重難點突破05幾何動點及最值、存在性問題

目錄

題

型

01將軍飲馬問題

型

題

02胡不歸問題

型

題

03阿氏圓問題

型

題

04隱圓問題

型

題

05費馬點問題

型

題

06瓜豆原理模型

型

題

07等腰（邊）三角形存在問題

型

題

08直角三角形存在問題

型

題

平行四邊形存在問題

型

題09

型

題10矩形、菱形、正方形存在問題

型

題11全等/相似存在性問題

12角度存在性問題

【命題趨勢】動態幾何問題是近年來中考的一個重難點問題，以運動的觀點探究幾何圖形或函數與幾何圖

形的變化規律，從而確定某一圖形的存在性問題.隨之產生的動態幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，

伴隨著出現一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題.

【基本原理】

1)基本原理（定點到定點）:兩點之間，線段最短.

2)三角形兩邊之和〉第三邊

3)基本原理（定點到定線）:垂線段最短.

4)平行線的距離處處相等.

5)基本原理（定點到定圓）:點圓之間,點心線截距最短（長）.

6)基本原理（定線到定圓）線圓之間,心垂線截距最短.

7)基本原理（定圓到定圓）:圓圓之間,連心線截距最短（長）.

【解題思路】

1）動態幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態幾何也有直線型的和

曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態幾何問題，也有圓中的動態問題.有點動、線動、面

動，就其運動形式而言，有平移、旋轉、翻折、滾動等.根據其運動的特點，又可分為（1）動點類（點

在線段或弧線上運動）也包括一個動點或兩個動點；（2）動直線類；（3）動圖形問題.

2）解決動態幾何題，通過觀察，對幾何圖形運動變化規律的探索，發現其中的“變量”和“定量”動中求

靜，即在運動變化中探索問題中的不變性；動靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉化為特殊問題，從

而找到“動與靜”的關系；這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結合推理，得出

結論.解決這類問題，要善于探索圖形的運動特點和規律抓住變化中圖形的性質與特征，化動為靜，以靜

制動.解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住

其中的等量關系和變量關系，并特別關注一一些不變量和不變關系或特殊關系.

3）動態幾何形成的存在性問題，重點和難點在于應用分類思想和數形結合的思想準確地進行分類，包括等

腰（邊）三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題.全

等三角形存在問題，相似三角形存在問題等.

題型01將軍飲馬問題

1.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形2BCD是矩形，AB=V10,AD=4五,點尸是邊AD上一點（不

與點4。重合）,連接PB,PC.點M,N分別是PB,PC的中點，連接MN,AM,DN,點E在邊4D上,ME\\DN,

則4M+ME的最小值是（）

A.2V3C.3V2D.4V2

2.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點￡在邊BC上，且BE=1,歹為對角線8。上

一動點，連接CF,EF,貝UCF+EF的最小值為.

BEC

3.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形A8C的直角頂點C（3,0）,

頂點A、B（6,巾）恰好落在反比例函數y=§第一象限的圖象上.

Cx

（1）分別求反比例函數的表達式和直線4B所對應的一次函數的表達式；

（2）在無軸上是否存在一點尸，使AABP周長的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

題型02胡不歸問題

4.（2022?內蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,AD1BC,垂足為

尸為線段上的一動點，連接P8、PC.則B4+2PB的最小值為

5.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形4BC的外接圓，其半徑為4.過點B作于

點E,點尸為線段BE上一動點（點尸不與8,E重合），則CP+^BP的最小值為

6.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，乙48c=30。，AC=4,按下列步驟作

圖：①在4C和4B上分別截取力。、AE,使②分別以點。和點E為圓心，以大于抄E的長為半徑

作弧，兩弧在ABAC內交于點M.③作射線力M交BC于點凡若點P是線段4F上的一個動點，連接CP,則

CP+的最小值是

題型03阿氏圓問題

7.（2023?山東煙臺?中考真題）如圖，拋物線y=a/+"+5與久軸交于4B兩點，與y軸交于點C,48=4.拋

物線的對稱軸x=3與經過點力的直線y=kx-1交于點D,與x軸交于點E.

備用圖

（1）求直線2。及拋物線的表達式;

(2)在拋物線上是否存在點M,使得△力DM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為OB上一個動點，請求出PC+^PZ的最小值.

8.(2023?山東濟南?一模)拋物線曠=一3久2+6-1)久+2(1與無軸交于4(h0),B(4,0)兩點，與y軸交于點

C(0,c),點P是拋物線在第一象限內的一個動點，且在對稱軸右側.

