28第5章相似三角形之旋轉相似

一、單選題

1.在RtAABC中，NBAC=90。，AD是△ABC的中線，ZADC=45°,把△ADC沿對折，使點C落在

BQ

。的位置，CD交AB于點Q,則—的值為（）

AQ

A.V2B.73

C'TD'T

2.如圖，在矩形ABC。中,E是AD邊的中點,BE,AC于點E連接。R給出下列四個結論:①

@CF=2AF；?DF^DC-,④SAABF：S四邊影CDEF=2：5,其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

3.已知正方形。EFG的頂點廠在正方形A8C￡）的一邊的延長線上，連結AG,CE交于點“，若AB=3,

DE=0，則CH的長為.

BC

4.如圖，己知四邊形ABCD與四邊形CFGE都是矩形,點石在C。上，點X為AG的中點，AB=3,3C=2,

CE=1.5,CF=1,則。X的長為.

5.如圖，在AABC中，AB=5,。為邊AB上一動點，以C。為一邊作正方形CDER當點。從點8運動

到點A時，點E運動的路徑長為.

6.已知正方形A3CD的邊長為12,E、R分別在邊A3、3c上，將AB歷沿"折疊，使得點3落在

正方形內部（不含邊界）的點？處，的延長線交于點G.若點3'在正方形的對稱軸上，且滿足

S/VIDG=4S正方形ABC0，則折痕EF的長為---------------

三、解答題

7.如圖，在凡AABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,MN//AC,D為BC邊上一點,連接AZ）,作

DELAD交MN于點、E，連接AE.猜想線段4。與。石之間的數量關系，并證明.

BD

'N

8.已知AABC中NA3C=90。，點。、石分別在邊3C、邊AC上，連接尸，OE,點/、點C在

,.,.L-rABDE,

直線OE同側,連接尸C,且——=-一-=k

BCDF

(1)點。與點6重合時,

①如圖1,左=1時，AE和FC的數量關系是；位置關系是

②如圖2,左=2時，猜想AE和FC的關系，并說明理由；

(2)BD=2CD時,

③如圖3,左=1時，若AE=2,1°F=6,求/C的長度；

④如圖4,左=2時，點M、N分別為和AC的中點，若AB=10,直接寫出MN的最小值.

9.如圖1,點。為正方形A8CO的中心，E為AB邊上一點，F為BC邊上一點，△功尸的周長等于BC的

長.

(1)求/EOF的度數.

(2)連接OA,0C(如圖2).求證：zAOEsXCFO.

(3)若OE=@OF,求處的值.

2CF

E\

B

10.在必△ABC和咫△DEF中，ZABC=NEDF=30°,ABAC=ZDEC=90°,3c與。廠在同一條直

線上，點C與點E重合，AC=2,如圖為將△CEO繞點C順時針旋轉30。后的圖形，連接BD，AE,

若=求△血。和AAEC的面積.

C⑺

11.問題背景：如圖（1）,已知求證：△ABD-AACE；

嘗試應用：如圖（2）,在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°>ZABC=ZADE=30°>AC與

OE相交于點歹.點。在3C邊上，—=A/3,求的值；

BDCF

拓展創新：如圖（3）,。是AABC內一點，ZBAD=ZCBD=30°，NBDC=90°，AB=4,AC=2?

直接寫出AD的長.

B，C

(2)

(1)

(3)

12.在AABC中，NACB=90°,CD是中線，AC=BC,一個以點。為頂點的45。角繞點D旋轉，使

角的兩邊分別與AC、8C的延長線相交，交點分別為點￡、F,。尸與AE交于點DE與BC交于點N.

圖2

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF-,

(2)如圖2,在NEZ*繞點D旋轉的過程中，試證明CZ>2=“.c廣恒成立;

(3)若CD=2,CF=&，求。N的長.

