34第7章圓之四點共圓

一、單選題

1.下列長度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）

A.5cm,6cm,7cmB.7cm,3cm,8cm

C.4cm,7cm,3cmD.2cm,4cm,5cm

2.如圖，四邊形ABC。內接于）0,AB=CD,A為5。中點，NBDC=60°,則NADfi等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

3.如圖，圓上有A、B、C、。四點，其中N&LD=80。，若弧ABC、弧ADC的長度分別為7萬、1U,

則弧5Ao的長度為（）

c.io?D.15%

4.如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底邊BC上取一點D,連結AD,使得

ZDAC=ZACD.如圖3,將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結BE,得到四邊形

ABED.貝ljBE的長是()

63217

A.1B.C.D.

515T

二、填空題

5.如圖，四邊形ABC。是。。的內接四邊形，若。。半徑為4,且/C=2/4,則BD的長為_.

6.如圖，正五邊形ABCDE內接于。0,連接BE,則NA8E的度數為度.

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,點。為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE=

FG

1.5,連接OE,過點O作OFLOE交CB延長線于點F,連接FE并延長交AC的延長線于點G,則、=

8.如圖，正方形A3CD中，A3=9,點E為A。上一點，且AE:石。=1:2,點P為邊A3上一動點，

連接PE，過點E作EF工PE，交射線3c于點/，連接PF,點加■為PF中點，連接ZW，則Q暇的

最小值為?

三、解答題

9.如圖，等腰R3ABC中，ZACB=90°,D為BC邊上一點，連接AD.

(1)如圖1,作BE_LAD延長線于E,連接CE,求證：ZAEC=45°；

(2)如圖2,P為AD上一點，且/BPD=45。，連接CP.

①若AP=2,求AAPC的面積；

②若AP=2BP,直接寫出sinZACP的值為.

10.在邊長為12cm的正方形ABCD中，點E從點D出發，沿邊DC以lcm/s的速度向點C運動，同時，

點F從點C出發，沿邊CB以lcm/s的速度向點B運動，當點E達到點C時，兩點同時停止運動，連接AE、

DF交于點P,設點E.F運動時間為t秒.回答下列問題：

(1)如圖1,當t為多少時，EF的長等于4j?cm?

(2)如圖2,在點E、F運動過程中，

①求證：點A、B、F、P在同一個圓(。。)上；

②是否存在這樣的t值，使得問題①中的。O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在,

請說明理由；

③請直接寫出問題①中，圓心O的運動的路徑長為.

11.己知AD為銳角AA3C的高，G為AC中點，于點E，延長ED至歹，使得GR=8

(1)證明：AAED?AAFC；

(2)證明：AECF2=BEAF\

(3)若A5=6,5C=7,C4=8,求四邊形ACFD的面積.

?1弋―'C

12.四邊形A3CD內接于圓。,連接BD,ZABD=ZCBD=-ZADC.

一」2

⑴求證：ZADC=90°;

D

(2)求證：AB+BC=?BD；

D

(3)如圖2,點E是AD上一點,連接￡3并延長交DO的延長線于點/，連接CR交圓。于點

G,ZAEB=2/EFC,AE=2,EF=,求尸G的長.

D

13.已知：ABC內接于O,過點3作。的切線，交C4的延長線于點。，連接08.

(1)如圖1,求證：NDAB=NDBC；

(2)如圖2,過點。作于點M,連接A0,交3C于點N,BM=AM+AD^vE：BN=CN；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點E為。。上一點，過點E的切線交。8的延長線于點尸，連接CE,交

A0的延長線于點Q,連接PQ,PQL0Q,點R為AN上一點，連接若NDCF+NCDB=90°,

ON1「

tanZECF=2,詼=,，2°+。°=6可，求CF的長.

14.如圖，等腰三角形△ABC中，ZBAC=120°,AB=3.

（1）求BC的長.

A

(2)如圖，點。在CA的延長線上，OELA8于E,于尸，連求EF的最小值.

15.如圖1,拋物線y=-3爐+6尤+c經過原點(o,o),A(12,0)兩點.

