專題16相似三角形

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一黃金分割

A考向二平行線分線段成比例

A考向三相似三角形的判定與性質

A考向四相似三角形的應用

A考向五位似變換

A考向六相似形綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）

知識目標

1.了解比例的基本性質、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割；

2.掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

3.了解相似三角形的判定定理和性質定理；

4.通過具體實例認識圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；

5.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.

,中考解密

該板塊內容主要考查相似的性質和判定，2024年各地中考仍以考查基礎為主，在選擇題中單獨考查，是

廣大考生的得分點，相似應用的考查，主要體現在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長問題

時和勾股定理、三角函數一起運用，此時解答題的難度變大，綜合性就較強了，分值在15分左右，為避

免丟分，應扎實掌握，靈活應用。

重點考向

A考向一黃金分割

1.(2023?綿陽)黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫

黃金構圖法.其原理是：如圖，將正方形ABC。的底邊取中點E,以￡為圓心，線段。E為半徑作

圓，其與底邊的延長線交于點R這樣就把正方形ABC。延伸為矩形稱其為黃金矩形.若

CP=4a,則AB=()

A.(巡-1)aB.(275-2)aC.(V5+1)aD.(275+2)a

2.(2023?泰安)如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.以點B為圓心，任意長為半徑作

2

弧，交AB于點F,交8c于點G,分別以點尸和點G為圓心，大于受FG的長為半徑作弧，兩弧相交

_1

于點H,作射線8”交AC于點。；分別以點8和點。為圓心，大于工5。的長為半徑作弧，兩弧相交

于M、N兩點，作直線交48于點E,連接。E.下列四個結論：?ZAED=ZABC；②BC=AE；

③ED=2BC；④當AC=2時，AD=4S1.其中正確結論的個數是()

3.(2023?黃石)關于x的一元二次方程^+iwc-1=0,當機=1時，該方程的正根稱為黃金分割數.寬

與長的比是黃金分割數的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農神廟采用的就是黃金矩形的設計；我國著

名數學家華羅庚的優選法中也應用到了黃金分割數.

(1)求黃金分割數；

(2)已知實數8滿足：次+M〃=1,2mb=4,且厚-2a,求出?的值；

(3)已知兩個不相等的實數p,q滿足：p2+np-l=q,q2+nq-l=p,求pq-〃的值.

A考向二平行線分線段成比例

解題技巧/易錯易混

1.比例的基本性質：組成比例的四個數，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做

比例的內項.

2.對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如

a：b=c：d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

3.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系.

4.（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A,

B,C都在橫線上.若線段AB=3,則線段BC的長是（）

A.3B.1C.2D.2

5.（2022?襄陽）如圖，在AABC中，。是AC的中點，AABC的角平分線AE交8。于點孔若BF：FD

=3：1,AB+BE=3M,貝！U4BC的周長為.

6.（2023?岳陽）如圖，在。。中，為直徑，BD為弦,點C為BD的中點，以點C為切點的切線與A3

的延長線交于點E.

（1）若/A=30。，AB=6,則前的長是（結果保留兀）；

CF2CE

(2)若AF=3,則AE=

A考向三相似三角形的判定與性質

解題技巧/易錯易混

1.相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相

似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；③相似

三角形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以

推出相似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原

三角形相似；②三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比

相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

3.相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

4.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

5.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個

圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

7.（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4,則這兩個三角形對應邊的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

8.（2023?紹興）如圖，在AABC中，。是邊8C上的點（不與點8,C重合）.過點。作。交AC

于點E;過點。作。/〃AC交A8于點尸、N是線段8尸上的點，BN=2NF：M是線段DE上的點，DM

=2ME.若已知ACMN的面積，則一定能求出（）

B.ABDF的面積

C.A8CN的面積D.AOCE的面積

9.（2023?蘇州）如圖，AABC是。。的內接三角形，A8是。。的直徑，AC=V5,BC=2相，點、F在

AB上，連接CF并延長，交。。于點。，連接B。，作垂足為E.

（1）求證：ADBEs^ABC；

（2）若AF=2,求即的長.

A考向四相似三角形的應用

10.（2023?南充）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然

后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲

的眼睛離地面高度為L6〃z,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,則

pc0D2

11.（2023?鎮江）如圖，用一個卡鉗（AO=8C,0B=0A=3'）測量某個零件的內孔直徑AB,量得CQ

長度為6c7“，貝！JAB等于cm.

