第24節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此平面內(nèi)的a______

bua,a//b=>a

判定定理一條直線平行，則該直線平行

//a

于此平面

一條直線和一個(gè)平面平行，則

u//a,,aC\0=

性質(zhì)定理過(guò)這條直線的任一平面與此平

b=a"b

面的交線與該直線平行與

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

aua,bua,尸，

判定定理與另一個(gè)平面平行，則這兩

a//p,b〃ga〃B

個(gè)平面平行

兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)

/k/

平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)a//p,〃ua=a〃4

平面

性質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第

a//P，aC\y=a,

三個(gè)平面相交，那么它們的

=b=a〃b

交線平行

核心素養(yǎng)要做實(shí)

考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

【例1】在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CD是正方形，ABCD,E,尸分別是線段A。,

的中點(diǎn)，E4=AB=1.

(1)證明：EF〃平面PDC；

⑵求點(diǎn)B到平面PDC的距離.

【解析】⑴證明取PC的中點(diǎn)M,連接DM,MF,

,：M,尸分別是尸C,的中點(diǎn)，J.MF//CB,MF=-CB,

2

為D4的中點(diǎn)，四邊形ABCO為正方形，

J.DE//CB,DE=-CB,

2

J.MF//DE,MF=DE,四邊形DEPM為平行四邊形，

J.EF//DM,PDC,DWu平面POC,

.?.EV〃平面PDC.

(2)解〃平面P￡>C,...點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離.

:?必_L平面ABC。，C.PALDA,在R3B4D中，PA=AD=l,：.DP=42.

平面A2C￡),J.PALCB,'：CB.LAB,PA^AB^A,CB_L平面

：.CB±PB,則PC=g,：.PD2+DC2=PC2,

...△PCC為直角三角形,

xlx^2正

SAPDC=

2T

連接EP,EC,易知VE-PDC=VC-PDE，設(shè)E到平面POC的距離為力,

'：CDLAD,CDLPA,ADC\PA^A,CZ)_L平面B4D

lA/2111VI

貝n！Jl—x〃x---=—xlx—x—xl,：,h=---,

323224

/.點(diǎn)F到平面PDC的距離為巫

4

【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A13Gp中，棱長(zhǎng)為2,E,P分別是棱。。i，GZ)i的中點(diǎn).

（1）求三棱錐Bi—AiBE的體積；

（2）試判斷直線81尸與平面是否平行，如果平行，請(qǐng)?jiān)谄矫鍭/E上作出與助產(chǎn)平行的直線，并

說(shuō)明理由.

一1114

【解析】（1）如圖所不，VB,-A,BE=VE-A,B,B——S^A,B.B-DA=—x—x2x2x2=—

1111311323

（2）8/〃平面ALBE.延長(zhǎng)A1E交A。延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連即/交C。于點(diǎn)G,則2G就是所求直線.證明

如下：

尸

因?yàn)?4〃平面CDDiCi，平面AiBHD平面CDDCGE,所以AYB//GE.

又A出〃CDi，所以GE〃CA.

又E為。A的中點(diǎn)，則G為CZ）的中點(diǎn).

故8G〃8iRBG就是所求直線.

【方法技巧】1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形

的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線.

2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平

行,，，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（2020?江蘇卷）如圖，在三棱錐A—8CZ）中，AB1AD,BCA.BD,平面AB￡）_L平面8C。，點(diǎn)E,F（E

與A,。不重合）分別在棱AO,8。上，且EF_LAD.

(2)AD±AC.

【解析】(1)在平面A3。內(nèi)，AB.LAD,EFLAD,

貝UA2〃EE

:ABu平面ABC,ERt平面ABC,

尸〃平面ABC.

(2)'：BC±BD,平面ABOn平面BCD=B。，平面ABD_L平面BCDBCu平面BCO,

，BCJ_平面ABD

：A￡)u平面ABD,：.BC±AD.

又AB_LAD,BC,ABu平面ABC,BCP\AB=B,

，A。_L平面ABC,

又因?yàn)锳Cu平面ABC,：.AD.LAC.

考點(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì)

【例2】如圖所示，在三棱柱48C—AiSG中，E,F,G,X分別是AB,AC,4防，4G的中點(diǎn),

求證：

(1)2,C,H,G四點(diǎn)共面；

⑵平面￡7%〃平面BCHG.

【解析】⑴：G,H分別是45,4G的中點(diǎn)，

.?.G4是△481G的中位線，則Ga〃8iG.

