第七章圖形的變化

第30講尺規作圖與定義，命題，定理

（思維導圖+2考點+2命題點18種題型）

01考情透視?目標導航＞題型07作垂線

02知識導圖?思維引航??題型08作等腰三角形

03考點突破?考法探究＞題型09畫圓

考點一尺規作圖??題型10過圓外一點作圓的切線

考點二定義、命題、定理■題型11作正多邊形

04題型精研?考向洞悉＞題型12格點作圖

命題點一尺規作圖＞題型13無刻度直尺作圖

??題型01作線段＞題型14最短路徑問題

??題型02作一個角等于已知角命題點二定義、命題、定理

??題型03尺規作角的和、差＞題型01判斷是否是命題

＞題型04過直線外一點作已知直線的平行線＞題型02判定命題的真假

??題型05作三角形■題型03寫成命題的逆命題

??題型06作角平分線■題型04反證法

考情透視?目標導航

中考考點考杳頻率新課標要求

尺規作圖★★能用尺規作圖

通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義.

★

定義、命題、

結合具體實例，會區分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念.會識

定理

別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.

【命題預測】本考點內容以考查尺規作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分

左右.預計2024年各地中考還將繼續考查這兩個知識點.中考對尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是

單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體

現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，為避免丟分，學生應扎實掌

握.

知識導圖?思維引航

定義判斷T牛事的語句

題設已知事項I

^6

結論推出的事項

真命題

分類I---------

假命題

證明推理過程

尺規作圖與定義，命題，定理

真命題繼續推理的依據

先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么

關

尺規作圖鍵讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題

切記作圖中一定要保留作圖痕跡

考點突破?考法探究

考點一尺規作圖

定義：最基本、最常用的尺規作圖，通常稱作基本作圖,

五種基本作圖：

1）作一條線段等于已知線段

己知線段a1a1

求作線段0A,使0A等于a

.\A

作法1）任作一條射線OP；

o~r----尸

2）以點0為圓心，a的長為半徑畫弧，交0P于點A,則線段0A即

為所求

依據圓上的點到圓心的距離等于半徑.

2）作一個角等于已知角

已知ZA0B

求作NA'0'B',使/A'O'B'=/AOBX

作法1）作射線O'A'；

2）以點0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A于點C,交0B于點D；

3）以點0'為圓心，0C的長為半徑畫弧，交O'A'于點E；

4）以點E為圓心，CD的長為半徑畫弧，交前弧于點F；

5）經過點F作射線O'B',乙A'O'B'即為所求.

依據1）三邊分別相等的兩個三角形全等；E

2）全等三角形的對應角相等；

3）兩點確定一條直線.

3）作已知角的角平分線

己知ZAOBB

求作射線0P,使/AOP=NBOP

作法1）以點0為圓心，適當長為半徑畫弧，交0A于點M,交0B于點N；

2）分別以點M、N為圓心，大于‘MN的長為半徑畫弧，兩弧在NA0B的

2B

內部相交于點P；/*

3）作射線0P,射線0P即為所求.

依據1）三邊分別相等的兩個三角形全等；

2）全等三角形的對應角相等；

3）兩點確定一條直線.

4）過一點作已知直線的垂線

已知直線AB和AB上的一點M

求作AB的垂線，使它經過點M

作法作平角乙ACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.

AMBAJ-IMEB

已知直線AB和AB外一點M

求作AB的垂線，使它經過點M

M

作法1）任意取一點P,使點P和點M在AB的兩旁；

ABA^p-

2）以點M為圓心，MP的長為半徑作弧，交AB于點C和點D；D-B

3）分別以點C和點D為圓心，大于』CD的長為半徑作弧，乏

2

兩弧相交于點E；

4）作直線EM,直線EM就是所求作的垂線.

依據1）等腰三角形“三線合一”；

2）兩點確定一條直線.

5）作線段的垂直平分線

已知線段AB

求作線段AB的垂直平分線

作法I）分別以點A和點B為圓心，大于LAB的長為半徑作弧，兩弧

2

相交于點M和點N；L

2）作直線MN,直線MN就是線段AB的垂直平分線.