(2)如圖1,連接BC、AP,交點為M,連接P8,若受妲=；,求點p的坐標；

^LAMB4

(3)如圖2,在(2)的條件下，過點P作％軸的垂線交x軸于點E,將線段OE繞點。逆時針旋轉得到。E',旋轉

角為a(0。<a<90。)，連接E'B,E'C,求+|E￡的最小值.

題型04隱圓問題

9.(2022?山東泰安.中考真題)如圖，四邊形力BCD為矩形，AB=3,BC=4.點尸是線段8c上一動點，點

M為線段4P上一點.^ADM=/.BAP,則8M的最小值為()

A.|B.fC.V13-|D.V13-2

10.（2022.安徽蚌埠?一模）如圖，RtAABC中，AB1BC,AB=8,BC=6,P是△28C內部的一個動點,

滿足NP48=NPBC,則線段CP長的最小值為()

A

C.2V13-6D.2V13-4

11.(20-21九年級上.江蘇鹽城?期末)如圖，OM的半徑為4,圓心M的坐標為(5,12),點P是OM上的任意

一點，PALPB,且P4P8與x軸分別交于4、B兩點，若點4、點B關于原點。對稱，貝以8的最小值為

12.(2021九年級?全國?專題練習)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點8的坐標分別是(1,0),(7,

0).

(1)對于坐標平面內的一點P,給出如下定義：如果乙4尸2=45。，則稱點尸為線段的“等角點”.顯然，

線段A8的“等角點”有無數個，且A、B、P三點共圓.

①設A、B、P三點所在圓的圓心為C,直接寫出點C的坐標和。C的半徑；

②y軸正半軸上是否有線段A8的“等角點”？如果有，求出“等角點”的坐標；如果沒有，請說明理由；

(2)當點尸在y軸正半軸上運動時，/AP8是否有最大值？如果有，說明此時NAPB最大的理由，并求出

點尸的坐標；如果沒有請說明理由.

13.(21-22九年級下?福建廈門?期中)如圖，等邊三角形ABC內接于半徑長為2的。O,點尸在圓弧上

以2倍速度從2向A運動，點。在圓弧8C上以1倍速度從C向8運動，當點P,O,。三點處于同一條直

線時，停止運動.

A

(1)求點。的運動總長度；

(2)若〃為弦PB的中點，求運動過程中CM的最大值.

題型05費馬點問題

14.(2023?湖北隨州?中考真題)1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里

拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當4ABC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將AAPC繞，點C順時針旋轉60。得到連接PP',

由PC=P(,/-PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP，=PC,又=故P2+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',A在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為力'B,此時的

尸點為該三角形的“費馬點”，且有乙4PC=/.BPC=乙4PB=③：

已知當△力BC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NH4C2120。,

則該三角形的“費馬點”為W點.

(2)如圖4,在△ABC中，三個內角均小于120。，且2C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點尸為△4BC的“費

馬點”，求P4+PB+PC的值；

AA

A

-------------------B

圖4圖5

（3）如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.現欲

建一中轉站尸沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站尸到村莊A,B,C的鋪設成本分別為a

元/km,。元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元.（結果用

含a的式子表示）

15.（2021?山東濟南?三模）如圖（1）,尸為AABC所在平面上一點，且/AP8=N3PC=NCE4=120。，則

點尸叫做△ABC的費馬點.

（1）若點尸是等邊三角形三條中線的交點，點尸—（填是或不是）該三角形的費馬點.

（2）如果點P為銳角A4BC的費馬點，且/ABC=60。.求證：AABP-ABCP；

（3）已知銳角AABC,分別以A8、AC為邊向外作正AABE和正AAC。，CE和8。相交于尸點.如圖（2）

①求NCPO的度數；

②求證：P點為△A8C的費馬點.

圖(1)圖(2)

題型06瓜豆原理模型

16.（22-23九年級上?江蘇揚州?階段練習）如圖,A是OB上任意一點，點C在。1外,已知4B=2,BC=4,

△2CD是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為（）

D

A.4V3+4B.4C.4V3+8D.6

17.（2022?廣東河源.二模）如圖，已知AC=2AO=8,平面內點P到點。的距離為2,連接AP,若NAPB=60°

且BP=3aP,連接A3,BC,則線段8C的最小值為

18.（23-24九年級上.江蘇宿遷?階段練習）如圖，線段A8為。。的直徑，點C在4B的延長線上,28=4,BC=2,

點P是。。上一動點，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RSPCD,且使ADCP=60。，連接。D,貝U。。長

的最大值為

19.（20-21九年級?陜西西安?開學考試）在菱形4BCD中，乙BAD=120°,E是對角線BD上的一點，連接4E.

