專題31軸對(duì)稱綜合題中的角度問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在菱形ABCD中，NBCD=70。,2C的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)尸，垂足為E,連接。尸,

則NAD尸的大小為（）

A.75°B.70°C.65D.60'

2.如圖所示，點(diǎn)尸為N。內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)A,8分別在/O的兩邊上，若/上4B的周長(zhǎng)最小，則/O與NAP3

的關(guān)系為（）

A.2NO=ZAPSB.ZO=2ZAPB

C.ZO+ZAPB=180°D.2ZO+ZAPS=180°

3.如圖，若NAOB=44。,尸為NAOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在。4上，點(diǎn)N在02上，當(dāng)△PMV的周長(zhǎng)取最小值

時(shí)，NMPN的度數(shù)為（）

A.82°B.84°C.88°D.92°

4.如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)歹是C。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段■上運(yùn)動(dòng)，連接EG,DG,當(dāng)△/）￡<?的

周長(zhǎng)最小時(shí)，則/EG￡>=（）

A

A.36°B.60°C.72°D.108°

5.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊AABC中，。是的中點(diǎn)，點(diǎn)石在線段AO上，連接3石，在成的下方作等

邊ABEF,連接OF當(dāng)尸的周長(zhǎng)最小時(shí)，N5D尸的度數(shù)是（）

120°C.135°D.150°

二、填空題

6.已知，如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)"，N分別是邊。4,08上的定點(diǎn)，點(diǎn)尸，。分別是邊05,上的動(dòng)點(diǎn),

^ZMPQ=a,4PQN=。，當(dāng)“尸+PQ+QN最小時(shí)，則分—a=.

7.如圖，在銳角△ABC中，ZBAC=40°,N5AC的平分線交5C于點(diǎn)。，M,N分別是AO和A3上的動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)8M+MN有最小值時(shí)，ZABM=°.

c

ANB

8.如圖，點(diǎn)P是/AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，NAOB=48。，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。2和射線04上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

△PMN的周長(zhǎng)為最小時(shí)，/MPN的度數(shù)為度.

9.如圖，點(diǎn)P為/408內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于04、。8的對(duì)稱點(diǎn)［、P2,連接月巴交。4于交0B

于N.若ZAOB=30°,則ZPtOP2=.

10.如圖，四邊形ABCD中，鉆=AD,點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)/恰好落在。上，若ZBAD=100。，則NACB

的度數(shù)為_.

11.如圖，尸是—AO3內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)/，N分別在邊。4,上運(yùn)動(dòng).若ZAOB=30。，。尸=30,貝LPMN的

周長(zhǎng)最小值為,此時(shí)NMPN的度數(shù)為.

A

二。

oNB

12.小茗同學(xué)在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因?yàn)槭澄锉人螅运岬煤苄量?但是它不

放棄，一直慢慢往回爬.一會(huì)它咬住食物使勁往后拖，一會(huì)又咬住食物來回轉(zhuǎn)圈，小茗同學(xué)急的想幫它.于

是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)花圃的形狀，如圖，是一個(gè)銳角二角形，且/AC3=50。，邊A3上一定點(diǎn)

尸是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線尋找食物，線路是從尸出發(fā)走到AC,再?gòu)腁C走到3C,最后

回到家.假設(shè)M、N分別是AC和邊上的動(dòng)點(diǎn)，小茗同學(xué)想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出

當(dāng)小螞蟻行走路線所構(gòu)成的APMN周長(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為.

13.如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N,使△AMN

的周長(zhǎng)最小，則NAMN=°.

14.如圖，在AABC中，AB=AC,NA4C=124。，點(diǎn)。在BC邊上，AABD、△AED關(guān)于直線對(duì)稱，

/曲。的角平分線交BC邊于點(diǎn)G,連接FG,ZBAD=0,當(dāng)。的值等于—時(shí)，△。尸G是以。尸為腰的等腰

三角形.

A

三、解答題

15.（1）如圖1,AD是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC的中線，點(diǎn)p、E分別在AD、AC上，且AE=1則PC+PE

的最小值為cm；

（2）如圖2,在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P,使N4PB=N4PD.（保留作圖痕跡，并對(duì)作圖方

法進(jìn)行說明）

16.在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，例如圖中點(diǎn)40,4）、8（4,2）

僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖并回答問題：

（1）作出線段關(guān)于〉軸對(duì)稱的線段AD,并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）；

（2）過點(diǎn)A作一直線/,使得線段（保留畫圖過程的痕跡）；

（3）在x軸上找點(diǎn)使=（保留畫圖過程的痕跡）.

