第一章數與式

第01講實數及其運算

（思維導圖+6考點+2命題點11種題型（含6種解題技巧））

01考情透視?目標導航??題型02無理數的識別

02知識導圖?思維引航??題型03科學記數法

03考點突破?考法探究＞題型04無理數的估算

考點一實數的分類＞題型05實數的大小比較

考點二數軸、相反數、絕對值、倒數??題型06實數與數軸

考點三科學記數法＞題型07平方根、立方根

考點四平方根、立方根命題點二實數的運算

考點五比較實數的大小＞題型01非負性的應用

考點六實數的運算??題型02實數的簡單運算

04題型精研?考向洞悉＞題型03實數的混合運算

命題點一實數的基礎??題型04與實數有關的新定義問題

＞題型01正負數的意義

考情透視?目標導航

中考考點考有頻率新課標要求

理解有理數、無理數的概念，知道實數是由有理數和無理數組

★★

實數的分類

成的

了解實數與數軸上的點一一對應；能用數軸上的點表示實數；

★★★

數軸、相反數、絕對值、

能借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數和

倒數

絕對值

科學記數法★★會用科學記數法表示數

了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平

★★

平方根、立方根

方根、算術平方根、立方根；了解乘方與開方互為逆運算.

實數比較大小★★能用有理數估計一個無理數的大致范圍；能比較實數的大小.

理解乘方的意義；掌握有理數的加減、乘、除、乘方及簡單的

★★★

實數的相關計算混合運算（以三步以內為主）;理解有理數的運算律，能運用運

算律簡化運算.

【考情分析】實數是初中數學的基礎內容，也是必考內容，試題形式多樣，考查較多的是實數與數軸結合、

實數的混合運算及科學記數法，試題難度都不大，在實數的混合運算中，注意符號和運算順序是解題的關

鍵，實數的混合運算涉及的知識點較多，包含去絕對值、非零數的0次幕、負整數指數幕及特殊角的三角

函數值等，每個知識點都要求準確掌握.

知識導圖?思維引航

IEg?大于0隹瞰

iESfflg?I-----------

o6^ass；、朝（g>0關于會牢記as小于0隹敝

oi殳有例數￡E^±用點表示數

且到原點距離相等位于原點兩《?相反數的幾何意義?不1^1兩~^^

絕對值數軸上表示出的點到原點的距離

非負性

去絕對值，看符號

科學期aX1°r

1sa<10,

程數的常見類型近似數不確定，大維I,四舍五人的數

有效數字YiS堤5從左邊第一G3E0K）數字起.到末位S序止,所解數字

-WOI非fils平方根xBa的平內g

爆的

VawO(awO)|a

學

知

實

法

正數>0>負數識

------------------------1JSBUtESSS頻<］強或萩循環<J徵

數

指

兩個鰻比較大小，絕對值大的數反而小I-----------------------梳

導

理

蹦上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數數軸比較法及Hh

其

^SS?I--

運-----------1fi^sz

。-6=0Oa=/>|--------------------------

a-OVOOoVbl算

實數的大，iEwa?

1ESBKI------------

-----------

??=loo=6（o>0>b>0）T按一撰卜上

fiWSS

若a>0.8>0.則QyoQA平方H冬法I------------

比較被開方數郵數相同比較被開方數-----------

有理B的運算法!8吸性質等同樣睡

化簡絕對值時，沒有判斷絕對值符號中各個數a試子的正負

—翔的混合計算■兩變"頻錯誤""|學習誤區先進行乘方和開方運算

再算乘除

用科學詡法表示數時，容易把n的值算錯運算*

曷S胤）隘

如maggse,則

考點突破?考法探究

考點一實數的分類

1.正數與負數

正數：大于0的數叫做正數，如：0.5,三，+2等.

a

負數：小于0的數叫做負數.如：-0.5,一三，-2,-（+1）等.

2.有理數及分類

有理數：整數和分數統稱為有理數.（【實質】可以寫成&形式的數，其中m,n為整數且mWO）

m

【補充】有限小數和無限循環小數可以轉化為分數，因此有限小數和無限循環小數是有理數.

例：0.53（分數形式：1），1.333333…（分數形式：》，?,整數3（分數形式：置等.

‘正整數正有理數;正整數

整數<0正分數

有理數分類:有理數（按定義分類）<負整數有理數（按符號分類）■0

'正分數負有理數，負整數

分數?

負分數負分數

3.無理數

無理數：無限不循環小數叫做無理數.

【補充】無限不循環小數不能化成分數，因此無限不循環小數不是有理數.

常見的無理數：

1）一般的無限不循環小數，如0.43241…，7.6385661…等

2）開方開不盡的數，如：v2、冷等.

［易錯］帶根號的數并不都是無理數，而開方開不盡的數才是無理數.

3）與圓周率”有關的數，如5口，3+m?等.

4）看似有規律循環實際上是無限不循環的小數，如0.1010010001（兩個1之間依次增加1個0）…

5）某些三角函數，如sin60°、cos20°.