又,：B\C\〃BC,

：.GH//BC,：,B,C,H,G四點(diǎn)共面.

(2)V￡,尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，：.EF//BC,

平面BCHG,BCu平面BCHG,

〃平面BCHG.

又G,E分別為A向,AB的中點(diǎn),AiBi^AB,

：.AxG^EB,

四邊形4E2G是平行四邊形，.??4E〃GA

平面BCHG,GBu平面BCHG,

；.AiE〃平面BCHG.又,：AiECEF=E,

平面EE%〃平面BCHG.

【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

2.面面平行條件的應(yīng)用

(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.

(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，四棱錐尸一ABCD中，底面A8CD是直角梯形，AB//CD,AB±AD,AB=2CD=2AD=4,

側(cè)面孫B是等腰直角三角形，PA=PB,平面叢8,平面A8CD,點(diǎn)E,F分別是棱AB,上的點(diǎn)，

平面CE7"平面PAD.

⑴確定點(diǎn)E,尸的位置，并說(shuō)明理由；

(2)求三棱錐F-DCE的體積.

【解析】(1)因?yàn)槠矫鍯EP〃平面PAD,平面CEFn￥ffiABCD=CE,

平面平面ABCD=AD,

所以CE〃AO,又AB“DC,

所以四邊形AECD是平行四邊形，

所以O(shè)C=AE=LAB,

2

即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).

因?yàn)槠矫鍯EP〃平面PAD,平面CEFQ平面PAB=EF,平面B4OCI平面PAB=PA,

所以EF〃以，又點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)尸是P8的中點(diǎn).

綜上，E,歹分別是A2,尸8的中點(diǎn).

(2)連接PE,由題意及(1)知用=尸8,AE=EB,

所以尸E_LAB,又平面B4B_L平面ABC。，平面出20平面ABCZ)=AB,

所以PE_L平面ABCD

5LAB//CD,ABLAD,

,11112

所以VF-DEC=-VP-DEC=-SADECXPE=—x—x2x2x2=—.

26623

：.CE^1.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)

一、單選題

1.設(shè)。是直線，。是平面，則能推出。//0的條件是（）

A.存在一條直線6,a//b,buaB.存在一條直線b,a±b'b±a

C.存在一個(gè)平面au°,all/3D.存在一個(gè)平面夕，a，B,a（3

【答案】C

【解析】對(duì)于A,若aua,可滿足a//），bua,但無(wú)法得到a//a,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若auar,可滿足:，bA.a,但無(wú)法得到a//a,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由面面平行的性質(zhì)知：若a〃/，au/3,則a//a,C正確；

對(duì)于D,若“ua,可滿足。_L#,a，（3,但無(wú)法得到a//a,D錯(cuò)誤.故選：C.

2.如圖，正方體ABC。-A用G2中，E為中點(diǎn)，尸在線段上.給出下列判斷：①存在點(diǎn)尸使

得AC,平面4EF；②在平面4月￡2內(nèi)總存在與平面片所平行的直線；③平面4EF與平面ABC。

所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)尸的位置無(wú)關(guān)；④三棱錐B-屁口的體積與點(diǎn)尸的位置無(wú)關(guān),其中

正確判斷的有（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

7

【解析】對(duì)于①，假設(shè)存在F使得4C_L平面耳或,則AC，瓦石，又BC工BRBCHA1C=C,

.?.瓦平面ABC,則與這與42,A與矛盾，所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)槠矫嫱摺陱S與平面相交，設(shè)交線為/,則在平面A與G2內(nèi)與/平行的直線平行

于平面耳E廠,故②正確；

對(duì)于③，以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZM所在直線為X軸，OC所在直線為y軸，D2所在直線為Z軸，

建立空間坐標(biāo)系，則平面MCD的法向量為正=（0,0,1）而平面用E歹的法向量入隨著尸位置變化,

故平面耳與平面ABC。所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)P的位置有關(guān)，故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，三棱錐尸的體積即為三棱錐尸-3旦石，因?yàn)槠矫鍭B4A，所以，當(dāng)/在線段

OR上移動(dòng)時(shí)，P到平面AB與A的距離不變，故三棱錐2-與后尸的體積與點(diǎn)產(chǎn)的位置無(wú)關(guān)，即④正

確.故選：D.

3.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長(zhǎng)方形A5CD為底面，則四

邊形EFG。的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.矩形

【答案】B

【解析】因?yàn)槠矫鍭BFE//平面CGHD，且平面EFGH口平面ABFE=,平面EFGHPl平面

CGHD=GH，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知EF〃GH,同理可證明EH//FG.

