自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院5.3控制系統開環頻率特性曲線的繪制控制系統開環傳遞函數的典型環節分解開環幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）開環對數頻率特性曲線的繪制（Bode圖）最小相位系統（minimumphasesystem）設其開環傳遞函數由若干個典型環節相串聯其開環頻率特性:一、控制系統開環傳遞函數的典型環節分解系統的開環幅頻和相頻分別為:系統的開環對數頻率特性為:二、開環幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）

開環系統典型環節分解和典型環節幅相曲線的特點是繪制概略開環幅相曲線的基礎。概略開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素：開環幅相曲線的起點和終點；開環幅相曲線與實軸的交點；開環幅相曲線的變化范圍（象限、單調性）。(1)開環傳遞函數中不包括積分環節和微分環節ω=0ω=∞n=1G(j0)=K∠0°G(j∞)=0∠－90°n=2G(j0)=K∠0°G(j∞)=0∠－2×90°1.幾種開環傳遞函數的Nyquist圖

只包含比例和慣性環節的0型系統Nyquist圖特點：當開環傳遞函數由n個慣性環節與比例環節串聯時，Nyquist從正實軸開始，隨ω從0→∞變化時，順時針轉過n個象限。(2)開環傳遞函數中含有一階微分環節ω=0G(j0)=K∠0°ω=∞G(j∞)=0∠(90°－3×90°)=0∠(－2×90°)例如m=1，n=3可見，由于開環傳函中分子含有一階微分環節，其開環Nyquist圖可能出現凹凸。但起點仍從正實軸開始。OKω=∞ω=0ωjm=1,n=3，且T1,T2>τ1>T3時，系統開環Nyquist曲線。若開環傳函中分子含有m個一階微分環節，分母含有n個慣性環節，其Nyquist圖隨ω的變化趨勢為：ω=0G(j0)=K∠0°ω=∞G(j∞)＝0∠(m×90°－n×90°)

＝0∠(m－n)90°II型系統（ν=2）

Ⅰ型系統（ν＝1）(3)開環傳遞函數中含有積分環節只包含慣性環節的I型系統Nyquist圖只包含慣性環節的II型系統Nyquist圖開環傳遞函數含有積分環節時，零頻時的幅值為無窮大!當頻率ω=0時，其開環幅相特性完全由比例環節和積分環節決定。ν＝0G(jω)曲線從正實軸開始G(j0)=K∠0°ν＝1G(jω)曲線從負虛軸方向開始G(j0)=∞∠－90°ν＝2G(jω)曲線從負實軸方向開始G(j0)=∞∠－180°ν＝3G(jω)曲線從正虛軸方向開始G(j0)=∞∠－270°其余依此類推。2.系統開環幅相特性的特點當ω=∞時，若n>m，其G(jω)的模為零，相角為（m－n)×90°,即G(j∞)=0∠(m－n)90°若G(s)分子中含有s因子的環節時，其G(jω)曲線將隨ω變化發生彎曲。不含s因子的環節時，G(jω)曲線將隨ω變化將是一條平滑曲線。利用G(jω)的虛部Im[G(jω)]=0的關系式求出；利用∠G(jω)=n·180°(其中n為整數)求出。該點所對應的頻率稱為穿越頻率。

開環幅相曲線與實軸的交點是一個關鍵點，確定方法如下（2種）：寫出A(ω)和

(ω)的表達式（或實頻X(ω)和虛頻Y(ω)的表達式）；分別求出ω=0和ω=+∞時的G(jω)；求Nyquist圖與實軸的交點；如果有必要，可求Nyquist圖與虛軸的交點，交點可利用G(jω)的實部Re[G(jω)]=0（X(ω)=0）的關系式求出，也可利用∠G(jω)=n·90°（其中n為正整數）求出；必要時畫出Nyquist圖中間幾點；勾畫出大致曲線。3.Nyquist圖繪制方法試繪制其Nyquist圖。

解法一

該傳遞函數的頻率特性為：幅頻特性和相頻特性分別為：例5-1設系統的開環傳遞函數為△為正的很小量，故起點為（10，j0），在第Ⅲ象限趨向終點（0，j0）；顯然，ω從0變化到＋∞，A(ω)單調遞減，而φ

(ω)則從0°到－180°。奈氏圖與虛軸的交點可由下式求得。令解得因此解法二

該傳遞函數的頻率特性為：實頻特性和虛頻特性分別為：當當當即Nyquist圖的起點為（10，j0）。即Nyquist圖的終點為（0，j0）。即Nyquist圖與Y軸的交點為（0，-2.87j）。時，時，時，