（1）當E在力B的中垂線上時，把射線EA繞點E順時針旋轉90。后交CD于F,連接BF.如圖①，若AB=4,

求EF的長.

（2）在⑴的條件下，連接8F,把ABEF繞點B順時針旋轉得到ABUK如圖②，連接CH,點N為CH的中

點，連接4V,求4V的最大值.

20.(21-22八年級上?廣東湛江?階段練習)在平面直角坐標系中，4(a,0)、B(b,0),且a,b滿足(a+b)2+

|3+6|=0,C。兩點分別是y軸正半軸、x軸負半軸上的兩個動點：

(1)如圖1,若C(0,4),求△ABC的面積；

(2)如圖1,若C(0,4),BC=5,BD=4E,MzCBX=ACDE,求。點的坐標；

(3)如圖2,若NCB4=60。，以CD為邊,在CD的右側作等邊△CDE,連接。凡當。E最短時，求A,E兩

點之間的距離；

題型07等腰(邊)三角形存在問題

21.(2022?黑龍江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形4BC。的邊AB在x軸上，頂點。在

y軸的正半軸上,M為8C的中點，OA,OB的長分別是一元二次方程/一7久+12=。的兩個根(04<OB'),

tanzJMB=%動點P從點。出發以每秒1個單位長度的速度沿折線DC-CB向點B運動，到達8點停止.設

運動時間為f秒，△4PC的面積為S.

(1)求點C的坐標；

(2)求S關于/的函數關系式，并寫出自變量/的取值范圍；

(3)在點尸的運動過程中，是否存在點P,使ACMP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

22.(2023?廣東廣州?中考真題)如圖，在正方形2BCD中，E是邊4D上一動點(不與點A,。重合).邊BC關

于BE對稱的線段為BF,連接力F.

(1)若N48E=15。，求證：AABF是等邊三角形；

(2)延長凡4,交射線BE于點G；

①ABGF能否為等腰三角形？如果能，求此時乙48E的度數；如果不能，請說明理由;

②若AB=陋+顯,求ABGF面積的最大值，并求此時4E的長.

題型08直角三角形存在問題

23.(2022.貴州安順?中考真題)如圖1,在矩形48CD中，AB=10,AD=8,E是4。邊上的一點，連接CE,

將矩形4BCD沿CE折疊，頂點。恰好落在2B邊上的點F處，延長CE交84的延長線于點G.

(1)求線段4E的長；

(2)求證四邊形DGFC為菱形；

(3)如圖2,M,N分別是線段CG,DG上的動點(與端點不重合)，且ADMN=設DN=X,是否存

在這樣的點N,使AOMN是直角三角形？若存在，請求出久的值；若不存在，請說明理由.

24.(2024?山東東營.二模)在人教版八年級下冊教材“實驗與探究——豐富多彩的正方形”中，我們研究正方

形的性質時用到了圖①、圖②兩個圖形，圖②為大小不等的兩個正方形如圖排列，整個圖形被切割為5部

分，受這兩個圖形的啟發，三個數學興趣小組分別提出了以下問題，請你回答：

【問題一】“啟智”小組提出問題：如圖①，正方形力BCD的對角線相交于點。，點。又是正方形久&&。的一

個頂點，。公交4B于點E,OCi交BC于點、F,貝ME與BF的數量關系為；

【問題二】受圖①啟發，“善思”小組繼續探究，畫出了圖③：直線6、n經過正方形ABCD的對稱中心。，直

線m分別與力D、BC交于點E、F,直線也分別與AB、CD交于點G、H,且爪1n，若正方形2BCD邊長為10,

求四邊形。E4G的面積；

【問題三】受圖②啟發，“智慧”小組繼續探究，畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形4BCD的邊CD上，

頂點E在8c的延長線上，且BC=12,CE=4.在直線BE上是否存在點P,使△4PF為直角三角形？若存在，

請直接寫出BP的長度；若不存在，說明理由.

25.(2024■新疆烏魯木齊?一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,4D1BC于點。，BC=10cm,AD=8cm,

點尸從點B出發，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于4D的直線機從底邊BC

出發，以每秒2cm的速度沿方向勻速平移，分別交4B、AC,4。于￡、F、H,當點尸到達點C,點尸與

直線機同時停止運動，設運動時間為f秒(t>0).