依據1）到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；

2）兩點確定一條直線.

尺規作圖的關鍵：

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；

2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題；

3）切記作圖中一定要保留作圖痕跡；

4）無刻度直尺作圖通常會與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質和勾股定理等幾何知識點

結合，熟練掌握相關性質是解題關鍵.

針對訓練

1.（2024.吉林長春.中考真題）如圖，在A4BC中，。是邊4B的中點.按下列要求作圖:

①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段B。于點D,交BC于點E；

②以點。為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段04于點F；

③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G,點G與點C在直線同側；

④作直線。G,交4C于點M.下列結論不一定成立的是（）

A.AAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關鍵是熟練掌握相關的性質，先根據作圖得出=根據平行線的判定得出。MIIBC,根據平行線的

性質得出NOMC+NC=180。，根據平行線分線段成比例得出空=第=1,即可得出AM=CM.

CMOB

【詳解】解：A.根據作圖可知：乙4OM=/B一定成立，故A不符合題意；

B.?:乙AOM=LB,

???△OMC+NC=180。一定成立，故B不符合題意；

C.二。是邊的中點，

：.A0=B0,

9：OM\\BC,

,AMAOy

??—=1,

CMOB

.?.AM=CM一定成立，故C不符合題意；

D.不一定成立，故D符合題意.

2.（2024?四川?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,NA=40。，按如下步驟作圖：①以點8為圓心，

適當長為半徑畫弧，分別交B4BC于點、D,E-,②分別以點D,E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在

乙4BC的內部相交于點F,作射線BF交AC于點G.貝吐4BG的大小為度.

【答案】35

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的尺規作法，熟練掌握等腰三角形的性質和角平分線的

尺規作法是解題的關鍵.根據4B=AC,NA=40。，由等邊對等角，結合三角形內角和定理，可得乙4BC=

^ACB=70°,由尺規作圖過程可知BG為N&BC的角平分線，由此可得=乙GBC=^ABC=35°.

【詳解】解：???AB=AC,乙4=40°,

???/.ABC=Z.ACB=70°,

根據尺規作圖過程，可知BG為N4BC的角平分線，

.-.乙IBG=乙GBC=-/LABC=35°,

2

故乙4BG=35°,

故答案為:35。.

3.（2024山東德州?中考真題）已知乙4。8,點尸為04上一點，用尺規作圖，過點尸作。8的平行線.下列

作圖痕跡不正確的是（）

【分析】本題考查作圖-復雜作圖.作一個角等于已知角，作一個角的平分線，平分線的判定，菱形的判定

和性質，據此判斷即可.

【詳解】解：A、由作圖知，。。是乙4。8的平分線，且PO=PC,

/.z.1=z2,zl=43,

Az.2=43,

：.PC\\OB,故本選項不符合題意;

B、由作圖知，PD是乙4PC的平分線，且PO=OC,

.-.Z3=Z4,zl=Z2,不能說明N2與N4相等，

...四邊形POCD是菱形，

：.PC\\OB,故本選項不符合題意;

：.PC\\OB,故本選項不符合題意;

4.（2024.廣東廣州.中考真題）如圖，Rt△力BC中”AB=90°.

A

(1)尺規作圖：作AC邊上的中線B。(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)所作的圖中，將中線B。繞點。逆時針旋轉180。得到。0,連接AD,CD.求證：四邊形48CD是矩

形.

【答案】(1)作圖見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質,旋轉的性質；

(1)作出線段2C的垂直平分線EF交2C于點O,連接B。，則線段B。即為所求；

(2)先證明四邊形48CD為平行四邊形，再結合矩形的判定可得結論.

【詳解】(1)解：如圖，線段B。即為所求;

(2)證明：如圖,

?.?由作圖可得：AO=C0,由旋轉可得：BO=D0,

四邊形2BCD為平行四邊形,

;乙4BC=90°,

二四邊形4BCD為矩形.

考點二定義、命題、定理

1.命題

定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.

組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由己知事項推出的事項.