所以四邊形EFG”為平行四邊形.故選：B.

4.如圖，A8CD-A/SC/Q為正方體，則以下結(jié)論：①BD〃平面C8/。/；②AGL3。；③AC平

面can其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由正方體的性質(zhì)得42,所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：平面c與2；所以

①正確.

由正方體的性質(zhì)得ACLBO,QCLBD,可得5。，平面CQA,所以所以②正確.

由正方體的性質(zhì)得42，由②可得所以AG^BQ,同理可得Ac「cq,進(jìn)而結(jié)

合線面垂直的判定定理得到：4C］，平面CgR,所以③正確.故選：D.

5.平面?！ㄆ矫嫦?，aua,bu/3,則直線a和6的位置關(guān)系()

A.平行B.平行或異面C.平行或相交D.平行或相交或異面

【答案】B

【解析】???平面a〃平面夕，.?.平面a與平面夕沒(méi)有公共點(diǎn)

,:aua,Au。，.?.直線a,b沒(méi)有公共點(diǎn)

直線。，6的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.

6.如圖，在正三棱臺(tái)ABC-AB?中，AB^2,4耳=4,必=2TLM,N分別是明，BG的

中點(diǎn)，貝！1()

A.直線MN〃平面ABC,直線與BG垂直

IT

B.直線MN〃平面ABC,直線A片與BC所成角的大小是右

C.直線MN與平面ABC相交，直線AB1與BG垂直

D.直線MN與平面ABC相交，直線4月與BC所成角的大小是三

【答案】B

【解析】取8月中點(diǎn)。，連接DM,DN,由題意可知，DM//AB,DN//BC,

所以平面〃平面A3C,

所以直線〃平面A3C,

取48中點(diǎn)/，4G中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)G,連接DE,EF,FG,GQ,B.F,

易知〃4片，DE/IBC,,

所以直線DE與直線DF所成角即為直線A4與BCi所成角，

在等腰梯形AB4A中，AB=2,A瓦=4,的=2后，

可得做=26，B、F=@),F,。分別為A3,2耳中點(diǎn)，所以。歹=：A4=J7,

同理：DE=-J1,

在等腰梯形FGC再中，F(xiàn)G=1,耳4=4,B、F=應(yīng),可得EF=后,

在ADEF中，DE=DF=>/1,EF=后,

由余弦定理可得：cosZEDF=㈤+DF"-淖=7+7-21=一J_,

2DEDF2x72

9TTTT

所以/也/=彳，即直線DE與直線。尸所成角的大小是巳，

因此直線A片與BG所成角的大小是巳，故選：B.

C

G

7.給出以下四個(gè)命題，能判斷平面a和平面￡平行的條件是

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與￡平行B.a內(nèi)的任一條直線都與夕平行

C.直線aua,直線，u/?,且。//夕，b//aD.直線autz,且a〃/

【答案】B

【解析】A.平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面夕平行時(shí)，兩個(gè)平面可能平行也可能相交，故A不滿足條

件；

B.平面a內(nèi)的任何一條直線都與平面夕平行，則能夠保證平面a內(nèi)有兩條相交的直線與平面夕平行,

故B滿足條件；

C.直線“ua,直線bu0,且a///7,blla,則兩個(gè)平面可能平行也可能相交，故C不滿足條件；

D.直線aua,且?！ㄊ?，則兩平面可能相交或平行，故D不滿足條件故選：B.

8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-aqGR中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中錯(cuò)誤的是

()

A.直線PC和平面所成的角為定值

B.點(diǎn)尸到平面GB3的距離為定值

C.異面直線C|P和C4所成的角為定值

D.直線CD和平面BPG平行

【答案】A

【解析】對(duì)A,由平面當(dāng)點(diǎn)P分別在點(diǎn)A或2時(shí)，線面角不一致，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,由ADJ/BC\,BQu平面CtBD,AD,<z平面ClBD，所以AR//平面C（BD,

所以點(diǎn)P到平面C{BD的距離為直線AD,上任意點(diǎn)到平面C.BD的距離，故B正確

對(duì)C,由平面C/3即平面BQ=B.