13.AABE內接于OO,C在劣弧AB上，連CO交AB于D,連BO,ZCOB=ZE

(1)如圖1,求證：COXAB；

(2)如圖2,BO平分/ABE,求證：AB=BE；

(3)如圖3,在(2)條件下，點P在OC延長線上，連PB,ETLAB于T,ZP=2ZAET,ET=18,OP=

25,求。。半徑的長.

14.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEPG都是正方形，C,F,G三點在一直線上，連接A尸并延長交邊8

于點M.

(1)求證：△MFCs△MCA；

CF

(2)求J的值,

BE

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AE/G的邊長.

15.如圖1,若點P是小ABC內一點，且有/PBC=/PCA=/PAB,則稱點P是小ABC的“等角點

(1)如圖1,ZABC=70°,貝1|NAPB=

(2)如圖2,在△ABC中，NACB=90。，點P是AABC的“等角點”，若NBAC=45。

CP

①求---的值;

AP

②求tanZPBC的值;

16.如圖，在MAABC中，NAC8=90。，/BAC=a，點D在邊AC上(不與點A、C重合)連接BD,點K

為線段BD的中點，過點D作于點E,連結CK,EK,CE,將△ADE繞點A順時針旋轉一定的

角度(旋轉角小于90度)

(1)如圖1.若a=45。，則A3CK的形狀為；

(2)在(1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點A旋轉，使得D,E,B三點共線，點K為線段BD的

中點，如圖2所示，求證：BE—AE=2CK；

(3)若三角形ADE繞點A旋轉至圖3位置時，使得D,E,B三點共線，點K仍為線段BD的中點，請你直

接寫出BE,AE,CK三者之間的數量關系(用含a的三角函數表示)

17.如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為。。的直徑，過點A作A。平分/54C交。。于點。，過點。作

BC的平行線分別交AC、A2的延長線于點E、F,OGLAB于點G,連接BZX

(1)求證：AAEDS4DGB；

(2)求證：E尸是。。的切線;

(3)若竺=正，0A=4,求劣弧5。的長度(結果保留無).

DF3

18.如圖1,拋物線y=a(x+2)(x-6)(a>0)與x軸交于C,D兩點(點C在點D的左邊)，與y軸負

半軸交于點A.

(1)若4ACD的面積為16.

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點，過S作x軸的垂線，交拋物線于點P,將線段SC,SP繞點S順時針旋轉任意相同

的角到SCi,SPi的位置，使點C,P的對應點Ci,Pi都在x軸上方，CiC與PiS交于點M,PiP與x軸交

于點N.求——的最大值;

SM

(2)如圖2,直線y=x-12a與x軸交于點B,點M在拋物線上，且滿足/MAB=75。的點M有且只有兩

個，求a的取值范圍.

19.已知，如圖1,拋物線丫=。/+法+3與X軸交于點3、c,與y軸交于點A，且AO=CO,BC=4.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,點p是拋物線第一象限上一點，連接尸3交y軸于點。，設點p的橫坐標為線段長為

d,求d與?之間的函數關系式；

(3)在(2)的條件下，過點Q作直線軸，在/上取一點〃(點朋■在第二象限)，連接AM，使

AM=PQ,連接CP并延長CP交y軸于點K,過點P作尸N，/于點N,連接血V、CN、CM.若

NMCN+NNKQ=45。時，求t值.

20.如圖，函數y=-N+bx+c的圖象經過點A(m,0),B(0,n)兩點，m,"分別是方程N-2x-3=0

的兩個實數根，且機＜”.

(I)求機，〃的值以及函數的解析式;

(II)設拋物線y=-x2+6x+c與x軸的另一個交點為C,拋物線的頂點為。，連接AB,BC,BD,CD.求

證：△BCDS^OBA；

(III)對于(I)中所求的函數y=-x2+bx+c,

(1)當0姿3時，求函數y的最大值和最小值;

(2)設函數y在也爛r+1內的最大值為p,最小值為q,若p-g=3,求r的值.