8

(1)求6的值；

(2)如圖2,點P是第一象限內拋物線y=-且f+法+c上一點，連接尸o,若tanNPQ4=3,求點P的

-82

坐標；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點P的直線y=-隨x+m與X軸交于點R,作C尸=。?，連接交

5

拋物線于點。，點3在線段O尸上，連接CP、CB、PB,PB交CF于點、E，若NPBA=2ZPCB,

ZBEF=2ZBCF,求點。的坐標.

16.定義：有一個角是其對角一半的圓的內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.已知四邊形

ABCD是圓美四邊形.

AA

(1)求美角NA的度數；

(2)如圖1,若。的半徑為5,求BD的長；

(3)如圖2,若C4平分N5CD,求證：BC+CD=AC.

17.(1)已知(x+y『=25,(x-y)2=9,求孫的值。

(2)如圖，一塊半徑為的圓形鋼板，從中挖去半徑分別為a與b的兩個圓。

①求剩下的鋼板的面積。

②若a=0.625cm,6=1.6cm,那么剩下的鋼板面積為多少呢？(結果用乃表示)

18.如圖所示中，ZNAM=60°,B,。分別在邊AM和AN上，且5c=2,CPLAN,成，A4垂

足分別為C,B,求外的長.

34第7章圓之四點共圓

一、單選題

1.下列長度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）

A.5cm,6cm,7cmB.7cm,3cm,8cm

C.4cm,7cm,3cmD.2cm,4cm,5cm

【答案】c

【分析】結合三角形滿足的三角形滿足的規律是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，依次分析各

個選項，選出正確答案.

【詳解】A選項中，5+6>7可以構成三角形；

B選項中，3+7>8,能夠構成三角形；

C選項中4+3=7不能構成三角形；

D選項中2+4>5,能夠構成三角形.

故選C.

【點睛】

考查三角形構成規則，抓住三角形滿足的規律是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，難度較容易.

2.如圖，四邊形A3CD內接于>9,AB=CD,A為5。中點，NBDC=60°,則NADS等于（）

11D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】根據A5=CD,A為8。中點求出NCBD=/ADB=/ABD,再根據圓內接四邊形的性質得到

ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.

【詳解】：A為8。中點，

,,AB=AD

AZADB=ZABD,AB=AD,

?：AB=CD,

：.ZCBD=ZADB=ZABD,

?..四邊形ABC。內接于O,

/.ZABC+ZADC=180°,

/.3ZADB+60o=180°,

/.ZADB=40°,

故選:A.

【點睛】

此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內接四邊形的性

質：對角互補.

3.如圖，圓上有A、B、C、。四點，其中N54D=80。，若弧ABC、弧A￡>C的長度分別為7萬、1U,

則弧的長度為（）

C.10%D.15〃

【答案】C

【分析】先求出圓的周長，再根據圓內接四邊形的性質可得NC=100°,然后根據圓周角定理可得弧

所對圓心角的度數，最后根據弧長的定義即可得.

【詳解】弧A3C、弧ADC的長度分別為7%、117T

「?圓的周長為7"+11%=18?

ZBAD=S0°

:.ZC=100°（圓內接四邊形的對角互補）

???弧BAD所對圓心角的度數為2NC=200°

則弧B4。的長度為18〃x型=10萬

360

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理、弧長的定義、圓內接四邊形的性質，熟記圓的相關定理與性質是解題關鍵.

4.如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底邊BC上取一點D,連結AD,使得

ZDAC=ZACD.如圖3,將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結BE,得到四邊形

ABED.則BE的長是（）

A

S------------------飛B1?c\7b…c

圖1圖2

圖3E

63217

A.1B.-C.—D.—

5154

【答案】A

【分析】只要證明AAfiD^AMBE,得蕓=空，求出BM、即可解決問題.