A民BGu平面ABG2,所以C耳，平面ABCS，所以C與，C/，故C正確

對(duì)D,由平面C/B即平面ABC12，CDHCR,CQu平面ABCQ,

CD<Z平面ABCQ，所以8〃平面ABCQ,所以D正確故選：A

二、多選題

9.在正方體ABC。-AqGR中，點(diǎn)P在線段AR上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的是（）

A.異面直線C7和C4所成的角為定值

B.直線。和平面BPG相交

C.三棱錐。-BPG的體積為定值

D.直線CP和直線AB可能相交

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,因?yàn)樵谡襟wABCO-ABCA中，耳Cd.BG，

又BCQCQLQ,BQ,G2u平面ABG2,所以4C,平面AB￡2，

而GPu平面ABG2,所以用C，GP,

故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90。，所以A正確；

對(duì)于B,因?yàn)槠矫?PG與面A8GR是同一平面，

DC//AB,ABI平面ABCQI,CD,平面ABC{D1,

故CD〃平面A8CQ,即CD〃平面BPG，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,三棱錐。-BPG的體積等于三棱錐尸-DBG的體積，

而平面為固定平面，且ADBG大小一定，

又因?yàn)镻eAR,

因?yàn)榻?/g,明仁平面BDC},8Gu平面BOQ,

所以A，//平面D3Q,

所以點(diǎn)A到平面D3C］的距離即為點(diǎn)p到該平面的距離，為定值，

所以三棱錐O-8PG的體積為定值，故C正確；

對(duì)于D,直線CP和直線43是異面直線，不可能相交，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

4

10.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，尸￡）_1平438,ZDAB=ACBD=90°,ZADB=NBDC60°,

E為PC中點(diǎn)，尸在。上，ZFBC=30°,PD=2AD=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BE//?PAD

B.PB與平面ABC。所成角為30°

C.四面體。-施產(chǎn)的體積為且

3

D.平面平面PAD

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,連結(jié)所，DE,因?yàn)镹ZMB=NCBD=90。，ZADB=2ZBDC=60°,

所以NDCF=30。，ZFBC=3O°,故BB=CF,

同理可得￡>尸=防，故DF=CF,

所以尸為8的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，故EFHPD,

又所（Z平面PA￡>,PDu平面PAD,故EF〃平面FAQ,

又因?yàn)閊ADC=60°+60°=120°,NBFC=180°-/FBC—NBCF=120°,

所以/ADC=/BFC,故ADHBF,

又3Po平面PAD,ADu平面PAD,故3/〃平面PAD,

又EFC]BF=F,EF,族u平面班F,

所以平面BEF〃平面PAD,又BEU平面BEF,所以跳;〃平面尸/⑷，故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)槭珼J_平面ABCO,所以與平面ABCD所成的角即為/尸3￡）,

PD

因?yàn)锳D=1,所以應(yīng))=2,則tanNP8Z)==1,

BD

又NPBDe0仁，故々班》=45。，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,S即=*BD.DF.sin60。=布,

因?yàn)槠矫鍭BCD,EF//CD,所以EF_L平面45cD,

XEF=-PD,所以/7=即=1,

2

BEF=VBDF=~S-h=-x43xl=~,故選項(xiàng)C正確；

LJ—iftLrcE,—￡fUr3^UBUDrF3V3

對(duì)于D,因?yàn)镻D,平面ABCD,ABi平面ABCD,所以尸

又因?yàn)锳B_LAD,ADIPD=D,AD,PDu平面PAD,

所以AB_L平面PA￡),又AB1平面R4B,

所以平面PAB_L平面尸AD,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

11.如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在線段

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為（）.

D

B

A.EP^ACB.EP//BDC.E尸〃面S3￡>D.￡?_1面54。

【答案】AC

【解析】如圖所示，連接AC、即相交于點(diǎn)。，連接EM,EN.

由正四棱錐S-ABCD,可得SO_L底面ABCD,AC±BD,所以SO_LAC.

因?yàn)镾OcBD=O,所以AC_L平面SBD,

因?yàn)镋,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn)，

所以EM//D,MN//SD,而EMcMN=N,

所以平面〃平面5B￡>,所以AC_L平面EMN,所以AC_LEP,故A正確；

由異面直線的定義可知:￡P(guān)與8￡>是異面直線，不可能EP〃皿，因此8不正確;

平面EW〃平面SBD,所以EP〃平面5BD,因此C正確；

￡M_L平面SAC,若EP_L平面SAC,則EP//EM,與口口加二后相矛盾，

因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面&LC不垂直，即。不正確.

故選:AC.

