第二章方程與不等式

第07講一元二次方程及其應用

（思維導圖+4考點+4命題點15種題型（含6種解題技巧））

01考情透視?目標導航命題點二根的判別式

02知識導圖?思維引航＞題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況

03考點突破?考法探究??題型02根據根的情況確定一元二次方程中字母

考點-----元二次方程及解法的值/取值范圍

考點二根的判別式??題型03利用根的判別式求代數式的值

考點三一元二次方程根與系數的關系??題型04以開放性試題的形式考查根的判別式

考點四一元二次方程的實際應用命題點三一元二次方程根與系數的關系

04題型精研?考向洞悉＞題型01不解方程，求方程中參數的值

命題點——元二次方程及其解法＞題型02不解方程，求出與方程兩根有關的代數式

??題型01已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值

的值命題點四一元二次方程的實際應用

??題型02選用合適的方法解一元二次方程＞題型01變化率問題

??題型03以注重過程性學習的形式考有解一元二＞題型02幾何圖形問題

次方程??題型03以真實問題情境為背景考直一元二次方

??題型04配方法的應用程的實際應用

??題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方?題型04以數學文化為背景考查一元二次方程的

程實際應用

考情透視?目標導航

中考考點考查頻率新課標要求

理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數

★★

一元二次方程及其解法

字系數的一元二次方程

會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根

★

一元二次方程根的判別式

及兩個實根是否相等

一元二次方程根與系數的關系★★了解一元二次方程的根與系數的關系

變化率問題★★

利潤問題★★

能根據現實情境理解方程的意義；

一元二次方程的實

循環問題★能針對具體問題列出方程；

際應用

能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.

面積問題★

其它問題★

【考情分析1］本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知

字母的值及利用根與系數關系求解某些特定形式的代數式的值，試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公

式的各種變形結合考查.

【考情分析2】一元二次方程的應用的考查多以解答題形式出現，難度一般，主要涉及的問題有變化率問題、

利潤問題、幾何圖形問題等.解決實際問題時，要檢驗所求解是否滿足實際意義，注意取舍.

【命題預測】本考點內容以考查一元二次方程的相關概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理（根

與系數的關系X一元二次方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考察最值問題，年年考

查，分值為15分左右.預計2025年各地中考還將繼續考查上述的幾個題型,復習過程中要多注意各基礎考

點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續二次函數頂點坐標的縱坐標公式記混了.

知識導圖?思維引航

知

識

糕

理

元

二

次

方

程

及

其

應定義a#0易忽略

用a#0

根的判別式使用條件一■

學習誤區

根與系數關系前提

學

法只有一個實根一兀一次方程

指

方程根的個數對方程類型的暗示有二個實根元二^方程

導

有實數根兩種可能

首選直接平方法

其次考慮因式分解法

選用合適的方法解方程

對任何方程都能用公式法

有特殊要求時用配方法

實際應用審、設、列、解、驗、答

考點突破?考法探究I

考點-----元二次方程及解法

一、一元二次方程基礎

一元二次方程的定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：a/+6x+c=o（aKO）,它的特征：等號左邊是一個關于未知數的二次多項

式，等號右邊是0.其中：a/是二次項，a是二次項系數，版是一次項，b是一次項系數，c是常數項.

【易錯/熱考】如果明確了a/+bx+c=0為一元二次方程，就隱含了a40這個條件.

一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（根）.

判斷一個數是不是一元二次方程的根：將此數代人這個一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，

則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.

二、一元二次方程的解法

基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的

兩個解就是原方程的解.

1.直接開平方法（基礎）

例：形如a/=b（aWO）的一元二次方程：

當b>0時，則小=2=,x2=-此時方程有兩個不相等的實數根；

當b=0時，則%=%=0,此時方程有兩個相等的實數根；

當b<0時，則方程無實數根.

2.配方法（基礎）

配方的實質：將方程化為（①c+32="（a/0）的形式，當mN。時，直接用直接開平方法求解.

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

1）移項：將常數項移到等號右邊，含未知數的項移到等號左邊；

2）二次項系數化為1：如果二次項系數不是1,將方程兩邊同時除以二次項系數；

3）配方：方程兩邊都加上一次項系數一般的平方，把方程化為（x+p）2=q的形式；

4）求解：若q》0時，直接用直接開平方法求解.