12.（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存

最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品.某數學興趣小

組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度.東塔的高度為

AB,選取與塔底2在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為15〃的標桿所和

GH,兩標桿間隔EG為46m,并且東塔AB,標桿EF和GH在同一豎直平面內.從標桿所后退2m到

D處（即成）=2冽）,從。處觀察A點，A、F、。在一直線上；從標桿G8后退4加到C處（即CG=

4m）,從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且2、E、D、G、C在同一直線上，請你根據

以上測量數據，幫助興趣小組求出東塔的高度.

A考向五位似變換

解題技巧/易錯易混

位似圖形與坐標：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖

形對應點的坐標的比等于k或-k.

13.(2023?朝陽)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2,2)，B(4,1),以原點O為位似中心,

C.(4,4)D.(4,4)或(-4,-4)

14.(2023?綏化)如圖，在平面直角坐標系中，AABC與的相似比為1：2,點A是位似中心，己

知點A(2,0),點C(a,b),ZC=90°.則點。的坐標為.(結果用含①6的式

子表示)

y

B'一

Bx

C'

15.(2023?盤錦)如圖，2AB0的頂點坐標是A(2,6),B(3,1),。(0,0),以點。為位似中

心，將AABO縮小為原來的3,得到90,則點4的坐標為

1

A考向六相似形綜合題

16.(2023?蒲澤)(1)如圖1,在矩形ABC。中，點E,尸分別在邊。C,BC上,AE±DF,垂足為點

G.求證：AADES^DCF.

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABC。中，點E,尸分別在邊DC,BC±.,AE=L)F,延長8C到點〃，使CH

=DE,連接08.求證：ZADF^ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點E,F分別在邊DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,ZAED=

60°,求CF的長.

_____________________PADAD

3

BFcB-------F-------c--------HBFC

圖1圖2圖3

17.(2023?湖州)【特例感知】

(1)如圖1,在正方形A2C￡＞中，點尸在邊AB的延長線上，連結PD,過點。作@W_LPZ),交BC

的延長線于點M.求證：4DAP會4DCM.

【變式求異】

(2)如圖2,在R3ABC中，ZABC=90°,點。在邊AB上，過點。作。Q_L4B,交AC于點0,點

尸在邊AB的延長線上，連結尸。，過點0作QW_LPQ,交射線2C于點M.己知BC=8,AC=10,

A￡)=

PQ

2DB,求QM的值.

【拓展應用】

(3)如圖3,在RtA4BC中，N8AC=90。，點P在邊AB的延長線上，點。在邊AC上(不與點A,

C重合)，連結尸。，以。為頂點作NPQM=NPBC,NPQM的邊QW交射線BC于點M.若AC=

PQ

Si圖2圖3

最新直朕三奉

1.（2023?濟南）如圖，在AABC中，AB^AC,NBAC=36。，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于

點、D,再分別以2,。為圓心，以大于28。的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線CP交AB于點

E,連接。E.以下結論不正確的是（）

B.BC^AE

S2kAECV5+1

BE型-1

C.AC=2SABEC

2.（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，

再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片

ABCD,其中/A=90。，AB=9,BC=1,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能

是（）

A.2B.4C.10D.4

3.（2022?連云港）AABC的三邊長分別為2,3,4,另有一個與它相似的三角形。其最長邊為12,

則AOEF的周長是（）

A.54B.36C.27D.21

4.（2023?東營）如圖，AABC為等邊三角形，點D,E分別在邊BC,AB±,ZADE=60°.若BD=

4DC,OE=2.4,貝的長為（）

A

C.3D.3.2

5.（2023?東營）如圖，正方形A8CD的邊長為4,點、E,尸分別在邊。C,8c上，且Bb=CE,AE平分

ACAD,連接。F,分別交AE,AC于點G,M.P是線段AG上的一個動點，過點尸作PNLAC,垂足

為N,連接PM.有下列四個結論:

①AE垂直平分。M；

②RW+PN的最小值為3&；

③CF?=GE?AE；

④SAADM=6.