28第5章相似三角形之旋轉相似

一、單選題

1.在RS48C中，NBAC=90。，是△ABC的中線，ZADC=45°,把AAOC沿AD對折，使點C落在

BQ

。的位置，CZ）交A8于點Q,則二萬的值為（）

AQ

A.五B-6C.口.與

【答案】A

【解析】根據折疊得到對應線段相等，對應角相等，根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出AD

=DC=BD,AC=AC,ZADC=ZADC/=45°,CD=CD,進而求出/C、/B的度數，求出其他角的度

數，可得AQ=AC,將與烏轉化為些，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關系得出答案.

AQAC

【解答】解：如圖，過點A作AEL8C,垂足為E,

,/ZADC=45°,

是等腰直角三角形，即A。，

2

在RtAABC中，

VZBAC=90°,AD是△ABC的中線，

：.AD=CD=BD,

由折疊得：AC=AC,ZADC=ZADC=45°,CD=C'D,

，/CDC'=450+45°=90°,

：.ZDAC=ZDCA=(180°-45°)4-2=67.5°=ZCAD,

ZB=90°-/C=/CAE=225°,N8Q￡>=90°-ZB=ZC'QA=67.5°,

：.AC'=AQ=AC,

qBQBD

由△AECs/XBOQ得：~^~二——

ACAE

.BQ__BQ_AD_V2AE_

"AQ~~AC~~^E~AE

【點睛】考查直角三角形的性質，折疊軸對稱的性質，以及等腰三角形與相似三角形的性質和判定等知識,

合理的轉化是解決問題的關鍵.

2.如圖，在矩形ABCD中,E是邊的中點于點F連接。E給出下列四個結論:①尸/△C4B；

@CF=2AF；?DF=DC；④SAABF：S四邊彩CDEF=2：5,其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】①根據四邊形ABCD是矩形，BE±AC,可得/ABC=/AFB=90。，又/BAF=/CAB,于是

△AEF^ACAB,故①正確；

②根據點E是AD邊的中點，以及AD〃:BC,得出AAEFs/XCBF,根據相似三角形對應邊成比例，可得

CF=2AF,故②正確；

③過D作DM〃:BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故③正確；

2

11

④根據△AEF-ACBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值,據此求出SAAEF=-SAABF,SAABF=—S

26

矩形ABCD，可得s四邊形CDEF=SAACD-SAAEF=—■S矩形ABCD,即可得到s四邊形CDEF=—SAABF,故④正確.

122

【解答】如圖，過。作。/〃BE交AC于N,

???四邊形是矩形，

J.AD//BC,NABC=90°,AD=BC,

?.?2￡，4。于點尸，

/EAC=ZACB,ZABC^ZAFE=90°,

/.AAEF^/\CAB,故①正確；

'：AD//BC,

AEAF

:?△AEFs^CBF,：.——=——,

BCCF

11

9

：AE=-AD=-BCf

22

AF1

/.—=一,；.b=2AR故②正確，

CF2

'：DE//BM,BE//DM,

，四邊形BMDE是平行四邊形，

1

BM=DE=—BC,：.BM=CM,

2

CN=NF,

?.?BE_LAC于點RDM//BE,

：.DNLCF,：.DF=DC,故③正確；

△AEFsLCBF,

.EF_AE_1

"BF~^C~2,

._1_1

??SAAEF=—S&ABF,SAABF=—S矩形ABC￡),

26

._1

??SAAEF-S矩形ABC。,

12

▼_11_5

又?S四邊彩CDEF=SAACD-SAAEF=—S矩形ABC。-S矩形----S矩形ABC。，

21212

SAABF:S四邊形C0EF=2:5,故④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算，正確的作出輔助線是解題

的關鍵.

二、填空題

3.已知正方形DE/G的頂點P在正方形ABC。的一邊的延長線上，連結AG,CE交于點H,若AB=3,

DE=g，則的長為.