3.公式法

用公式法解一元二次方程的一般步驟：

1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值（若系數是分數通常將其化為整數，方便計算）；

2）求出廿-4?c的值，根據其值的情況確定一元二次方程是否有解；

3）如果〃—4ac?0,將a、b、c的值代入求根公式：x-皿;

2a

4）最后求出和々

【補充說明】求根公式的使用條件：。，0且從-4比》0

4.因式分解法

依據：如果兩個一次因式的積為0,那么這兩個因式中至少一個為0,即若ab=0,則a=0或b=0.

步驟：

1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0;

2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；

3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；

4）求解.

【易錯易混】利用因式分解法解方程時，含有未知數的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時

除以含有未知數的式子，以免丟根，需通過移項，將方程右邊化為0.

針對訓練

1.（2023?湖北孝感?一模）已知一元二次方程（％-2）（久+3）=0,將其化成二次項系數為正數的一般形式后，

它的常數項是.

【答案】-6

【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握運算的法則是解題的關鍵.

先把化方程為一般式，從而得到常數項.

【詳解】解：O-2）0+3）=0,

去括號，得比2+3%—2%—6=0,

合并，得/+x—6=0,

所以常數項是-6.

故答案為：-6.

2.（2025?云南昆明?一模）若關于x的方程（爪+l）x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）

A.m#：—1B.m=1C.m>1D.m0

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的定義.熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.

由題意知，m+lWO,計算求解即可.

【詳解】解：???關于]的方程（血+1）%2+血％一1=0是一元二次方程，

/.m+1W0,

解得，mW-1,

故選：A.

3.（2024?廣東深圳?中考真題）已知一元二次方程%2一3%+血=0的一個根為1,則血=.

【答案】2

【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解的定義，將支=1代入原方程，列出關

于血的方程，然后解方程即可.

【詳解】解：,?,關于％的一元二次方程%2-3x+m=0的一個根為1,

x=1滿足一元二次方程/-3%+m=0,

1-3+m=0,

解得，m=2.

故答案為：2.

4.（2024.山東德州.中考真題）把多項式％2—3%+4進行配方，結果為（）

A.（x-3）2—5B.（%—-+]

C卜勺+§D.（x+j）2+；

【答案】B

【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項法，先加上一次項系數一半的平方使式子中出現完全平方

式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.

根據利用完全平方公式的特征求解即可；

【詳解】解：%2-3%+4

33

=X2-3%+卬2-0）2+4

_/3\27

=V-27+4

故選B.

5.（2024?山東東營?中考真題）用配方法解一元二次方程一一2%-2023=0時，將它轉化為（x+=6的

形式，則小的值為（）

A.-2024B.2024C.-1D.1

【答案】D

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程.熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵.

用配方法把一一2久—2023=0移項，配方，化為(％-1)2=2024,即可.

【詳解】解：Vx2-2X-2023=0,

移項得，%2-2%=2023,

配方得，/_2%+1=2023+1,

即(X-=2024,

：.a=-1,b=2024,

：.ab=(—1)2。24=i.

故選：D.

考點二根的判別式

根的判別式的定義：一般地，式子尸-4ac叫做一兀二次方程以2+6x+c=0(aw0)根的判別式，通常用

希臘字母△表示，即A=Z?2—4ac.

根的情況與判別式的關系：在實數范圍內，一元二次方程+6x+c=0(aW0)的根的情況由其系數a,b,

c,即A=Z;2一確定.

—b+Vb?—4ac

1)△=〃一4〃0>()0方程a/+6%+c=o(〃wo)有兩個不相等的實根:x=—=-------；

2a

2)△=82-4〃(尸06方程〃%2+法+。=0(〃。0)有兩個相等的實根：X1=X2=——;

2a

3)A=Zj2-4acV0o方程ox?+bx+c-0(aw0)無實根.

【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1)有兩個相等的實數根；2)有兩個不相等的實

數根.

【易錯易混】

1)使用一元二次方程根的判別式時，應先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的方程；

2)當A=^—4近=0時，方程有兩個相等的實數根，不能說方程只有一個實數根.

針對訓練

1.(2023?吉林?中考真題)一元二次方程產—5光+2=0根的判別式的值是()

A.33B.23C.17D.V17

【答案】C

【分析】直接利用一元二次方程根的判別式△=b2-4ac求出答案.