BMBE

【詳解】解：AB=AC,

.\ZABC=ZC,

ZDAC=ZACDf

,\ZDAC=ZABC,

zc=zc,

:.ACAD^ACBA,

.CA_CD

"Cfi"~CA"

?4_8

??一,

64

0

CD=-,BD=BC-CD=6--=-一,

33：

ZDAM=ZDAC=ADBA,ZADM二ZADB,

:.MDM^ABDA,

8

ADDM3DM

—=——,即HnW=-s—，

BDDA108

T3

326

:.DM=—,MB=BD-DM=—

153

ZABM=Z.C=ZMED,

A、B、E、。四點共圓，

ZADB=ZBEM,ZEBM=ZEAD=ZABD,

AABD^AMBEf

ABBD

血一族，

BM,BD

故選：A.

圖3)

【點睛】

本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是充分利用

相似三角形的性質解決問題，本題需要三次相似解決問題，題目比較難，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題

5.如圖，四邊形ABC。是。。的內接四邊形，若。。半徑為4,且NC=2NA,則BD的長為_.

【答案】4出

【分析】連接OB,0D,利用內接四邊形的性質得出NA=60。，進而得出/BOD=120。，利用含30。的直角

三角形的性質解答即可.

【詳解】連接OB,OD,過O作OELBD,

D~------

:四邊形ABCD是。。的內接四邊形，ZC=2ZA,

.\ZC+ZA=3ZA=180o,

解得：ZA=60°,

ZBOD=120°,

在RtABEO中，OB=4,

；.BE=25

；.AC=4B

故答案為：473.

【點睛】

此題考查內接四邊形的性質，關鍵是利用內接四邊形的性質得出/A=60。.

6.如圖，正五邊形ABCOE內接于0。，連接BE,則N4BE的度數為__________度.

【答案】36

【分析】由正五邊形的性質可知△ABE是等腰三角形，求出NA的度數即可解決問題.

【詳解】：在正五邊形ABCDE中，ZA=1x(5-2)xl80=108°,AB=AE,

.\ZABE=ZAEB=—(180°-108°)=36°.

2

故答案為36.

【點睛】

本題主要考查多邊形內角與外角的知識點，解答本題的關鍵是求出正五邊形的內角，此題基礎題，比較簡

單.

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE=

FG

1.5,連接OE,過點O作OFLOE交CB延長線于點F,連接FE并延長交AC的延長線于點G,則84=

【答案］拽

5

【分析】作OMLCD于M,ONLBC于N,根據三角形中位線定理分別求出OM、ON,根據勾股定理求

出OE,根據相似三角形的性質求出FN,得到FC的長，證明AGFCS^GOE,根據相似三角形的性質列出

比例式，代入計算得到答案.

【詳解】角能作OM_LCD于M,ON_LBC于N,

???四邊形ABCD為矩形，

AZD=90°,ZABC=90°,

???OM〃AD,ON〃AB,

???點。為AC的中點，

11

???OM=—AD=3,ON=一AB=4.5,CM=4.5,CN=3,

22

VCE=1.5,

???ME=CM+CE=6,

在R3OME中，OE=[OM2+W￡2=五+62=39,

VZMON=90°,ZEOF=90°,

JZMOE+ZNOE=ZNOF+ZNOE=90°,

AZMOE=ZNOF,又NOME=NONF=90。,

.,.△OME^AONF,

.OMME36

..----=-----,即nn----=----,

ONFN4.5FN

解得，FN=9,

；.FC=FN+NC=12,

ZFOE=ZFCE=90°,

；.F、0、C、E四點共圓，

.\ZGFC=ZGOE,又NG=/G,

.".△GFC^AGOE,

.FGFC12_4A/5

,?加—而—訪一虧‘

故答案為：逑.

【點睛】

本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質、圓周角定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性

質定理是解題的關鍵.

8.如圖，正方形ABCD中，AB=9,點E為上一點，且AE:石。=1:2,點P為邊AB上一動點，

連接PE,過點E作EFLPE，交射線3C于點/，連接PF,點M為PF中點，連接DM,則的

最小值為.

