第三章函數（測試）

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.如圖，ZkOAB的頂點0（0,0）,頂點A,B分別在第一、四象限，且AB，x軸，若

AB=6,OA=OB=5,則點A的坐標是（）

A.（5,4）B.（3,4）C.（5,3）D.（4,3）

從圖象中獲取信息

2.甲、乙兩位同學放學后走路回家，他們走過的路程s（千米）與所用的時間t（分鐘）

之間的函數關系如圖所示.根據圖中信息，下列說法錯誤的是（）

*（千米）

3.2-----1-----1-----1--Ji甲

2.8—H—H—jyn

2.4-----1-----1-'7^二/乙

2.0—T—T力…

1.6J

1.2-------1-----1

OS-T

。叱,

°10203040X分鐘）

A.前10分鐘，甲比乙的速度慢B.經過20分鐘，甲、乙都走了1.6千米

C.甲的平均速度為0.08千米/分鐘D.經過30分鐘，甲比乙走過的路程少

3.在函數丫=胃中，自變量X的取值范圍是（）

A.x>3B.x>-3C.xN3且00D.xN-3且存0

4.如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點E,點F分別為邊AD,CD中點，點0

為正方形的中心，連接OE,OF,點P從點E出發沿E—0—F運動，同時點Q從點B出

發沿BC運動，兩點運動速度均為lcm/s,當點P運動到點F時，兩點同時停止運動，設

運動時間為ts,連接BP,PQ,ABPQ的面積為Sen?,下列圖像能正確反映出S與t的函數

關系的是（）

ED

5.直線y=x+a不經過第二象限，則關于x的方程ax?+2x+1=0實數解的個數是（）.

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

6.在同一平面直角坐標系中，一次函數丫=ax+b與y=mx+n（a<m<0）的圖象如圖

所示，小星根據圖象得到如下結論：

①在一次函數y=mx+n的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大；

②方程組｛.黑U的解為｛箕3

③方程mx+n=0的解為x=2；

④當x=0時，ax+b=-1.

其中結論正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

反比例函數與幾何綜合

7.如圖，正方形ABCD的邊長為5,點A的坐標為（4,0）,點B在y軸上，若反比

例函數y=；（k#0）的圖像過點C,則k的值為（）

C.-3D.3

8.如圖，點A在反比例函數y=：(x>0)的圖像上，以OA為一邊作等腰直角三角形OAB,

其中NOAB=90。，AO=AB,則線段OB長的最小值是()

A.1B.V2C.2V2D.4

9.二次函數y=ax2+bx+1的圖象與一次函數y=2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖

象可能是()

10.已知拋物線y=ax?+bx+c(a,b,c是常數，0<a<c)經過點(1,0),有下列結論:

①2a+b<0；

②當x>l時，y隨x的增大而增大；

③關于x的方程ax?+bx+(b+c)=0有兩個不相等的實數根.

其中，正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，點A的坐標為（1,3）,點B在x軸上，把AOAB沿x軸向右平移到AECD,若四邊

形ABDC的面積為9,則點C的坐標為.

12.某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售

量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當10Wx<20時，其圖象是線段AB,

則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為元（禾4潤=總銷售額

-總成本）.

.（個）

20rR

10——\-—\B

°io—方次元/個）

13.把二次函數y=x2+4x+m的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，

如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m應滿足條件：.

14.若點A（l,yp,B（—2/）工（—3必）都在反比例函數y=:的圖象上，則ypy2*的大小關

系為.

15.已知一次函數y=3x-l與丫=1?（k是常數，賬0）的圖象的交點坐標是（1,2）,則

方程組｛:二二;的解是---------

二次函數與幾何綜合

16.在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊

界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形.例如：如圖，函數y=

（x-2）2（0WxW3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形OABC.若二

次函數y=^x2+bx+c（0<x<3）圖象的關聯矩形恰好也是矩形OABC,則b=

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7

分，22題8分，23題9分，24題10分，25題13分）

17.某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V（V為定值，單位：n?）的圓柱形天然氣

儲存室，儲存室的底面積S（單位：n?）與其深度d（單位：m）是反比例函數關系，

它的圖象如圖所示.

⑴求儲存室的容積V的值；

⑵受地形條件限制，儲存室的深度d需要滿足16<d<25,求儲存室的底面積S的取值范圍.

18.如圖，一次函數丫=叁+2代/0）的圖像與反比例函數丫=個（!11彳0送〉0）的圖像交

于點A（2,n）,與y軸交于點B,與x軸交于點C（-4,0）.