12.如圖，已知正方體則四個(gè)推斷正確的是（）

A.AC11AD1B.AC11BD

C.平面4GB//平面ACRD.平面AC]B_L平面BBQO

【答案】BCD

【解析】在正方體4BCD-A耳G2中,

對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)可知ADJIBC,,

所以NAgB即為異面直線AG與A2所成的角，

在△AgB中顯然N4G8=60。，所以A?與A，成60。角，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,???AG//AC,ACLBD,.-.AC,-LBD,故B正確；

對(duì)于C,V11AC,AD\UBC\,AG、3Ga平面AC，，AC>A，U平面AC￡)],

AC"/平面ACR,8C1〃平面ACR,XAC，nsci=c>>

平面AC///平面ACR,故C正確；

對(duì)于D,?.?ACJ8Q,AG±BB},B1D1QBB,=B1,耳。,84U平面班QD,

所以AG，平面B8QO,又AQu平面AC出

平面AGB-L平面BBQ。，故D正確.故選：BCD.

三、填空題

13.已知相，n,〃是三條不同的直線，a,(3,7是三個(gè)不同的平面，有下列命題：

_[mlIn_

①《二mHp；②若zn//a,血?jiǎng)t；

[p//n

③mua,nlla,則相〃〃；④直線初/a,直線加/a,那么加〃”;

⑤若mJIa,n///?,mlln,則q〃/?；⑥若a"y,/3lly,則a//6.

其中正確的說(shuō)法為(填序號(hào))

【答案】①⑥

{mlIn

【解析】對(duì)于①，根據(jù)平行的性質(zhì)有：〃，即機(jī)〃P,故①正確；

[p//n

對(duì)于②,由根〃/小//6，得&//￡或a,6相交，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由機(jī)u%”〃a，得力〃〃，或"2，”異面，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由直線用//a,直線〃〃a,可得加〃"，加，"異面，加，〃相交，故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，由機(jī)//%〃//￡,加〃〃，得a/〃?或a,/?相交，故⑤錯(cuò)誤；

對(duì)于⑥，若a〃7，PH7,由面面平行的傳遞性得c//尸，故⑥正確，

故答案為：①⑥.

14.如圖，正方體ABCD-AB'C'D的棱長(zhǎng)為1,E,歹分別是棱A4',CC'的中點(diǎn)，過(guò)直線E尸的

平面分別與棱班'，交于點(diǎn)M,N,設(shè)=給出下列四個(gè)結(jié)論：

①四邊形MENF一定為菱形；

②若四邊形MENF的面積為S=/(x),xe(O,l),則/⑺有最大值；

③若四棱錐A-MENF的體積為卜=8(尤)，xe(0.5,1),則g(x)為單調(diào)函數(shù)；

④設(shè)3c'與CB'交于點(diǎn)G,連接3D,在線段3D上取點(diǎn)P,在線段AD上取點(diǎn)Q,則GP+PQ的

最小值為里.

6

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①④

(解析】①平面ADDA//平面BCC'B'，平面MENFc平面ADDA'=EN,平面MEVFc平面

BCC'B'=MF,EN//MF.同理可證￡M〃2VF.

，四邊形MEM為平行四邊形.連接MMAC,BD、DB'：

,四邊形ABC。是正方形，C.ACLBD,

"/BB'，平面ABCD,：.BB'-LAC,

'：BB'[}BD=B,；.AC_L平面BDDB,

,/MNu平面BDDB',：.AC1MN.

與PC平行且相等，

.??ACFE是平行四邊形，

C.AC//EF,

；.EF垂直MN,

.?.MEFN是菱形.故①正確.

②四邊形MENF面積S=/(x)=；.E6腦V,EF為定值，當(dāng)〃為2或B時(shí)，即尤=0或x=l時(shí)，MN

最長(zhǎng)，此時(shí)面積最大，但即M不能取線段班，的端點(diǎn)，，四邊形MEN尸面積無(wú)最大值.故

②錯(cuò)誤.

③連結(jié)"、AN、AM,則四棱錐被分割成兩個(gè)小的三棱錐，它們是都以AEF為底，以M、N分

別為頂點(diǎn)的兩個(gè)三棱錐.

D'C

同②中證明AC_L平面BDUB',也可證明平面ACC'A,

則B到平面AEF的距離即為gBD.

'：BB'//AA',，88'〃平面AEF,

到平面AEF的距離即為B到平面AEF的距離;劭，

同理N到平面AEF的距離也為:劭，

：.M.N到平面AEF的距離之和是定值BD,

...四棱錐A-MENF的體積為常數(shù).故③錯(cuò)誤.