A____E_________D

［答案］土叵

10

【分析】由已知可得AE=3,DE=6,又AB=9,ZA=90°>由勾股定理得BE=J32+9?=3回，由

NPEF=9。，NPBF=90°，M為PF中點，可知M為四邊形BFEP外接圓的圓心，BE為圓M的弦，

故圓心M在線段BE的垂直平分線上，作線段BE的垂直平分線GH交BE于G,交CD于H,過點D作

。0，6”于乂，此時的線段DM即為所求最小值，過點E作石NLDAl于N,則四邊形EGMN為矩形,

BEQ/1n

可得NGEN=90°，GE=MN,可證VABE:NNED,可得——=——，代入數據得：DN=H",又

DNDE5

MN=EG=M0,可得DM的長度.

2

【詳解】：AE:EL>=1:2,AD=AB=9,

；.AE=3,DE=6,

又：AB=9,ZA=90°.

BE=J32+92=3^/10，

VZPEF=90°>NPBF=90°，

；.B、F、E、P四點共圓，且PF為直徑，

：M為PF中點，

M為四邊形BFEP外接圓的圓心，

：E、B為定點，

；.BE為圓M的弦，

圓心M在線段BE的垂直平分線上，

如下圖，作線段BE的垂直平分線GH交BE于G,交CD于H,過點D作于M,此時的線段

DM即為所求最小值，

過點E作E/V_LQM于N,則四邊形EGMN為矩形,

；?NGEN=96，GE=MN,

ZAEB+ADEN=90°，

：NA=90°，

ZABE+ZAEB=90)>

/.ZDEN=ZABE,

又?:ZA=NDNE=90°，

：.\ABE:VNED,

.AEBE

"~DN~1)E，

即J_=酒，

DN6

解得:DN=3叵，

5

VBE=3V10.

._3回

??JFtSnxj------------,

2

.W3M

..MN=———,

2

DM=DN+MN=3而+^2=21河.

5210

【點睛】

本題考查了圓內接四邊形，圓的對稱性，相似三角形的判定和性質，熟練掌握圓周角定理及其逆定理確定

四點共圓是解題的關鍵.

三、解答題

9.如圖，等腰RtAABC中，ZACB=90°,D為BC邊上一點，連接AD.

（1）如圖1,作BE_LAD延長線于E,連接CE,求證：ZAEC=45°；

（2）如圖2,P為AD上一點，且NBPD=45。，連接CP.

①若AP=2,求AAPC的面積;

②若AP=2BP,直接寫出sinZACP的值為.

【答案】（1）證明見解析；（2）①AAPC的面積=1；②勺叵.

17

【分析】（1）由題意可證點A,點B,點E,點C四點共圓，可得/AEC=/ABC=45。；

AP

(2)①通過證明△APBs^CEB,可求CE=75=0由等腰直角三角形的性質可求CF=1,即可求解;

②過點B作BELAD,交AD的延長線于點E,過點C作CFLAD于F,過點P作PHLAC于H,設AP

AP/?

=2a,則BP=a,可得CE=—，==J^a,CF=EF=a,BE=PE=—a,由勾股定理可求AC?,CP2,利用

v22

面積法可求PH2,即可求解.

【詳解】證明：(1):等腰RSABC中，ZACB=90°,

???AC=BC,NABC=NCAB=45。，AB=^BC,

VBEXAD,

.*.ZAEB=90°=ZACB,

?,?點A,點B,點E,點C四點共圓，

???ZAEC=NABC=45。；

(2)①如圖2,過點B作BELAD,交AD的延長線于點E,過點C作CFLAD于F,

VZBPD=45°,BE±AD,

.*.ZPBE=45O=ZABC,

???NABP=NCBE,

VZAEB=90°=ZACB,

?,?點A,點B,點E,點C四點共圓，

???NBAE=NBCE,NAEC=NABC=45。,

AAAPB^ACEB,

APL

?'?CE="^=V2，

VCFXAD,NAEC=45。,

???NFCE=NCEF=45。，

???CF=EF=W±CE=1,

2

???AAPC的面積="xAPxCF=1；

2

②如圖，過點B作BELAD,交AD的延長線于點E,過點C作CFLAD于F,過點P作PHLAC于H,

設AP=2a,則BP=a,

AP

由①可知，CE—正=&a,CF=EF=a,

?「BP=a,NBPE=45°,ZBEP=90°,

五

.,.BE=PE=—a,

2

「?AF=AE-EF=2a+^^a-a=a+^^a,PF=a--^1-a,

222

CP2=CF2+PF2=a2+(a--^-a)2=—a2-亞諾,

22

AC2=AF2+CF2=a2+(a+^l-a)2=—^+d2a2,

22

,**SAACP=-xACxPH——xAPxCF,

22

J(AC*PH)2=(AP?CF)2,

8_

(sinZACP)2=^1=5+27216

PC,5_&17

2

???sinZACP

17

4A/F7

故答案為:

17

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了四點共圓，圓的有關知識，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性

質，勾股定理，銳角三角函數等知識，添加恰當輔助線構造相似三角形是本題的關鍵.

10.在邊長為12cm的正方形ABCD中，點E從點D出發，沿邊DC以lcm/s的速度向點C運動，同時，

點F從點C出發，沿邊CB以lcm/s的速度向點B運動，當點E達到點C時，兩點同時停止運動，連接AE、

DF交于點P,設點E.F運動時間為t秒.回答下列問題：

(1)如圖1,當t為多少時，EF的長等于4j?cm?

(2)如圖2,在點E、F運動過程中，

①求證：點A、B、F、P在同一個圓(。。)上；

②是否存在這樣的t值，使得問題①中的。。與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在,

請說明理由；

③請直接寫出問題①中，圓心o的運動的路徑長為

【答案】（1）t=4或8；（2）①證明見解析；②存在，t=3或12；③6cm.

【分析】（1）由題意易得DE=CF=t,則有EC=12-t,然后利用勾股定理求解即可；

（2）①由題意易證△ADE^ADCF,貝U有NCDF=/DAE,然后根據平行線的性質可得NAPF=90。，進而可

得/B+NAPF=180。，則問題得證；

②由題意可知當。0與正方形ABCD的一邊相切時，可分兩種情況進行分類討論求解：一是當圓與AD相

切時，一是當圓與邊DC相切時；

③由動點E、F在特殊位置時得出圓心0的運動軌跡，進而求解即可.

【詳解】解：（1）由題意易得：DE=CF=t,

四邊形ABCD是正方形,

AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90°,

EC=12-t,

EF的長等于4指cm,

.,.在RtACEF中，EF2EC2+CF2,即(4指,=(12-〃

解得％=4,與=8；

(2)①由⑴可得AB=CD=BC=AD=12cm,NONB二NADC=NDAB=90。，DE=CF=t,

△ADE^ADCF,

NCDF二NDAE,

ZCDF+ZPDA=90°,

/.ZDAE+ZPDA=90°,

/.ZADP=ZAPF=90°,

ZAPF+ZB=180°,

由四邊形APFB內角和為360。可得：ZPAB+ZPFB=180°,

點A、B、F、P在同一個圓（。0）上；

②由題意易得：當。。與正方形ABCD的一邊相切時，只有兩種情況;

a、當。。與正方形ABCD的邊AD相切時，如圖所示：

由題意可得AB為。O的直徑,

t=12；

b、當。。與正方形ABCD的邊DC相切于點G時，連接OG并延長交AB于點M,過點。作OHLBC交

BC于點H,連接OF,如圖所示：

/.OG±DC,GM±AB,HF=HB,

二.四邊形OMBH、GOHC是矩形，

/.OH=BM=GC,OG=HC,

AB=BC=12cm,

**.OH=6,

CF=t,BF=12-t,

HF=1^^=6--,CH=OG=OF=t+6--=6+-,

2222

在RtAFOH中，OF?=OH?+FH?,即=62+^6-1^|，

解得：t=3；

綜上所述：當/=3或t=12時，。。與正方形ABCD的邊相切；

③由(1)(2)可得：當點E與點D重合及點F與點C重合時，圓心在正方形的中心上；當點E與點C重

合及點F與點B重合時，圓心在AB的中點上，故圓心的運動軌跡為一條線段，如圖所示：

-.OP即為圓心的運動軌跡，即OP=6cm.

故答案為6cm.

【點睛】

本題主要考查圓的綜合，熟練掌握圓的性質及切線定理解題的關鍵，注意運用分類討論思想解決問題.