【注意】無理數都是無限小數，但無限小數不一定是無理數，只有無限不循環小數才是無理數.

4.實數及其分類

實數的定義：有理數和無理數統稱為實數.

＞（有限小數或無限循環小數）

實數的分類:

?針對訓練

1.（2024?山東淄博?中考真題）下列運算結果是正數的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】題考查了正數的定義，負整數指數幕的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義，熟練掌

握運算法則是解題的關鍵.

根據正數的定義，負整數指數幕的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義計算選擇即可.

【詳解】解:A、3T=（是正數，符合題意；

B、—32=-9是負數，不符合題意；

C、一|一3|=-3是負數，不符合題意；

D、-百是負數，不符合題意；

故選：A.

2.（2024?四川涼山?中考真題）下列各數中：5,-3,0,-25.8,+2,負數有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了對正數和負數定義的理解，難度不大，注意0既不是正數也不是負數.

根據正數和負數的定義判斷即可，注意：0既不是負數也不是正數.

【詳解】解：5>0,是正數；

-|<o,是負數；

-3<0,是負數；

0既不是正數，也不是負數；

-25.8<0,是負數；

+2>0,是正數；

負數有一玄-3,-25.8,共3個.

故選：C.

3.（2024?山東日照?中考真題）實數一0,代,1732中無理數是（）

A—B.。C.V5D,1.732

【答案】C

【分析】本題考查了無理數，解答本題的關鍵掌握無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環

小數，③含有1T的數.根據無理數的定義，“無限不循環的小數是無理數”逐個分析判斷即可.

【詳解】解:0,1.732都是有理數，而是無理數.

故選：C

4.（2024.四川雅安?中考真題）將-2,Mit,0,V2,3.14這6個數分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機

抽取1張，卡片上的數為有理數的概率是.

【答案】|

【分析】本題考查概率的求法與運用，有理數與無理數的識別，一般方法：如果一個事件有w種可能，而

且這些事件的可能性相同，其中事件A出現加種結果，那么事件A的概率尸⑷哼先根據無理數的定

義得到取到有理數的有-2,*0,3.14這4種結果，再根據概率公式即可求解.

【詳解】解：將-2,",m0,V2,3.14這6個數分別寫在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，

任取一張，有6種等可能結果，其中取到有理數的有-2,條0,3.14這4種結果，

所以取到有理數的概率為:=

63

故答案為：|.

考點二數軸、相反數、絕對值、倒數

1.數軸

數軸的定義：在數學中，通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸.

數軸有三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可.

【補充】

1）數軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；

2）數軸三要素是“規定”的，通常，我們習慣性向右為正方向，原點的位置和單位長度的大小要依據實際

情況靈活選取，但是一旦選定后就不能隨意改變；

3）在同一條數軸上，單位長度的大小必須統一，要根據實際問題靈活選取單位長度的大小.

4）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.

實數與數軸上點的關系：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示，反之，數軸上的每一個點都表示一

個實數，實數與數軸上的點一一對應.

2.相反數

相反數：只有符號不同的兩個數稱為互為相反數，相反數是成隊出現的.

性質：1）【熱考】若a,b互為相反數，則a+b=0；反之，若a+b=0,則若a,b互為相反數.

2）一個有理數有且只有一個相反數；

3）正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.

幾何意義：1）互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的距離相等且位于原點的兩側.

2）位于原點的兩側且到原點距離相等的點，所表示的兩個數互為相反數.

3.絕對值

絕對值：數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為1a1.

a（a>0）

絕對值的代數意義:正數的絕對值是它本身;0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數,即同=0（。=0）.

-?（4Z<0）

【易混易錯】

1）若|a|=a（或|a|-a=0）,則aNO,若|a|=-a（或|a|+a=O）,則aWO.

2）任何一個有理數的絕對值都是非負數，即a取任意實數，都有|a|20.

3）當絕對值符號里的數的正負不能確定時，要分類討論，即將其分成大于0,小于0,等于0這三類討論.

4.倒數

倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數.

【易混易錯】

1）0沒有倒數，倒數是本身的只有1和-1.

2）若a、b互為倒數，則ab=l.

3）互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）

針對訓練

1.（2024?江蘇蘇州?中考真題）用數軸上的點表示下列各數，其中與原點距離最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值的定義，一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離.到原點距離最近

的點，即絕對值最小的點，首先求出各個數的絕對值，即可作出判斷.

【詳解】解：：|一3|=3,山=1,|2|=2,|3|=3,1<2<3,

...與原點距離最近的是1,

故選：B.

2.（2024.黑龍江大慶.中考真題）下列各組數中，互為相反數的是（）

-1

A.|—2024|和一2024B.2024和表

-1

C.|一2024|和2024D.—2024和自

【答案】A

【分析】本題考查相反數.根據只有符號不同的兩個數互為相反數，結合絕對值的意義逐項判斷即可.

【詳解】解:A、|-2024|=2024和-2024互為相反數，故A選項符合題意；

B、2024和總互為倒數，故B選項不符合題意；

C、1-20241=2024和2024不互為相反數，故C選項不符合題意；

D、-2024和募不互為相反數，故D選項不符合題意；

故選：A.

