專題06全等三角形中的截長補短模型

【模型展示】

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、■??

、■■■

E

如圖，在ZkABC中，若A8=I2,AC=8,求5c邊上的中線AO的取值范圍。

解決此問題可以用如下方法：

延長4。到點E使DE^AD,再連接BE,把AB.AC.2AD集中在AABE中，利用三角形三

邊的關(guān)系即可判斷中線AO的取值

【證明】

延長AO至E,ftDE=AD,連接BE,如圖所示，

特點

'：AD^.BC邊上的中線，

：.BD=CD

在4BDE和4CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

:.ABDE名ACDAgAS)

：.BE=AC=8

在AA5E中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某

結(jié)論條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用

全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題.

【模型證明】

如圖，在△ABC中，。是8c邊上的中點，OE_LZ>尸于點O,OE交A5于點E,Z)尸交AC于點

居連接E尸，求證：BE+CF>EF.

【證明】

延長尸。至點M使OAf=O居連接如圖所示，

同上例得4BMD^ACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DEVDF,DM=DF

：.EM=EF

在A3ME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

解決方案

如圖，在四邊形A8CD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點作一個70°角，

角的兩邊分別交48隊。于瓦尸兩點連接ER探索線段BE,。￡所之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【證明】

延長A3至點N,使BN=DF連接CN,如圖所示

ZABC+ZD=180°,ZNBC+ZABC=180°

：.ZNBC=ZD

在4NBC和^FDC中

BN=DF

ZNBC=ZD

BC=DC

:?△NBCQXFDC(SAS)

:.CN=CF,ZNCB=ZFCD

VZBCD=140°fZECF=70°

：.ZBCE+ZFCD=70°

：.ZECN=70°=ZECF

在^NCE和^FCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.△NCE"AFCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【題型演練】

一、解答題

1.閱讀下面文字并填空：

數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題:“如圖1,在.ABC中,AD平分ZBAC,ZB=2NC.求證：AB+BD=AC.

（圖1）

李老師給出了如下簡要分析：“要證就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截

長法’如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE,只要證89=即可，這就將證明線段和差問題

為證明線段相等問題，只要證出，.,得出NB=NAED及BD=

，再證出N=Z,進而得出￡D=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基礎(chǔ)是，己

知AD平分將沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

E

（圖2）

方法二:“補短法”如圖3,延長AB至點F,使=RD.只要證AF=AC即可.此時先證Z=ZC,

再證出。,則結(jié)論成立.”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

2.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

(1)如圖1,ABC是等邊三角形，點。是邊3C下方一點，ZB￡)C=120°,探索線段ZM、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長0c到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)/54。+/班心=180。，可證=易

證得ABD沿、ACE,得出ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而探尋線段D4、DB、OC之間的數(shù)

量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出ZM、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在咫ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若點D是邊BC下方一點,ZBDC=90°,探索線段

DA.DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2c機的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距

離尸。的平方為多少？

3.如圖，在等邊△ABC中，點尸是BC邊上一點，ZBAP=?(30°<?<60°),作點8關(guān)于直線AP的對

稱點。，連接。C并延長交直線AP于點E,連接BE.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出/AE8的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

4.閱讀材料：

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長，即在長線段上截

取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，

使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊「ABC中，點E是邊AC上一定點，點。是直線8C上一動點，以DE為邊作等邊一DEF,連

接CF.

(1)如圖，若點。在邊上，試說明CE+B=CZ)；(提示：在線段C。上截取CG=CE,連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊8c的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,B與C。之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

A

5.在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復(fù)習課，學習過七種作輔助線的方法，其

中有“截長補短”作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

己知，如圖，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,P為AD上任一點，求證：AB-AC>PB~PC

6.例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就

是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而

解決問題.

(1)如圖1,△48C是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBZ)C=120°,探索線段D4、DB、0c之間

的數(shù)量關(guān)系.