⑴求k與m的值；

（2）P（a,0）為x軸上的一動點，當^APB的面積為；時，求a的值.

y

19.已知一次函數y=kx+b(k豐0)的圖象與反比例函數y=，的圖象相交于點A(l,m),

(1)求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；

⑵根據函數圖象，直接寫出不等式kx+b＞，的解集；

(3)若點C是點B關于y軸的對稱點，連接AC,BC,求△ABC的面積.

20.丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源.某景區研發一款紀念品，每件成本

為30元，投放景區內進行銷售，規定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時

間調研發現，每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分

數據如下表所示：

銷售單價X（元/件）354045

每天銷售數量y（件）908070

⑴直接寫出y與x的函數關系式；

⑵若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元?

⑶當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

21.如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構成，矩形的長AB為4m,寬BC為3m,

以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系.y軸是拋物線的

對稱軸，最高點E到地面距離為4米.

⑴求出拋物線的解析式.

⑵在距離地面9米高處，隧道的寬度是多少？

⑶如果該隧道內設單行道（只能朝一個方向行駛），現有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4

米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論.

22.已知函數丫=一乂2+6*+（:（><:為常數）的圖象經過點（0,-3）,（-6,-3）.

⑴求b,c的值.

⑵當-4WxW0時，求y的最大值.

⑶當mWxq）時，若y的最大值與最小值之和為2,求m的值.

23.如圖，點A(a,2)在反比例函數y■的圖象上，AB//x軸，且交y軸于點C,交反比例

函數y=人于點B,已知AC=2BC.

X

(1)求直線0A的解析式；

(2)求反比例函數y=:的解析式；

(3)點D為反比例函數y=，上一動點，連接AD交y軸于點E,當E為AD中點時，求△OAD

的面積.

24.已知二次函數y=ax?+bx+c的圖象過點(-1,0),且對任意實數x,都有4x-12W

ax2+bx+c<2x2—8x+6.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)若(1)中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C；點M是(1)

中二次函數圖象上的動點.問在x軸上是否存在點N,使得以A、C、M、N為頂點的四

邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

25.如圖(1),二次函數y=-x?+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點,

點B的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,3),直線1經過B、C兩點.

⑴求該二次函數的表達式及其圖像的頂點坐標；

⑵點P為直線1上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數的圖像相交于點M,再過點M作

y軸的垂線與該二次函數的圖像相交于另一點N,當PM=；MN時，求點P的橫坐標；

(3)如圖(2)，點C關于x軸的對稱點為點D,點P為線段BC上的一個動點，連接AP,點Q為

線段AP上一點，且AQ=3PQ,連接DQ,當3AP+4DQ的值最小時，直接寫出DQ的長.

第三章函數（測試）

答案解析

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.如圖，AOAB的頂點0（0,0）,頂點A,B分別在第一、四象限，且AB，x軸，若

AB=6,OA=OB=5,則點A的坐標是（）

【答案】D

【分析】利用HL證明△ACOg^BCO,利用勾股定理得到OC=4,即可求解.

【詳解】解：：AB，x軸，

.,.AC=BC=：AB=3,

VOA=5,

.,.OC=j52-32=4,

.,.點A的坐標是（4,3）,

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是

靈活運用所學知識解決問題.

從圖象中獲取信息

2.甲、乙兩位同學放學后走路回家，他們走過的路程s（千米）與所用的時間t（分鐘）

之間的函數關系如圖所示.根據圖中信息，下列說法錯誤的是（）

*（千米）

3.2----11-----1--71甲

2.8

2.4-----1-----乙

2.0—T—r%—

L6

1.2-----1----1

0.8-興3-

°10203040吩鐘）

A.前10分鐘，甲比乙的速度慢B.經過20分鐘，甲、乙都走了L6千米

C.甲的平均速度為0.08千米/分鐘D.經過30分鐘，甲比乙走過的路程少

【答案】D

【分析】結合函數關系圖逐項判斷即可.

【詳解】A項，前10分鐘，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，則甲比乙的速度慢，故

A項正確，故不符合題意；

B項，前20分鐘，根據函數關系圖可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正確，故不符合

題意；

C項，甲40分鐘走了3.2千米，則其平均速度為：3.2:40=0.08千米/分鐘，故C項正確，

故不符合題意；

D項，經過30分鐘，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，則甲比乙多走了0.4千米，故D

項錯誤，故符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數的圖像及其在行程問題中的應用，理解函數關系圖是解答

本題的關鍵.