(1)XW=，EF=(用含f的式子表示).

(2)在整個運動過程中，所形成的APEF的面積存在最大值，當APEF的面積最大時，求線段BP的長；

(3)是否存在某一時刻f,使APEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由.

題型09平行四邊形存在問題

26.(2022?湖北荊州.一模)如圖，拋物線y=a/+bK—3與x軸交于4、B兩點，點2在點B的左側，且

X(-1,0),5(4,0),與y軸交于點C,連結BC,以BC為邊，點。為中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,

設點P的坐標為(血,0).

(1)求該拋物線對應的函數解析式；

(2)久軸上是否存在一點P,使4PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由;

(3)當點P在線段08上運動時，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q,交BD于點M.試探究：當小為何值時，

四邊形CQMD是平行四邊形？請說明理由.

27.(2023?黑龍江雞西?模擬預測)在平面直角坐標系中，邊長為4的菱形的頂點B,C在x軸上，。在y軸上,

如圖，已知乙4=60°,C(2,0).

(1)求點。的坐標

(2)動點P從點2出發，以每秒1個單位速度沿射線4。運動，過點P作PE1x軸于E,直線PE交直線CD于點Q,

設APCQ的面積為S,點P的運動時間為t秒，當點Q在工軸上方時，求S與t的關系式，直接寫出t的取值范圍.

(3)在(2)的條件下，連接CP,當點Q在第一象限，APCQ為等腰三角形時，作NPQC的平分線交射線力。于

點M,此時是否存在點N,使以點D,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標，

若不存在，說明理由.

題型10矩形、菱形、正方形存在問題

28.(2023?黑龍江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOCB的邊。C在x軸上，N&OC=60。，。。的

長是一元二次方程/-4%-12=0的根，過點C作x軸的垂線，交對角線。B于點D,直線AD分別交x軸

和y軸于點尸和點E,動點M從點。以每秒1個單位長度的速度沿。。向終點。運動，動點N從點尸以每

秒2個單位長度的速度沿FE向終點E運動.兩點同時出發，設運動時間為/秒.

(1)求直線4D的解析式.

(2)連接MN,求AMON的面積S與運動時間f的函數關系式.

(3)點N在運動的過程中，在坐標平面內是否存在一點。.使得以A,C,N,。為項點的四邊形是矩形.若

存在，直接寫出點。的坐標，若不存在，說明理由.

29.(2024.河北張家口?一模)如圖，在RtAABC中，^ABC=90°,AB=6,tan/CAB=*動點M以每秒2

個單位的速度從點4出發，沿著4一8一。的方向運動，當點M到達點C時，運動停止.點N是點M關于點B的

對稱點，過點M作MQ14C于點Q,以MN,MQ為鄰邊作平行四邊形MNPQ,設點M的運動時間為t秒.

(1)求BC的長；

(2)當t=2時，求證：QP=AM；

(3)是否存在這樣的t值，使得平行四邊形MNPQ為菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由.

30.綜合與探索

【探索發現】如圖1,等腰直角三角形48C中，ZXCB=90°,CB=CA,過點4作4。11交于點D,過點B作

BE交于點E,易得AaDC三ACEB,我們稱這種全等模型為“型全等”.(不需要證明)

圖1

【遷移應用】如圖2,在直角坐標系中，直線=2x+4分別與y軸，久軸交于點4B,

(1)直接寫出。4=,OB=；

(2)在第二象限構造等腰直角△ABE,使得NH4E=90。，則點E的坐標為；

圖2

(3)如圖3,將直線I1繞點4順時針旋轉45。得到%，求％的函數表達式;

(4)如圖4,直線=2x+8分別交%軸和y軸于4B兩點，點C在第二象限內一點，在平面內是否存在

一點。，使以4B、C、D為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明

圖4

題型11全等/相似存在性問題

31.(2023廣西南寧?二模)如圖，在△ABC中，AD為高，力C=18.點E為4c上的一點，CE=2aE,連接BE,

交4。于。，若△BD。三

(1)猜想線段B。與4C的位置關系，并證明；

(2)有一動點Q從點力出發沿射線AC以每秒6個單位長度的速度運動，設點Q的運動時間為t秒，是否存在t的

值，使得ABOQ的面積為27?若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

⑶在(2)條件下，動點P從點。出發沿線段0B以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，P、Q兩點同時出

發，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，點F是直線BC上一點，且CF=4。，當

△20P與AFCQ全等時，求t的值.