解題思路:將4ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

根據(jù)NB4C+/8DC=180。，可知NABD+NACD=180。，貝！ZAC￡+ZACD=180°,易知△AOE是等邊三角形，

所以從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段ZM、DB,OC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點。是邊8C下方一點，ZBDC=90°,探索三條線段D4、

DB、0c之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

7.閱讀材料并完成習題:

在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖1,在四邊形ABCD

中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明△BAE^^DAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,貝UNEAC=/EAB+/BAC=/DAC+/BAC=/BAD=90°,得S四邊形

ABCD=SAABC+SAADC-SAABC+SAABE=SAAEC＞這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積.

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

(2)請你用上面學到的方法完成下面的習題.

H

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五邊形FGHMN的面積.

8.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題.

(1)如圖①，△ABC是等邊三角形，點。是邊下方一點，連結(jié)ZM、DB、DC,且N3OC=120。，探

索線段ZM、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)4AC+9C=180。，則/ABO+/ACD=180。，

因為NACD+NACE=180。可證/ABD=NACE,易證得△AfiD四△ACE,得出△ADE是等邊三角形，所

以AD=DE,從而探尋線段94、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出D4、DB、DC

之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖②，在R3ABC中，ABAC=90°,AB=AC.若點。是邊BC下方一點，NBDC=90°,探索線

段ZM、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

p

(3)如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30。所對直角邊等于斜邊一半,

則PQ的長為cm.(結(jié)果無需化簡)

9.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=B。，連接AE,根據(jù)N8AC+N2Z)C=180。，可證NACE易證

得AABD義LACE,得出△AOE是等邊三角形，所以從而探尋線段ZM、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)

系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出D4、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若點。是邊BC下方一點，ZBDC=90°,探索線段D4、

DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為cm.

10.現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣

泛的應(yīng)用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等.補

短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段.

請用截長法解決問題(1)

(1)已知:如圖1等腰直角三角形ABC中，/3=90。，AD是角平分線，交邊于點。.求證：AC=AB+BD.

圖1

請用補短法解決問題(2)

(2)如圖2,已知，如圖2,在AABC中，ZB=2ZC,AD是AABC的角平分線.求證：AC=AB+BD.

11.數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求證NABK=NACD；

在此問題的基礎(chǔ)上，老師補充：

過點A作盛于點G交BC于點F，過廠作FPL8交3E于點P,交CD于點H,試探究線段3尸，F(xiàn)P,

AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，/位必與二小十有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出

結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證NABE=NACD；

(2)猜想/4FB與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)探究線段FP,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.【初步探索】

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長

邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問

題.

(1)如圖1,AABC是等邊三角形，點D是邊8C下方一點，120°,探索線段ZM、DB、DC之間

的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,AABC為等邊三角形，直線a〃A8,。為8c邊上一點，/AOE交直線a于點E,且/AOE

=60°.求證：CD+CE=CA；

圖2

【延伸拓展】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD.若點E在C8的延長線上，點尸在CD

的延長線上，滿足跖=BE+ED,請直接寫出NEAP與/。4B的數(shù)量關(guān)系.

圖3

13.截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是

在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解

決問題.

(1)如圖1,△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段DA、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長DC到點E,使CE=BD,根據(jù)NBAC+NBDC=180。，可證NABD=NACE,易證

AABD^AACE,得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,R3ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點D是邊BC下方一點，ZBDC=90°,探索三條線

段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

S1困2

14.【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系.截長法：

將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等.補短法：延長較短兩條線段中的一條，

使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等.

【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，ZCAD=ZCBD=90°,組成一個四邊形AC9,以。為頂

點作交邊AC、于M、N.

⑴若ZACD=30。，ZMDN=60°,證明：AM+BN=MN；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補

短法，延長CB到點E,使=連接OE,先證明DAM^DBE,再證明,即可

求得結(jié)論.按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；

⑵當NACD+4?N=90。時，AM,MN、8N三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？(直接寫出你的結(jié)論，不用證

明)

⑶如圖③，在(2)的條件下，若將M、N改在C4、3c的延長線上，完成圖③,其余條件不變，則A"、MN、BN

之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.

專題06全等三角形中的截長補短模型

【模型展示】

\?

、*

■*■?

?、■?