表達形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結

論.

2.真命題、假命題

內容舉例注意

真命如果題設成立，那么結論一定成對頂角不相等說明一個命題是真命題,需從已知出發,經過一

題立的命題，叫做真命題步步推理，最后得出正確結論

假命命題中題設成立時，不能保證結相等的角是對判定一個命題是假命題,只要舉出一個例子（反

題論一定成立的命題，叫做假命題頂角例），使它符合命題的題設，但不滿足結論即可

3.逆命題

逆命題：把原命題的結論作為命題的題設，把原命題的題設作為命題的結論，所組成的命題叫做原命題的

逆命題.

互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命

題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它

的逆命題.

4.公理、定理

公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，

這樣的真命題叫做公理.如：兩點之間線段最短.

定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作

為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做定理.

5.互逆定理

互逆定理：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，

其中一個定理叫做另一個定理的逆定理.

6.反證法

定義：先假設原命題的結論不正確，然后從這個假設出發，經過逐步推理論證，最后得出與學過的概念、

基本事實、已證明的定理、性質或題設條件相矛盾的結果，這種證明的方法叫做反證法.

反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或

已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確.

針對訓練

1.（2024.江蘇宿遷?中考真題）請寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理.

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】本題考查了逆定理的改寫，根據題意，將題設與結論交換位置即可.

【詳解】解：定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，兩直線平行，

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

2.（2024.山東濰坊?中考真題）下列命題是真命題的有（）

A.若a=6,貝!|ac=6c

B.若a>6,則ac>6c

C.兩個有理數的積仍為有理數

D.兩個無理數的積仍為無理數

【答案】AC

【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了等式及不等式的性質、無理數及有理數的積.利用等

式及不等式的性質、無理數及有理數的積分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】

解：A、由等式的性質可得，若a=b,則ac=bc,原命題為真命題；

B、由不等式的性質可得，若a>b,且c>0,則ac>bc,原命題為假命題；

C、兩個有理數的積仍為有理數，原命題為真命題；

D、兩個無理數的積不一定為無理數，比如魚又虎=2,原命題為假命題.

故選：AC.

3.（2022?上海.中考真題）下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

【答案】A

【分析】根據命題的定義和定理及其逆定理之間的關系，分別舉出反例，再進行判斷，即可得出答案.

【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，它是假命題而

不是真命題，故此選項不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相等，它是真命題，

故此選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關鍵.把一個命題的條件

和結論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題.

4.（2022?黑龍江綏化?中考真題）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【答案】B

【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補角性質、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質分別判

斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項不

符合題意；

B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角不一定相等，故此選項是假命題，符合題意；

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真

命題，故此選項不符合題意；

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；

故選：B

【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補角性質、切線長定理以

及直角三角形斜邊上的中線的性質.

題型精研?考向洞悉

命題點一尺規作圖

＞題型01作線段

1.（2023?山西太原?模擬預測）已知線段a、b、c.

b

（1）用直尺和圓規作出一條線段AB,使它等于a+c-6.（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,b=4,c=7,點C是線段4B的中點，求力C的長.

【答案】（1）作圖見解析

（2）4.5

【分析】（1）作射線4M,在射線4M上順次截取2E=a,EF=c,在線段R4上截取FB=b,則線段48即為

所求；

（2）由（1）中結論及已知條件，求得4B的長，再利用線段中點的性質即可解得AC的長.

【詳解】（1）解：如圖，線段48即為所求：

（2）如圖,

AB=a+c—b=6+7—4=9

???點C是線段4B的中點，

11

AC--AB=-x9=4.5

22

即4C的長4.5.

【點睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

2.（2024?河北?模擬預測）如圖，在Rt△力BC中，AACB=90°,以點A為圓心，4C長為半徑畫弧，交AB于

點、D,再分別以8,。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于Af,N兩點，作直線MN分別交4B于點

E,若4。=3,BE=1,貝l|BC的長為（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

【分析】本題考查了，作圖等長線段，作圖垂直平分線，勾股定理，解題的關鍵是：由作圖方法得到等量

關系式.根據取等長線段的做法，垂直平分線的做法，得到aC=2D=3,DE=BE,即可求出力B=AD+

BD=5,在RtAABC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：根據作圖可得：AC=AD=3,MN為的垂直平分線，

???BE=1,

???BD—2BE—2,

???AB=AD+BD=5,

???乙ACB=90°,

BC=7AB2-"2=4,

故選：B.