11.已知4。為銳角AA3C的高，G為AC中點，于點E，延長ED至R,使得GF=GD.

（1）證明：AAED-AAFC；

（2）證明：AECF2=BEAF2;

（3）若AB=6,BC=7,C4=8,求四邊形ACFD的面積.

A

\\G

E//\\\

鼠L

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）衛巫

16

【分析】（1）通過G4=GD=GC=GF得A,D,F,C四點共圓，得到NAO￡=NACF,結合

ZAED=ZAFC=90°，證得AAEZ)AAFC；

(2)通過用AAEDRt^AFC,RtMEDHfADEB證得cP=座.人尸；

SA4「k,TA..o

(3)利用勾股定理求得AD,BD,CD,在RfAADB中,求出DE,AE,得出5AA小，借助不工=(二")，

^AADE

AE

2

求得^AACF'再用RtAAEFRtAADC,得到跖二^AADC'(An),最后S\ACFD=^M￡F^MCF-^^AED?

【詳解】解：(l),:GA=GD=GC=GF

A,RRC四點共圓

ZAFC=ZADC=90°

又：ZADE^ZACF

：.RtAAEDRtAAFC

(2)由(1)RtAAEDRtAAFC

.AFAE

"'~CF~~ED

又：MAAE。RtADEB

.AFAEDE

""CF~ED~EB

,AF.AEDEAE

??(----)=-----------=-----

CFEDEBEB

^AE-CF2=BE?AF2

AD2+BD-=36

(3),：\,

A〃+(7—B。)’=64

...AD=BD=-,CD=—

222

中'DE二處察:半，AE=AD245

AB8

_135715

崢128

而「左

同理利用RtMEF&AADC得到SWF=S,比?（坐了=羽斗譽

A.DiZo

弋_弋0_弋_77A/T^

3AAe=+?AACF-77

1O

【點睛】

本題考查了四點共圓的判斷，圓內接四邊形的性質，圓周角定理的應用，相似三角形的證明，不規則圖形

的面積的求法，熟練掌握其中的聯系，是解題的關鍵.

12.四邊形ABCD內接于圓。，連接3D,NABD=NCBD=LNADC.

2

⑴求證：ZADC=90°;

⑵求證：AB+BC=@D；

D

（3）如圖2,點E是A￡）上一點，連接EB并延長交。。的延長線于點連接W交圓。于點

G,ZAEB=2ZEFC,AE=2,EF=10,求歹G的長.

【答案】⑴見解析；（2）見解析；⑶FG言小

【分析】（1）根據題意可得NA5C=NADC,根據圓的內接四邊形對角互補即可得證；

（2）過點。作DPLOB交B4延長線于點P,易證ABDP為等腰直角三角形，通過“角邊角”證明

APDA^ABDC,則AP=5C,進而可得證；

（3）連接E4,過點R作月以，區4交￡4延長線于點M,延長AM至點N,使AM=MV,連接

易證AZMF且ADCF,FA=FN=FC,設NEFC=。,則NAEF=，整理可得

/EFN=ZENF,=EF=10,根據題意得到相關線段的長，在RtMNF中根據勾股定理可得，

4歹=4石,根據圓周角定理可得/。7。=/。。尸=45°，得到ACDGSACED,進而求得CG的長，最

后得到答案.

［詳解】解：(1)ZABD=NCBD=|ZADC,

：.ZABC=ZADC,

ZABC+ZADC=180°.

,-.ZADC=90°;

⑵過點。作DP，D5交R4延長線于點P,

ZCDB+ZADB=90°，

ZPDA+ZADB=90)<

/CDB=ZMDA,

NQBA=45°，

:.DB=DP,PB=4iBD,

..APDA^ABDC(ASA),

：.AP=BC,

:.AB+BC=BP=6BD；

（3）連接E4,過點/作府J_E4交外延長線于點〃，延長AM至點N,使=連接FN,

易證AZMF烏ADCF,

：.FA=FN=FC,

設/EFC=a,則ZAEF=2a,

ZDCF=ZDAF=360°-(180°-2a)-90°-?