17.在AABC中，ZC=90°,AC=BC=2,直線BC上有一點(diǎn)P,連接AP,AM、4V分別為A尸關(guān)于直

線AB、AC的對(duì)稱線段.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求NM4N和/MBC的度數(shù);

(2汝口圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖2；

②探究是否存在點(diǎn)尸,使得而=3,若存在,直接寫出滿足條件時(shí)。的長(zhǎng)度；若不存在,說明理由.

18.如圖，AABC和AAB'C'關(guān)于直線對(duì)稱，AAEC‘和"""C"關(guān)于直線E尸對(duì)稱.

(1)畫出直線所；

(2)直線與E尸相交于點(diǎn)O,試探究/BOB"與直線MN、E尸所夾銳角。的數(shù)量關(guān)系.

19.如圖①，在AABD中；NA=60。，AD=2AB=4cm,將△ABD繞瓦)中點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△CDB,點(diǎn)E

是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AfB-C以lcm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PE,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

(1)BC=;

(2)用含有t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)；

⑶當(dāng)尸￡將四邊形ABCD的周長(zhǎng)分成2：3兩部分時(shí)，求f的值；

(4)如圖②.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，作點(diǎn)A關(guān)于直線尸￡的對(duì)稱點(diǎn)4,連接AE.當(dāng)AE所在直線與四邊形A3CD

的邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出/AEP的度數(shù).

20.【定義】如圖1,平分/AO3,則稱射線。民。4關(guān)于對(duì)稱.

圖1圖2圖3圖4

（1）【理解題意】如圖1,射線。民。4關(guān)于對(duì)稱且NAO3=45。，則/AOM=_______度；

⑵【應(yīng)用實(shí)際】如圖2,若/408=45。,0「在內(nèi)部，OP,O4關(guān)于03對(duì)稱，。尸，。心關(guān)于。4對(duì)稱,

求-606的度數(shù)；

（3：）如圖3,若/AOB=45°,。尸在/AQB外部，且0°</A。尸<45。,。2。［關(guān)于。5對(duì)稱，。尸,。鳥關(guān)于Q4對(duì)

稱，求一40巴的度數(shù)；

（4）【拓展提升】如圖4,若/4。8=45。,。尸,。《關(guān)于/4。3的。8邊對(duì)稱，/AOq=4/BO4，求

ZAOP.（直接寫出答案）

21.有一張矩形紙片A3CD,其中AB=10,AD=6,現(xiàn)將矩形紙片折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)尸，折痕為

EF（.點(diǎn)、E、E是折痕與矩形紙片的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原.

⑴若點(diǎn)P落在矩形ABC。的邊AB上（如圖①）.

①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，ZDEF=°,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)A重合時(shí)，ZDEF=°,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C

重合時(shí)，AP=；

②若點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)P落在矩形ABCD的外部（如圖②），點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，點(diǎn)￡在A。上，BA與FP交于點(diǎn)M,當(dāng)AM

=￡>￡時(shí)，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)；

（3）若點(diǎn)E為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為。C的中點(diǎn)，直接寫出AP的最小值.

專題31軸對(duì)稱綜合題中的角度問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在菱形ABCD中，NBCD=70。,BC的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)尸，垂足為E,

連接。尸，則NADF的大小為（）

A.75°B.70°C.65D.60°

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知ZACB=g/BCD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知FB=PC,即可

求得NFBC,進(jìn)而求得ZABR,根據(jù)對(duì)稱性可知NAB尸=NAD產(chǎn)，即可求得NAD尸.

【詳解】??,四邊形43CD是菱形，

ZACB=-ZBCD=35°,

2

ZABC=180°-ZBCD=180°-70°=110°,

VEF垂直平分2C,

FB=FC,

ZFCB=ZFBC=ZACB=35°,

ZABF=ZABC-ZFBC=110°-35°=75°

,?,菱形是軸對(duì)稱圖形，AC是它的一條對(duì)稱軸，伉。關(guān)于AC對(duì)稱，

:.ZADF=ZABF=15°.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以卜.性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

2.如圖所示，點(diǎn)尸為NO內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)A,8分別在N。的兩邊上，若zl/^45的周長(zhǎng)最小，

則/O與NAPB的關(guān)系為（）

A.2NO=ZAPBB.ZO=2ZAPB

C.ZO+ZAPB=180°D.2ZO+ZAPB=180°

【答案】D

【分析】作點(diǎn)尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)尸關(guān)于QV的對(duì)稱點(diǎn)尸〃，其中P產(chǎn)交ON于A,交

ON于B,此時(shí)的周長(zhǎng)最小值等于P產(chǎn)的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△0Pp是等腰三角