3.在函數y=g中，自變量x的取值范圍是（）

A.x>3B.x>-3C.xN3且D.x>-3J!Lx^O

【答案】D

【分析】根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為0列出不等式組，解不等式組即

可得到答案.

【詳解】解：由題意得：x+3K）且x和，

解得：xN-3且x和，

故選：D.

【點睛】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數是非負

數、分母不為0是解題的關鍵.

4.如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點E,點F分別為邊AD,CD中點，點0

為正方形的中心，連接OE,OF,點P從點E出發沿E—O—F運動，同時點Q從點B出

發沿BC運動，兩點運動速度均為lcm/s,當點P運動到點F時，兩點同時停止運動，設

運動時間為ts,連接BP,PQ,ABPQ的面積為Scm2,下列圖像能正確反映出S與t的函數

關系的是（）

【答案】D

【分析】分OWtSl和1<氐2兩種情形，確定解析式，判斷即可.

【詳解】當0<t<l時，?.?正方形ABCD的邊長為2,點O為正方形的中心,

...直線EO垂直BC,

點P到直線BC的距離為2-t,BQ=t,

.,.S=i（2-t）-t=-it2+t；

當1<62時，,正方形ABCD的邊長為2,點F分別為邊AD,CD中點，點O為正方

形的中心，

二直線OF//BC,

點P到直線BC的距離為1,BQ=t,

故選D.

【點睛】本題考查了正方形的性質，二次函數的解析式，一次函數解析式，正確確定面

積，從而確定解析式是解題的關鍵.

5.直線y=x+a不經過第二象限，則關于x的方程ax?+2x+1=0實數解的個數是().

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

【答案】D

【分析】根據直線丫=乂+2不經過第二象限，得到a<0,再分兩種情況判斷方程的解的

情況.

【詳解】???直線y=x+a不經過第二象限，

a<0,

“方程ax?+2x+1=0,

當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，

當a<0時，方程為一元二次方程，

A=b2-4ac=4—4a,

4-4a>0,

.?.方程有兩個不相等的實數根，

故選：D.

【點睛】此題考查一次函數的性質：利用函數圖象經過的象限判斷字母的符號，方程的

解的情況，注意易錯點是a的取值范圍，再分類討論.

6.在同一平面直角坐標系中，一次函數丫=ax+b與y=mx+n(a<mV0)的圖象如圖

所示，小星根據圖象得到如下結論：

①在一次函數y=mx+n的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大;

②方程組，［黑二:的解為｛X：；3；

③方程mx+n=0的解為x=2；

④當x=0時，ax+b=-1.

其中結論正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由函數圖象經過的象限可判斷①，由兩個一次函數的交點坐標可判斷②，由一

次函數與坐標軸的交點坐標可判斷③④，從而可得答案.

【詳解】解：由一次函數y=mx+n的圖象過一，二，四象限，y的值隨著x值的增大而

減??；

故①不符合題意；

由圖象可得方程組以二黑的解為Fy=T,即方程組［J］黑；］的解為FyH3；

故②符合題意；

由一次函數y=mx+n的圖象過（2,0）,則方程mx+n=0的解為x=2；故③符合題意；

由一次函數y=ax+b的圖象過（0,-2）,則當x=0時，ax+b=-2.故④不符合題意；

綜上：符合題意的有②③，

故選B

【點睛】本題考查的是一次函數的性質，一次函數的圖象的交點坐標與二元一次方程組

的解，一次函數與坐標軸的交點問題，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵.

反比例函數與幾何綜合

7.如圖，正方形ABCD的邊長為5,點A的坐標為（4,0）,點B在y軸上，若反比

例函數y=：（k/））的圖像過點C,則k的值為（）

【答案】C

【分析】過點C作CELy軸于E,根據正方形的性質可得AB=BC,NABC=90。，再

根據同角的余角相等求出NOAB=NCBE,然后利用“角角邊”證明△ABO和^BCE全等,

根據全等三角形對應邊相等可得0A=BE=4,CE=0B=3,再求出0E,然后寫出點C

的坐標，再把點C的坐標代入反比例函數解析式計算即可求出k的值.

【詳解】解：如圖，過點C作CE，y軸于E,在正方形ABCD中，AB=BC,NABC=

90°,

.,.ZABO+ZCBE=90°,

VZOAB+ZABO=90°,

/.ZOAB=ZCBE,

?.,點A的坐標為(4,0),

.\OA=4,

VAB=5,

.,.OB=j52-42=3,

(□OAB=DCBE

在^ABO和^BCE中，DAOB=DBEC>

AB=BC

AAABO^ABCE(AAS),

.*.OA=BE=4,CE=OB=3,

.*.OE=BE-OB=4-3=1,

.??點C的坐標為(-3,1),

???反比例函數y=：(k/))的圖像過點C,

/.k=xy=-3x1=-3,

故選：C.