其中正確的是（）

6.（2023?浙江）如圖，在直角坐標系中，AABC的三個頂點分別為A（1,2）,8（2,1）,C（3,

2）,現以原點O為位似中心，在第一象限內作與AABC的位似比為2的位似圖形AAbC,則頂點C

7.（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為AAOB的0A邊上一點，AC：0c=1：2,過C作

C￡>〃OB交AB于點。，C、。兩點縱坐標分別為1、3,則2點的縱坐標為（）

8.（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB=SOcm,兩個端點A,B固定在樂器面板上，支撐點C是靠

近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C,D之間的距離為

cm.（結果保留根號）

BE

9.（2023?北京）如圖，直線AD,BC交于點、O,AB//EF//CD,若AO=2,。尸=1,FD=2,則EC的值

為

10.（2023?懷化）在平面直角坐標系中，AAOB為等邊三角形，點A的坐標為（1,0）.把AAOB按如圖

所示的方式放置，并將AAOB進行變換：第一次變換將AAOB繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長擴

大為AAOB邊長的2倍，得到AAiOB；第二次旋轉將AAiOBi繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長擴

大為△4031邊長的2倍，得到△42。&,….依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023O&023的邊長

11.（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別是0（0,0）,A（1,

0）,8（2,3）,C（-1,2）,若四邊形與四邊形OABC關于原點。位似，且四邊形

049。的面積是四邊形O4BC面積的4倍，則第一象限內點夕的坐標為

12.(2023?黑龍江)如圖①，ZkABC和zVlOE是等邊三角形，連接。C,點FG,H分別是。E,0c和

BC

的中點，連接尸G,FH.易證：FH=?FG.

若A48C和AWE都是等腰直角三角形，且/8AC=NZME=90。，如圖②；若“BC和AAOE都是等腰

三角形，且/A4c=/ZME=120。，如圖③；其他條件不變，判斷切和EG之間的數量關系，寫出你

的猜想，并利用圖②或圖③進行證明.

D/F\E

13.(2023?婁底)鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都

是標準五角星，為了增強學生的國家榮譽感、民族自豪感等，數學老師組織學生對五角星進行了較深

入的研究，延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標準五角星，如圖，正五邊形ABCDE

的邊BA、OE的延長線相交于點孔NEAF的平分線交于點

(1)求證：AE^=EF,EM；

(2)若AE=1,求AE的長；

S正五邊形ABCDE

(3)求SAAEF的值.

F

14.（2023?江西）課本再現

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發現并證明菱形的一個判定定理；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

定理證明

（1）為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過

程.

已知：在。4BCD中，對角線8D_LAC,垂足為。.

求證：nABCD是菱形.

圖I

知識應用

(2)如圖2,在口ABCQ中，對角線AC和80相交于點。，AD=5,AC=8,BD=6.

①求證：口ABC。是菱形;

1OF

②延長8C至點E,連接OE交CD于點R若NE=2/ACD求EF的值.

15.(2023?內蒙古)已知正方形ABC。，E是對角線AC上一點.

(1)如圖1,連接BE,DE.求證：4ABE咨AADE；

(2)如圖2,尸是QE延長線上一點，。F交A8于點G,BFLBE.判斷AEBG的形狀并說明理由;

AE

(3)在第(2)題的條件下，BE=BF=2.求AB的值.

圖I圖2

16.(2023?常州)如圖1,小麗借助幾何軟件進行數學探究：第一步，畫出矩形ABC。和矩形所G8,點

ABEF

E、尸在邊AB上(EFVAB),且點C、D、G、X在直線AB的同側；第二步，設AD=m，EH=n,矩

形EBG8能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊所的中點O,射線08與射線AD相交于點尸(點

P、。不重合)，射線0G與射線BC相交于點。(點。、C不重合)，觀測。尸、C。的長度.

(1)如圖2,小麗取AB=4,斯=3,相=1,”=3,滑動矩形EFGH,當點E、A重合時，CQ=

7_

I；

(2)小麗滑動矩形EFGH,使得。恰為邊48的中點.她發現對于任意的DP=CQ總成立.請

說明理由；

(3)經過數次操作，小麗猜想，設定m.n的某種數量關系后，滑動矩形EFGH,DP=CQ總成

立.小麗的猜想是否正確？請說明理由.

（圖1）

專題16相似三角形

考點回歸

線段的比L定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

2.判定四條線段是否成比例：只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比

與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結

果與所選取的單位無關系.

比例中項

如果即b?=ac,我們就把b叫做a,c的比例中項.