【詳解】解：b=—5,c=2,

△=b2-4ac=(-5)2-4x1x2=17.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關鍵.

2.（2024?吉林長春?中考真題）若拋物線yx2-x+c（c是常數）與％軸沒有交點，貝心的取值范圍是.

【答案】C>i

4

【分析】本題主要考查了拋物線y=ax2+b久+c與x軸的交點問題，掌握拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒

有交點與/-％+c=0沒有實數根是解題的關鍵.

由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可.

【詳解】解：：拋物線曠="一%+（；與工軸沒有交點，

.,.x2-x+c-0沒有實數根，

.*.△=l2-4xlXc=l-4c<0,c>i.

故答案為：c>；.

3.（2023?四川瀘州?中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程/一10%+機=。的

兩個實數根，且其面積為11,則該菱形的邊長為（）

A.V3B.2V3C.V14D.2^14

【答案】C

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，得到a+b=10,根據菱形的面積得到ab=22,利用勾股定

理以及完全平方公式計算可得答案.

【詳解】解：設方程》2-10久+巾=0的兩根分別為mb,

a+h=10,

??Z,6分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11,

.\^ab=11,即ab=22,

V菱形對角線垂直且互相平分，

.?.該菱形的邊長為的￥+（3=*+爐=W（a+6）2—2ab

=興1。2-2x22=故C正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了根與系數的關系以及菱形的性質，完全平方公式，利用根與系數的關系得出a+b=10

是解題的關鍵.

4.（2024?上海寶山?一模）一次函數y=-3久一a不經過第三象限，關于x的方程a/一3久+1=。的解的個

數為.

【答案】1或2

【分析】本題考查了一次函數圖象的分布，一元二次方程的根的判別式，準確判斷圖象不過第三象限的條

件，直線y=-3x-a不經過第三象限，則-a=。或-a>0,分這兩種情形判斷方程的根，靈活運用根的判

別式是解題的關鍵.

【詳解】解：：直線y=—3x—a不經過第三象限，

**?-CL=0或一CL>0,

a=0或a<0,

當a=0時，原方程為-3%+1=0,是一元一次方程，故有一個實數根；

當a<0時，方程a，-3%+1=0是一元二次方程，

△=(―3)2—4a=9—4a,

??,a<0,

*'?-4a>0,

???9—4a>0,

△>0,

???方程有兩個不相等的實數根，

綜上，方程有1個或2個解，

故選：D.

5.(2024?四川眉山.二模)已知關于x的一元二次方程/-3x=1-3zn有實數根.

(1)求小的取值范圍；

(2)設方程兩實數根分別為右、不，且滿足K/+冷2-的冷315,求小的取值范圍.

【答案】(1)%的取值范圍是爪<—

(2)m的取值范圍一[<m<g.

【分析】本題主要考查了根與系數的關系、根的判別式以及解一元一次不等式等知識點，

(1)根據根的判別式得出〃—4ac=32—4(—1+3小)=—12巾+1320,求出不等式的解集即可；

2

(2)求出/+%2=3,=3m-1,再代入x/+x2-xrx2<15計算即可解答；

熟練掌握一元二次的根與系數的關系是解決此題的關鍵.

【詳解】(1)方程——3%=1—3m整理得——3%—1+3m=0,

?關于x的一元二次方程/-3x=1-3nl有實數根，

—4ac-3?—4(—1+3xti)--12nl+1320,

解得：m<§,

即m的取值范圍是zn<^1；

(2)?%1+%2=3,=3771—1,

2

又?.”J+X2—%1%2<15,

2

(%1+X2)—2%!%—%1%2415,

???32-2(3m-l)-(3m-1)<15,

?、

??TTLN---i-,

3

..,13

12

?1,,13

312

故m的取值范圍—[<m<

考點三一元二次方程根與系數的關系

若一元二次方程ax?+Z?x+c=O（a/0）的兩個根是石,々，則與方程的系數a,b,c之間有如下

關系：X1+x2=~\%1?%2

【補充說明】

1）一元二次方程根與系數關系的使用條件：a/0且從-4ac2O.

2）當一元二次方程的二次項系數為1時，如必+如+4=0,其兩根關系為與+尤2=-0，x1?x2=q.

3）以兩個數石,々為根的一元二次方程（二次項系數為1）是好一（%+%）x+Xi?/=0.