E

【答案】哈

【解析】連接EG,與DF交于N,設CD和AH交于M,證明△ANGSADM,得到也=任，從而求出

NGAN

DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG也Z\CDE得到NDAG二NDCE,從而說明

AnAI\4

△ADMS^CHM,得到k三，最后算出CH的長

【解答】解：連接EG,與DF交于N,設CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN=GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

:?△ANGSADM,

.DMAD

NG~AN9

?:DE=y[i，

.*.DF=EG=2,

.*.DN=NG=1,

VAD=AB=3,

.DM3

-3+l

3

解得：DM二一，

4

.*.MC=-,AM=7AD2+DM2=

44

ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

.\ZADG=ZEDC,

在小ADG^DACDE中，

AD=CD

<NADG=NCDE,

DG=DE

.,.△ADG^ACDE(SAS),

ZDAG=ZDCE,

ZAMD=ZCMH,

.".ZADM=ZCHM=90°,

AADM^ACHM,

.ADAM

??而一河‘

3如

即3=--,

CH9

4

解得：CH=^^.

17

E

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，綜

合性較強，解題的關鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質計算出CH的長.

4.如圖，已知四邊形A8CD與四邊形CFGE都是矩形，點E在。上，點”為AG的中點，AB=3,3C=2,

CE=1.5,CF=1,則。X的長為.

【答案】巫

4

【解析】延長GE交48于點M,作DNLAG于N.首先求出AG、AH,由AOVs△G4M,得

---=----=-----,求出D/V、AN,HN,在中利用勾股定理即可解決問題.

AGMGAM

【解答】延長GE交于點M,作OVLAG于N.

四邊形A8CD與四邊形CFGE都是矩形,

四邊形89GM是矩形,

：.MG=BF=BC+CF=2+\=3,

:.BM=CE=FG=1.5,

：.AM=AB-BM=1.5,

：.AG=yjAM2+GM2=-V5,

2

?.?點〃為4G的中點，

:.AH=-AG^-45,

24

AD//MG,

:.ZDAN=ZAGM,-,?ZAND=ZAMG,

：.^ADNs/\GAM,

.ADAN_DN

"AG~MG~AM'

.2_ANDN

-y[53-'

22

:.AN=上百,DN=-y/5,

55

:.HN=AN=AH=-45--y/5=—45,

5420

在Rt&DHN中，DH=yjDN2+HN2=<I-+—=—

\5804

故答案為巫.

4

【點睛】本題考查矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造直角三角形解決問題.

5.如圖，在△ABC中，AB=5,。為邊AB上一動點，以CD為一邊作正方形CQEF,當點。從點8運動

到點A時，點E運動的路徑長為.

F

【答案】5行

【解析】如圖，構造等腰R3CBG,ZCBG=90°,則由ACGEs^CBD,得GE=&BD,即可求得點E運

動的路徑長.

【解答】如圖：作GBLBC于B,取GB=BC,

當點D與點B重合時，則點E與點G重合,

ZCBG=90°,

.".CG=72BC,ZGCB=45°,

,/四邊形CDEF是正方形，

；.CE=&DC,ZECD=45°,

ZBCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=45°,

.lCGCE/-

??/BCD=NGCE,且---=----=J2,

BCDC

.,.△CGE^ACBD,

=V2,BPGE=J2BD,

BDDC、

VBD=5,

點E運動的路徑長為GE=V2BD=5V2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、正方形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是

解題的關鍵.

6.已知正方形ABCD的邊長為12,E、R分別在邊AB、BC±,將ABEF沿"折疊，使得點3落在

正方形內部（不含邊界）的點3'處，的延長線交A6于點G.若點3,在正方形的對稱軸上，且滿足

SAADG=4S正方形"CO，則折痕EF的長為---------------

【答案】5君或受叵

4

【解析】根據又40G=；S正方切BCD得到點G是A3的中點，再分兩種情況討論，①如答案圖1,當點6'在

對角線AC上時，過點￡作于點尸，過點歹作交尸8的延長線于點Q，則四邊形

PBFO為矩形;利用相似三角形的性質即可求出EF；②答案如圖2.當點3'在的中垂線上時，B'

為。G的中點，過點3'作于點尸，過點R作歹交尸8的延長線于點。，得到

AP=-AG=-AB=3,B'P=6,同①即可求出EF.