32.(2023?北京海淀?模擬預測)如圖，在平面角坐標系中，點力在x軸的正半軸上，點B的坐標(0,-2b),

過原點的直線OC與直線力B交于C,Z.COA=AOCA=NOB4=30°,AB=4

(1)點C坐標為，OC=，AB。。的面積為

S&OAB

⑵點C關于無軸的對稱點C'的坐標為

(3)過。點作。E1OC交力B于E點，則AOAE的形狀為,請說明理由；

(4)在坐標平面內是否存在點尸使△40F和AAOB全等，若存在，請直接寫出F坐標，若不存在，請說明理由

33.(2023?廣西桂林?二模)如圖，在平面直角坐標系中，矩形A8C。的邊。4在無軸上，邊OC在y軸上，且8

點坐標為(4,3).動點M、N分別從點O、8同時出發，以1單位/秒的速度運動(點M沿。4向終點A運動，

點N沿BC向終點C運動)，過點N作NP||48交47于點尸，連接MP.

(1)直接寫出。4、4B的長度；

(2)在運動過程中，請求出△MP力的面積S與運動時間f的函數關系式；

(3)在運動過程中，△MP4的面積S是否存在最大值？若存在，請求出當t為何值時有最大值，并求出最大值;

若不存在，請說明理由.

(4)在運動過程中，以點A,P,〃為頂點的三角形與A40C能相似嗎？若能相似，請求出運動時間/的值;

若不能相似，請說明理由.

題型12角度存在性問題

34.(2023?陜西西安?模擬預測)如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形

為倍角三角形，并稱這兩個角的公共邊為底邊.

圖1

⑴如圖1,在AABC中.按如下做法：

①作BC的中垂線1：

②作N4BC的角平分線與中垂線1交于點0；

③連接C0并延長與4B交于點P,得到ABCP.

若按上述作法，得到的ABCP是倍角三角形.則NP8C與NPC8的等量關系；

(2)如圖2,在矩形ABCD中，以BC為底邊做一個倍角三角形頂點P恰好落在力。邊上.若BC=4,BP=2.求

CP的長度.

(3)如圖3,現有一塊梯形板材4BCD,ADWBC,乙4=90。，AB=AD=3,BC=12.工人師傅想用這塊板

材裁出一個ABCP型部件，使得點P在梯形ABC。的邊CD上，A8CP為以BC為底邊且“BP=2/C的倍角三

角形.是否存在滿足要求的ABCP?若存在，請確定點P位置(求出CP的長)；若不存在，請說明理由.

35.(2023?上海浦東新?二模)已知：。。的直徑4B=10,C是AB的中點，。是。。上的一個動點(不與點

A、B、C重合)，射線CD交射線48于點E.

(1)如圖1,當BE=48,求線段CD的長；

(2)如圖2,當點。在BC上運動時，連接BC、BD,△BCD中是否存在度數保持不變的角？如果存在，請指

出這個角并求其度數；如果不存在，請說明理由；

(3)連接0D,當△ODE是以DE為腰的等腰三角形時，求4ODE與△CBE面積的比值.

36.(2023?浙江金華?一模)如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點P是射線BC上的動點，連結AP,

在4P的右邊作NPAQ=l^BAC,交射線BC于點Q.

(1)當BP=1時，求點尸到4B的距離.

(2)當點尸在線段8c上運動時，記BP=x,CQ=y,求y關于x的函數表達式和自變量尤的取值范圍.

(3)在點尸的運動過程中，不再連結其他線段，當圖中存在某個角為45。時，求BQ的長，并指出相應的45。角.

重難點突破05幾何動點及最值、存在性問題

目錄

題型01將軍飲馬問題

題型02胡不歸問題

題型03阿氏圓問題

題型04隱圓問題

題型05費馬點問題

題型06瓜豆原理模型

題型07等腰（邊）三角形存在問題

題型08直角三角形存在問題

題型09平行四邊形存在問題

題型10矩形、菱形、正方形存在問題

題型11全等/相似存在性問題

題型12角度存在性問題

【命題趨勢】動態幾何問題是近年來中考的一個重難點問題，以運動的觀點探究幾何圖形或函數與幾何圖

形的變化規律，從而確定某一圖形的存在性問題.隨之產生的動態幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，

伴隨著出現一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題.

【基本原理】

1)基本原理（定點到定點）:兩點之間，線段最短.

2)三角形兩邊之和〉第三邊

3)基本原理（定點到定線）:垂線段最短.

4)平行線的距離處處相等.