如圖，在AABC中，若48=12,AC=8,求邊上的中線4。的取值范圍。

解決此問題可以用如下方法：

延長AO到點E使DE=AD,再連接BE,把AB.AC、2AD集中在△ABE中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線40的取值

【證明】

特點延長至E,<DE=AD,連接5E,如圖所示，

是邊上的中線，

：.BD=CD

在4BDE知&CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

ABDE沿八CDA(SAS)

：.BE=AC=8

在AABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體

結(jié)論的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之

與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題.

【模型證明】

,So

\

M

如圖，在△ABC中，。是5c邊上的中點，DEVDF于點D,DE交AB于點E,DF

交AC于點居連接EK求證：BE+CF>EF.

【證明】

延長歹。至點的使居連接如圖所示，

同上例得4BMD^ACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DE±DF,DM=DF

：.EM=EF

在ABME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

D

A

解決方

案Z^\

AEBN

如圖，在四邊形ABC。中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點

作一個70。角，角的兩邊分別交ABAD于E,F兩點連接探索線段BE,DF,EF之

間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【證明】

延長A8至點N,使BN=DF,連展CN,如圖所示

ZABC+ZD=180°,NNBC+NABC=180。

：.NNBC=ND

在^NBC和八FDC中

BN=DF

NNBC=/D

BC=DC

:ANBC空△FDC(SAS)

CN=CF,ZNCB=ZFCD

'：ZBCD=140°,ZECF=70°

???NBCE+NFCD=70。

：.ZECN=70°=ZECF

在^NCE和aFCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.△NCEmAFCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF,

【題型演練】

一、解答題

1.閱讀下面文字并填空：

數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1,在ABC中，AD平分44C,ZB=2ZC.求

證：AB+BD=AC.

-D----------------C

（圖1）

李老師給出了如下簡要分析：“要證=就是要證線段的和差問題，所以有兩個方

法，方法一：‘截長法’如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE,只要證即

可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出__________坦X

,得出NB=ZAED及BD=，再證出N=Z,

進而得出￡D=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基礎(chǔ)是，已知AD平分ZBAC,將沿直

線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

（圖2）

方法二：“補短法”如圖3,延長AB至點F,使BF=BD.只要證AF=AC即可.此時先證

z=ZC,再證出二,則結(jié)論成立.”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

【答案】方法一：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED；DE；EDC；C；方法二：F；AFD；ACD

【分析】方法一:在AC上截取=由SAS可證AABDMAAED可得4=NA￡D,BD=DE,

根據(jù)等角對等邊得到CE=DE,即可求證；

方法二：延長AB至點F,使BF=BD,由AAS可證AAFO二AACD,可得AOAF,即可證

明.

【詳解】方法一：在AC上截取A八AB,連接DE,如圖2

「AD平分ZS4C,

ZBAD=ZDACf

在AA5D和AAED中

AE=AB

</BAD=ADAC,

AD=AD

AABD=/\AED,

：.ZB=ZAED,BD=DE,

ZB=2ZC,

ZAED=2ZC

而ZAED=NC+ZEDC=2NC,

???NEDC=NC,

.'.DE=CE,

AB+BD=AE+CE=AC,

故答案為：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED；DE；EDC；C；

方法二：如圖3,延長AB至點F,使BF=BD,

ZF=ZBDF

ZABD=NF+ZBDF=2ZF

：.ZABD=2ZC

：.ZF=ZC

在A47D和AACD中

ZFAD=ZCAD

<ZF=ZC,

AD=AD

：.AAFD=AACD,

AAC=AF,

AAC=AB+BF=AB+BD,

故答案為：F；AFD；ACD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數(shù)學中

的轉(zhuǎn)化思想，此類題的關(guān)鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式.

2.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，

從而解決問題.