形，所以POP〃=2N4OP,推出NF=NP"=180°一；尸’0yJ80。一：ZAO8,所以

ZAPB=ZP+ZP"=180°-2ZAOB,即得出答案.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)尸關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)尸"，

連接。p,OP",PP,其中P產(chǎn)交OW于A,交ON于8,

此時(shí)的周長(zhǎng)最小值等于P產(chǎn)的長(zhǎng)，

由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：OP=OP,OP=OP",ZAOP=ZAOP',ZBOP=ZBOP",

:.ZP'OP"=2ZAOP,

』…180°-ZP'OP'1800-2ZAOB

NP'=ZP=-----------------=-----------------,

22

ZAPB=ZP1+ZP"=1800-2ZAOB,

BP2ZO+ZAPS=180°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，若/AO8=44。，尸為/4。8內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在。4上，點(diǎn)N在。B上，當(dāng)4PMN

的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，的度數(shù)為（）

A.82°B.84°C.88°D.92°

【答案】D

【分析】分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4、。2的對(duì)稱點(diǎn)片、鳥，連接月鳥交于M,交。3于N,APMN

的周長(zhǎng)的最小值為長(zhǎng)度，然后依據(jù)等腰等腰△。片舄中，/。42+/。鳥《=180。-244。3,

即可得出/MPN=18()o-2NAOB,代入求解即可.

【詳解】解：如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)片、P2,連接《打交04于M,

交0B于N,

：.OPl=OP=OP2,=ZMPO,ZNPO=ZNP2O,

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得"P=PtM,PN=P2N,

APMN的周長(zhǎng)的最小值為PtP2長(zhǎng)度，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得/片。心=2ZAOB,

等腰△。片舄中，

/0片鳥+/066=180。一/《。鳥=180。-2/408,

/.ZMPN=ZOPM+ZOPN=ZOPtM+ZOP2N

=NO唯+NOg4，

=180°-2ZAOS,

=92°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，正確作

出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)尸是8的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EG,DG,

當(dāng)△DEG的周長(zhǎng)最小時(shí)，則/EGD=()

A

A.36°B.60°C.72°D.108°

【答案】C

【分析】如圖，連接EC,GC,設(shè)EC交A尸于點(diǎn)G一連接。G.證明當(dāng)點(diǎn)G與G，重合時(shí),

EG+0G的值最小，△DEG的周長(zhǎng)最小，即求出NEGD可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接EC,GC,設(shè)EC交A/于點(diǎn)Gl連接。Gl

???正五邊形A3COE中，點(diǎn)尸是0C的中點(diǎn)，AF±DC,

：.D,C關(guān)于A美對(duì)稱,

：.GD=GC,

■:EG+GD=EG^GC>EC,

???當(dāng)點(diǎn)G與G，重合時(shí)，EG+OG的值最小，AOEG的周長(zhǎng)最小,

???A3CD￡是正五邊形，

：.ED=DC,ZE￡)C=108°,

???ZDEC=ZDCE=36°,

,:GD=GC,

：.NGDC=/DCG=36。,

：.ZDGrC=108°,

，ZEG'D=1800-ZDG'C=180°-l08°=72°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用

軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考常考題型.

5.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AO上，連接BE,在

BE的下方作等邊△班F,連接。廳當(dāng)ABDF的周長(zhǎng)最小時(shí)，/BN"的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于b的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,DG,則當(dāng)B,F,G在同一直線上時(shí)，&BDF

的周長(zhǎng)最小，等于線段BG長(zhǎng)，然后根據(jù)已知條件和等邊三角形的性質(zhì)可以得到FB=FC,

BD=CD,從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到NBDFM.

【詳解】解：如圖，連接CR

AABC,ABEF都是等邊三角形，

/.AB^BC^AC,BE=EF=BF,

NBAC=NABC=NACB=NEBF=NBEF=NBFE=&)。,

ZABC-Z.EBD=ZEBF-NEBD,

：.ZABE=NCBF,

AB=BC

在△BAE和ABCF中，,NABE=NCBF,；.ABAE學(xué)ABCF(SAS),

BE=BF

：.NBCF=/BAD=30。,

如圖，作點(diǎn)。關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,DG,則RD=FG,

...當(dāng)8,F,G在同一直線上時(shí)，止+3廠的最小值等于線段BG長(zhǎng)，ABOF的周長(zhǎng)最小,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得/DCG=2/3CF=60。，CD=CG,

.?.△OCG是等邊三角形，

DG=DC=DB,

：.ZDBF=ZDGB=-ZCDG=3Q°=ZBCF,

2

FB=FC,

又?：BD=CD,

，ZBDF=9Q°,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的綜合應(yīng)用，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、

等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題

6.已知，如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)M,N分別是邊。4,。8上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,。分別是邊。8,

。4上的動(dòng)點(diǎn)，記NMPQ=a,/PQN=/3,當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則/一.