24

【解答】解：：SMDC=-S正方形ABC。，

二點G是AB的中點，

又?..點3'在正方形的對稱軸上，

.?.分以下兩種情況討論:

①如答案圖1,當點B'在對角線AC上時，過點作于點尸，過點R作42,8。交P8的延

長線于點Q,則四邊形PBR9為矩形，

答案圖1

:在正方形A3CD中，AG//CD,

.AGAB,_1

?,CD—8C—2'

,/AB=12,

二AC=1272，

/.AB，」AC=4夜，

3

Z￡L4C=45°,

AAP=PB'=4,PB=QF=8,由折疊可知NEB'F=NEM=90°,

APEBSkQB'F,

.B'E_PE_B'P

??/一麗一丁一5，

設BE=B，E=m,BF=B'F=PQ=2m,則B'Q=2m—4,

PE=-(2/n-4),

*/PB=QF,

/--(2m-4)+m-8,解得m=5,

；?BF=10,

?*-EF=VBE2+BF2=545；

②如答案圖2.當點3'在的中垂線上時，3'為。G的中點，過點3'作8尸，人8于點尸，過點歹

作FQ工BC交PB的延長線于點Q,

BNFC

答案圖2

則AP」AG」AB=3,B'P=6,

24

:.QF=BP=9,同理①可得ER=巨竺，

4

綜上所述，折痕所的長為5百或身叵.

4

【點睛】本題考查正方形的性質，軸對稱變換，相似三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想

思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題

7.如圖，在心AABC中，NE4c=90°,ZABC=30°,MN//AC,。為3c邊上一點，連接AD，作

DELAD交MN于點、E，連接AE.猜想線段與。石之間的數量關系，并證明.

A

【答案】DE=6AD，見解析

【解析】過點。作。G，3c交AB于點G,通過證明2\8￡)￡54604,可得必>=必，即在比@50

DEBD

中，—=tan30°---故空■=《!，即。E="4￡>.

BD3DE3

【解答】解：DE=6AD.

證明：如圖，過點。作。G,3c交A3于點G,

則/BDE+NGDE=90°,

■.DE±AD,

:.ZGDE+ZADG=9Q°,

:./GDA=ZBDE,

Z￡L4C=90%ZABC=30°,

:.ZC=6Q°,

;MN//AC,

:.ZEBD=180°-ZC=120°,

vZABC=3Q°,DG1BC,

..ZBGD=60°,

:.ZAGD=120°^ZEBD,

??△BDEs^GDA,

.DAGD

"~DE~~BD，

在拉ABDG中,^=tan30°=—

BD3

,即。E=6AD.

DE3

A

【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，掌握相似三角形的性質以及判定定理、正切的性質是解題的

關鍵.

8.已知AABC中NABC=90°,點。、E分別在邊5C、邊AC上，連接。E,。尸，。E,點R、點。在

4DDF

直線OE同側，連接尸C且一=——=k.

BCDF

（1）點。與點5重合時,

①如圖1,左=1時，AE和FC的數量關系是；位置關系是

C

圖1圖2

圖3

B

圖4

②如圖2,攵=2時，猜想AE和FC的關系，并說明理由；

（2）BD=2CD時,

③如圖3,左=1時，若==6,求/C的長度；

④如圖4,左=2時，點M、N分別為"和AC的中點，若AB=10,直接寫出MN的最小值.

【答案】（1）①AE1FC；②AE=2FC；AE1FC；理由見解析；⑵③PC=6；④MN的最小值為*.