【點睛】此題考查的是反比例函數與幾何綜合，涉及到正方形的性質，全等三角形的判

定與性質，勾股定理，作輔助線構造出全等三角形并求出點C的坐標是解題的關鍵.

8.如圖，點A在反比例函數y=：(x>0)的圖像上，以OA為一邊作等腰直角三角形OAB,

其中NOAB=90。，AO=AB,則線段OB長的最小值是()

A.1B.V2C.2V2D.4

【答案】C

【分析】如圖，過A作AMOx軸，交y軸于M,過B作BD1x軸，垂足為D,交MA于H,

則DOMA=OAHB=90°,證明△AOM=△BAH,可得OM=AH,AM=BH,設

則AM=m,0M=2,MH=m+3,BD=2—m,可得Bfm+-,--mY再利

\m/mmm\mm/

用勾股定理建立函數關系式，結合完全平方公式的變形可得答案.

【詳解】解：如圖，過A作AMDx軸，交y軸于M,過B作BDlx軸，垂足為D,交MA

于H,貝llDOMA=DAHB=90°,

DMOA+DMAO=90°,

AO=AB,AO1AB,

???DMAO+DBAH=90°,

DMOA=DBAH,

AOM=△BAH,

OM=AH,AM=BH,

設貝UAM=m,0M=-,MH=m+-,BD=--m,

\m/mmm

B(mH—,m),

\mm/

0B=++m)2:J2m2+.

vm>0,而當a>0,b>0時，貝!Ja+b>2Vab,

*'?2m2+之22m2x—r=8,

m2vm2

...2m2+W的最小值是8,

m2

...OB的最小值是正=2V2.

故選：C.

y

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，反比例函數

的性質，完全平方公式的變形應用，勾股定理的應用，掌握-2+b222ab的變形公式”

是解本題的關鍵.

9.二次函數y=ax2+bx+1的圖象與一次函數y=2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖

象可能是()

【答案】A

【分析】先分析二次函數丫=2乂2+6乂+1的圖像的開口方向即對稱軸位置，而一次函數

丫=22乂+13的圖像恒過定點(—",0),即可得出正確選項.

【詳解】二次函數y=ax?+bx+1的對稱軸為x=—；,一次函數y=2ax+b的圖像恒過

2a

定點(-",0)，所以一次函數的圖像與二次函數的對稱軸的交點為(-；,0)，只有A選項

2a2a

符合題意.

故選A.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質、一次函數的圖像與性質，解決本題的關鍵

是能推出一次函數y=2ax+b的圖像恒過定點本題蘊含了數形結合的思想方法

2a

10.已知拋物線y=ax?+bx+c(a,b,c是常數，0<a<c)經過點(1,0),有下列結論：

①2a+b<0；

②當x>l時，y隨x的增大而增大；

③關于x的方程ax?+bx+(b+c)=0有兩個不相等的實數根.

其中，正確結論的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】由題意可知：a+b+c=0,b=-(a+c),b+c=-a,

0<a<c,

a+c>2a,即b=—(a+c)<—2a,得出b+2a<0,故①正確；

b+2a<0,

:對稱軸x0=—A>1,

a>0,

??.l<x<Xo時，y隨X的增大而減小，x>Xo時，y隨X的增大而增大，故②不正確；

,-?b2—4a(b+c)=b2—4ax(—a)=b2+4a2>0,

???關于x的方程ax?+bx+(b+c)=0有兩個不相等的實數根，故③正確.

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質及一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟

練掌握二次函數的性質并能應用求解.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.如圖，點A的坐標為(1,3),點B在x軸上，把AOAB沿x軸向右平移到AECD,若四邊

形ABDC的面積為9,則點C的坐標為.

【答案】(4,3)

【分析】過點A作AH，x軸于點H,得到AH=3,根據平移的性質證明四邊形ABDC

是平行四邊形，得到AC=BD,根據平行四邊形的面積是9得到BD-AH=9,求出BD

即可得到答案.

【詳解】過點A作AH，x軸于點H,

VA（1,3），

，AH=3,

由平移得AB〃CD,AB=CD,

...四邊形ABDC是平行四邊形，

，AC=BD,

VBD-AH=9,

.?.BD=3,

，AC=3,

，C（4,3）,

故答案為：（4,3）.

【點睛】此題考查平移的性質，平行四邊形的判定及性質，直角坐標系中點到坐標軸的

距離與點坐標的關系.