【答案】60。##60度

【分析】作M關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)AT,N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)M,連接交0A于Q,交03

于尸，則MP+PQ+QN最小易知/OPM=NOPAT=NNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,根

據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)AT,N關(guān)于。1的對(duì)稱點(diǎn)M,連接交0A

于。，交0B于P,則MP+PQ+QV最小，

Z0PM=ZOPM'=ZNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,

；./QPN=g(180°-a)=ZAOB+ZMQP=30°+；(180°-p),

.?.1800-a=60°+(180°-p),

Ap-a=60°,

故答案為：60.

A

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問題、三角形的內(nèi)角和定理.三角形的外角的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)作出輔助線解決問題.

7.如圖，在銳角AABC中，NBAC=40。，NBAC的平分線交2C于點(diǎn)。，M,N分別是AD

和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BM+MN有最小值時(shí)，ZABM=°.

c

【答案】50

【分析】在AC上截取可證AAME會(huì)△AMN,當(dāng)+有最小值時(shí)，貝是

點(diǎn)B到直線AC的距離即BELAC,代入度數(shù)即可求的值；

【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN,連接BE,

,/ZBAC的平分線交于點(diǎn)。，

ZEAM=ZNAM,

"：AM=AM,

.,.△AME^AAW,

：.ME=MN,

：.BM+MN=BM+ME>BE.

有最小值.

當(dāng)BE是點(diǎn)、B到直線AC的距離時(shí)，BELAC,

：.ZABM=90o-ZBAC=90°-40o=50°；

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱一最短路線問題，通過最短路線求出角度；解答此類問題時(shí)要

從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最短路線，

代入即可求出度數(shù).

8.如圖，點(diǎn)尸是/AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，/AOB=48。，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線

上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△的周長(zhǎng)為最小時(shí)，的度數(shù)為度.

【答案】84

【分析】作尸點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EO,EM,得ME=MP,ZMPO=NOEM；

作尸點(diǎn)關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接NF,PF,OF,得PN=FN,/OPN=/OFN；根據(jù)

PM+PN+MN=EM+NF+MNNEF；E,M,N,尸共線時(shí)，APMN周長(zhǎng)最短，再根

據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，即可求出NMPN的角度.

【詳解】作尸點(diǎn)關(guān)于03的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EO,EM；

:.EM=MP,ZMPO=ZOEM,ZEOM=ZMOP

作尸點(diǎn)關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接NP,PF,OF,

：.PN=FN,NOPN=ZOFN,ZPON=ZNOF

：.PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF

當(dāng)E,M,N,尸共線時(shí)，APMN周長(zhǎng)最短

又??Z.EOF=ZEOM+ZMOP+/PON+ZNOF

ZAOB=ZMOP+ZPON

：.ZEOF=2ZAOB

又：ZAOB=48°

ZEOF=96°

...在AEOF中，ZOEM+ZOFN+NEOF=180°

ZOEM+ZOFN=180°-96°=84°

VZMPO=ZOEM,ZOPN=ZOFN

：.ZMPO+NOPN=84°

"?4MPN=ZMPO+OPN=84°

故答案為：84.

E

B

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的最短路徑問題,解題的關(guān)鍵是做出對(duì)稱點(diǎn)，找到共線時(shí)路徑最短，

利用對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)角等量代換.

9.如圖，點(diǎn)尸為ZAO8內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于。4、的對(duì)稱點(diǎn)片、P2,連接々巴交。4

于交0B于N.若NAO8=30。，則/片。鳥=.

【答案】60?##60度

【分析】連接A。，0P2,PO,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)證明/耳。4=乙4。尸，NPqB=NBOP,即

可作答.

【詳解】解：連接A。，0P2,PO,如圖，

:點(diǎn)P關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)片，

Pfl=OP,PtPLOA,

Q4平分/片0尸，

/.ZPtOA=ZAOP,

同理可證明：ZP2OB=ZBOP,

'：ZPOA+Z.BOP=ZAOB,ZAOB=30°,

ZPOA+ZBOP=30°,

：.“OB+，AO6=30?,

ZPpR,=ZP2OB+ZAOP+ZAOB,

：.4。鳥=30°+30°=60°,

故答案為：60?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱的性質(zhì)，掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)用恰好落在CO上，若

ABAD=100°,則ZACB的度數(shù)為

【答案】40°

【分析】連接AB',BB',過A作AE_LCD于瓦依據(jù)NBAC=N"AC,ZDAE=ZB,AE,即

可得出再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到

ZACB=ZACB'=900-ZCAE.