4）運用根與系數的關系和運用根的判別式一樣，都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的

值.

針對訓練

1.（2024?黑龍江綏化?中考真題）小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫

錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩

個根是-2和-5.則原來的方程是（）

A.%2+6x+5=0B.x2—7%+10=0

C.%2—5%+2=0D.%2—6%—10=0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據題意得出原方程中勺+切=7,=10,逐項

分析判斷，即可求解.

【詳解】解：：小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是6和1；

x1+x2=6+1=7,

又?.?小冬寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是-2和-5.

??=10

A./+6%+5=0中，/+外=-6，%1%2=5,故該選項不符合題意；

B./一7%+1。=0中，％I+%2=7,xrx2-10,故該選項符合題意；

C./-5%+2=0中，％I+%2=5,=2,故該選項不符合題意；

D.——6%—1。=0中，％I+%2=6,xrx2=—10,故該選項不符合題意；

故選：B.

2.（2024.四川巴中.中考真題）已知方程/一2%+憶=0的一個根為一2,則方程的另一個根為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系.設方程的另一個根為〃3根據兩根之和等于-2,

a

即可得出關于根的一元一次方程，解之即可得出結論.

【詳解】解：設方程的另一個根為d

:方程M-2x+k=0有一個根為一2,

—2+TTI=2,

解得：m=4.

故答案為：4.

3.（2024?四川眉山?中考真題）已知方程/+%—2=0的兩根分別為“2,則己+\的值為.

【答案】|/0.5

【分析】本題考查一元二次方程的根與系數的關系，若一元二次方程a/+版+c=0（a力0）的兩根分別為

%,x2,則%1+久2=-，/上=，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.

先根據根與系數的關系得到叼+尤2=-1，/亞=-2,然后把工+工化簡為心然后整體代入即可.

%2

【詳解】解：???方程/+%—2=0的兩根分別為%1，%2,

%1+%2=—1，%1%2=—2，

.J_+J__%1+%2_￡1_1

X2%1%2-22,

故答案為：

4.（2023?青海西寧?中考真題）先化簡，再求值：（，—熹）+"，其中a，b是方程/+比—6=0的

兩個根.

【答案】々，6

【分析】先根據分式的混合運算進行化簡，然后根據一元二次方程根與系數的關系式得出a+6=-lab=

-6,代入化簡結果，即可求解.

【詳解】解：原式

L（a+&）（a-b）a+b]a2-ab

b

=5+6）（1）5。一）

_ab

a+b

Va,b是方程％2+x—6=0的兩個根

「?a+b=—1ab=-6

.?.原式=心=^=6.

a+b-1

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算，一元二

次方程根與系數的關系是解題的關鍵.

考點四一元二次方程的實際應用

用一元二次方程解決實際問題的步驟：

審：理解并找出實際問題中的等量關系；

設：用代數式表示實際問題中的基礎數據；

列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程；

解：求解方程；

驗：考慮求出的解是否具有實際意義；

答：實際問題的答案.

一元二次方程的常見問題及數量關系:

常見問題數量關系

變化率問題增長（或降低）

/的次數

a（l±x）n=b

增長（或降低）增長（或降低）增長（或降低）

的基礎數的變化率后的數量

利潤問題利潤=售價-進價；

針對訓練

1.(2024.江蘇南通?中考真題)紅星村種的水稻2021年平均每公頃產7200kg,2023年平均每公頃產8450kg.求

水稻每公頃產量的年平均增長率.設水稻每公頃產量的年平均增長率為x.列方程為()

A.7200(1+%)2=8450B.7200(1+2x)=8450

C.8450(1-%)2=7200D.8450(1-2%)=7200

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設水稻每公頃產量的年平均增長率為尤，則2022年平均每

公頃7200(1+x)kg,則2023年平均每公頃產7200(1+x)2kg,根據題意列出一元二次方程即可.

【詳解】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為x,則2022年平均每公頃產7200(1+x)kg,

則2023年平均每公頃產7200(1+;c)2kg,

根據題意有：7200(1+%)2=8450,

故選：A.

2.(2024?四川眉山?中考真題)眉山市東坡區永豐村是“天府糧倉”示范區，該村的“智慧春耕”讓生產更高效，

提升了水稻畝產量，水稻畝產量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產量年平

均增長率為％,則可列方程為()

A.670x(1+2x)=780B.670X(1+無乃=780

C.670x(1+%2)=780D.670X(1+%)=780

【答案】B

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵.