例5-1的乃氏圖MATLAB繪制例5-1的乃氏圖試繪制其Nyquist圖。

解該傳遞函數的幅頻特性和相頻特性分別為：△為正的很小量，故起點在第Ⅲ象限，在第Ⅱ象限趨向終點（0，j0）；例5-2

設系統的開環傳遞函數為因為相角從－90°變化到－270°，所以必有與負實軸的交點。解得此時因此，奈氏圖與實軸的交點為（－2/3，j0）。解法二

該傳遞函數的頻率特性為：實頻特性和虛頻特性分別為：當時，即Nyquist圖的起點為（－3，j∞）。即Nyquist圖的終點為（0，j0）。當時，當時，即Nyquist圖與X軸的交點為（－2/3，j0）。例5-2的乃氏圖MATLAB繪制例5-2的Nyquist圖例5-3已知系統的開環傳遞函數，繪制系統的開環Nyquist圖。解該傳遞函數的頻率特性為：幅頻特性和相頻特性分別為：故乃氏圖起點在第Ⅳ象限，在第Ⅲ象限趨向終點(0，j0)。因為相角范圍從－90°到－180°，所以必有與負虛軸的交點。所以，奈氏圖與虛軸的交點為(0,－j0.0825)。解得由此時例5－3的奈氏圖例5-4已知系統的開環傳遞函數，繪制系統的開環Nyquist圖。解該傳遞函數的頻率特性為：幅頻特性和相頻特性分別為：當時當時△為正的很小量，故起點在第Ⅲ象限，也是在第Ⅲ象限趨向終點（0，j0）；起點在第Ⅱ象限，也是在第Ⅱ象限趨向終點（0，j0）；例5－4的奈氏圖可見，開環對數幅頻特性等于各環節對數幅頻特性之和；系統開環相頻等于各環節相頻之和。將各環節對數幅頻特性用直線代替，以及對數運算的優點（乘除運算對數化后變為加減），可以很容易繪制出開環對數頻率特性。三、開環對數頻率特性曲線的繪制1.Bode圖繪制的概述和例題分析

解系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別的零型系統的Bode圖。例5-5

繪制開環傳遞函數例5-5的Bode圖說明：實際上，在熟悉了對數幅頻特性的性質后，不必先一一畫出各環節的特性，然后相加，而可以采用更簡便的方法。由上例可見，零型系統開環對數幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線，隨著ω的增加，每遇到一個交接（轉折）頻率，對數幅頻特性就改變一次斜率。解系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為：例5-6

設Ⅰ型系統的開環傳遞函數為試繪制系統的Bode圖。

例5-6的Bode圖不難看出，此系統對數幅頻特性的低頻段斜率為－20dB/dec，它（或者其延長線）在ω=1處與L1(ω)=20lgK的水平線相交。在交接頻率ω=1/T處，幅頻特性斜率由－20dB/dec變為－40dB/dec。例5-7

已知系統的開環傳遞函數，試繪制系統的開環Bode圖。解開環傳遞函數可分解成以下5個環節例5－7Bode圖2.系統開環對數幅頻特性的特點低頻段的斜率為－20νdB/dec，ν為開環系統中所包含的串聯積分環節的數目。低頻段直線（若存在小于1的交接頻率時則為其延長線）在ω＝1處的對數幅值為20lgK。在典型環節的交接（轉折）頻率處，對數幅頻特性漸近線的斜率要發生變化，變化的情況取決于典型環節的類型。如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的環節，交接頻率處斜率改變±20dB/dec；如遇二階振蕩環節G(s)=1/(1+2ζTs+T2s2)，在交接頻率處斜率就要改變－40dB/dec，等等。將開環頻率特性分解為典型環節相乘形式（時間常數形式）；求出各典型環節的交接頻率（各環節時間常數的倒數），將其從小到大排列為ω1，ω2，ω3，…，并標注在ω

軸上；繪制低頻漸近線（ω1左邊的部分），這是一條斜率為－20νdB/dec的直線，它或它的延長線應通過（1，20lgK）點；（對于微分環節ν取負值）；3.繪制對數幅頻特性的步驟隨著ω的增加，每遇到一個典型環節的交接頻率，就按上述方法改變一次斜率；必要時可用漸近線和精確曲線的誤差表，對交接頻率附近的曲線進行修正，以求得更精確曲線。對數相頻特性可以由各個典型環節的相頻特性相加而得，也可以利用相頻特性函數

(ω)直接計算。傳遞函數的零點和極點都位于s平面的左半部，這種傳遞函數稱為最小相位傳遞函數；否則，稱為非最小相位傳遞函數。具有最小相位傳遞函數的系統，稱為最小相位系統；而具有非最小相位傳遞函數的系統，則稱為非最小相位系統。四、最小相位系統

1.定義對于幅頻特性相同的系統，最小相位系統的相位遲后是最小的，而非最小相位系統的相位遲后則必定大于前者。對于最小相位系統，對數幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對應關系。根據系統的對數幅頻特性，可以唯一地確定相應的相頻特性和傳遞函數，反之亦然。但是，對于非最小相位系統，就不存在上述的這種關系。

2.

有關結論另有一非最小相位系統，其頻率特性為例5-8

設有一最小相位系統，其頻率特性為解用Matlab繪制兩者的Bode圖

bode([11],[1001])；T1=1，T2=100holdonbode([-11],[1001])例5－8最小相位系統和非最小相位系統的Bode圖的Bode圖。例5-9

繪制開環傳遞函數為可見，此系統的幅頻特性與慣性環節相同，而其相頻特性卻比慣性環節多了一項－τω

。顯然，它的遲后相角增加很快。解系統的幅