3.(2024.廣東.模擬預測)如圖，在等邊AABC中，AD為BC邊上的高.

(1)實踐與操作：利用尺規，以CD為邊在CD下方作等邊ACDE,延長ED交42于點M；(要求：尺規作圖并保

留作圖痕跡、不寫作法，標明字母)

(2)應用與證明：在(1)的條件下，證明CE=BM.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識.熟練掌握作線

段，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

(1)如圖，分別以C、D為圓心，CD的長為半徑畫弧，交點為E,連接CE、DE,則等邊ACDE即為所作，

延長ED交4B于點M,點M即為所作；

(2)證明△BMDSACED(ASA),進而可證CE=BM.

【詳解】(1)解：如圖，分別以C、。為圓心，CD的長為半徑畫弧，交點為E,連接CE、DE,則CD=CE=DE,

等邊ACDE即為所作，延長ED交力B于點M,點M即為所作；

(2)證明：???△ABC為等邊三角形，力。為BC邊上的高,

=^ACB=60°,BD=CD,

?.,等邊△CDE,

；/ECD=60°,

.,2B=Z-ECD,

又"MDB=乙EDC,

.*.△BMD=△CED(ASA),

；,CE=BM.

＞題型02作一個角等于已知角

1.（2024?北京?中考真題）下面是“作一個角使其等于N40B”的尺規作圖方法.

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

【答案】A

【分析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.

【詳解】解：根據上述基本作圖，可得。C=O'C',OD=O'D',CD=CD',

故可得判定三角形全等的依據是邊邊邊，

故選A.

2.（2024河南.中考真題）如圖，在RtAABC中，CD是斜邊48上的中線，BEIIDC交4C的延長線于點E.

ADB

⑴請用無刻度的直尺和圓規作"CM,使NEC"=乙4,且射線CM交BE于點”保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CD8F是菱形

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了尺規作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是：

（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDBF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出CD=BD=143,最后

根據菱形的判定即可得證.

【詳解】⑴解：如圖,

（2）證明：??2ECM=",

■.CMWAB,

■.■BEWDC,

???四邊形CD8F是平行四邊形，

?在RtZkABC中，CD是斜邊4B上的中線，

■.CD=BD=-AB,

2

平行四邊形CDBF是菱形.

3（2021?山東青島?中考真題）已知：/。及其一邊上的兩點4B.

求作：Rt^ABC,使NC=90。，且點C在4。內部，ABAC=ZO.

【答案】見解析

【分析】先在NO的內部作ND43=NO,再過3點作A。的垂線，垂足為C點.

【詳解】解：如圖，放AABC為所作.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基

本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

＞題型03尺規作角的和、差

1.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知NP4Q及4P邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規在射線4Q上求作點0,使得NCOQ=2NC4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點。為圓心，以。力為半徑的圓交射線4Q于點B,用無刻度直尺和圓規在射線CP上

求作點M，使點M到點C的距離與點M到射線力Q的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（3）在（1）、（2）的條件下，若sinA=|,CM=12,求8M的長.

【答案】（1）作圖見詳解

⑵作圖見詳解

（3）BM=6A/5

【分析】（1）根據尺規作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根據尺規作圓，作垂線的方法即可求解；