【詳解】解：如圖，連接A8',BB'，過A作AELCD于E,如圖所示：

點(diǎn)6關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)"恰好落在8上，

.〔AC垂直平分32,

:.AB=AB',

r

ABAC=ZBACf

\AB=AD,

:.AD=ABr,

又QAE_LCD,

:.ZDAE=ZBfAE,

ZCAE=ZB'AC+ZB'AE=-ZBAD=50°,

2

又?.?NAEC=90。，

ZACB=ZACBf=90°-ZCAE=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三線合一，直角三角形兩銳角

互余，解決問題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線.

11.如圖，P是/AO3內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)跖N分別在邊08上運(yùn)動(dòng).若ZAOB=30。,OP=3近,

則APMN的周長(zhǎng)最小值為,此時(shí)NMPN的度數(shù)為.

【答案】3正120°

【分析】如圖，作P關(guān)于04,OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D.連接0C,OD.則當(dāng)N是CD與

OA,。8的交點(diǎn)時(shí)，APKN的周長(zhǎng)最短，最短的值是C。的長(zhǎng).根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得:

△COO是等邊三角形，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：如圖，作尸關(guān)于。4,。2的對(duì)稱點(diǎn)C,D.連接0C,0D.則當(dāng)M,N是CD

與04,08的交點(diǎn)時(shí)，APMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng).

；點(diǎn)P關(guān)于0N的對(duì)稱點(diǎn)為C,

：.PM=CM,0P=0C,ZCOA=ZPOA,ZMCO=ZMPO；

,/點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D,

：.PN=DN,OP=OD,ZD0B=ZP0B,ZNDO=ZNPO,

OC=OD=OP=3近，

ZCOD=ZC0A+ZP0A+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60°,

.?.△CO。是等邊三角形，

:.CD=0C=0D=36,/NDO=/NPO=60°,ZMCO=ZMPO=60°；

：.4PMN的周長(zhǎng)的最小值=m1+W斗氏7=。/+知川+￡）稔儀）=30',

ZMPN=ZMPO+NNP8120°；

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí).正確作出圖

形，解題的關(guān)鍵是理解APMN周長(zhǎng)最小的條件.

12.小茗同學(xué)在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因?yàn)槭澄锉人螅运岬煤苄?/p>

苦.但是它不放棄，一直慢慢往回爬.一會(huì)它咬住食物使勁往后拖，一會(huì)又咬住食物來回轉(zhuǎn)

圈，小茗同學(xué)急的想幫它.于是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)花圃的形狀，如圖，是一個(gè)

銳角三角形，且/ACB=50。，邊AB上一定點(diǎn)P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線

尋找食物，線路是從尸出發(fā)走到AG再?gòu)?c走到BC,最后回到家.假設(shè)M、N分別是

AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，小茗同學(xué)想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當(dāng)小螞蟻行

走路線所構(gòu)成的△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，ZMPN的度數(shù)為.

【答案】80。

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，作點(diǎn)尸關(guān)于AC,的對(duì)稱點(diǎn)。，G,連

接PD,PG分別交AC,BC于E,F,連接OG交AC于交BC于N,連接尸PN,可

得PM=DM,PN=NG,此時(shí)APMN周長(zhǎng)最小.根據(jù)內(nèi)角和的性質(zhì)，求得NC+/EP尸=180。，

由/C=50。，易求得/Z）+/G=50。，繼而求得答案.

【詳解】“

作點(diǎn)P關(guān)于AC,BC的對(duì)稱點(diǎn)。，G,連接PD,PG分別交AC,BC于E,F,連接。G交

AC于M,交BC于N,連接尸M,PN.

：.PD±AC,PG1,BC

：.ZPEC=ZPFC=90°

PM=DM,PN=NG

△PMN周長(zhǎng)最小

ZC+ZEPF+ZPEC+ZPFC=360°

；./C+NEPf=180°

VZC=50°

Z￡P(guān)F=130°

又：ZD+ZG+Z￡P(guān)F=180°

ZD+ZG=180°-ZEPF=180°—130°=50°

由對(duì)稱可知：/G=NGPN,ZD=ZDPM

：.ZGPN+ZDPM=5Q°

:./MPN=/EPF-QGPN+/DPM)=130°-50°=80°

故答案為：80°

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，涉及到對(duì)稱的性質(zhì)、線段性質(zhì)、四邊

形和三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱并靈活運(yùn)用，屬于易錯(cuò)題型.

13.如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別取一點(diǎn)

M,N,使AAMN的周長(zhǎng)最小，則NM4N=°.

