2025/4/15第九章計算機采樣控制系統1控制工程基礎第八章計算機采樣控制系統（2）陳鳳祥

2025/4/15第九章計算機采樣控制系統2主要內容

采樣控制系統的數學模型采樣控制系統的性能分析本章小結2025/4/15第九章計算機采樣控制系統3脈沖傳遞函數（1）其脈沖傳遞函數G(z)定義為：在零初始條件下，系統（或環節）輸出采樣脈沖函數的Z變換和輸入采樣脈沖函數的Z變換之比稱為系統（或環節）的脈沖傳遞函數或Z傳遞函數。脈沖傳遞函數的定義:對于如下線性時不變采樣系統(或環節）2025/4/15第九章計算機采樣控制系統4脈沖傳遞函數（2）

一個采樣系統，輸出實際上是連續信號。為了能應用脈沖傳遞函數描述該系統，可以人為在輸出端虛設一個與輸入同步采樣的采樣開關，以該采樣開關的采樣脈沖輸出信號作為該系統或環節的輸出信號。如下圖所示：G(s)G(z)r(t)C(t)2025/4/15第九章計算機采樣控制系統5脈沖傳遞函數（3）單位脈沖響應：當理想脈沖函數激勵一個系統（或環節）G(s)時，系統的響應稱為“系統的單位脈沖響應”。系統的傳遞函數根據定義可求出G(s)2025/4/15第九章計算機采樣控制系統6脈沖傳遞函數（4）

同理：當理想采樣脈沖函數激勵一個系統（或環節）G(s)時，系統產生響應“單位脈沖響應”。的采樣脈沖序列為亦稱權序列。

根據Z傳遞函數定義，系統的Z傳遞函數.

或G(s)相反2025/4/15第九章計算機采樣控制系統7脈沖傳遞函數（5）以上的分析表明：

一個系統（或環節）脈沖傳遞函數就是該系統（或環節）單位脈沖響應的采樣脈沖序列g(kT)的Z變換。通常系統（或環節）的傳遞函數G(s)是已知的，由G(s)可求出其單位脈沖響應函數g(t），再對離散化后的單位脈沖時間序列求Z變換，從而求得系統的脈沖傳遞函數G(z)。因此，也常用以下的符號表示求一個系統的Z變換即符號、和、是等價的。2025/4/15第九章計算機采樣控制系統8脈沖傳遞函數（6）如果系統的輸入為任意函數的采樣脈沖序列，其Z變換為R(z),則由脈沖傳遞函數定義其反變換脈沖傳遞函數的求法1)由連續系統（或環節）的傳遞函數G(s)求相應離散系統(或環節）的脈沖傳遞函數可以采用下例的部分分式法。2025/4/15第九章計算機采樣控制系統9脈沖傳遞函數（7）例：對以下采樣系統求當時的脈沖傳遞函數G(z).解：2025/4/15第九章計算機采樣控制系統10脈沖傳遞函數（8）2.根據系統的差分方程求系統的Z變換已知一個系統（或環節）的差分方程該系統（或環節）的脈沖傳遞函數，可通過對差分方程的兩邊分別求Z變換直接得到2025/4/15第九章計算機采樣控制系統11脈沖傳遞函數（9）環節串聯時的脈沖傳遞函數

兩種不同的串聯結構：1.兩連續環節間有采樣開關隔開2.兩連續環節間無采樣開關隔開

實際系統是由一些基本環節組成的，環節之間又以一定的方式相互聯系著。最基本的聯系形式有三種：串連、并聯和反饋。2025/4/15第九章計算機采樣控制系統12

脈沖傳遞函數（10）1.有采樣開關分隔的兩個環節串聯時，其脈沖傳遞函數等于各環節的脈沖傳遞函數之積。

將X(z)代入C(z)

2.沒有采樣開關分隔的兩環節串聯時，其脈沖傳遞函數為各個環節傳遞函數乘積的Z變換。注意！2025/4/15第九章計算機采樣控制系統13脈沖傳遞函數（11）例9[9-9]以上的結論可以推廣到n個串聯環節情況；1)2)2025/4/15第九章計算機采樣控制系統14脈沖傳遞函數（12）環節并聯時的脈沖傳遞函數

帶保持器的廣義控制對象脈沖傳遞函數控制器T2025/4/15第九章計算機采樣控制系統15脈沖傳遞函數（13）

為控制對象的傳遞函數；為保持器的傳遞函數；2025/4/15第九章計算機采樣控制系統16脈沖傳遞函數（14）令并根據前面介紹的環節串、并聯脈沖傳遞函數求取方法，參照上圖，則帶保持器的廣義控制對象脈沖傳遞函數故2025/4/15第九章計算機采樣控制系統17脈沖傳遞函數（15）例:已知控制對象傳遞函數，求廣義控制對象的脈沖傳遞函數。解：利用分式法

