，4。是“3C的“旋補(bǔ)中線”.

①如圖2,當(dāng)A/BC為等邊三角形時(shí)，AD與3C的數(shù)量關(guān)系為—BC.

②如圖3,當(dāng)/B/C=90。，2C=6時(shí)，貝以。長為_；

（2）精確作圖：如圖4,已知在四邊形N8C。內(nèi)部存在點(diǎn)P,使得APOC是的“旋補(bǔ)三角形”（點(diǎn)。的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B）,請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)尸（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（3）猜想論證：在圖1中，當(dāng)AZBC為任意三角形時(shí)，猜想4D與8C的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

2

3.(23-24八年級(jí)下?江西南昌?期中)定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形.

(2)如圖2,在△4BC中，AC=445,BC=4,OE垂直平分/C交42于點(diǎn)￡,垂足為。，且DE=6,

BE=3,F為BC上一點(diǎn),求證：四邊形NEFC是鄰余四邊形；

(3)如圖3、圖4,在鄰余四邊形4BCD中，E為48中點(diǎn)，NDEC=9Q°,

①如圖3,當(dāng)時(shí)，判斷四邊形8COE的形狀并證明你的結(jié)論;

②如圖4,當(dāng)4D=6,8C=8時(shí)，求CD的長.

3

題型二矩形中的新定義型問題

例題：(23-24九年級(jí)上?吉林松原?期末)定義：對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無縫隙、

無重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱為鑲嵌四邊形.

F

①②③

⑴如圖1,將“BC紙片沿中位線E"折疊，使點(diǎn)A落在3c邊上的。處，再將紙片分別沿政，岱折疊,

使點(diǎn)8和點(diǎn)C都與點(diǎn)。重合，得到雙層四邊形EFG”,則雙層四邊形EFG”為.形.

(2)。/8co紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形EFG"為矩形，若EF=5,EH=12,求的長.

(3)如圖3,四邊形/BCD紙片滿足NDAD<BC,ABIBC,AB=8,CD=10.把該紙片折疊,

得到雙層四邊形為正方形.請(qǐng)你畫出一種折疊的示意圖，并直接寫出此時(shí)2C的長.

4

鞏固訓(xùn)練

I.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖①，在矩形N8C。中，點(diǎn)尸是矩形邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段3尸繞點(diǎn)廠順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得3尸與矩形的邊交于點(diǎn)E(含端點(diǎn))，連接BE,把ABEb定義為“轉(zhuǎn)角三角形”.

(1)由“轉(zhuǎn)角三角形”的定義可知，矩形/BCD的任意一個(gè)“轉(zhuǎn)角△2E尸”一定是一個(gè)_三角形；

(2)如圖②，在矩形/3CD中，AB=2,BC=3,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，畫出這個(gè)“轉(zhuǎn)角AAEF",并求出點(diǎn)

E的坐標(biāo)；

(3)如圖③，在矩形43。中，AB=2,BC=3,當(dāng)“轉(zhuǎn)角面積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5

2.（22-23八年級(jí)下?陜西西安?期末）如圖1,在矩形/BCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)5落在邊（含端點(diǎn)）

上，落點(diǎn)記為￡.這時(shí)折痕與邊8c或者邊⑺（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)尸，然后展開鋪平，則以B、￡、F為頂點(diǎn)

的ABEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”.

（2）如圖2,在矩形N8CD中，AB=2,BC=4.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，畫出這個(gè)“折痕ABE尸”，并求出點(diǎn)E的

坐標(biāo).

（3）如圖3,在矩形/8CO中，AB=2,BC=4,當(dāng)“折痕面積最大的時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

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3.（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?期中）定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.

了解性質(zhì)：如圖1：已知四邊形48C。中，AC1BD.垂足為。，則有：AB2+CD2=AD2+BC2;

性質(zhì)應(yīng)用：（1）如圖1,四邊形NBCD是垂美四邊形，若40=2,BC=4,CD=3,則/8=_；

性質(zhì)變式：（2）如圖2,圖3,尸是矩形23CZ）所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：

AP2+CP2=BP2+DP2.請(qǐng)以圖3為例將重要結(jié)論證明出來.

應(yīng)用變式：（3）①如圖4,在矩形/BCD中，。為對(duì)角線交點(diǎn)，P為30中點(diǎn)，則”廠=10；（寫出證

PB2

明過程）

②如圖5,在"8C中，C4=4,CB=6,。是內(nèi)一點(diǎn)，且CD=2,ZADB=90°,則48的最小值

是一

7

題型三菱形中的新定義型問題

例題：(22-23八年級(jí)下?江蘇蘇州?期末)定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90。，那么稱這樣的三角形為“準(zhǔn)

直角三角形

(1)已知A4BC是“準(zhǔn)直角三角形"，ZC>900,若N4=40。,貝!JN8=

(2)如圖，在菱形/5CD中，ZB>90°,AB=5,連接/C,若A/BC正好為一個(gè)準(zhǔn)直角三角形，求菱形23CD

的面積.

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鞏固訓(xùn)練

I.（23-24九年級(jí)下?山東威海?期中）【理解新定義】若一個(gè)四邊形具備一組對(duì)角互補(bǔ)和一組鄰邊相等，則稱

該四邊形為“補(bǔ)等四邊形”.如正方形和箏形，它們都具備這樣的特征，所以稱為補(bǔ)等四邊形.

【解決新問題】

（1）如圖I,點(diǎn)、E,尸分別在菱形N3CZ）的邊CD,AD±.,CE=DF,ZA=60°.四邊形BED廠是否為補(bǔ)等四邊

形？_（填“是”或“否”）

（2）如圖n,在中，NB>90°.的平分線和邊4B的中垂線交于點(diǎn)。，中垂線交邊/C于點(diǎn)G,連

接。4DB.四邊形/OBC是否為補(bǔ)等四邊形？若是，進(jìn)行證明；若不是，說明理由.