12.某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售

量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當10WXW20時，其圖象是線段AB,

則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額

【分析】利用待定系數法求一次函數解析式，然后根據“利潤=單價商品利潤x銷售量”列

出二次函數關系式，從而根據二次函數的性質分析其最值.

【詳解】解：當10WxW20時，設丫=入+1),,把(10,20),(20,10)代入可得:

cl0k+b=20

120k+b=10'

解得上》

???每天的銷售量y(個)與銷售價格x(元/個)的函數解析式為y=-x+30,

設該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的利潤為w元，

W=(X—8)y=(X—8)(-x+30)=-x2+38x-240=-(x-19)2+121,

V-KO,

.,.當x=19時，w有最大值為121,

故答案為：121.

【點睛】本題考查二次函數的應用，理解題意，掌握“利潤=單價商品利潤x銷售量”的等

量關系及二次函數的性質是解題關鍵.

13.把二次函數y=x2+4x+m的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度,

如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m應滿足條件：.

【答案】m>3

【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為(-2,m-4),再求得平移后的頂點坐標為(1,

m-3),根據題意得到不等式m-3>0,據此即可求解.

【詳解】解：*.?y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4,

此時拋物線的頂點坐標為(-2,m-4),

函數的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為(-2+3,

m-4+l),即(1,m-3),

???平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，

/.m-3>0,

解得：m>3,

故答案為：m>3.

【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，屬于基礎題，解決本

題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標.

14.若點A(l,yp,B(-2/),(2(—3當)都在反比例函數y=g的圖象上，則丫］,丫2，丫3的大小關

系為.

【答案】y2Vy3Vyi

【分析】將點A(1,yi),B(-2,y2),C(-3,y3)分別代入反比例函數y=%并求

得yi、y2、y3的值，然后再來比較它們的大小.

【詳解】根據題意，得

當x=l時，yi=1=6,

當x=-2時，丫2=二=—3,

當x=-3時，y3=2=—2；

V-3<-2<6,

.?.y2Vy3<yi；

故答案是y2<y3Vyi.

【點睛】本題考查了反比例函數圖象與性質，此題比較簡單，解答此題的關鍵是熟知反

比例函數的性質及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，屬較簡單題目.

15.已知一次函數y=3x-l與丫=1罡（k是常數，k/））的圖象的交點坐標是（1,2）,則

方程組'一丫=:的解是_________.

Lkx—y=0

【答案二

【分析】根據一次函數的交點坐標即可確定以兩個一次函數解析式組成的二元一次方程

組的解.

【詳解】解：???一次函數y=3x-lVy=kx（k是常數，k知）的圖象的交點坐標是（1,2）,

聯立y=3x-l與y=kx的方程組［］的解為:X=1

y=2，

二二；的解為:X=1

y=2'

故答案為:‘X=1

y=2,

【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程組，熟練掌握一次函數的交點坐標與二元

一次方程組的解的關系是解題的關鍵.

二次函數與幾何綜合

16.在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊

界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形.例如：如圖，函數y=

（x-2）2（0Wx43）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形OABC.若二

次函數y=^x2+bx+c（0<x<3）圖象的關聯矩形恰好也是矩形OABC,貝心=

【答案】《或—W

【分析】根據題意求得點A(3,0),B(3,4),C(0,4),根據題意分兩種情況，待定系數法求

解析式即可求解.

【詳解】由y=(x-2)2(0qxW3),當x=0時，y=4,

.?.C(0,4),

VA(3,0),四邊形ABCO是矩形，

①當拋物線經過O,B時，將點(0,0),B(3,4)代入y=；x2+bx+c(0￡x<3),

(c=0

飛x9+3b+c=4

解得：b=(

②當拋物線經過點A,C時，將點A(3,0),C(0,4)代入y=^x2+bx+c(0<x<3),

(c=4

?飛x9+3b+c=0

解得：b=—B

綜上所述，6=(或6=—募，

故答案為：卷或—總

【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是

解題的關鍵.

三.解答題(共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7

分，22題8分，23題9分，24題10分，25題13分)

17.某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V(V為定值，單位：n?)的圓柱形天然氣

儲存室，儲存室的底面積S(單位：n?)與其深度d(單位：m)是反比例函數關系，

它的圖象如圖所示.

⑴求儲存室的容積V的值；

⑵受地形條件限制，儲存室的深度d需要滿足16sds25,求儲存室的底面積S的取值范圍.