④如圖，將RtA5477沿著3。翻轉(zhuǎn)到與矩形ABCD在同一平面，過(guò)G作GQLA'。于。，交BD'于

P,貝帆時(shí)GP+PQ=G。最短.

過(guò)CH作C'〃_LA7y于H,

則四邊形是直角梯形，

由題可知G是3C中點(diǎn)，，GQ是梯形的中位線，.?.GQ=；(AJB+C'").

設(shè)NADB=ZBDC'=6,設(shè)NHD'C=a.

5CD'1

在Rt△區(qū)CZ>'中，sin8=-----=—f=,cos0=——-=—f=,

BDfBD,3

/、J212J2

sina—sin(71-2。)=sin20=2sincos3=x—j==

???在中，C"=CDsin。二迪.

3

GQ=；(AB+C")=；xV2

+二故④正確.

故答案為：①④.

15.已知直線“2,n,平面a,P，若all。，mua,nufi,則直線相與”的關(guān)系是.

【答案】平行或異面

【解析】由題意，all/3,muct,nu/3

故直線m與及沒(méi)有交點(diǎn)

故直線相與”平行或異面

故答案為：平行或異面

16.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，有以下結(jié)論:

①〃平面DE；

②CN〃平面AE；

③平面BDM〃平面AFN；

④平面8DE〃平面NCF.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③④.

【解析】如圖,

AY--------------------------------

對(duì)①，因?yàn)锳BUNM,AB=NM,所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以瀏///AN,而?"a平

面￡>E,ANu平面。E,則加欣//平面￡>E.正確；

對(duì)②，因?yàn)镋NUBC,EN=BC,所以四邊形3CNE是平行四邊形，所以跖〃CV,而CN<Z平面”，

BEu平面AF,則CN//平面AE正確；

對(duì)③，因的BF//DN,BF=DN,所以四邊形瓦山。是平行四邊形，所以BDUFN,

又因?yàn)镋NUBC,EN=BC,所以四邊形3CNE是平行四邊形，所以BE//CN,而

BEcBD=B,CNcFN=N,所以平面BDM//平面AFN.正確；

對(duì)④，因?yàn)镋N//BC,EN=8C,所以四邊形BCNE是平行四邊形，所以班〃CN,同由③：3D〃FN,

而CNcFN=N,BEcBD=B,所以平面BDE〃平面NCE正確.

故答案為：①②③④.

四、解答題

17.如圖所示，已知四棱柱ABCD-ABIGR的底面"CD為菱形.

B

(1)證明：平面AB|C//平面AG。；

(2)在直線CG上是否存在點(diǎn)P,使3尸//平面AG。？若存在，確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，說(shuō)明

理由.

【解析】(1)由棱柱A3C。-A4G2的性質(zhì)可知，AB\IIDG，

?；AB[①平面DAG,0Gu平面\CXD,

44〃平面AG。，

同理可證與C〃平面4GD,而A瓦cB|C=B1,ABpB|Cu平面陰C,

平面A3。//平面4G，

(2)存在這樣的點(diǎn)尸，使BP//平面4G。，

,/\BJ/CD,A[B[=CD,

四邊形4瓦8為平行四邊形，

:.ADUB,C,如圖所示：

在C|C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)尸，使GC=CP,連接BP,

VB[B=GC,：.BlB//C}P,BlB=CiP,

四邊形8耳。尸為平行四邊形，則BP//BiC,BP=BlC,

：.BP//AtD,又BPN平面AqDAQu平面AG。，8尸〃平面

18.已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA.的中點(diǎn)，S.AC^BD.

A

(1)判斷四邊形及G”的形狀，并加以證明；

(2)求證：BD〃平面EFGH.

【解析】(1)證明：取AC的中點(diǎn)為G,連結(jié)GE,GB,

在AACC中，EG為中位線，所以EG〃C。，EG=gcq,

又因?yàn)镃CillBBi,CCi=BBi,尸為88/的中點(diǎn)，

所以EG〃BF,EG=BF,

所以四邊形EFBG為平行四邊形，

所以EF〃GB,又EFN平面ABC,GBu平面ABC,

所以EF7/平面ABC.

(2)因?yàn)镋為A。的中點(diǎn)，

所以E到底面ABC的距離是C/到底面ABC的距離的一半,

即三棱錐2與，平面A3C，AB1BC,AA