比例的性質ac

性質1乃二d=ad=be(a,b,c,d聲0).

aca±bc±d

性質2：如果b=那么bd

acma+c+...+mm

性質3:如果b=d=…="(b+d+…+n*0),則b+d+...+〃=曾(不唯一).

平行線分線段1.三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

成比例定理2推論：

(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比

例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那

么這條直線平行于三角形的第三邊。

(2)平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三

邊對應成比例。

黃金分割把線段AB分成兩條線段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中

項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中

\/5—1

AC=2AB?0.618AB

相似三角形的1.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應

判定及性質邊的比叫做相似比.

2.性質：

(1)相似三角形的對應角相等；

(2)相似三角形的對應線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；

(3)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：

(1)有兩角對應相等，兩三角形相似；

(2)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；

(3)三邊對應成比例，兩三角形相似；

(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定(1)；

(2)條件中若有一對等角，可再找一對等角［用判定(1)］或再找夾邊成比例［用判定

(2)］；

(3)條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；

(4)條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；

(5)條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成

比例.

相似多邊形1.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應

邊的比叫做它們的相似比.

2.性質：

(1)相似多邊形的對應邊成比例；

(2)相似多邊形的對應角相等；

(3)相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

A字型及其變1.如圖1,公共角所對的邊平行(DE〃BC),則△ADEs^ABC；

形2.如圖2,公共角的對邊不平行，且有另一組角相等(4AED=4ABC或/ADE=

ZACB),則△AEDS/\ABC.

-4A

△A

BC"圖2

8字型及其變1.如圖1,對頂角的對邊平行(AB〃CD),則△ABOYDC。；

形2.如圖2,對頂角的對邊不平行，且有另一對角相等(4B=2D或4A=4C),則

△ABO^ACDO.

共邊共角型

已知：N1=N2,結論：A/CDsA45c

已知，如圖①②③中：ZB=ZACE=ZD.

結論：△ABCs2XCDE

旋轉型

如圖①，已知DE〃BC,將△ADE繞點A旋轉一定的角度，連接BD、CE,得到

如圖②，結論：△ABDs2\ACE。

垂直型

如圖，在Rt三角形ABC中，4C=90°,CD為斜邊AB上的高

結論：A245cs△BCD

定義如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在

同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫

做位似比.

性質1.在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k,那么位似圖形對

應點的坐標的比等于k或-k;

2.位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

找位似中心的將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位

方法似中心.

畫位似圖形的L確定位似中心；

步驟2.確定原圖形的關鍵點；

3.確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數；

4.作出原圖形中各關鍵點的對應點；

5.按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點.

相似三角形的L利用影長測量物體的高度.

應用①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角

形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.

②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長

度.

2.利用相似測量河的寬度（測量距離）.

①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”型或“X”型相似圖，

三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角

形.

②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬

度.

3.借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的

高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區的知識構建相似三角形，用相似三角形對應

邊

的比相等的性質求物體的高度.

專題16相似三角形

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知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一黃金分割

A考向二平行線分線段成比例

A考向三相似三角形的判定與性質

A考向四相似三角形的應用

A考向五位似變換

A考向六相似形綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）

知識目標

1.了解比例的基本性質、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割；

2.掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

3,了解相似三角形的判定定理和性質定理；

4.通過具體實例認識圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；

5.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.

士中考解密

該板塊內容主要考查相似的性質和判定，2024年各地中考仍以考查基礎為主，在選擇題中單獨考查，是

廣大考生的得分點，相似應用的考查，主要體現在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長問題

時和勾股定理、三角函數一起運用，此時解答題的難度變大，綜合性就較強了，分值在15分左右，為避

免丟分，應扎實掌握，靈活應用。

皂

三重點考向

A考向一黃金分割

1.(2023?綿陽)黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫

黃金構圖法.其原理是：如圖，將正方形A8CD的底邊取中點E,以E為圓心，線段。E為半徑作

圓，其與底邊的延長線交于點R這樣就把正方形ABC。延伸為矩形稱其為黃金矩形.若

D.(2V5+2)a

AB

【思路點撥】設AB=x,根據正方形的性質可得AB=BC=x,然后根據黃金矩形的定義可得而=

娓-1xV5-1

2,從而可得x+4a2,最后進行計算即可解答.