3

【解析】（1）①利用SAS證出△ABE0Z\CDF,從而證出AE=FC,ZA=ZDCF,然后證出NACF=90。即可

得出結論；

AE

②根據相似三角形的判定證出△從而得出-=2,然后證出NACF=90。即可

CF

得出結論；

（2）③作GOL8C于點。，交AC于點G；作GHLA8于點H,交于點"；DMLAC,利用SAS證出

AEDG^AFDC,從而得出EG=FC,令DC=a,BD=2a,根據三角形的面積公式即可求出a值，從而求出

結論；

④連接MD和MC,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=CM=」EE,從而得出點M的

2

運動軌跡為是CD的垂直平分線的一部分，作CD的垂直平分線MH交BC于H,然后證出四邊形NMHG

為平行四邊形，從而求出結論.

【解答】（1）①解：；ZABC=90。，DF±DE,

：.ZABC=ZEDF=90°,ZA+ZBCA=90°

:.ZABE+NEDONCDF+ZEDC

.?.ZABE=ZCDF

ABDE一

----=------=K=1

BCDF

???AB=CB,DE=DF

.,.△ABE^ACDF

???AE=FC,NA=NDCF

AZDCF+ZBCA=90°

???ZACF=90°

???AE_LFC

故答案為：AE=FC；AEA.FC；

②證明：AE=2FC；AELFC

?；DF上DE

：.ZEDF=ZABC=90°

：.ZABE=ZCDF-

..ABDE.

?-----二-------二2

BCDF

：.AABACDF

A石

/.ZA=ZDCF——=2

fCF

???ZA+ZACB=90°

：.ZDCF+ZACB=90°

AZACF=90°；BPFCLAE-

(2)③解：作G0L8C于點。，交AC于點G；作于點H,交于點H；DM±AC.

???四邊形BDGH為矩形

：.DB=HG

ABDEi

ZABC=90°,——=——=1

BCDF

：.ZA=ZHGA=ZACB=45°

：.DC=DG

9：DE±DF

：.ZEDG=ZFDC

:.LEDG當AFDC(SAS)

：.EG=FC

?:BD=2CD

:,令DC=a,BD=2a

：?AG=2亞a

??.EG=2缶—2,MD=W(i.

S^CDF~6

SACDF=^EG-MD=^2j2a-2^^^=6

解得4=20,4=-手（舍）

：.FC=EG=6

oAB

④；—-----k=2AB=10

BCDFf

：.BC=5

?:BD=2CD

CD=—BC=—

33

由③易證/ECF=90。

在RtAEDF和RtAECF中，點M為EF的中點，連接MD和MC

.,.DM=CM=-EF

2

???點M的運動軌跡為是CD的垂直平分線的一部分，作CD的垂直平分線MH交BC于H

.?.當NM_LMH時，MN的最小，易知MN〃:BC,MH〃AB,CH=-CD=-

26

取BC的中點G,連接NG,則CG=」8C=2

22

ANG為4ABC的中位線

；.NG〃AB

；.MH〃NG

四邊形NMHG為平行四邊形

止匕時MN=GH=CG-CH=-

3

即MN的最小值為*.

3

【點睛】本題主要考查幾何變換綜合題、相似三角形的判定及性質和全等三角形的判定及性質，解題關鍵

是熟練掌握三角形的中位線的性質、相似三角形的判定及性質和全等三角形的判定及性質.

9.如圖1,點。為正方形ABC。的中心，E為AB邊上一點，尸為BC邊上一點，△仍尸的周長等于BC的

長.

（1）求/EOE的度數.

（2）連接。4、OC（如圖2）.求證：AAOEsACFO.

（3）若0E=2^0F,求處的值.

2CF

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）-

4

【解析】（1）.在BC上取一點G,使得CG=BE,連接OB、OC、OG,然后證明△OBE和△OCG全等，從而

得出NBOE=NCOG,NBEO=NCGO,OE=OG,根據三角形的周長得出EF=GF,從而得出4FOE和4GOF

全等，得出/EOF的度數；（2）、連接OA,根據點O為正方形ABCD的中心得出/OAE=/FCO=45。，結

合/BOE=/COG得出NAEO=NCOF,從而得出三角形相似；（3）、根據相似得出線段比，根據相似比求出

AE和CO的關系，CF和A0的關系，從而得出答案.