（3）根據作圖可得“勿14Q,CM=WM=12,是直徑，結合銳角三角函數的定義可得4M的值，根據

勾股定理可求出4C的值，在直角△BCM中運用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，

P

4K

/J/o

??Z-COQ=2Z.CAQ；

點o即為所求

(2)解：如圖所示，

連接BC,以點B為圓心，以BC為半徑畫弧交AQ于點以點當為圓心，以任意長為半徑畫弧交4Q于點的,

DI,分別以點G，劣為圓心，以大于3為半徑畫弧，交于點6，連接B/1并延長交2P于點M,

必B是直徑，

.?.乙4cB=90°,即BCJ.4P,

根據作圖可得B1G=B]DrC16=D/1，

1AQ,即乙MB]B=90°,MB1是點M到4Q的距離,

,?BC=BBi，

???Rt△BCM=RtABBiM(HL),

??.CM=

點M即為所求點的位置；

(3)解：如圖所示，

根據作圖可得，NCOQ=2NC4Q,MC=MW=12,MW1AQ,連接BC,

???在RtMMW中，sin/l=籌=|,

…=-5-W-M=-5-X-1-2=2“0,

33

■.AC=AM-CM=20-12=8,

,MB是直徑,

：.^ACB=90°,

???s.i.nZ=——BC=-3

AB5

設BC=3x,貝！MB=5%,

.?.在RtAABC中，(5x)2=(3x)2+82,

解得，x=2（負值舍去）,

-'-BC=3%=6,

在Rt△BCM中，BM=y/CM2+BC2=V122+62=6西.

【點睛】本題主要考查尺規作角等于已知角，尺規作垂線，勾股定理，銳角三角函數的定義等知識的綜合,

掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵.

2.（2022?江蘇鎮江?中考真題）操作探究題

（1）已知力C是半圓。的直徑，"OB=（詈）。5是正整數，且幾不是3的倍數）是半圓。的一個圓心角.

操作：如圖1,分別將半圓。的圓心角“OB=（詈）。（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓

規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

n=5n=10

圖I

從上面的操作我發現，就是利用60°、圈T所對的弧去找僵f的三分

之一即篝T所對的孤?

交流：當幾=11時，可以僅用圓規將半圓。的圓心角乙40B=（詈）。所對的弧三等分嗎?

我發現了它們之間的數量關系是4x9工|°-60。=第:

我再試試：當”=28時.嚼|°、60?、匿］°之間存在數量關系

因此可以僅用圓規將半K1O的圓心角乙所對的弧三等分.

探究：你認為當n滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓。的圓心角/2。8=（詈）。所對的弧三等分？說

說你的理由.

（2）如圖2,。。的圓周角NPMQ=（―）。.為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分?、撸ㄒ?/p>

求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

Q

【答案】⑴作圖見解析；交流：60?！?x（罷）。=償）。，或19x（詈）。一2x60。=G）。；

探究：正整數n5不是3的倍數），理由見解析

（2）作圖見解析

【分析】（1）由操作可知，如果（*）。可以用60。與（詈）。的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分

（2）將圓周14等分就是把NPMQ=（等）。所對的圓周角NQOP所對弧三等分即可,給出一種算法：180。-

540°r180°

——x2=——

77

【詳解】⑴

操作：

圖中的J、5點即為三等分點圖中的C點即為三等分點

圖中的C點即為三等分點圖中的。點即為三等分點

交流：60。-9x（詈）。=（繳。，或19x（翳）。-2X60。=鬻）。；

探究：設60。-卜（詈）。=（第。，解得n=3k+l（k為非負整數）.

或設人（詈）?！?0。=（第。，解得n=3k-l（k為正整數）.

所以對于正整數n（n不是3的倍數），都可以僅用圓規將半圓。的圓心角乙4OB=（詈）。所對的弧三等分;

（2）

【點睛】本題考查了用圓規作圖的基本技能，需要準確理解題意，對于復雜圖形的作圖要學會將其轉化成

基本圖形去作，本題第二問利用轉化思想，轉化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關鍵.

＞題型04過直線外一點作已知直線的平行線

1.（2024.山東青島.中考真題）已知：如圖，四邊形4BCD,E為。C邊上一點.

求作：四邊形內一點尸，使EPIIBC,且點尸到4B,4。的距離相等.

【答案】見解析

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質，解題的關鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角

的尺規作圖方法.作乙D4B的平分線4M,以E為頂點，ED為一邊作乙DEN=NC,EN交AM于P,點P即為

所求.