(1)如圖1,ABC是等邊三角形，點。是邊3C下方一點，ZBDC=nO°,探索線段ZM、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長OC到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)/3AC+N30c=180。，可證

ZABD=ZACE,易證得.A3D0sACE,得出ADE是等邊三角形，所以=從而

探尋線段加、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出加、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在用ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若點。是邊3c下方一點，ZBDC=90°,

探索線段D4、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2c機的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直

角頂點之間的距離尸。的平方為多少？

【答案】(1)DA=DC+BD,見解析；(2)2AD2=(DC+B￡>)2；見解析；(3)2+6

【分析】(1)由等邊三角形知AB=AC,ZBAC=60°,結(jié)合N8￡)C=120。知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC￡)=180。知ilAABD^AACE^AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再證△是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,先證△ABD/AACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

據(jù)此可得NZME=/BAC=90。，由勾股定理知。1+入序二^序，繼而可得2AD2：(OC+8D)2；

22

(3)由直角三角形的性質(zhì)知QV=3MN=1,MQ=y]MN-QN=73,利用(2)中的結(jié)論知

2PQ2=(QN+MQY,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：(1)DA=DC+BD,理由如下：

是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=6Q0,

'：ZBDC=120°,

：.ZABD+ZACD=3600-ZBAC-ZBDC=180°,

又；ZACE+ZACD=180°,

/ABD=NACE,

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

：.^ABD^AACE(5AS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

VZABC=60°,即NBA0+NDAO600,

???ZZ)AC+ZCAE=60°,即ZDAE=60°,

???ZkAOE是等邊三角形，

:?DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,

故答案為：DA=DC+BD；

22

(2)2AD=(DC+BD)f如圖2,延長。。到點E,使CE=BD,連接AE,

圖2

VZBAC=90°,ZBDC=90°,

：.ZABD+ZACD=360°-ZBAC-ZBDC=180°,

ZACE+ZAC￡>=180°,

ZABD=ZACE,

U：AB=AC,CE=BD,

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

：.AABD^AACE(SAS),

：.AD=AE.NBAD=NCAE,

：.ZDAE=ZBAC=9Q°,

J.D^+AE^DE2,

：.2A￡>2=(￡>c+幽2；

(3)如圖3,連接P。,

圖3

,:MN=2,ZQMN=30°,ZMQN=9Q°,

：-QN=WMN=\,

MQ=^MN--QN-=V22-l2=73，

由(2)知MQ?=(QN+A/Q)2.

???陪=370)2=岑匚+/

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，NBAP=a(30°<?<60°),作點8關(guān)

于直線AP的對稱點。，連接。C并延長交直線AP于點E,連接BE.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出/AEB的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性

質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的

目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

B

【答案】(1)圖見解析，ZAEB=60°；(2)AE=BE+CE,證明見解析

【分析】(1)依題意補全圖形，如圖所示：然后連接先求出NEP=60。-c,然后根

據(jù)軸對稱的性質(zhì)得至,AD=AB=AC,/AEC=NAEB,求出ZCAD=2a-60°,

即可求出NACD=ZADC^1(180°-ZC4D)=120°-a,再由

ZEAC+NAEC=ZACD=120°-a進行求解即可；

(2)如圖，在AE上截取EG=BE,連接BG.先證明△BGE是等邊三角形，得至I]

=EG,ZGBE=6Q0.再證明NABG=NCBE,即可證明△ABG也ZiCBE得到AG=CE,貝U

AE=EG+AG=BE+CE.

【詳解】解:(1)依題意補全圖形，如圖所示：連接A。，

「△ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,AB=AC,

"：ZBAP=a,

：.ZCAP=GO0-a,

。關(guān)于AP對稱，

:.NPAD=/BAP=a,AD=AB=AC,ZAEC=ZAEB,

：.ZCAD=ZPAD-ZCAP=a-(60°-?)-60°,

ZACD=ZADC=1(180°-ZC4T>)=120°-6Z

ZEAC+ZAEC=ZACD=nO0-a,

ZAEC=60°

NAEB=60°.

A

(2)AE^BE+CE.

證明：如圖，在AE上截取EG=BE,連接BG.

NAEB=60。，

...△BGE是等邊三角形，

：.BG=BE=EG,ZGBE=60°.

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,

ZABG+NGBC=NGBC+NCBE=60。,

：.ZABG=ZCBE.