【規范解答】解：設AB=x,

.四邊形ABCD是正方形，

?\AB=BC=x,

?.?矩形ABFG是黃金矩形，

ABV5-1

.?.麗=2,

x一］

x+4a=2,

解得：x=(2+2V5)a,

經檢驗：尤=(2+275)。是原方程的根，

：.AB=(2+2V5)a,

故選：D.

【真題點撥】本題考查了黃金分割，正方形的性質，矩形的性質，熟練掌握黃金分割的定義是解題的

關鍵.

2.(2023?泰安)如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.以點B為圓心，任意長為半徑作

弧，交于點尸，交BC于點G,分別以點尸和點G為圓心，大于2FG的長為半徑作弧，兩弧相交

于點

_1

H,作射線交AC于點。；分別以點2和點。為圓心，大于22。的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N

兩點，作直線A/N交A8于點E,連接DE.下列四個結論：①/AED=/ABC；②BC=AE；③ED=

2BC；④當AC=2時，AD=yj5-1.其中正確結論的個數是()

A

B.2C.3D.4

【思路點撥】根據角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，可得到△5CO也是含有36。角的等腰三

角形，進而得出AD=BD=BC,再根據三角形內角和定理和等腰三角形的判定，進一步得出AE=AD

=BD=BC,對①作出判斷；在根據平行線的判定方法可得出DE//BC,對①作出判斷；由AE豐BE,

可得OE不是AABC的中位線，對③作出判斷，最后再根據相似三角形的判定和性質，得出

△BCDsAABC,進而求出5C,即即可對④作出判斷.

【規范解答】解：由題意可知，3。是NA3C的平分線，是線段的中垂線，

'：AB=AC,NA=36。，

1800-36°

JZABC=ZACB=2=72。,

???5D是N45C的平分線，

???ZABD=ZCBD=2ZABC=36°=ZAf

：.AD=BD.

在△SCO中，ZC=72°,ZCBD=36°,

：.ZBDC=1SO0-36°-72。=72。="

:.BD=BC,

：.AD=BD=BC,

???MN是3。的中垂線，

：.EB=ED,

：.ZBDE=480=36。=ZCBD,

：.DE//BC,

：.ZAED=ZABC,

因此①正確，

：.AE=AD=BD=BC,

因此②正確；

由于DE不是△ABC的中位線，

因此③不正確；

ZCBD=ZBAC=36°fZBCD=ZACB=72°,

AABCD^AABC,

ACBC

.-.BC=CD,

即BC1=AC*CD,

設BC=x,則CD=2-X,

.'.x2=2x(2-x),

解得尤=-1-V5(舍去)或尤=旄-1,

即2C=遍-1=A￡),

因此④正確，

綜上所述，正確的結論有①②④，共有3個，

故選：C.

【真題點撥】本題考查角平分線，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理以及相似三角形的判

定和性質，掌握角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和是180。以及相似三角形的

判定和性質是正確解答的前提.

3.(2023?黃石)關于x的一元二次方程^mx-1=0,當機=1時，該方程的正根稱為黃金分割數.寬

與長的比是黃金分割數的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農神廟采用的就是黃金矩形的設計；我國著

名數學家華羅庚的優選法中也應用到了黃金分割數.

(1)求黃金分割數；

(2)已知實數a,b滿足：cr+ma-1,b2-2mb=4,且厚-2a,求ab的值；

(3)已知兩個不相等的實數p,q滿足：p2+np-l=q,q2+nq-l=p,求pq-w的值.

【思路點撥】(1)依據題意，將巾=1代入然后解一元二次方程爐+無-1=0即可得解；

_b_bb_

(2)依據題意，將b2-2mb=4變形為(-'2)2+m-(-3)-1=0,從而可以看作a,-5是一元

二次方程f+優尸1=0的兩個根，進而可以得解；

(3)依據題意，將已知兩式相加減后得到，兩個關系式，從而求得pq,進而可以得解.

【規范解答】解：(1)由題意，將機=1代入/+"吠-1=0得，x2+x-1=0,

-1±IF-4X(-1)-1士巡

.,.xi,2=2=2

???黃金分割數大于0,

?,?黃金分割數為-2一.

(2),??〃-2皿=4,

J/-2mb-4=0.

b_b_

(-2)2+m*(-2)-1=0.

又厚-2a,

b_

???〃，-2是一元二次方程/+皿-1=0的兩個根.