設該村水稻畝產量年平均增長率為X,根據題意列出方程即可.

【詳解】解：根據題意得：670x(l+x)2=780.

故選:B.

3.(2024?四川內江?中考真題)某市2021年底森林覆蓋率為64%,為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發

展理念，該市大力發展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%.如果這兩年森林覆蓋率的年平均

增長率為乃則符合題意得方程是()

A.0.64(1+x)=0.69B.0.64(1+%)2=0.69

C.0.64(1+2x)=0.69D.0.64(1+2x)2=0,69

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件.設年平均增長

率為x,根據2023年底森林覆蓋率=2021年底森林覆蓋率x(1+x)2,據此即可列方程求解.

【詳解】解：根據題意，得64%(1+支＞=69%

即0.64(1+%)2=0.69,

故選：B.

4.(2023?浙江衢州?中考真題)某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感.設每一輪傳染中平均

每人傳染了無人，則可得到方程()

A.x+(1+%)=36B.2(1+%)=36C.1+x+x(l+%)=36D.1+x+x2=36

【答案】C

【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中.設每一輪傳染中平均每人傳染了x

人,則第一輪傳染了X個人，第二輪作為傳染源的是(X+1)人，則傳染%(%+1)人，依題意列方程：1+X+

x(l+x)-36.

【詳解】由題意得：1+久+x(l+%)=36,

故選：C.

【點睛】本題考查的是根據實際問題列一元二次方程.找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程是

解決問題的關鍵.

5.(2023?浙江湖州?中考真題)某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，

該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增,2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛.如果設從2020年到2022

年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x,那么可列出方程是()

A.20(1+2%)=31.2B.20(1+2x)-20=31.2

C.20(1+*)2=31.2D.20(1+x)2—20=31.2

【答案】D

【分析】設年平均增長率為X,根據2020年銷量為20萬輛，到2022年銷量增加了31.2萬輛列方程即可.

【詳解】解：設年平均增長率為羽由題意得

20（1+x）2-20=31.2,

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用一增長率問題，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

6.（2021?山西?中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個

數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65,求這個最小數（請用方程知識解答）.

|2。21年\<|一月VI>

曰一二

456

111213

181920

252627

【答案】5

【分析】根據日歷上數字規律得出，圈出的四個數最大數與最小數的差值為8,設最小數為％,則最大數為%+8,

結合已知，利用最大數與最小數的乘積為65列出方程求解即可.

【詳解】解：設這個最小數為萬.

根據題意，得x（x+8）=65.

解得%i=5,%2=-13（不符合題意，舍去）.

答：這個最小數為5.

【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，掌握日歷的特征，根據已知得出的最大數與最

小數的差值是解題的關鍵.

7.（2022?遼寧丹東?中考真題）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源.某景區研發一款紀念品，每

件成本為30元，投放景區內進行銷售，規定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調研發現，

每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：

銷售單價X（元/件）354045

每天銷售數量y（件）908070

（1）直接寫出y與x的函數關系式；

（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元?

（3）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】(l)y=-2尤+160

⑵銷售單價應定為50元

(3)當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤1248元

【分析】(1)設每天的銷售數量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的關系式為了=丘+6,用待定系數法可

得y=-2.V+160；

(2)根據題意得(x-30)?(-2x+160)=1200,解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷

售單價應定為50元；

(3)設每天獲利攻元，w=(x-30)?(-2.V+160)=-2.v+220x-4800=-2(x-55)2+1250,由二次函

數性質可得當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元.

【詳解】(1)解：設每天的銷售數量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的關系式為了=丘+6,

把(35,90),(40,80)代入得:用甘=親

l40fc+b=80

解得｛屋高，

/.y=-2.V+160；

(2)根據題意得：(x-30)?(-2.X+160)=1200,

解得力=50,功=60,

?.?規定銷售單價不低于成本且不高于54元，

：.x=50,

答：銷售單價應定為50元；

(3)設每天獲利w元，

w=(x-30)?(-2.V+160)=-2f+220x-4800=-2(x-55)2+1250,

V-2<0,對稱軸是直線x=55,

而A<54,

...尤=54時,卬取最大值,最大值是-2x(54-55)2+1250=1248(元)，

答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元.