5)基本原理（定點到定圓）:點圓之間,點心線截距最短（長）.

6)基本原理（定線到定圓）線圓之間,心垂線截距最短.

7)基本原理（定圓到定圓）:圓圓之間,連心線截距最短（長）.

【解題思路】

1）動態幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態幾何也有直線型的和

曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態幾何問題，也有圓中的動態問題.有點動、線動、面

動，就其運動形式而言，有平移、旋轉、翻折、滾動等.根據其運動的特點，又可分為（1）動點類（點

在線段或弧線上運動）也包括一個動點或兩個動點；（2）動直線類；（3）動圖形問題.

2）解決動態幾何題，通過觀察，對幾何圖形運動變化規律的探索，發現其中的“變量”和“定量”動中求

靜，即在運動變化中探索問題中的不變性；動靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉化為特殊問題，從

而找到“動與靜”的關系；這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結合推理，得出

結論.解決這類問題，要善于探索圖形的運動特點和規律抓住變化中圖形的性質與特征，化動為靜，以靜

制動.解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住

其中的等量關系和變量關系，并特別關注一一些不變量和不變關系或特殊關系.

3）動態幾何形成的存在性問題，重點和難點在于應用分類思想和數形結合的思想準確地進行分類，包括等

腰（邊）三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題.全

等三角形存在問題，相似三角形存在問題等.

題型01將軍飲馬問題

1.(2023?遼寧盤錦?中考真題)如圖，四邊形2BCD是矩形，AB=V10,AD=4五,點尸是邊AD上一點(不

與點4。重合),連接PB,PC.點M,N分別是PB,PC的中點，連接MN,AM,DN,點E在邊4D上,ME\\DN,

A.2V3B.3C.3V2D.4或

【答案】C

【分析】根據直線三角形斜邊中線的性質可得4M=|BP,DN=gCP,通過證明四邊形MMDE是平行四邊

形，可得ME=DN,則AM+ME=+DN=](BP+CP),作點C關于直線AD的對稱點M,貝!]BP+CP=

BP+PM,點、B,P,M三點共線時，BP+PM的值最小，最小值為BM.

【詳解】解：???四邊形48CD是矩形，

ABAP=乙CDP=90°,ADWBC,

???點M,N分別是PB,PC的中點，

111

/.AM=-BP,DN=-CPMN=-BC,

222f

??,AD\\BC,MN\\BCf

??.MNII8C,

又???MEWN,

???四邊形MNDE是平行四邊形，

??.ME=DN,

AM+ME=AM+DN=(BP+CP),

如圖，作點。關于直線40的對稱點M,連接尸M,BM,

M

當點2,P,Af三點共線時，BP+PM的值最小，最小值為BM,

在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=2V10,BC=AD=4vL

22

BM=>JBC2+MC2=（4V2）+（2V10）=6V2,

AM+ME的最小值=|BM=3V2,

故選C.

【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線的性質，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質,

軸對稱的性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思

想.

2.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為4,點E在邊BC上，且BE=1,尸為對角線BD上

一動點，連接CF,EF,則CF+EF的最小值為

【答案】V17

【分析】連接4E交BD于一點凡連接CF,根據正方形的對稱性得到此時CF+EF=4E最小，利用勾股定

理求出力E即可.

【詳解】解：如圖，連接4E交8。于一點R連接CF,

:四邊形4BCD是正方形,

.?.點A與點C關于BD對稱,

：.AF=CF,

CF+EF=AF+EF=AE,此時CF+EF最小,

正方形4BCD的邊長為4,

：.AD=4,^ABC=90°,

?.?點E在48上，且8E=1,

：.AE=7AB2+BE2=<42+I2=V17,即CF+EF的最小值為VT7

故答案為：V17.

【點睛】此題考查正方形的性質，熟練運用勾股定理計算是解題的關鍵.

3.(2023?四川宜賓?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形A8C的直角頂點C(3,0),

頂點A、B(6,爪)恰好落在反比例函數y=m第一象限的圖象上.

(1)分別求反比例函數的表達式和直線4B所對應的一次函數的表達式；

(2)在x軸上是否存在一點尸，使AABP周長的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】(Dy=：，y=-|x+4

(2)在無軸上存在一點P(5,0),使△4BP周長的值最小，最小值是2西+4V2.