【詳解】解：作的平分線ZM,以E為頂點，ED為一邊作乙DEN=LC,EN交AM于P,如圖，點P即

為所求.

2.(2024?河南新鄉?模擬預測)如圖，一次函數丫=久—2的圖象與反比例函數y=?的圖象交于A,8(3,n)兩

點，且直線與坐標軸分別交于尸，Q兩點.

(1)求m和n的值；

(2)已知點”(0,2),請用無刻度的直尺和圓規過點M作直線4B的平行線(保留作圖痕跡，不寫作法);

(3)若(2)中所作的平行線交了軸負半軸于點N,連接NP,QM,求四邊形NPQM的面積.

【答案】(l)m=3,n=l

(2)見解析

(3)8

【分析】本題考查一次函數與反比例函數綜合，尺規作圖：

(1)將B(3,n)代入y=x-2可得w的值，將8(3,幾)代入y=?可得利的值；

(2)以知為頂點，y軸為角的一邊，作一個角等于NMP8即可；

(3)先求出直線4B與坐標軸的交點坐標，可得AOMN為腰長是2的等腰直角三角形，再根據S四邊形痔。.

c.cPM'OQ,PM,ONnn-p-

S^PMQ+S“MN=22即可求解,

【詳解】(1)解：一次函數y=%—2經過點8(3,九)，代入解得九二1,

???8(3,1)在反比例函數y=3的圖象上,

??.TH=1x3=3；

(2)解：所作平行線如圖所示：

(3)解：由(1)知反比例函數解析式為y=：,

當x=0時，y=0—2=—2,

當y=0時，0=%—2,

解得：%=2,

則y=%-2交坐標軸于Q(2,0),P(0,-2),

.?.OP=0Q=0M=2,PM=4,

.,ZOMN=4)PQ=45°,

.*.△OMN為腰長是2的等腰直角三角形，

__PMOQPMON_4X24x2_

,3四邊形NPQM="PMQ十'△PMN=一h—十一\一

＞題型05作三角形

1.(2022?廣西貴港?中考真題)尺規作圖(保留作圖痕跡，不要求寫出作法):

如圖，已知線段相，n.求作△ABC,使乙4=90°,AB=m,BC=n.

n

【答案】見解析

【分析】作直線/及/上一點4過點A作/的垂線；在/上截取48=??；作8。=九；即可得到AaBC.

【詳解】解：如圖所示：AABC為所求.

注：(1)作直線/及/上一點A；

(2)過點A作/的垂線；

(3)在/上截取=m；

(4)作BC=n.

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型.

2.(2023?江蘇南京?中考真題)在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點4旋轉一個角度火0。<8<180。),

再將旋轉后的多邊形以點a為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k,稱這種變

換為自旋轉位似變換.若順時針旋轉，記作7(4順。，fc);若逆時針旋轉，記作7(4,逆仇k).

例如：如圖①，先將AABC繞點B逆時針旋轉50。，得到△&BG，再將Aa/G以點B為位似中心縮小到原

來的點得到A&BCZ，這個變換記作T(B,逆50。，

(1)如圖②，ZkABC經過T(C,順60。，2)得到用尺規作出△49C.(保留作圖痕跡)

(2)如圖③，AABC經過7(B,逆a,kJ得至IJAEBD,AaBC經過T(C,順0,得至IJAFDC,連接4E,AF.求

證：四邊形4FDE是平行四邊形.

D

E.

(3)如圖④，在△ABC中，乙4=150。,48=2,4C=1.若AaBC經過(2)中的變換得到的四邊形4FDE

是正方形.

①用尺規作出點。(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)；

②直接寫出力E的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)①見解析；②竽

【分析】(1)旋轉60。，可作等邊三角形DBC,ACE,從而得出B點和點4對應點D,E,進而作出圖形；

(2)根據AEBD和AABC位似，AFDC與△ABC位似得出NEBD=N力BC,髻=鋁，笠=級，進而推出4

ABBCCDBC

EBAfDBC,從而殷=再，進而得出4E=DF,同理可得：DE=AF,從而推出四邊形力FDE是平行四邊

CDBC

形；

(3)要使EL4FDE是正方形，應使NE4F=90°,AE=AF,從而得出NB4E+^FAC=270°-AC=120°,

從而得出4OBC+乙DCB=120°,從而N8DC=60°,于是作等邊△BCG,保證480。=NG=60°,作直徑BD,

保證BD=2CD,這樣得出作法.