【點睛】本題考查一次函數，一元二次方程和二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式

和一元二次方程.

題型精研?考向洞悉

命題點—元二次方程及其解法

A題型01已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值

1.（2024?四川涼山?中考真題）若關于x的一元二次方程（a+2）/+x+a2-4=0的一個根是x=0,貝必的

值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數不為0.由一元二次方程的定義,

可知a+270；一根是0,代入（a+2）/+x+—4=o可得口2—4=0,即可求答案.

【詳解】解：（a+2）/+久+&2-4=0是關于x的一元二次方程，

a+270,即a7-2（T）

由一個根％=0,代入（a+2）x2+%+a2-4=0,

可得。2-4=0,解之得a=±2；②

由①②得。=2；

故選A

2.（2024?山東煙臺?中考真題）若一元二次方程2/-4%-1=0的兩根為m,n,貝U3ni?-4m+I的值

為.

【答案】6

【分析】本題考查了根與系數的關系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程a-+bx+c=

0（a#0）的兩根時，X1+x2=-^,X1x2=^熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題關鍵.

根據根與系數的關系得m+幾=2,mn—2m2—4m=1,再把3nl2—4m+/變形為2nl2—4m+

m2+n2,然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：；一元二次方程2——4x—1=0的兩個根為m,n,

1

m+n=2,mn=——，2mz7—4m=1

2

37n2—4m+九2

=2m2—4m+m2+n2

=m2+n2+1

=(m4-n)*2—2mn+1

=22-2x(--)+l

=6

故答案為：6.

3.(2024.四川南充?中考真題)已知m是方程%2+4%-1=0的一個根,則(m+5)(m-1)的值為.

【答案】-4

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數式的值,根據機是方程/+4%-1=0

的一個根，可得出血2+4血=1,再化簡代數式，整體代入即可求解.

【詳解】解：..”是方程%2+4%-1=0的一個根，

???m2+4m=1

(m+5)(m—1)

=m2—m+5m—5

=m2+4m—5

=1-5

=—4,

故答案為：-4.

4.(2023?湖南婁底?中考真題)若加是方程比2一2久-1=0的根，則一+吃=

【答案】6

【分析】由根是方程%2-2%-1=0的根，可得62=2血+1,把血？+白化為2m+14———,再通分變形

m22m+l

即可.

【詳解】解：,?加是方程/一2%-1=0的根，

Am2—2m—1=0,即=27n+1,

(2m+l)2+1

2m+1

47n2+4m+2

2m+1

8m+4+4m+2

2m+1

6(2m+1)

2m4-1

=6；

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡求值，準確的把原分式變形，再求值是解本

題的關鍵.

>題型02選用合適的方法解一元二次方程

方法技巧

已知a,b,c分別為二次項系數，一次項系數，常數項.

1）當a=l,b為偶數,c#0時，首選配方法；

2）當b=0時，首選直接開平方法；

3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；

4）當a=l,bWO,cNO時，可選配方法或因式分解法；

5）當aWl,bWO,cWO時，可選公式法或因式分解法.

1.（2024.安徽?中考真題）解方程：x2-2x=3

【答案】%i=3,x2=—1

【分析】先移項，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案.

【詳解】解—2久=3,

.'.X2—2x-3=0,

/.（%—3）（%+1）=0,

??%]=3,%2=1?

【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法進行解題.

2.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）解方程：（2%+3產=（3久+2產

【答案】=—1,x2=1

【分析】直接開方可得2x+3=-3%-2或2x+3=3%+2,然后計算求解即可.

【詳解】解：：（2x+3>=（3x+2/

2%+3=—3x—2或2久+3=3x+2

解得X1=-1,%2=L

【點睛】本題考查了解一元二次方程.解題的關鍵在于靈活選取適當的方法解方程.

3.（2024.貴州?模擬預測）計算

（1焉一（V3）+（7r+V3）+V27+|V3—21

（2）從下列方程中任選一個方程，并用適當的方法解方程

①/-8x-1=0②（工+3）2=（1一2x）2③（2乂+3/—25=0

【答案】(1)38

(2)0x1=4+717,X2=4-V17；@1/=4,亞=一|；③刀1=1，無2=-4

【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，解一元二次方程，零指數嘉：

(1)根據二次根式的混合計算法則和零指數累計算法則求解即可；

(2)①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接開平方的方法解方程即可.