【分析】(1)過點A作4E_Lx軸于點E,過點8作BD_Lx軸于點。，證明A4CESACBD(AAS),貝!]CD=AE=

3,BD=EC=m,由。E=3-巾得到點A的坐標是(3-3),由A、B(6,巾)恰好落在反比例函數y=三第

一象限的圖象上得到3(3-m)=6m,解得m=l,得到點A的坐標是(2,3),點8的坐標是(6,1),進一步用

待定系數法即可得到答案；

(2)延長4E至點4,使得E4=4E,連接4B交x軸于點P,連接4P,利用軸對稱的性質得到2P=&P,

4(2,—3),則4P+PB=4B,由48=2有知AB是定值,此時A2BP的周長為4P+PB+2B=4E+4B最

小，利用待定系數法求出直線48的解析式，求出點尸的坐標，再求出周長最小值即可.

【詳解】(1)解：過點A作4Elx軸于點E,過點B作BDlx軸于點。，

則乙4EC=4CDB=90°,

?.,點C(3,0),B(6,m),

OC=3,OD=6,BD=m,

：.CD=OD-OC=3,

???△ZBC是等腰直角三角形，

：./-ACB=^°,AC=BC,

V^ACE+乙BCD=乙CBD+乙BCD=90°,

A^ACE=乙CBD,

：.△ACE三△CBO(AAS),

/.CD=AE=3,BD=EC=m,

/.OE=OC-EC=3—m,

???點A的坐標是(3-m,3),

???A、B(6,m)恰好落在反比例函數y=E第一象限的圖象上.

.,.3(3—rri)=6m,

解得m=1,

???點A的坐標是(2,3),點3的坐標是(6,1),

/.k=6m=6,

...反比例函數的解析式是y=：,

設直線2B所對應的一次函數的表達式為y=px+q,把點A和點2的坐標代入得,

:.直線4B所對應的一次函數的表達式為y=-jx+4,

(2)延長4E至點4,使得E4=4E,連接4B交x軸于點尸，連接4P,

/.點A與點4關于無軸對稱,

：.AP=A'P,4(2,—3),

'：AP+PB=A'P+PB=A'B,

：.AP+PB的最小值是4B的長度，

AB=J(2—6(+(3—=2西，即4B是定值，

此時A4BP的周長為ZP+PB+AB=AB+AB最小,

設直線48的解析式是y=nx+t,

解得｛=25，

，直線4B的解析式是y=%-5,

當y=0時，0=x—5,解得x=5,

即點尸的坐標是(5,0),

此時4P+PB+AB=AB+A'B=+7(2-6)2+(-3-I)2=2A/5+4vL

綜上可知，在無軸上存在一點P(5,0),使AABP周長的值最小，最小值是2祈+4>②

【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質、用到了待定系數法求函數解析式、勾股定理求

兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解題的關鍵.

題型02胡不歸問題

4.(2022?內蒙古鄂爾多斯?中考真題)如圖，在AABC中，A8=AC=4,ZCAB=30°,AD±BC,垂足為D

尸為線段AQ上的一動點，連接尸8、PC.則附+2PB的最小值為

【答案】4V2

【分析】在NBAC的外部作NCAE=15。，作BP_LAE于R交AD于尸，此時出+2尸2=26。4+PB)=

：(PF+PB)=2BF,通過解直角三角形A2R進一步求得結果.

【詳解】解：如圖，

在NBAC的外部作/CAE=15。，作BF_LAE于R交AZ)于尸，

此時B4+2PB最小，

ZAFB=90°

"：AB=AC,AD±BC,

：.ZCAD^ZBAD^-ABAC=1X30°=15°,

22

：.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

：.PF^-PA,

2

：.PA+2PB=2(^PA+PB片(PF+PB)=2BF,

在RtAABb中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

.,.BF=AB?sin45°=4x—=2魚，

2

???(M+2PB)最大=2BF=4V2,

故答案為：4V2.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解直角直角三角形，解題的關鍵是作輔助線.

5.(2023?湖南湘西?中考真題)如圖，。。是等邊三角形4BC的外接圓，其半徑為4.過點8作BE14C于

點E,點P為線段BE上一動點(點P不與8,E重合)，則CP+|BP的最小值為.