_b

,,.4?（-2）=1.

?*ab~~2.

（3）由題意，令優+np_l=q①，q2+nq-l=p②，

.??①+②得，（p?+q2）+幾（p+g）-2=p+q,

（〃+q）2-2pq+n（p+q）-2=p+q.

又①一②得，（pz-/）+n（〃—q）=—（〃—q）,

,?》，9為兩個不相等的實數，

:.p一妙0,

（p+q）+幾=-1.

；?p+q=-n~1.

又（p+q）2-2pq+n（p+q）-2=p+q.

（一九一1）2-2pq+n（-n-1）-2=一n-1.

n2+2n+l-2pq-n2-n-2=-n-1.

:*pq=n.

pq-n=0.

【真題點撥】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握根與系數的關系，靈活

運用所學知識解決問題.

A考向二平行線分線段成比例

解題技巧/易錯易混

1.比例的基本性質：組成比例的四個數，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做

比例的內項.

2.對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如

a：b=c：d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

3.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

比

是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系.

4.（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A,

B,C都在橫線上.若線段AB=3,則線段8c的長是（）

23_

A.3B.1C.2D.2

【思路點撥】過點A作平行橫線的垂線，交點2所在的平行橫線于D,交點C所在的平行橫線于E,

根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【規范解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點2所在的平行橫線于￡>,交點C所在的平行橫線于

E,

ABAD3

則BC=DE,即BC=2,

3

解得：BC=2,

【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

5.（2022?襄陽）如圖，在AABC中，。是AC的中點，AABC的角平分線AE交出）于點R若2月：FD

=3：1,AB+BE=3M,貝！U4BC的周長為5M.

【思路點撥】如圖，過點F作FMLAB于點M,FN1AC于■點、N,過點。作。T〃AE交8c于點T.證

明A8=3AD,設A￡）=CD=a,證明ET=CT,設ET=CT=b,則BE=3Zb求出。+6,可得結論.

【規范解答】解：如圖，過點尸作PMLAB于點M,FNLAC于WN,過點。作。T〃AE交BC于點

T.

平分NBAC,FMLAB,FN1AC,

：.FM=FN,

y-AB-FM

,△ABFBF1

WF=DF=T，AD，FN=3,

：.AB=3AD,

設AO=Z）C=a,則AB=3a,

"：AD=DC,DT//AE,

：.ET=CT,

BEBF

...方=市=3,

設ET=CT=b,則BE=36,

■:AB+BE=3M,

.?.3。+36=3近，

/.a+b="43,

：./\ABC的周長=A8+AC+8C=5a+56=5?,

故答案為：573.

【真題點撥】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會利

用參數解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

6.（2023?岳陽）如圖，在。。中，為直徑，BD為弦,點C為俞的中點，以點C為切點的切線與

的延長線交于點E.

（1）若NA=30。，AB=6,則BC的長是.（結果保留兀）；

CF1CE1

（2）若AF=3,則AE=_2_.

【思路點撥】（1）連接OC,根據圓周角定理可得NBOC=60。，利用弧長公式即可求出BC的長；

（2）連接OC,根據垂徑定理得到0CL2。，再由切線得到EC//BD,利用平行線分線段成比例得出

型」

AB-3,再根據勾股求出EC=2x,代入比例式即可解決問題.

【規范解答】解：（1）如圖，連接OC,

VZA=30°,AB=6,

：.ZBOC=6Q°,OB=3,

—60兀X3

BC的長=180=7t；

故答案為：兀；

（2）如圖，連接OC,

?.?點C為面的中點，

BC=DC,

OCLBD,

又「EC是。。的切線，

二OCLEC,

：.EC//BD,

CF2

VAF=I,

EB1

.??瓦而，

3.5_

設班=x,貝A2=3x,BO—OC—^x,EO—2.r,AE—4x,

...EC=V^?J（fX）2-（fX）2=2x,

CE2x1

AE=4x=2.

1

故答案為：2.

【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理、圓周角定理、切線的判定與性質，勾股定理,

弧長的計算，掌握圓周角定理、切線的判定與性質是關鍵.

A考向三相似三角形的判定與性質

解題技巧/易錯易混

1.相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相

似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；③相似

三角形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以

推出相似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原

三角形相似；②三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比

相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

3.相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

4.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

5.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個

圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

7.（2023?重慶