=90+a，

??.ZFAM=/FNM=9。°—a，

ZEFN=180°-2cr-(90°-cr)=90°-a,

NEFN=ZENF,EN=EF=10,

：.AM=4,

：.FM=8=MD,

;.DC=4,

DE=2，

在RfAAA手中根據勾股定理可得，Ab=4j5,

CF=475，

ZCGD=ZCDF=45°，

:.ACDG^ACFD,

CD~=CG-CF，即42=2y/5CG，

.-.CG=1V5,

.'.FG=y^.

【點睛】

本題主要考查圓的綜合問題，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，解此題

的關鍵在于熟練掌握其知識點，構造適當輔助線幫助解題.

13.已知：ABC內接于「0,過點3作。的切線，交C4的延長線于點。，連接03.

久DD

:]

圖2圖3

圖1

(1)如圖1,求證：NDAB=NDBC；

(2)如圖2,過點。作于點/,連接A0,交3c于點N,=+求證：BN=CN；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點E為。。上一點，過點E的切線交。8的延長線于點P,連接CE,交

A0的延長線于點Q,連接PQ,PQLOQ,點R為AN上一點，連接若NDCF+NCDB=90。,

ON1「

tanZECF=2,—=PQ+OQ=6yJ10,求C/的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）CF=10

【分析】（1）延長BO交：。于G,連接CG,根據切線的性質可得可證/DBC+/CBG=90。，然后根據直

徑所對的圓周角是直角可證/CBG+/G=90。，再根據圓的內接四邊形的性質可得/DAB=/G,從而證出

結論；

（2）在MB上截取一點H,使AM=MH,連接DH,根據垂直平分線性質可得DH=AD,再根據等邊對等

角可得NDHA=NDAH,然后根據等邊對等角和三角形外角的性質證出/ABC=/C,可得AB=AC,再根據

垂直平分線的判定可得AO垂直平分BC,從而證出結論;

（3）延長CF交BD于M,延長BO交CQ于G,連接OE,證出tan/BGE=tan/ECF=2,然后利用AAS

證出ACFN0ABON,可設CF=BO=r,ON=FN=a,則OE=r,根據銳角三角函數和相似三角形即可證出四

邊形OBPE為正方形，利用r和a表示出各線段，最后根據P。+。。=6后，即可分別求出a和CF.

