自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院第五章線性系統的頻域分析5.1頻率特性5.2典型環節的頻率特性5.3系統開環頻率特性的繪制5.4Nyquist穩定判據和系統的相對穩定性5.5閉環系統的頻域性能指標5.6Matlab在系統頻域分析中的應用5.1頻率特性式中，τ=RC。圖5-1RC電路頻率特性的基本概念

對于圖5-1所示的RC電路，其傳遞函數為所以有設輸入電壓為正弦信號，其時域和復域描述為將其進行拉氏反變換，得結論：當電路輸入為正弦信號時，其輸出的穩態響應（頻率響應）也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發生了變化，其變化取決于ω。uo(t)表達式中第一項是暫態分量，第二項是穩態分量。顯然上述RC電路的穩態響應為：在傳遞函數中，取s=jω，則有式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩態響應與輸入正弦信號的復數比，且G(jω)=G(s)|s=jω

。幅頻特性A(ω)：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。相頻特性

(ω)：輸出信號的相角與輸入信號的相角之差。設輸入正弦信號為2.控制系統在正弦信號作用下的穩態輸出

對于n階線性系統的閉環傳遞函數其中p1，p2，…，pn為n個互異的閉環特征根。因此有，ct(t)和cs(t)分別為系統的暫態分量和穩態分量。拉氏反變換得對于穩定的系統，其極點均具有負實部，有，則系統在正弦信號作用下的穩態輸出為：因為G(s)是實系數有理函數，則有其中，從而有式中，穩態輸出的振幅和相位分別為:由此可見，線性系統在正弦輸入下，輸出的穩態值是和輸入同頻率的正弦信號。輸出振幅是輸入振幅的|G(jω)|倍，輸出相位與輸入相位相差∠G(jω)度。幅頻A(ω)和相頻

(ω)統稱幅相頻率特性。3.頻率特性的定義相頻特性：線性系統在正弦輸入作用下，穩態輸出相位與輸入相位之差，用

(ω)表示。幅頻特性：線性系統在正弦輸入作用下，穩態輸出振幅與輸入振幅之比，用A(ω)表示。頻率特性：線性系統正弦輸入作用下，輸出穩態分量和輸入的復數比（也就是幅相頻率特性，簡稱幅相特性）。頻率特性與傳遞函數之間的關系：可見，將傳遞函數中s用jω代替即得頻率特性表達式。頻率特性不只是對系統而言，其概念對控制元件、部件等均適用。頻率特性只適用于線性定常模型，否則不能用拉氏變換求解，也不存在這種穩態對應關系。前面在推導頻率特性時假設系統穩定。如果系統不穩定，則動態過程c(t)最終不可能趨于穩態振蕩cs(t)。但理論上推導動態過程時，它的穩態分量總可以分離出來，而且其規律性不依賴于系統的穩定性。因此將頻率特性的概念擴展為線性定常系統正弦輸入作用下，輸出穩態分量和輸入的復數比。關于頻率特性的幾點說明：由頻率特性的表達式G(jω)可知，其包含了系統或元部件的全部結構和參數。故盡管頻率特性是一種穩態響應，而動態過程的規律性必將寓于其中。所以頻域分析法就是運用穩態的頻率特性間接研究系統的動態響應，從而避免了直接求解高階微分方程的困難。穩定系統的頻率特性可由實驗方法確定。穩定系統的頻率特性為輸出信號的傅氏變換與輸入信號的傅氏變換之比，這是頻率特性的物理意義。

(ω)大于零時稱為相角超前，小于零時稱為相角滯后?？刂葡到y微分方程傳遞函數頻率特性s=ps=jωjω=p頻率特性、傳遞函數和微分方程三種系統描述之間的關系頻率特性與微分方程和傳遞函數一樣，也表征了系統的運動規律，成為系統頻域分析的理論依據。4.頻率特性的幾何表示法(1)幅頻特性、相頻特性、幅相特性幅頻特性曲線以頻率ω為橫坐標，以幅頻A(ω)為縱坐標，畫出A(ω)隨頻率ω變化的曲線。相頻特性曲線以頻率ω為橫坐標，以幅頻

(ω)為縱坐標，畫出

(ω)隨頻率ω變化的曲線。圖5-2RC電路的幅頻和相頻特性ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20

(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90幅相特性曲線——Nyquist圖幅相特性曲線是將頻率ω作為參變量，將幅頻與相頻特性同時表示在復數平面上。圖上實軸正方向為相角零度線，逆時針旋轉為正。將G(jω)分為實部和虛部(代數表示)，即X(ω)和Y(ω)分別稱為實頻特性和虛頻特性。取橫坐標X(ω)，縱坐標表示Y(ω)，也可得到系統的幅相曲線。圖5-3RC電路的乃氏圖ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20