【詳解】(1)解：原式=b一3+1+3百+2—遍

=35/3；

(2)解：?VX2-8X-1=0,

.'.x2-8x=1,

.*.%2—8久+16=17,

(%-4)2=17,

/.x-4=±V17,

解得X1=4+V17,x2=4-V17；

②：(久+3)2=(1一2切2,

(x+3)2—(1—2x)2—o,

(x+3+1—2x)(x+3—1+2x)-0,

.'.4—x=0或3x+2=0,

-

解得%=4,x2=1；

③：(2x+3)2-25=0,

(2%+3)2=25,

2%+3=±5,

解得X1=1，X2=-4.

4.(2024?湖南衡陽.一模)(1)用配方法解方程：x2=2x-1；

(2)用適當的方法解方程：x(2x-1)=4x-2.

【答案】(1)=%2=1；(2)Xj—|,%2=2

【分析】本題主要考查了解一元二次方程：

(1)先移項，然后利用完全平方公式配方，進而解方程即可得到答案；

(2)先移項，然后利用因式分解法解方程即可得到答案.

【詳解】解：⑴%2=2%-1

%2—2%+1=0

(%—I)2=0

解得X1=x2=1;

(2)x(2x-1)=4x-2

x(2x-1)-2(2x-1)=0

(x-2)(2x-1)=0

x—2=0或2x—1=0

解得的-1,x2-2.

＞題型03以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程

1.(2021?浙江嘉興?中考真題)小敏與小霞兩位同學解方程3(%-3)=(尤-3)2的過程如下框:

小霞：

小敏：

移項,得3(%一3)——3/=0,

兩邊同除以(久-3),得

提取公因式，得(尤―3)(3—久―3)=0.

3=x—3,

則％—3=0或3—x—3=0,

則％=6.

解得=3,亞=0.

你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“鏟；若錯誤請在框內打“x”，并寫出你的解答過程.

【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見解析

【分析】根據因式分解法解一元二次方程

【詳解】解：

小霞：

小敏：

移項，得3(%-3)-(%-3)2=0,

兩邊同除以(久-3),得

提取公因式，得(％—3)(3-％-3)=0.

3=%—3,

則X-3=0或3—%—3=0,

則％=6.

解得%1=3,犯=0.

(x)

(X)

正確解答：3(x—3)=(X—3尸

移項，得3(%-3)-(X-3)2=0,

提取公因式，得(x—3)[3—(x—3)]=0,

去括號,得(x—3)(3—%+3)=0,

則久一3=0或6一刀=0,

解得X1=3,x2=6.

【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵.

2.(2024.貴州黔東南.一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2/+4x-8=。的過程，請認真閱讀并

完成相應的任務.

解：移項，得27+4久=8,……第一步

二次項系數化為1,得/+2X=4,……第二步

配方，得0+2)2=8,……第三步

由此可得久+2=±2或，...第四步

所以，久1=—2+2-\/2,%2———2—2-\/2.....第五步

(1)小明同學的解答過程，從第步開始出現錯誤；

(2)請你寫出正確的解答過程.

【答案】⑴三

(2)X1=—1+V5,x2——1—V5.過程見解析

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程.

(1)按照配方法解一元二次方程的步驟進行判斷即可；

(2)按照配方法解一元二次方程的正確步驟進行解答即可.

【詳解】(1)小明同學的解答過程，從第三步開始出現錯誤，配方結果不正確；

故答案為：三

(2)解：2%2+4%-8=0

移項，得2/+4久=8,

二次項系數化為1,得/+2久=4,

配方，得。+1)2=5,

由此可得x+1=±V5,

所以，%1=—1+V5,x2=-1—V5.

3.(2024.浙江舟山.一模)解一元二次方程——2x-3=0時，兩位同學的解法如下:

解法一：解法二：

%2—2%=3a=b=—2,c=—3

x(x—2)=3b2—4ac=4-12=—8

x=1或％—2=3■:b2—4ac<0

???/=1或％2=5???此方程無實數根.

(1)判斷：兩位同學的解題過程是否正確，若正確，請在框內打“小；若錯誤，請在框內打“x”.

(2)請選擇合適的方法求解此方程.

【答案】(1)兩位同學均錯

=

(2)久1=3,%2

【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+加:+c=0(a丁0)的根與A=所—4ac有如下關系：

當A>0