3

【答案】（1）V=10000米

（2）當16<d<25時，400<S<625

【分析】（1）利用體積等于等面積乘以深度即可得到答案；

（2）先求解反比例函數的解析式為$=等，再利用反比例函數的性質可得答案.

d

【詳解】（1）解：由圖知：當深度d=20米時，底面積S=500米2,

.?.V=Sd=500米2x20米=10000米3；

（2）由（1）得：

Sd=10000,

則$=華（d〉0）,S隨著d的增大而減小，

d

當d=16時，S=625；當d=25時，S=400；

,當16<d<25時，400<S<625.

【點睛】本題考查的是反比例函數的應用，反比例函數的性質，熟練的利用反比例函數

的性質求解函數值的范圍是解本題的關鍵.

18.如圖，一次函數丫=—+2（1<。0）的圖像與反比例函數丫=個（01彳0?〉0）的圖像交

于點A（2,n）,與y軸交于點B,與x軸交于點C（-4,0）.

⑴求k與m的值；

(2)P(a,0)為x軸上的一動點，當^APB的面積為期寸，求a的值.

【答案】(l)k的值為;，m的值為6

(2)a=3或2=-11

【分析】(1)把C(—4,0)代入y=kx+2,先求解k的值，再求解A的坐標，再代入反比

例函數的解析式可得答案；

(2)先求解B(0,2).由P(a,0)為x軸上的一動點，可得PC=|a+4|.由S^CAP=SAABP+

SACBP，建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：把C(—4,0)代入y=kx+2,

得卜=

?*-y=；x+2?

把A(2,n)代入y=+2,

得n=3.

???A(2,3).

把A(2,3)代入y=p

得m=6.

；.k的值為;，m的值為6.

(2)當x=0時，y=2.

.*.B(0,2).

,.?p(a,0)為x軸上的一動點，

APC=|a+4|.

SACBP=|PC-OB=|x|a+4|x2=|a+4|,

SACAP=；PC-yA=x|a+4|x3=||a+4|.

**SACAP=SAABP+S^CBP，

.e.||a+4|=|+|a+4|.

Aa=3或a=—11.

【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解反比例函數與一次函數的解析式，坐標與圖

形面積，利用數形結合的思想，建立方程都是解本題的關鍵.

19.已知一次函數y=kx+b(k豐0)的圖象與反比例函數y=:的圖象相交于點A(l,m),

(1)求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；

⑵根據函數圖象，直接寫出不等式kx+b>：的解集；

(3)若點C是點B關于y軸的對稱點，連接AC,BC,求△ABC的面積.

【答案】(l)y=2x+2,圖見解析

(2)—2<x<0或x>1

⑶12

【分析】(1)把A(l,m),B(n,-2)分別代入y=(得到m,n的值，得到點A和點B的坐

標，利用待定系數法求出一次函數的表達式，并畫出圖象即可；

(2)由函數圖象可知，當—2<x<0或x>l時，一次函數丫=kx+b(kH0)的圖象在

反比例函數y=9勺圖象的上方，即可得到答案；

(3)根據點C是點B關于y軸的對稱點，求出點C的坐標，得到BC的長，進一步求出三

角形的面積即可.

【詳解】(1)解：把A(l,m),B(n,—2)分別代入y=(得，

m=-1,-n2=-,

解得m=4,n=-2,

.?.點A(1,4),點B(-2,-2),

把點A(1,4),點B(-2,-2)代入一次函數y=kx+b(kw0)得，

k+b=4

-2k+b=-2

解得上=,

（b=2

，一次函數的表達式是y=2x+2,

這個一次函數的圖象如圖，

一次函數y=kx+b(kW0)的圖

象在反比例函數y=，的圖象的上方,

，不等式kx+b>'的解集為一2<x<0或x>1；

X

（3）解：..?點C是點B關于y軸的對稱點，點B的坐標是（-2,-2）,

...點C的坐標是（2,-2）,

...BC=2—(-2)=4,

,,SAABC=/X4x6=12.

【點睛】此題是反比例函數與一次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式、

一次函數與反比例函數的交點問題、三角形的面積，熟練掌握一次函數與反比例函數的

性質是解題的關鍵.

20.丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源.某景區研發一款紀念品，每件成本

為30元，投放景區內進行銷售，規定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時

間調研發現，每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分

數據如下表所示：

銷售單價X（元/件）354045

每天銷售數量y(件)908070

⑴直接寫出y與x的函數關系式；

⑵若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？

⑶當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】(l)y=-2x+160

⑵銷售單價應定為50元

⑶當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤1248元

【分析】(1)設每天的銷售數量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的關系式為y=kx+b,

用待定系數法可得y=-2x+160；

(2)根據題意得(x-30)?(-2x+160)=1200,解方程并由銷售單價不低于成本且不

高于54元，可得銷售單價應定為50元；

(3)設每天獲利w元，w=(x-30)?(-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)

2+1250,由二次函數性質可得當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248

元.