3.（2024?內蒙古包頭?中考真題）若九互為倒數，且滿足Tn+rrm=3,貝比的值為（）

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】B

【分析】本題主要考查了倒數的定義，根據九互為倒數，則771?九=1,把7U?幾=1代入m+7H71=3,即

可得出機的值，進一步即可得出〃的值.

【詳解】解：???加,71互為倒數，

m-n=1,

m+mn=3,

,\m=2,

則71=p

故選：B.

4.（2024?西藏?中考真題）若％與y互為相反數，z的倒數是一3,貝1J2%+2y-3z的值為（）

A.-9B.-1C.9D.1

【答案】D

【分析】本題考查了相反數、倒數、求代數式的值，根據相反數和倒數的定義得出x+y=0,z=-|,將

式子變形為2（x+y）-3z,整體代入計算即可得解，熟練掌握相反數、倒數的定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：與y互為相反數，z的倒數是—3,

1

.?.%+?y=n0,z=--

2.x+2y-3z—2（%+y）-3z=2x0-3x（-j=0+1=1,

故選：D.

5.（2024.山東德州.中考真題）實數〃，。在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

ab

_____???A

-1012

A.\a\>\b\B.a+b<0

C.a+2>b+2D.\ct-1|>\b-11

【答案】D

【分析】本題主要考查了數軸與實數的運算法則，掌握實數與數軸的基本知識是解題的關鍵.根據點在數

軸上的位置，判斷數的大小關系，不等式的性質及絕對值的意義判斷出式子的大小即可.

【詳解】解：根據數軸得a<0<1<6,

\ci\<+b>0,a+2<b+2,|a—11>\b-11,

故選：D.

6.（2023益陽市三模）已知a、b互為相反數,c、d為倒數，且問=3,則窸+（—。日產池+標的值為

【答案】10

【分析】本題考查了相反數、倒數的定義，絕對值的性質，代數式求值，利用相反數、倒數的定義和絕對

值的性質可求得a+b=0,cd=l,m2=9,再代入算式計算即可求解，掌握相反數、倒數的定義和絕對

值的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：b互為相反數，c、d為倒數，

/.a+h=0,cd=1,

V\m\=3,

Am2=9,

??.原式=0+（一1產24+9=io,

故答案為：10.

考點三科學記數法

1.科學記數法

定義：把一個數A表示成axHT的形式（其中n為整數），這種記數法叫做科學記數法.

類別a的確定n的確定示例

A|>10n為正整數，"小數點左5500000=5.5xl06

移的位數

a=5.5,n=6

l^|a|<10

0<|A|<ln為負整數，n=J、數點右-0.0000055=-5.5x10^

移的位數

a=-5.5,n=6-

【補充】

1）用科學記數法表示數時，不改變數的符號，只是改變數的書寫形式而已，可以方便地表示日常生活中遇

到的一些很大或很小的數.

2）一個負數也可以用科學記數法表示.

3）科學記數法的常見類型：

①直接將像26000000、320萬這樣的較大數字用科學記數法表示；

②將450km或35nm換算單位后用科學記數法表示；

③根據題意，先計算，再將計算結果用科學記數法表示.

2.近似數

準確數：在日常生活或生產實際中，能準確地表示一些數的量，成為準確數.

近似數：接近準確數而不等于準確數的數，叫做這個數的近似數.

精確度：近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.

【補充】對于帶單位的數或用科學記數法表示的近似數axlO",a的末位數字在還原后的數中是哪一位，

就說這個近似數精確到哪一位.

有效數字的概念：從左邊第一位非0的數字到精確數位的所有的數字.例：0.012有兩個個有效數字：1,2；

3.6萬有兩個有效數字：3,6；4.360x104有四個有效數字:4,3,6,0.

針對訓練

1.（2024.內蒙古.中考真題）2023年呼和浩特市政府工作報告中指出，我市主要經濟指標增速達到十年來最

好水平.地區生產總值完成3802億元.數據“3802億”用科學記數法表示為.

【答案】3.802X1011

【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成ax10"的形式，其中1<㈤<10,n為整數，這種記數的

方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移

動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.根據科學記數法的定義即可得.

【詳解】解:3802億=3.802X103X108=3.802X1011,

故答案為：3.802x1011.

2.（2024?上海?中考真題）科學家研發了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為2x105GB,一張普

通唱片的容量約為25GB,則藍光唱片的容量是普通唱片的倍.（用科學記數法表示）

【答案】8X103

【分析】本題考查科學記數法，按照定義，用科學記數法表示較大的數時，一般形式為ax10%其中1<|a|<

10,7i為整數，按要求表示即可得到答案，確定a與n的值是解決問題的關鍵.

【詳解】解：藍光唱片的容量是普通唱片的誓=8000=8x1。3倍，

故答案為：8x103.

3.（2024?四川廣元?中考真題）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物

質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”.什么是阿秒？1阿秒是10T8秒，也就是十億分之一秒的

十億分之一.目前世界上最短的單個阿秒