【分析】作點(diǎn)4關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A/、A2,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接4、

4分別交BC、DC于點(diǎn)M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出NA/+NA2,再根據(jù)軸對(duì)

稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得/K4N.

【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于2C、CD的對(duì)稱點(diǎn)4八A2,連接4、4分另U交BC、0c于點(diǎn)M、

N,連接AM、AN,則此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，

也

VZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

：.ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

???ZA7+ZA2=180°-130°=50°,

???點(diǎn)A關(guān)于3C、CO的對(duì)稱點(diǎn)為4、A2,

：.NA=NA2,MA=MAlf

：.ZA2=ZNADfZAi=ZMAB,

：.ZNAD+ZMAB=ZAI+ZA2=50°,

：.ZMAN=ZBAD-(NMW+NMA3)

=130°-50°

=80°,

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問題，利用軸對(duì)稱將三角形周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線

段最短問題是解決本題的關(guān)鍵.

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,NA4C=124。，點(diǎn)。在邊上，△A3。、關(guān)于

直線AO對(duì)稱，NE4C的角平分線交3C邊于點(diǎn)G,連接/G,ZBAD=0,當(dāng)。的值等于—

時(shí)，△。廠G是以。尸為腰的等腰三角形.

A

【答案】28。或31。

【分析】首先由軸對(duì)稱可以得出△AO32△ADR就可以得出N8=NAfD,AB=AF,在證

明4AG尸0ZVIGC就可以得出NA尸G=NC,就可以求出NOFG的值；再分兩種情況討論解

答即可，當(dāng)。尸=G尸時(shí)，當(dāng)=DG時(shí)，從而求出結(jié)論.

【詳解】解：U：AB=AC,ZBAC=124°,

：.ZB=ZC=2S°.

*.?AAB￡>和^AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，

JAADB/AADF,

：.ZB=ZAFD^28°,AB=AF,NBAD=NFAD=e,

：.AF=AC.

TAG平分NE4C,

：.ZFAG=ZCAG.

：.AAGF^AAGC(SAS),

:.ZAFG=ZC.

丁ZDFG=ZAFD-^-ZAFG,

：.ZDFG=ZB+ZC=28°+28°=56°.

①當(dāng)。尸=G尸時(shí)，

/FDG=ZFGD.

ZDFG=56°,

：.ZFDG=ZFGD=62°,

'：ZADG=4+6=28。+仇

???ZADF=ZA￡>G+ZG￡>F=28+<9+62°,

???乙4。3=28。+9+62。，

?.,ZADB+ZB+6>=180°

28。+8+62。+28。+夕=180°,

,?.8=31。.

②當(dāng)。尸=DG時(shí)，

，ZDFG=ZDGF=56°,

：.ZGDF=180°-56°-56°=68°,

ZADG=ZB+6i=28°+(9,

ZADF=ZADG+ZGDF=28°+6H-68°,

ZADB=280+0+68°,

,：ZADB+ZB+0^180°,

：.28°+6+68°+28°+，=180°,

A61=28°.

...當(dāng)8=28。或31。時(shí)，△DFG為等腰三角形.

故答案為：28。或31。.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的

判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵.

三、解答題

15.(1)如圖1,AD是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形A3c的中線，點(diǎn)P、E分別在AD、AC上,

且AE=1則PC+PE的最小值為cm；

(2)如圖2,在四邊形ABC。的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)尸，使=(保留作圖痕

跡，并對(duì)作圖方法進(jìn)行說明)

圖1圖2

【答案】(1)713；(2)見解析

【分析】(1)作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CGLM,連接尸尸，則尸E=當(dāng)

尸,EC三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PE最小,最小值為CP的長(zhǎng)，進(jìn)而勾股定理求解即可；

(2)作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接QE并延長(zhǎng)，交AC于P,點(diǎn)P即為所求，連接3尸，

則NAPB=ZAPD.

【詳解】(1)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CGLAB,連接尸尸，則尸石=尸尸，

A

..PC+PE=PC+PF>CF

當(dāng)尸,EC三點(diǎn)共線時(shí)，尸C+PE最小，最小值即CP的長(zhǎng)，

?：AE=\

:.AF=\

?zMC是等邊三角形，

AC=CB

■.■CGLAB

AG=BG^-AB=2

2

:.FG=1

在R/AAGC中,CG=,3-芯=依-2?=

在WACFG中，CF=VCG2+GF2=J(2A/3)2+12=713

PC+PE的最小值為舊

(2)如圖，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接OE并延長(zhǎng)，交AC于P,點(diǎn)尸即為所求，連接

BP,貝

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，作軸對(duì)稱圖形，掌握軸

對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，例如圖中點(diǎn)

A(0,4)、2(4,2)僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖并回答問題：

（1）作出線段AB關(guān)于y軸對(duì)稱的線段49,并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）；

（2）過點(diǎn)A作一直線/,使得//線段（保留畫圖過程的痕跡）；

（3）在x軸上找點(diǎn)使=（保留畫圖過程的痕跡）.