【詳解】(1)解：設每天的銷售數量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的關系式為y

=kx+b,

把(35,90),(40,80)代入得：=

140k+b=80

解得已二

(b=160

/.y=-2x+160；

(2)根據題意得：(x-30)?(-2x+160)=1200,

解得xi=50,X2=60,

???規定銷售單價不低于成本且不高于54元，

.,.x=50,

答：銷售單價應定為50元；

(3)設每天獲利w元，

w=(X-30)?(-2x+160)=-2X2+220X-4800=-2(x-55)2+1250,

：-2<0,對稱軸是直線x=55,

而x<54,

...x=54時，w取最大值，最大值是-2x(54-55)2+1250=1248(元)，

答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元.

【點睛】本題考查一次函數，一元二次方程和二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，

列出函數關系式和一元二次方程.

21.如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構成，矩形的長AB為4m,寬BC為3m,

以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系.y軸是拋物線的

對稱軸，最高點E到地面距離為4米.

⑴求出拋物線的解析式.

⑵在距離地面券米高處，隧道的寬度是多少？

⑶如果該隧道內設單行道（只能朝一個方向行駛），現有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4

米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論.

【答案】（l）y=-^x2+1

⑵2近米

⑶能通過，見解析

【分析】（1）根據題意可以設出拋物線的頂點式，然后根據題目中的信息可以求得拋物線

的解析式；

⑵把y=?—3=?弋入解析式，即可求得；

⑶根據題意可以求得當X=1.2時的y的值然后與3.6比較，即可解答本題.

【詳解】（1）解：???最高點E到地面距離為4米，

EF=4米，點E為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為y軸，

二設拋物線的解析式為y=ax2+c（a豐0）,

:四邊形ABCD是矩形，

???DB=DBCO=90°,

又rOCOF=90°,

???四邊形BCOF是矩形，

???OF=BC=3米，

OE=EF-OF=4—3=1（米）,

.?.點E的縱坐標為1,

???c=1,

???y=ax2+1,

又：AB=CD=4米，

.??點C的坐標為(2,0),

把點C的坐標代入解析式，得4a+l=0,

解得a=-

4

故拋物線的解析式為y=_g+1；

(2)解：把y=g—3=%弋入解析式，

J44

得一那+1=

44

解得Xi=V3,x2=—V3,

故在距離地面9米高處，隧道的寬度是VJ-(-V3)=2g(米)；

(3)解：這輛貨運卡車能通過該隧道；

當x=L2時，y=—(X(1.2)2+1=0.64,

???3+0.64=3.64>3.6,

??.這輛貨運卡車能通過該隧道.

【點睛】本題考查二次函數的應用，利用待定系數法求二次函數的解析式，解題的關鍵

是明確題，找出所求問題需要的條件.

22.已知函數y=—x2+bx+c(b,c為常數)的圖象經過點(0,-3),(-6,-3).

⑴求b,c的值.

⑵當-4WXW0時，求y的最大值.

⑶當mgxWO時，若y的最大值與最小值之和為2,求m的值.

【答案】(l)b=-6,c=-3

(2)x=—3時，y有最大值為6

(3)m=—2或—3—VTU

【分析】(1)把(0,-3),(-6,-3)代入y=—x2+bx+c,即可求解；

(2)先求出拋物線的頂點坐標為(-3,6),再由-4WxW0,可得當x=-3時，y有最大值，

即可求解；

(3)由(2)得當x>-3時，y隨x的增大而減?。划敔€-3時，y隨x的增大而增大，

然后分兩種情況：當-3<mW0時，當m￡3時，即可求解.

【詳解】(1)解：把(0,-3),(-6,-3)代入y=—x2+bx+c,得：

L36.濡二=—3,解得Y二?；

(2)解：由(1)得：該函數解析式為y=—X?—6x—3=—(x+3)2+6,

???拋物線的頂點坐標為(-3,6),

V-l<0

???拋物線開口向下，

XV-4<x<0,

...當x=-3時，y有最大值為6.

(3)解：由(2)得：拋物線的對稱軸為直線x=-3,

當x>-3時，y隨x的增大而減??；當x<-3時，y隨x的增大而增大，

①當-3<mg0時，

當x=0時，y有最小值為-3,

當x=m時，y有最大值為-m?-6m-3,

—m2—6m—3+(-3)=2,

或m=-4(舍去).