在AABG和ACBE中，

AB=CB,

<NABG=NCBE,

BG=BE,

.?.△ABG段ACBE(SAS),

；.AG=CE,

：.AE=EG+AG=BE+CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵

4.閱讀材料:

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長,

即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補

短，即延長其中一條短線段,使延長部分等于另一條線段,再證明延長后的線段等于長線段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊一ABC中，點E是邊AC上一定點，點。是直線BC上一動點，以。E為邊作

等邊DEF,連接CF.

(1)如圖，若點。在邊BC上，試說明CE+CF=CD；(提示：在線段C。上截取CG=CE,

連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊5c的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,CP與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理

【答案】(1)證明見解析

(2)FC=CD+CE

【分析】(1)在C。上截取CG=CE,易證△CEG是等邊三角形，得出EG=EC=CG,證

明AOEG名△BEC(SAS),得出￡)G=CR即可得出結(jié)論；

(2)過。作DGA2,交AC的延長線于點G,由平行線的性質(zhì)易證/GDC=NOGC=60。，

得出△GCZ)為等邊三角形，則DG=CD=CG,證明△EGD^AFCD(SAS),得出EG=FC,

即可得出FC=CD+CE.

(1)

證明：在CD上截取CG=CE,如圖1所示：

圖1

「△ABC是等邊三角形,

.,.ZECG=60°,

:?△CEG是等邊三角形，

:?EG=EC=CG,NCEG=60。，

尸是等邊三角形，

：.DE=FE,NDEF=60。,

ZDEG+ZGEF=ZFEC+ZGEF=60°,

：?NDEG=NFEC,

在^/EC中，

DE=FE

<ZDEG=ZFEC,

EG=EC

:?△DEG會XFEC(SAS),

：?DG=CF,

：.CD=CG+DG=CE+CF,

：.CE+CF=CD；

(2)

解：線段CE,C尸與CO之間的等量關(guān)系是尸C=CD+CE；理由如下:

???ZiABC是等邊三角形，

???ZA=ZB=60°,

過。作。G;A3,交AC的延長線于點G,如圖2所示：

：.ZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°,

：.ZGDC=ZDGC=60°,

???△GCO為等邊三角形，

：.DG=CD=CG,NGOC=60。，

???△皮正為等邊三角形，

:?ED=DF,NEDF=NGDC=6。。,

:?/EDG=NFDC,

在4^7。和4FC。中,

ED=DF

<ZEDG=ZFDC,

DG=CD

.?.△EG。絲△尸CO(SAS),

:.EG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等及其性質(zhì)，三角形全等的判定，等邊三角形

的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復(fù)習課，學習過七種作輔

助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

己知，如圖，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,尸為上任一點，求證：AB-AOPB

-PC

【答案】見解析

【分析】截長法：在A2上截取A7V=AC,連結(jié)PN,可證得△APNgZVIPC,可得到PC=PN,

4BPN中,利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證；補短法：延長AC至使連結(jié)

PM,證明AAB尸思ZVIMP,可得PB=PM,在APCAf中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求

證.

【詳解】解：截長法：在上截取AV=AC,連結(jié)PN,

在AAPN和△APC中

'：AN=AC,Z1=Z2,AP=AP,

：./\APN^/\APC,

：.PC=PN,

'：ABPN中有PB—PNVBN,

即PB-PC<AB-AC；

補短法：延長AC至M,使連結(jié)RW,

在△ABP和△AM尸中，

'：AB=AM,Z1=Z2,AP=AP,

：.△ABPg△AMP,

：.PB=PM,

又：在△PCM中有CM>PM~PC,

即AB-AOPB-PC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解截長補短法是

解題的關(guān)鍵.

6.例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一

種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式

使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,△ABC是等邊三角形，點。是邊8C下方一點，ZBDC=120°,探索線段D4、

DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：將△A3D繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,可得CE=BD,

ZABD=ZACE,ZDAE=60°,根據(jù)Na4C+NBDC=180。，可知則

ZACE+ZACD=180°,易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段D4、DB、0c之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,R/AA8C中，ZBAC=9Q°,AB=AC.點。是邊BC下方一點，ZBDC=9Q°,探

索三條線段D4、DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)DA=DB+DC;(2)&DA=DB+DC,證明見解析.