【答案】（1）見解析，點(diǎn)。為（T,2）；（2）見解析；（2）見解析

【分析】（1）作出點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，連接AO即可，點(diǎn)。的坐標(biāo)直接從坐標(biāo)系中讀出即可；

（2）使用無刻度的三角尺的一直角邊與AB邊重合，然后在直角三角尺的另一邊作直線即

可；

（3）先作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),，然后連接N8',與x軸交于點(diǎn)M即為所求.

【詳解】解：（D如圖，點(diǎn)。為（-4,2）

（2）如圖所示；

（3）如圖所示：先作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)山，連接N夕，與x軸交于點(diǎn)即為所求；

【點(diǎn)睛】題目主要考查作軸對(duì)稱圖形、作已知直線的垂線、等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握

圖形的作法是解題關(guān)鍵.

17.在AABC中，ZC=90°,AC=BC=2,直線8C上有一點(diǎn)P,連接AP,AM、4V分

別為A尸關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱線段.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時(shí)，求/M4N和的度數(shù)；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖2；

②探究是否存在點(diǎn)尸，使得黑=3,若存在，直接寫出滿足條件時(shí)CP的長(zhǎng)度；若不存在，

說明理由.

【答案】（1）/眩W=90。，Z.MBC=9Q°

⑵①見解析；②PC=1或4

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出NC4B=/CBA=45。，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可

得/NAC=/CAP,ZPAB=ZMAB,ZABP=ZABM,結(jié)合圖形求解即可；

（2）①依據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)補(bǔ)全圖形即可；

②根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PC=CN,設(shè)CP=C7V=x,則3N=2—x或x-2,

BM=PB=2+x,利用粵~=3和線段的和差列出方程求解即可.

BN

【詳解】(1)???/C=90。，CA=CBf

^CAB=^CBA=45°f

■：M,N分別為點(diǎn)尸關(guān)于直線AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)，

:.NPAC=NNAC,/PAB=/MAB,ZABP=ZABM=45°,

/MAN=2(^PAC+/PAB)=90°,

NMBC=45°+45°=90°.

(2)①圖形如圖所示.

②存在.

設(shè)CP=CN=x,則3N=2—x或x-2,BM=PB=2+x,

—=3,

BN

2+x2+x

--=3或--=3,

2—xx—2

.,.x=l或4.

經(jīng)檢驗(yàn)x=l或4為方程的解,

..PC=1或4.

N

【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，角度的計(jì)算，分式方程的應(yīng)用等，理解題意，熟

練掌握運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

18.如圖，AABC和AAB'C'關(guān)于直線對(duì)稱，△4夕。'和2\4"3〃。"關(guān)于直線所對(duì)稱.

N

(1)畫出直線ER;

(2)直線MN與E尸相交于點(diǎn)。，試探究/3O3"與直線MN、E尸所夾銳角。的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)ZBOB"=2a

【分析】(1)找到并連接關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)的連線的垂直平分線；

(2)根據(jù)對(duì)稱找到相等的角，然后進(jìn)行推理.

【詳解】解：(1)如圖，連接

作線段B'B"的垂直平分線EF.

則直線EF是AAB'C和AA"B?C"的對(duì)稱軸；

(2)如圖，連接3'。.

；△ABC和AAB'C關(guān)于直線MN對(duì)稱，

NBOM=ZB'OM.

又^AB'C和△A”B"C"關(guān)于直線EF對(duì)稱,：.ZB'OE=AB"OE.

：.Z.BOB"=ZBOM+ZB'OM+ZB'OE+ZB"OE=2(ZB'OM+ZB'OE)=la,

即NBOB"=2a.

【點(diǎn)睛】解答此題要明確軸對(duì)稱的性質(zhì):

1.對(duì)稱軸是一條直線.

2.垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線.線段垂直平分線

上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

3.在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸兩側(cè)的距離相等.

4.在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸把圖形分成完全相等的兩份.

5.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

19.如圖①，在AAB。中；ZA=60°,AD=2AB=4cm,將△AB。繞BO中點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。

得到ACQB,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A—B—C以lcm/s的速度向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接尸￡,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).

圖1圖2

(1)BC=；

(2)用含有t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)尸￡將四邊形A2C。的周長(zhǎng)分成2:3兩部分時(shí)，求r的值；

⑷如圖②.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，作點(diǎn)A關(guān)于直線尸￡的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4E.當(dāng)AE所在

直線與四邊形ABCD的邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出/AEP的度數(shù).