②當m<-3時，

當x=-3時，y有最大值為6,

Vy的最大值與最小值之和為2,

，y最小值為-4,

—(m+3)2+6=-4,

.,.m=-3-或m=-3+(舍去).

綜上所述，m=-2或-3-A/TU.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，并

利用分類討論思想解答是解題的關鍵.

23.如圖，點A(a,2)在反比例函數y■的圖象上，AB//x軸，且交y軸于點C,交反比例

函數y=上于點B,已知AC=2BC.

(1)求直線0A的解析式；

(2)求反比例函數y=:的解析式；

(3)點D為反比例函數y=:上一動點,連接AD交y軸于點E,當E為AD中點時，求△OAD

的面積.

【答案】(l)y=x；(2)y=--；(3)3.

X

【分析】(1)先求解A的坐標，再把A的坐標代入正比例函數丫=小，解方程即可得到

答案；

(2)利用AC=2BC,先求解B的坐標，再利用待定系數法求解解析式即可；

(3)設D(n,—而A(2,2),E為AD的中點，利用中點坐標公式求解D,E的坐標，再利用

=

SAOAD=SAODE+SAOAEjOE(|xA|+|xD|),計算即可得到答案.

【詳解】解：(1)???點A(a,2)在反比例函數y=3勺圖象上，

2a=4,a=2,則A(2,2),

AC=2,

設直線A0為：y=mx,

???2m=2,則m=1,

所以直線AO為：y=x,

(2)???AB〃x軸，AC=2BC=2.

???BC=L

???k=xy=—1x2=—2,

所以反比例函數為：y=--.

X

(3)設D(n,一：),而A(2,2),E為AD的中點，

???XE=-(2+n)=0,

n=2,

???D(_2,l),E(0,》

S^OAD=SAODE+SAOAE=30E(|XA|+|xD|)

13

=]x]x(2+2)-3.

【點睛】本題考查的利用待定系數法求解一次函數與反比例函數的解析式，圖形與坐標，

中點坐標公式，熟練應用以上知識解題是關鍵.

24.已知二次函數y=ax?+bx+c的圖象過點(-1,0),且對任意實數x,都有4x-12W

ax2+bx+c<2x2-8x+6.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)若(1)中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C；點M是(1)

中二次函數圖象上的動點.問在x軸上是否存在點N,使得以A、C、M、N為頂點的四

邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=X2—2X—3；(2)存在，(1,0)或(5,0)或(V7—2,0)或(—2—77,0)

22

【分析】(1)令4x—12=2x—8x+6,解得X]=x2=3,可得函數y=ax+bx+c必

過(3,0),再結合y=ax2+bx+c必過(一1,0)得出6=-2a,c=-3a,即可得到y=ax2-

2ax-3a,再根據4x-12Wax?-2ax-3a,可看成二次函數丫=ax?-2ax-3a與一次函

數y=4x—12僅有一個交點，且整體位于y=4x—12的上方，可得a>0,4x-12=ax2—

2ax-3a有兩個相等的實數根，再根據△=0,可解得a的值，即可求出二次函數解析式.

(2)結合(1)求出點C的坐標，設——3),N(n,0),①當AC為對角線時，

②當AM為對角線時，③當AN為對角線時，根據中點坐標公式分別列出方程組，解方程組

即可得到答案.

【詳解】解：(1)令4x—12=2x2-8x+6,解得X]=X2=3,

當x=3時，4x-12=2x2-8x+6=0,

y=ax2+bx+c必過(3,0),

又,..y=ax?+bx+c必過(—1,0),

?fa—b+c=0nfb=-2a

*[9a+3b+c=0〔c=-3a'

Ay=ax2—2ax—3a,

即4x—12<ax2—2ax—3a,

即可看成二次函數y=ax2-2ax-3a與一次函數y=4x-12僅有一個交點，且整體位于

y=4x-12的上方

a>0>

???4x-12=ax2-2ax-3a有兩個相等的實數根

A=0

A(2a+4)2-4a(12-3a)=0,

(a—I)2=0,

?\a=1,

/.b=—2,c=-3,

/.y=x2—2x—3.

(2)由(1)可知：A(3,0),C(0,-3),設M(m,m2—2m—3),N(n,0),

fXA+XC=XM+XN

①當AC為對角線時,lyA+yc=yn+yN

(3+0=m+n

解得mi=0(舍)，m=2,

(.0+(—3)=m2—2m—3+0