【詳解】(1)解：如圖1,

圖1

1.以B為圓心，BC為半徑畫弧，以C為圓心，8c為半徑畫弧，兩弧在BC的上方交于點。，分別以力，C為圓

心，以力C為半徑畫弧，兩弧交于點E,

2.延長CD至B',使。8'=CD,延長CE至4,使4E=CE,連接4B',

則444C就是求作的三角形；

(2)證明：???△EBO和位彳以，△FOC與位彳以,

BE_BDDFAB

Z.EBD=Z.ABC,

AB~BCCDBC9

???Z-EBA=乙DBC,

EBADBC,

AEAB

:.---=----,

CDBC

AEDF

--=--9

CDCD

AE=DF,

同理可得：DE=AF,

.??四邊形4FDE是平行四邊形;

(3)解：如圖2,

2.作等邊三角形BCG的外接圓0,作直徑BD,連接CD,

3.作N08E=Z_ABC,Z.BDE=/.ACB,延長84,交O。于F,連接CF,DF,

則四邊形4FDE是正方形,

證明：由上知：AEBAfDBC,AFAC-ADBC,

AE_AB_2AF_AC1

/.BAE=Z.DCB,/.FAC=乙DBC,CD-BC~BC"BD~BCBC‘

Z.BAE+Z-FAC=Z-DCB+/JDBC,

要使團/FOE是正方形，應使乙E/F=90。，AE=AF,

???乙BAE+乙FAC+乙BAC=270°,BD=2CD,

???/-BAE+/.FAC=270°-Z.BAC=270°-150°=120°,

???(DBC+乙DCB=120°,

(BDC=60°,

???作等邊△BCG,保證乙BDC=4G=60。，作直徑BD,保證BO=2CD,這樣得出作法；

???乙ABE=乙DBC=30°,/LEAB=(BCD=90°,AB=2,

廠V3Nn2^3

AAE=—AB=—.

33

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，確定圓的條件，尺規作圖等知識，解決問題

的關鍵是較強的分析能力.

＞題型06作角平分線

1.(2024?西藏?中考真題)如圖，在RtAdBC中，ZC=90°,以點8為圓心，適當長為半徑作弧，分別交BC,

于點。，E,再分別以點。，E為圓心，大于:DE的長為半徑作弧，兩弧在乙48。的內部相交于點P,作

射線BP交4C于點F.已知CF=3,AF=5,貝IjBF的長為.

【答案】3V5

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：作角平分線，角平分線的性質定理，勾股定理及全等三角形的判定與

性質等知識.根據基本作圖可判斷BF平分N4BC,過尸作FG14B于G,再利用角平分線的性質得到GF=

CF=3,根據勾股定理求出力G=-xlAF2-FG2=V52-32=4,證明Rt△CBFmRt△GBF,得出BG=BC,

設BG=BC=x,則48=4+x,AC=AF+CF=5+3=8,根據勾股定理得出8?+/=(4+乂尸，求出

x=6,根據勾股定理求出BF=VCF2+BC2=V32+62=3V5.

【詳解】解：過/作FG1AB于G,

：.GF=CF=3,

在Rt△4FG中根據勾股定理得：AG=y/AF2-FG2=V52-32=4,

VFG=CF,BF=BF,

???Rt△CBF三RtAGBF(HL),

BG-BC,

設BG=BC=x,貝!MB=4+X,AC=AF+CF=5+3=8,

在口△ABC中，根據勾股定理得：

AC2+BC2=AB2,

即：82+x2=(4+x)2,

解得：x=6,

BC=6,

在Rt△8CF中根據勾股定理得：BF=yJCF2+BC2=V32+62=3星.