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2.(22-23八年級(jí)下?浙江寧波?期末)我們定義：以已知菱形的對(duì)角線為邊且有一條邊與已知菱形的一條邊

共線的新菱形稱為己知菱形的伴隨菱形.如圖1,在菱形/BCD中，連接ZC,在/。的延長線上取點(diǎn)￡使

得/C=/￡,以CA,AE為邊作菱形CAEF，我們稱菱形CAEF是菱形ABCD的“伴隨菱形”.

(1)如圖2,在菱形中，連接4C,在2C的延長線上作CN=CF,作乙4CF的平分線CE交4D的延長

線于點(diǎn)E,連接FE.求證：四邊形NEPC為菱形23。的“伴隨菱形”.

(2)①如圖3,菱形/EPC為菱形/BCD的“伴隨菱形”，過C作CH垂直/E于點(diǎn)a,對(duì)角線NC、8。相交于

點(diǎn)。.連接EO若EO=4^CH，試判斷成》與AD的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

②在①的條件下請(qǐng)直接寫出之的值.

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題型四正方形中新定義型問題

例題：(2024?山東濟(jì)南?三模)我們定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做“神奇四邊形”.

圖3

(1)在我們學(xué)過的下列四邊形①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四邊形”的是—(填序號(hào))；

(2)如圖1,在正方形A8CD中，E為BC上一點(diǎn),連接NE,過點(diǎn)8作BG，4E于點(diǎn)77,交CD于點(diǎn)G,連

AG,EG.

①判定四邊形ABEG是否為“神奇四邊形”—(填“是”或“否”)；

②如圖2,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).證明四邊形肱\丁。是“神奇四邊形”；

(3)如圖3,點(diǎn)尸，尺分別在正方形/BCD的邊上，把正方形沿直線尸7?翻折，使得3c的對(duì)應(yīng)邊B,C'恰

好經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)A作/。，用于點(diǎn)O,若AB'=2,正方形的邊長為6,求線段。尸的長.

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鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)下?浙江湖州?期中)對(duì)于四邊形給出如下定義：有一組對(duì)角相等且有一組鄰邊相等，則稱

這個(gè)四邊形為奇特四邊形.

(1)判斷命題“另一組鄰邊也相等的奇特四邊形為平行四邊形”是命題.(真或假)

(2)如圖，在正方形/8C。中，E是邊上一點(diǎn)，尸是4D延長線一點(diǎn)，BE=DF,連接EF,取E尸的中

點(diǎn)G,連接CG并延長交/。于點(diǎn)"，連接尸C,探究：四邊形8CGE是否是奇特四邊形，如果是，證明你

的結(jié)論，如果不是，請(qǐng)說明理由.

(3)在(2)的條件下，若四邊形BCGE的面積為16,求世的長.

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2.(23-24八年級(jí)上?山東淄博?期末)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角

為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形.

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，正方形N8C。中，￡是CD上的點(diǎn)，將ABCE繞3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與A4重合，此時(shí)點(diǎn)￡的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)下在ZM的延長線上，則四邊形3瓦才'為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？

(2)如圖②，已知四邊形/3CD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5,CD=\,AD>AB,過點(diǎn)8作BE,AD于

點(diǎn)、E,作昉JLOC交。C延長線于點(diǎn)尸.

①試判斷四邊形8EDE的形狀，證明你的結(jié)論，并求出BE的長.

②若點(diǎn)M是40邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值.

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題型五與中位線有關(guān)的新定義型問題

例題：(23-24八年級(jí)下?貴州黔東南?期中)我們給出如下定義：把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“對(duì)角線垂

直四邊形”.如圖，在四邊形ABC。中，AC1BD,四邊形ABC。就是“對(duì)角線垂直四邊形”.

(1)下列四邊形，一定是“對(duì)角線垂直四邊形”的是;

①平行四邊形②矩形③菱形④正方形

(2)如圖，在“對(duì)角線垂直四邊形"N8CD中，點(diǎn)￡、F、G、〃分別是邊BC、CD、D4的中點(diǎn)，求證：四

邊形跖G”是矩形.

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鞏固訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?陜西咸陽?階段練習(xí))定義：如圖1對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得

到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形

叫做“中方四邊形”.

N

圖3

問題解決：

如圖2,以銳角△42C的兩邊N8,NC為邊長，分別向外側(cè)作正方形/瓦”和正方形NC/G,連接8E,

EG,GC.

(1)連接EC,BG,問EC,5G的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么?請(qǐng)說明理由.

(2)四邊形8CGE"中方四邊形”(此空填“是”或“不是”)

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,已知四邊形4BCD是“中方四邊形”，M,N分別是48,的中點(diǎn).試探索2。與"N的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

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2.（23-24八年級(jí)下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）教材定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

定理證明：（1）如圖1,△4BC中，點(diǎn)。、￡分別是邊42、NC的中點(diǎn)，連接。E.請(qǐng)你猜想中位線。E與

第三邊8C的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

類比遷移：（2）如圖2,梯形ABCD中，BC〃AD,點(diǎn)、E、尸分別是腰N2、CO的中點(diǎn).類比三角形中位

線，請(qǐng)你猜想梯形的中位線所與兩底邊2c的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

綜合應(yīng)用：（3）如圖3,在梯形4BC。中，AD//BC,E、尸分別是對(duì)角線2D、/C的中點(diǎn).若

AD=4cm,BC=12cm,求的長.

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3.(23-24八年級(jí)下?吉林松原?期中)定義：在等腰三角形的外部，以一條腰為斜邊作直角三角形