A

【答案】6

【分析】過點尸作PD14B,連接C。并延長交4B于點R連接4。，根據等邊三角形的性質和圓內接三角形

的性質得到CM=OB=4,CF12B,然后利用含30。角直角三角形的性質得到。E=［。4=2,進而求出BE=

BO+EO=6,然后利用CP+^BP=CP+PD<CF代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過點P作PD14B,連接C。并延長交4B于點尸，連接2。

是等邊三角形，BE1AC

1

:?(ABE=乙CBE=-/.ABC=30°

2

???。。是等邊三角形的外接圓，其半徑為4

AOA=。8=4,CFLAB,

：.^OBA=^LOAB=30°

：.AOAE=Z,OAB=-2LBAC=30°

2

*：BELAC

：.OE=-OA=2

2

：.BE=BO+EO=6

9：PDLAB,Z.ABE=30°

i

：.PD=-PB

2

：.CP+-BP=CP+PD<CF

2

；.CP+匏P的最小值為CF的長度

ABC是等邊三角形，BE1AC,CF1AB

：.CF=BE=6

...CP+^BP的最小值為6.

故答案為：6.

【點睛】此題考查了圓內接三角形的性質，等邊三角形的性質，含30。角直角三角形的性質等知識，解題的

關鍵是熟練掌握以上知識點.

6.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZXCB=90°,^ABC=30°,AC=4,按下列步驟作

圖：①在力C和2B上分別截取力D、AE,使4D=4E.②分別以點。和點￡為圓心，以大于的長為半徑

作弧，兩弧在ABAC內交于點③作射線交BC于點尸.若點P是線段4F上的一個動點，連接CP,則

CP+34P的最小值是.

【答案】2V3

【分析】過點尸作PQ于點。，過點C作CH148于點先利用角平分線和三角形的內角和定理求出

ABAF=30°,然后利用含30。的直角三角的性質得出PQ=1AP,貝!]CP+|&P=CP+PQ2CH,當C、P、

。三點共線，且與4B垂直時，CP+^AP最小，CP+^AP最小值為CH,利用含30。的直角三角的性質和勾股

定理求出4B,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解：過點尸作PQ148于點。，過點C作CH148于點

\'Z.ACB=90°,/.ABC=30°,

/.Z.BAC=60°,

：.2LBAF=-^BAC=30°,

2

1

：.PQ=“尸，

ACP+^AP=CP+PQ>CH,

...當C、P、。三點共線，且與48垂直時，CP+JP最小，CP+^AP最小值為CH,

"：Z.ACB=90°,/.ABC=30°,AC=4,

：.AB=2AC=8,

：.BC=^JAB2-AC2=4V3,

,-'S^ABC=^AC-BC=^AB-CH,

即CP+14P最小值為2b.

故答案為：2靠.

【點睛】本題考查了尺規作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質，勾股定理等知識，注意掌握利用等

積法求三角形的高或點的線的距離的方法.

題型03阿氏圓問題

7.(2023?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線y=a/+版+5與X軸交于4B兩點，與y軸交于點C,4B=4.拋

物線的對稱軸x=3與經過點力的直線y=kx-1交于點D,與x軸交于點E.

(1)求直線4D及拋物線的表達式；

(2)在拋物線上是否存在點M,使得AADM是以4D為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為。8上一個動點，請求出PC+3P4的最小值.

【答案】(1)直線4。的解析式為y=x-1；拋物線解析式為y=%2-6%+5

(2)存在，點M的坐標為(4,一3)或(0,5)或(5,0)

⑶同

【分析】

(1)根據對稱軸x=3,48=4,得到點A及8的坐標，再利用待定系數法求解析式即可；

(2)先求出點。的坐標，再分兩種情況：①當ND4M=90。時，求出直線AM的解析式為y=—久+1,解方

程組卜二裝二；；5'即可得到點”的坐標；②當乙=90時求出直線DM的解析式為y=-久+5,

解方程組[即可得到點M的坐標；

iy=%—6x+5

(3)在ZB上取點F,使BF=1,連接CF,證得好=—,又乙PBF=乙48P,得至以PBF2BP,推出PF=-PA,

PBAB2

進而得到當點C、P、/三點共線時，PC+[P4的值最小，即為線段CF的長，利用勾股定理求出CF即可.

【詳解】(1)解：：拋物線的對稱軸％=3,AB=4,

4(1,0),8(5,0),

將4(1,0)代入直線y=kx-l,得k-1=0,

解得々=1,

，直線40的解析式為y=%-1；

將4(1,0),8(5,0)代入y=ax2+bX+5,得

■匚藍葭%解得

125a+5b+5=0S=—6

拋物線的解析式為y=/一6久+5；

(2)存在點M,

?.?直線2。的解析式為y=x-l,拋物線對稱軸x=3與x軸交于點E.

當x=3時，y=x—1=2,

；.0(3,2),

①當=90°時，

設直線4M的解析式為y=-x+c,將點A坐標代入，

得—1+c=0,

解得c=1,

，直線2M