故答案為：3瓜

2.(2024.江蘇宿遷?中考真題)如圖，在AABC中，NB=50。，NC=30。，4。是高，以點A為圓心，力B長

為半徑畫弧，交力C于點E,再分別以8、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在ABAC的內部交于點

F,作射線4F,貝吐￡MF=.

【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內角和定理，根據題意得出力F平分NB4C,然后利用三角形

內角和定理求解即可.

【詳解】解：因為NB=50。，ZC=30°,

所以N84C=180°-50°-30°=100°,

根據題意得：4F平分NB4C,

所以NB4F=l^BAC=50°,

因為4。為高，

所以N8D4=90°,

所以NB/W=180°-50°-90°=40°,

所以N￡MF=/.BAF-/.BAD=50°-40°=10°,

故答案為：10。.

3.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在A48C中，AB>AC.

（1）尺規作圖：作NB4C的角平分線，在角平分線上確定點D,使得DB=DC；（不寫作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下，若NBAC=90。，4B=7,AC=5,則2。的長是多少？（請直接寫出4。的值）

【答案】（1）見詳解

（2）672

【分析】（1）作NB4C的角平分線和線段BC的垂直平分線相交于點。，即為所求.

（2）過點￡＞作。E1交28與點E,過點￡）作DF14C交AC與點R先利用角平分線的性質定理證明四邊

形2EDF為正方形，設4E=49=EO=DF=x,貝!=7—x,FC=5-x,以。8=DC為等量關系利用

勾股定理解出x,在利用勾股定理即可求出4D.

【詳解】（1）解：如下圖：4。即為所求.

（2）過點D作OE1交48與點E,過點。作OF1AC交2C與點F,

貝4ED=Z.AFD=90°,

又:乙BAC=90°

???四邊形4EDF為矩形，

必。是N84C的平分線，

：.DE=DF,

???四邊形4EDF為正方形，

??AE=AF=ED=DF,

設/E=AF=ED=DF=X,

■,■BE=AB-AE=7—x,FC=AC-AF=5—x,

在RtABED中，BO?=E￡)2+8E2=%2+(7一%)2,

在RtACFD中，CD2=DF2+FC2=%2+(5-%)2,

■：DB=DC

：.DB2=DC2

■■-x2+(7—x)2—x2+(5—x)2

解得：x=6,

■.AD=VXF2+DF2=V62+62=6V2.

【點睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質定理，正方形的判定以及勾股定理

的應用，作出圖形以及輔助線是解題的關鍵.

＞題型07作垂線

1.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，已知尸是。。外一點.用兩種不同的方法過點尸作。。的一條切線.要

求：

（1）用直尺和圓規作圖；

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

【答案】答案見解析.

【分析】方法一：作出。尸的垂直平分線，交。P于點A,再以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交。。于點

Q，連結P。，尸0即為所求.

方法二：根據等腰三角形的性質三線合一作。。的切線，作射線P。，交O。于點M,N,以P為圓心，P。為

半徑作OP,以。為圓心，MN的長為半徑畫弧交OP于點2,連接24,。4,。4交0。于點3,則APA。是等腰

三角形，。8=［。4貝IJPB1Q4,PB即為所求.

作法：連結尸。，分別以尸、。為圓心，大于孑。的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結兩點交PO于點A；

以點A為圓心，用長為半徑畫弧，交。。于點。連結尸。，P。即為所求.

作法：作射線P0,交O。于點M,N,以P為圓心，P。為半徑作OP,以。為圓心，MN的長為半徑畫弧交OP于

點4,連接以,。4。4交00于點B，則AP力。是等腰三角形，08=卯4則PBLCM,PB即為所求.

【點睛】本題考查了作圖一復雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，

圓的作法等知識點.復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖.解題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性

質，結合基本幾何圖形的性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

＞題型08作等腰三角形

1.（2024?福建泉州?模擬預測）如圖，在RtAAOB中，乙4。3=90。，2。=3,B0=4,C是直線B0上一個

動點，若AABC是等腰三角形.

⑵求0C的長.

【答案】(1)見