【詳解】解：（1）延長BO交。。于G,連接CG

：BD是。的切線

ZOBD=90°

.\ZDBC+ZCBG=90°

?「BG為直徑

ZBCG=90°

.,.ZCBG+ZG=90°

AZDBC=ZG

??,四邊形ABGC為.。的內接四邊形

JNDAB二NG

???NDAB二NDBC

(2)在MB上截取一點H,使AM=MH,連接DH

■2

ADM垂直平分AH

???DH=AD

NDHA=NDAH

BM=AM+AD^BM=MH+BH

???AD=BH

二?DH=BH

JNHDB=NHBD

???NDHA=NHDB+NHBD=2NHBD

由(1)知NDAB=NDBC

JNDHA=NDAB二NDBC

AZDBC=2ZHBD

ZDBC=NHBD+ZABC

AZHBD=ZABC,ZDBC=2ZABC

???ZDAB=2ZABC

???NDAB二NABC+NC

:.ZABC=ZC

AAB=AC

???點A在BC的垂直平分線上

??,點O也在BC的垂直平分線上

AAO垂直平分BC

：.BN=CN

(3)延長CF交BD于M,延長BO交CQ于G,連接OE,

D

圖3

???ZDCF+ZCDB=90°

：.ZDMC=90°

ZOBD=90°

AZDMC=ZOBD

：.CF//OB

.*.ZBGE=ZECF,ZCFN=ZBON,

tanNBGE=tanNECF=2

由（2）知OA垂直平分BC

AZCNF=ZBNO=90°,BN=CN

AACFN^ABON

ACF=BO,ON=FN,設CF=BO=r,ON=FN=a,貝（JOE=r

..ON

.~OQ=2

AOQ=2a

VCF//OB

.,.△QGO^AQCF

.OG_Q0

'~CF~~QF

即空=2a」

r2a+a+a2

1

：.OG=-r

2

過點O作OE」BG,交PE于日

OEf=OGtanZBGE=r=OE

???點日與點E重合

JZEOG=90°

???ZBOE=90°

VPB和PE是圓O的切線

AZOBP=ZOEP=ZBOE=90°,OB=OE=r

J四邊形OBPE為正方形

AZBOE=90°,PE=OB=r

1

???ZBCE=-ZBOE==45°

2

???ANQC為等腰直角三角形

ANC=NQ=3a,

???BC=2NC=6a

在R3CFN中，CF=QNC2+FN2=阿

???PQ1OQ

???PQ〃BC

JZPQE=ZBCG

?「PE〃BG

JNPEQ=NBGC

.,.△PQE^ABCG

.PQ_PE

^~BC~~BG

PQ

即6a

r+—r

2

解得：PQ=4a

PQ+0Q=6y/id,

...4a+2a=6V10

解得：a=V10

.,.CF=710x710=10

【點睛】

此題考查的是圓的綜合大題，難度較大，掌握圓的相關性質、相似三角形的判定及性質、銳角三角函數、

勾股定理、全等三角形的判定及性質、等腰三角形的判定及性質、正方形的判定及性質是解決此題的關鍵.

14.如圖，等腰三角形AABC中，NA4c=120。，AB=3.

(1)求的長.

(2)如圖，點。在CA的延長線上，DELABE,DFLBC^F,連EF.求EF的最小值.

BC

【答案】⑴BC=36;(2)E尸的最小值為苧

【分析】(1)過點A作AMLBC于點M,根據等腰三角形的性質得/B=30。，BM=CM,由直角三角形的

性質得BM=』K，進而即可求解；

2

(2)連接BD,取BD的中點O,連接OE,OF,易得B,D,E,F四點共圓，從而得AOEF是等邊三角形,

進而得EF='BD,由BD_LCD時，BD的值最小，進而即可求解.

2

【詳解】(1)過點A作AMLBC于點M,

;等腰三角形AABC中，ZBAC=120°,AB=3,

：.ZB=(180°-120°)4-2=30°,BM=CM,

.\BM=3^2x73=|^3)

/.BC=2BM=2x1癢33

(2)連接BD,取BD的中點O,連接OE,OF,

,：DELABE,Z)F_LBC于凡

-q1

在RtABDF與RtABDE中，OB=OD=OE=OF=-BD,

2

AB,D,E,F四點共圓，

/.ZEOF=2ZEBF=2x30°=60°,

AAOEF是等邊三角形，

1

.,.EF=OF=-BD,

2

VZC=ZEBF=30°,

]qC

.?.當BD_LCD時，BD=-BC=^-此時，BD的值最小,

22

?出的最小值小D＜芳考

【點睛】

本題主要考查圓的基本性質以及等腰三角形，直角三角形的性質定理，添加輔助線，構造四邊形的外接圓，

是解題的關鍵.

15.如圖1,拋物線y=—且/+區+C經過原點(0,0),A(12,0)兩點.

8

(1)求6的值；

(2)如圖2,點P是第一象限內拋物線+c上一點，連接PO,若tanNPOA=1,求點尸的

82

坐標；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點P的直線y=-述x+7”與大軸交于點作CF=OF,連接0c交

5

拋物線于點Q,點3在線段OF上，連接CP、CB、PB,PB交CF于點、E,若NPBA=2NPCB,

ZBEF=2ZBCF,求點。的坐標.

【分析】(1)根據待定系數法，即可得到答案;

(2)過點尸作PELQ4于點E，設點P(加,一心療+±8根)，(771>0),結合tanNPOA=@,列出關于

822

m的方程，即可求解；

(3)連接OP,易得直線解析式為：y=一座幽1,點歹(?，0),根據三角形內角和定理與外角的

性質，得點。，點6,點P,點C四點共圓，從而得OB=PB,進而得點3(7,0),過點。，點3,點P,

點C四點的圓的圓心，竽)，設點C(a,b),根據兩點間的距離公式,列出關于a,b的方程,得b=6a