自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院第七章線性離散系統的分析7.1離散系統的基本概念7.2信號的采樣與保持7.3z變換理論7.4離散系統的數學模型7.5離散系統的穩定性和穩態誤差7.6離散系統的動態性能分析7.3z變換理論連續函數f(t)的拉氏變換為：一、z變換的定義

f(t)的采樣信號為

f*(t)：對上式進行拉氏變換，得(7-17)z

變換實質為采樣函數拉氏變換，把超越函數轉化為z的冪級數或z的有理分式。Z[f(t)]是為了書寫方便，并不意味是連續函數的z變換。z變換只適用于離散函數。F(z)和f*(t)是一一對應的，但與f(t)是一對多的。引入新的變量z=esT則采樣信號

f*(t)的z

變換定義為：(7-18)注意：二、z變換的方法1.級數求和法思想：只要知道連續函數f(t)在各個采樣時刻的數值，即可按照z變換的定義求得其z變換。注意：這種級數展開式是開放形式的，有無窮多項。但一些常用的z變換的級數展開式可以用閉合型函數表示。設，則由于在時刻的脈沖幅度為1，其余時刻的脈沖幅度均為零，所以有例7-4

求單位脈沖信號的z變換。

解：例7-5

求單位階躍函數1(t)的z變換。解：

設，則該級數的收斂域為|z|>1，在該收斂域內，上式可以寫成如下閉合形式：例7-6

求理想脈沖序列信號δT

(t)的z變換。所以解因為由拉氏變換可知，對比例7-6和例7-5，得到什么結論？例7-7

求單位斜坡信號的z變換。上式兩邊同乘(-Tz)，便得單位斜坡信號的z變換解：設，則上式兩邊對z求導數，并將和式與導數交換，得例7-8

求指數函數的z變換。解設，則2．部分分式法思想：先求出已知連續函數f(t)的拉氏變換F(s),然后將其展開成部分分式之和的形式，求出相應每一部分的z變換再疊加即可。即：當連續函數可以表示為指數函數之和時，可以利用指數函數的z變換求出該函數的z變換。例7-9設，求的z變換。解：上式兩邊求拉氏反變換，得例7-10求的z變換。解：三、z變換的性質其中a1和a2為任意實數。1.線性定理若f1*(t)和f2*(t)的z變換為F1(z)和F2(z)

，則(7-19)證明：2．實數位移定理滯后定理（負偏移定理）超前定理（正偏移定理）若f*(t)的z變換為F

(z)，t<0時，f(t)=0,則(7-20)(7-21)證明（正偏移定理）:（令j=k+n）3.復位移定理證明：由z變換定義若f*(t)的z變換為F

(z)，則(7-22)4.初值定理當

時，上式右邊除第一項外，其余各項均趨于0。證明：設

存在，則

(7-23)5.終值定理（用于計算系統穩態誤差）如果f(t)的z變換為F(z)，f(nT)(n=0,1,2…)為有限值，且極限存在，則證明：由z變換定義和實數移位定理上面兩式相減，并取極限z→1，得(7-24)6.卷積定理令k－n=j，則k=0時，j=－n

如果，則證明：(7-25)7.z域尺度定理若已知

的z變換函數為，則證明：其中a為任意常數。(7-26)連續系統：通過拉氏變換將微分方程轉化為s的代數方程→傳遞函數→時間響應。離散系統：通過z變換將s的超越方程或離散系統的差分方程轉化為z的代數方程→脈沖傳遞函數→時間響應。四、z反變換z反變換是z變換的逆運算。其目的是由象函數F(z)求出所對應的采樣脈沖序列f(nT)，記作f

*(t)。z反變換只能給出采樣信號f

*(t)，而不能給出連續信號f(t)。信號序列是單邊的，即n<0時，f(nT)=0。注意1.部分分式法（查表法）若象函數F(z)是復變量z的有理分式，且所有的極點zi

(i=1,2,…,m)互異，則F(z)/z可展成如下形式：再取z反變換得上式兩邊同乘z得例7-11已知，求其z反變換。解：首先將展成部分分式

則通過長除法可將F(z)展成z-1的無窮級數，即2.長除法--冪級數法

對比z變換定義可知

脈沖強度：

脈沖序列：

若z變換函數F(z)是復變量z的有理函數例7-12已知，求其z反變換。運用長除法得由此得于是脈沖序列可以寫成解：注意：實際應用中，長除法只需要計算有限項；長除法計算脈沖序列最簡單，但一般得不到通項表達式；部分分式法可以求出脈沖序列（離散函數）的閉合形式。部分分式和長除法對于F(z)不是有理分式的情況無法求解。3.留數計算法－反演積分法由z變換的定義可知——勞倫級數設Γ為z平面上包圍F(z)zm-1全部極點的封閉曲線，沿逆時針方向對上式兩端同時積分，可得根據柯西留數定理，設的極點為一階極點留數：q階極點留數：由復變函數理論可知：因此，有則上式有兩個極點z1=1，z2=2，并且例7-13

已知，用留數法求其z反變換。解:五、關于z變換的說明1.z變換的非唯一性z變換是對連續函數信號的采樣序列進行變換，因此z變換與其原連續時間函數并非一一對應，而只是與采樣序列相對應。對于任一給定的z變換函數E(z)，由于采樣信號e*(t)可以代表在采樣瞬時具有相同數值的任何連續時間函數e(t)，所以求出的E(z)反變換也不可能是唯一的。對于連續時間函數而言，z變換和z反變換都不是唯一的。e*1(t)=e*2(t)E1(z)=E2(z)e1(t)≠

e2(t)

圖7-17

具有相同z變換式的兩個時間常數圖7-17中，連續時間函數e1(t)和e2(t)的采樣序列是相同的，即e*1(t)=e*2(t)；它們的z變換也是相同的，即E1(z)=E2(z)；然而，這兩個時間函數是極不相同的，即e1(t)≠

e2(t)。2.z變換的收斂區間對于拉氏變換，其存在性條件是下列絕對值積分收斂：同樣，z變換也有存在性問題。為此，需要研究z變換的收斂區間。雙邊z變換的定義為：由于z=esT，令s=σ+jω，則令，則，于是顯然，上述無窮級數收斂的條件為：若上式滿足，則雙邊z變換一致收斂，即e(nT)的z變換存在。在大多數工程問題中，因為n<0時