(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90(2)對數頻率特性——Bode圖在工程實際中，常常將頻率特性畫成對數坐標圖形式，這種對數頻率特性曲線又稱Bode圖，由對數幅頻特性和對數相頻特性組成。Bode圖的橫坐標按lgω分度（10為底的常用對數），即對數分度，單位為弧度/秒（rad/s）對數幅頻曲線的縱坐標按線性分度，單位是分貝（dB）。對數相頻曲線縱坐標按

(ω)線性分度，單位是度。由此構成的坐標系稱為半對數坐標系。對數分度和線性分度

圖5-4

對數分度和線性分度兩點說明：對數頻率特性采用ω的對數分度實現了橫坐標的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對數幅頻特性則將幅值的乘除運算化為加減運算，可以簡化曲線的繪制過程。令τ=1，則用MATLAB畫出上述RC電路的伯德圖如圖5-5所示

bode([1],[11])圖5-5RC電路的Bode圖5.2典型環節的頻率特性用頻域分析法研究控制系統的穩定性和動態響應時，是根據系統的開環頻率特性進行的，而控制系統的開環頻率特性通常是由若干典型環節的頻率特性組成的。本節介紹七種常用的典型環節。顯然，它與頻率無關。相應的幅頻特性和相頻特性和對數幅頻特性和相頻特性為：

比例環節的頻率特性為一、比例環節

圖5-6比例環節的Nyquist圖圖5-7比例環節的Bode圖積分環節的頻率特性為：圖5-8積分環節的Nyquist圖其幅頻特性和相頻特性為：幅頻特性與角頻率ω成反比，相頻特性恒為－90°。二、積分環節

圖5-9

積分環節的Bode圖對數幅頻特性為一條斜率為－20dB/dec的直線，此線通過L(ω)=0，ω=1的點。其對數幅頻特性和相頻特性為：微分環節的頻率特性為：其幅頻特性和相頻特性為：圖5-10

微分環節的Nyquist圖微分環節的幅頻特性等于角頻率ω，而相頻特性恒為90°。三、微分環節圖5-11

微分環節的Bode圖對數幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，它與0dB線交于ω=1點。對數幅頻特性和相頻特性為：慣性環節的頻率特性寫成實部和虛部形式，即幅頻特性和相頻特性慣性環節的Nyquist圖是圓心在（0.5，0），半徑為0.5的半圓。

四、慣性環節

圖5-12

慣性環節的Nyquist圖對數幅頻特性和相頻特性為：慣性環節對數幅頻特性曲線為圖5-13的漸近線。ω＝1/T是兩條漸近線的交點，稱為交接頻率，或叫轉折頻率、轉角頻率。(這是一個很重要的概念！)。高頻段：低頻段：圖5-13

慣性環節的Bode圖0.10.20.512510－0.04－0.17－0.97－3.01－0.97－0.17－0.04兩點說明：慣性環節對數幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差

圖5-14

慣性環節的誤差曲線

(ω)是關于ω＝1/T,

(ω)=-45°點中心對稱的。0.10.130.20.250.330.51-6-7-11-14-18-27-452345810-63-72-76-79-83-84幅頻特性和相頻特性和對數幅頻特性和相頻特性為:五、一階微分環節

頻率特性:一階微分環節的Bode圖（如圖5-16所示）與慣性環節的Bode圖（如圖5-13所示）關于橫軸對稱。

圖5-15一階微分環節的Nyquist圖圖5-16

一階微分環節的Bode圖幅頻特性和相頻特性：六、二階振蕩環節

頻率特性：圖5-17

二階振蕩環節的Nyquist圖頻率特性的端點取值：為分析A(ω)的變化，求A(ω)的極值，即令

得諧振頻率

求得諧振峰值

可見ωr，Mr均為阻尼比ζ的減函數。

當

因為

時，Mr=1。

當

時，且ω∈(0,ωr)時，A(ω)

單調增；ω∈(ωr，∞)時，A(ω)

單調減。當

時，A(ω)

單調減。二階振蕩環節Bode圖可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示（如圖5-18所示）。二階振蕩環節的對數幅頻特性可作如下簡化：高頻段：低頻段：圖5-18二階振蕩環節的Bode圖說明：低頻段和高頻段的兩條直線相交處的交接頻率為ω=1/T，稱為振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近，對數幅頻特性與漸近線存在一定的誤差，其值取決于阻尼比ζ的值，阻尼比越小，則誤差越大。z

wT0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.08-0.47-1.41-2.92-1.41-0.470.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.30-6.20-4.30-2.76-1.29-0.34-0.086二階振蕩環節對數幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差（dB）5-19

振蕩環節的誤差修正曲線

二階微分環節的傳遞函數為：

其頻率特性為：

幅頻特性為：

相頻特性為：七、二階微分環節對數幅頻特性為：