【答案】⑴4cm

(2)見解析

⑶餐彳或「彳

(4)15°或45°或105°或135°

【分析】(1)AABD繞2。中點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到ACDB,則CB=AD=4cm；

(2)由A￡)=2AB=4cm得AB=2cm,當(dāng)點(diǎn)尸在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則(2-f)cm；當(dāng)點(diǎn)P

在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則PB=(f-2)cm；

(3)先求出四邊形4BCO的周長(zhǎng)為12cm,AE=gAO=2cm,由PE將四邊形ABC。的周長(zhǎng)

23

分成2：3兩部分可列方程2+=12xg或2+=12xg,解方程求出方的值即可；

(4)先證明NAEP=N4E尸=gNAEA/,再分四種情況討論，一是4EL45于點(diǎn)尸，且

點(diǎn)尸在A8上，二是且點(diǎn)尸在A3上，三是4KLA3,且點(diǎn)P在3C上，四是4

E±ADf且點(diǎn)尸在5c上，求出相應(yīng)的NAE尸的度數(shù)即可.

(1)

?.,AABD繞3。中點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△CDB,

C3=AD=4cm,

故答案為：4cm；

(2)

如圖1,

*/AD=2AB=4cm,

.\AB=2cmf

.\AB+BC=6cm,

當(dāng)OS區(qū)2時(shí)，PB=(2-r)cm；

當(dāng)2〈云6時(shí)，PB=G-2)cm.

(3)

*.*CD—AB—2cm,

：.AB+CB+CD+AD=2x2+4x2=12(cm),

???E為AO的中點(diǎn)，

/?AE=AD—2cmf

???尸石將四邊形A3CD的周長(zhǎng)分成2：3兩部分,

23

2+/=12x—或2+f=12x—,

解得'=g或t=~^~'

即r的值為1或者暫；

(4)

,/點(diǎn)4與點(diǎn)A關(guān)于直線PE成軸對(duì)稱，

...點(diǎn)P、點(diǎn)E都在對(duì)稱軸上，

:.△「從￡：與4B4E關(guān)于直線PE■成軸對(duì)稱，

ZAEP=ZAfEP=；ZAEAf,

如圖2,于點(diǎn)八且點(diǎn)P在48上,

圖2

VZAFE=90°,ZA=60°,

NAE&=30。，

ZAEP=1x30°=15°,

如圖3,A^EIAD,且點(diǎn)尸在AB上,

圖3

ZAEAZ=90°,

ZA￡P(guān)=1x90°=45°；

如圖4,A,E±AB,且點(diǎn)尸在BC上,

延長(zhǎng)4E交AB于點(diǎn)色則/AF￡=90。,

ZAEF=30°,

：.ZAEAZ=180°-30°=150°,

ZAEP=^x(360°-150°)=105°；

；?如圖5,A：ELAD,且點(diǎn)P在BC上,

P

C

A'

圖5

:NAEA'=90°,

AZAEP=|x(360°-90°)=135°,

綜上所述，ZAEP的度數(shù)為15。或45。或105。或135。.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論、列方程解

應(yīng)用題、動(dòng)點(diǎn)問題的求解、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性

強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題.

20.【定義】如圖1,平分-493,則稱射線。民。4關(guān)于對(duì)稱.

⑴【理解題意】如圖1,射線02,04關(guān)于加對(duì)稱且-408=45。，則______度；

(2)【應(yīng)用實(shí)際】如圖2,若24。8=45。,。尸在一493內(nèi)部，。尸,。6關(guān)于。8對(duì)稱，。尸，。鳥

關(guān)于0A對(duì)稱，求/片。心的度數(shù)；

(3汝口圖3,若NAO8=45。,。尸在外部，且O'<NAOP<45。,。尸,。《關(guān)于08對(duì)稱，

。尸鳥關(guān)于Q4對(duì)稱，求/片。丹的度數(shù)；

(4)【拓展提升】如圖4,若/493=45。,。尸,。4關(guān)于一403的03邊對(duì)稱，

ZAOP}=AZBOPy,求-AOP.(直接寫出答案)

【答案】⑴22.5

(2)ZPIOP2=90°

(3)NB。尸2=90°

4OP=30°或54°

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)0P和0B關(guān)于對(duì)稱，得到根據(jù)0尸和0P2關(guān)于0A對(duì)稱，

得至|JNPOP2=2/AOP,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)0P和。尸/關(guān)于OB對(duì)稱，得至lj/POB=2/BOP,根據(jù)O尸和