【分析】⑴由旋轉(zhuǎn)60。可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,根據(jù)

ZBAC+ZBDC=1SQ°,可知/ABD+/ACZ)=180。，貝I]ZACE+ZACD=180°,易知△ADE是

等邊三角形，所以AO=DE,從而解決問題.

⑵延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,由已知可得NABD+NACD=180°,根據(jù)

ZACE+ZACD=180°,可得ZABD=ZACE，可證」ABD=ACE,進而可得AD=AE,

/BAD=ZCAE，可得ZDAE=ABAC=90°,由勾股定理可得：DA2+AE2=,進行等量代

換可得結(jié)論.

【詳解】⑴結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：:△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,

???AE=AD,CE=BD,NABD=NACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.\ZABD+ZACD=180o,

.*.ZACE+ZACD=180°,

???D,C,E三點共線，

VAE=AD,ZDAE=60°,

:?△ADE是等邊三角形，

AAD=DE,

:.AD=DC+CE=DB+DC;

⑵結(jié)論：&DA=DB+DC,

證明如下：

如圖所示，延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

???ABAC=90°,ZBDC=90°,

ZABD+ZACD=180°,

VZACE+ZACZ)=180°,

ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

：..ABD=?ACE(SAS),

???AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZDAE=ABAC=90°,

??D/^+AE2=DE\

：.2DA2=(DB+Z)C)2,

???72DA=DB+DC.

【點睛】本題主要考查了截長補短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作

出輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.閱讀材料并完成習題：

在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖1,

在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明△BAEgZYDAC,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,則

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90°,得S四邊形

ABCD=SAABC+SAADC=SAABC+SAABE=SAAEC＞這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三

角形EAC面積.

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

(2)請你用上面學到的方法完成下面的習題.

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五邊形FGHMN的面積.

【答案】(1)2；⑵4

【分析】(1)根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；

(2)延長MN到K,使NK=GH,連接FK、FH、FM,由(1)易速.-FGH”aFNK,則有

FK=FH,因為HM=GH+MN易證二月歐空司團，故可求解.

S+SS+SS=AC：22

【詳解】(1)由題意知鼠邊形.s=ABCADC=ABCABE=.AEC^=

故答案為2；

(2)延長MN到K,使NK=GH，連接FK、FH、FM,如圖所示：

H

‘二

K

FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,

/.ZFNK=ZFGH=90°,：._FGH空,FNK,

??.FH=FK,

又?.FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

FMK^FMH,

.?.MK=FN=2cm,

S五邊形FGHMN=SFGH+SHFM+SMFN-2sFMK-2x2FN-4"

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法及割補法求面積的

運用.

8.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等,

從而解決問題.

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點。是邊3C下方一點，連結(jié)D4、DB、DC,且

ZBDC=120°,探索線段04、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)NBAC+3DC=180。，則

ZABD+ZACD=180°,因為NACO+NACE=180。可證NAB。=NACE,易證得△ABD^/\

ACE,得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而探尋線段ZM、DB、0c之間的數(shù)

量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出D4、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是

【拓展延伸】

（2）如圖②，在R3ABC中，ABAC=90°,AB^AC.若點。是邊下方一點,

ZBDC=90°,探索線段ZM、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

【知識應(yīng)用】

P

圖①

（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30。所對直角

邊等于斜邊一半，則PQ的長為cm.（結(jié)果無需化簡）

【答案】（1）DA=DB+DC-.（2）猜想：y/2AD=DC+DB證明見解析；（3）*J.

3

［分析］(1)由等邊三角形知AB=AC,ZBAC=60°,結(jié)合/8￡)。=120。知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC￡)=180^D/ABD=/ACE,ilAABD^^ACE^AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長0c到點E,使CE=BD,連接AE,先證△ABOgZXACE得AD=AE,