2025/4/15第九章計算機采樣控制系統18脈沖傳遞函數（16）其中：2025/4/15第九章計算機采樣控制系統19脈沖傳遞函數（17）2025/4/15第九章計算機采樣控制系統20脈沖傳遞函數（18）采樣控制系統的閉環脈沖傳遞函數與連續系統不同，采樣系統的閉環脈沖傳遞函數與閉環系統的結構有密切的關系。以下面的閉環采樣系統為例，介紹系統閉環脈沖傳遞函數的求取2025/4/15第九章計算機采樣控制系統21脈沖傳遞函數（19）閉環系統的脈沖傳遞函數為：閉環傳遞函數的推導步驟：1)

在主通道上建立輸出與中間變量的關系；

2)

在閉環回路中建立中間變量與輸入的關系；

3)

消去中間變量，建立和的關系。；2025/4/15第九章計算機采樣控制系統22脈沖傳遞函數（20）一種典型的閉環采樣系統脈沖傳遞函數在求取系統閉環脈沖傳遞時，要特別注意采樣開關在系統中的環節間的具體位置2025/4/15第九章計算機采樣控制系統24脈沖傳遞函數（20）閉環采樣系統的的響應系統輸入為單位階躍2025/4/15第九章計算機采樣控制系統25脈沖傳遞函數（20）用多項式除法求出2025/4/15第九章計算機采樣控制系統26采樣控制系統的穩定性分析（1）

平面和平面間的映射關系：將帶入Z,則

S平面Z平面虛軸： 單位圓上：右半平面：，單位圓外：左半平面：，單位圓內：

;2025/4/15第九章計算機采樣控制系統27采樣控制系統的穩定性分析（2）2025/4/15第九章計算機采樣控制系統28采樣控制系統的穩定性分析（3）在Z平面上是同一點。

S平面與Z平面之間的映射關系是“多對一”的關系，即在左半S平面上每個寬的帶狀區域都映射到Z平面上同一單位圓內。令

則2025/4/15第九章計算機采樣控制系統29采樣控制系統的穩定性分析（4）設閉環采樣系統的脈沖傳遞函數式中為系統的特征方程設即故2025/4/15第九章計算機采樣控制系統30采樣控制系統的穩定性分析若D(z)有k個不相同的實根（即有k個不相同的極點）（i=1,2…k)，則C(z)可分解為：則2025/4/15第九章計算機采樣控制系統31采樣控制系統的穩定性分析（5）對上式求Z反變換，得暫態分量穩態分量如果系統穩定，隨著時間的增長，即K時有顯然，只有當D(z)=0所有的根得模時，上述條件才能滿足。也即，只有當閉環系統特征方程所有的根都位于Z平面單位園內，系統才是穩定的。2025/4/15第九章計算機采樣控制系統32采樣控制系統的穩定性分析（6）采樣系統的勞斯（Routh）穩定判據：當系統的階數高于兩階時須采用代數判據的方法對系統的穩定性進行判定。為了能利用勞斯判據需進行復平面的線性變換（Z平面W平面）。具體的作法是：令代入采樣系統的特征方程，進行變換后，即可在平面中利用勞斯判據判斷采樣系統的穩定性。雙線性變換：即令變量變換對，進行Z平面與W平面的相互變換。2025/4/15第九章計算機采樣控制系統33采樣控制系統的穩定性分析（7）在Z平面中在W平面中將Z和W帶入變換式整理后，得到可見：對應W平面的虛軸；對應W平面的左半W平面；對應W平面的右半W平面；2025/4/15第九章計算機采樣控制系統34采樣控制系統的穩定性分析（8）例[9-11]

采樣系統的框圖如右圖所示，試確定系統穩定的K值范圍。解：系統的開環脈沖傳遞函數為系統的閉環脈沖傳遞函數及特征方程為將代入，則有2025/4/15第九章計算機采樣控制系統35采樣控制系統的穩定性分析（9）結論：采樣系統較模擬系統穩定性變差，采樣系統的穩定性與采樣周期T有直接關系，一般采樣周期T越大，相對穩定性越差。當采樣頻率增高時，系統的穩定性會得到改善。從這個意義講：如有可能應盡可能提高系統的采樣頻率。列勞斯判據表若使系統穩定，應有2.74-0.63k>0和0.63k>0。也即k值的范圍為0<k<4.352025/4/15第九章計算機采樣控制系統36采樣控制系統的穩態誤差分析（1）誤差的脈沖傳遞函數：離散控制系統可按開環脈沖傳遞函數中含有的極點個數而分為0型，和型等系統。III單位階躍輸入作用下：定義位置誤差系數：采樣系統的穩態誤差及誤差系數：2025/4/15第九章計算機采樣控制系統37采樣控制系統的穩態誤差分析（2）單位速度輸入作用下：定義速度誤差系數：單位加速度輸入作用下：定義加速度誤差系數：采樣系統特點：

1）穩態誤差與采樣周期大小有關；

2）上述結果僅反映了采樣時刻的穩態誤差。2025/4/15第九章計算機采樣控制系統39采樣控制系統的動態響應分析（1）閉環采樣系統的脈沖傳遞函數：設閉環脈沖傳遞函數的極點為