【解答】解：（1）.如圖，在BC上取一點G,使得CG=BE,連接OB、OC、0G.

'??點O為正方形ABCD的中心，

AOB=OC,ZBOC=90°,ZOBE=ZOCG=45°.

AAOBE^AOCG(SAS).

AZBOE=ZCOG,ZBEO=ZCGO,OE=OG.

???NEOG=90。，

VABEF的周長等于BC的長，

EF=GF.

AAEOF^AGOF(SSS).

???NEOF=NGOF=45。.

⑵.連接OA.???點。為正方形ABCD的中心，

.*.ZOAE=ZFCO=45°.

NBOE=ZCOG,NAEO=ZBOE+NOBE=NBOE+45。,

NCOF=ZCOG+NGOF=ZCOG+450.

???NAEO=NCOF,且NOAE=NFCO.

J△AOE^ACFO.

(3).VAAOE^ACFO,

,AO_OE_AE

**CF-FO-CO,

一OEOE

即AE=——xCO,CF=ACH

FOFO

J5OE

VOE=^r.OF,???-------=

2FO2

、氏2

???AE=±CO,CF=TAO.

2V5

AE5

CF4.

D

點睛：本題主要考查的是正方形的性質、三角形全等的判定與性質、三角形相似的判定與性質，綜合性非

常強，難度較大.熟練掌握正方形的性質是解決這個問題的關鍵.

10.在必AABC和應△/）防中，ZABC=ZEDF=30°,ZBAC=ZDEC=90°,3c與。廠在同一條直

線上，點C與點P重合，AC=2,如圖為將△CEO繞點。順時針旋轉30。后的圖形，連接BD，AE,

若匹=^AC,求48DC和△AEC的面積.

2

【答案】ABDC和AAEC的面積分別為2和人.

2

【解析】過點D作DM，BC于點M,根據30。所對直角邊為斜邊一半，分別求出BC、DC的長度，且證

△BDCSAAEC,在RtZ\DMC中，可得DM=1,即ABDC的面積可求，且§△甌

即AAEC

^ABDC

的面積可求.

【解答】解：如圖所示，過點D作DM^BC于點M,

VAC=2,EF=-AC,

2

EC=1,

XVZABC=30°,ZEDC=30°,

...在Rt^BAC和Rt^DEC中，BC=2AC=4,DC=2EC=2,由旋轉性質知，NBCD=NACE=30°,

BCCDc

-----=-----=2,

ACEF

,-----------------------"BDBC=

..ABDCs△AEC?故=2,

AEAC

在RtADMC中,ZBCD=30°,DC=2,

???DM=1，

_BCDM_4xl

,,dABDC-一―2~1/，

VABDC^AAEC,

.?.^c=f-Y=-,/.5AAEC=-X2=-,

%DCUJ442

ABDC和△AEC的面積分別為2和工.

2

【點睛】本題主要考察了含30。角的直角三角形、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵在于

證明ABDCSAAEC,且相似三角形的面積之比為邊長之比的平方.

11.問題背景：如圖(1),已知△ABCSAWE,求證：△ABD-AACE；

嘗試應用：如圖(2),在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°>ZABC=ZADE=30°，AC與

。石相交于點R.點。在3c邊上，-^73,求生的值；

BDCF

拓展創新：如圖(3),。是AABC內一點，ZBAD=ZCBD=30°-NBDC=90°，AB=4,AC=26,

直接寫出AD的長.

【答案】問題背景：見詳解；嘗試應用：3；拓展創新：AD=B

4HACABAC

【解析】問題背景：通過△ABCs△的得到7一=，，一=—匕，再找到相等的角，從而可證

ADAEADAE

△ABDSAACE；

嘗試應用：連接CE,通過可以證得△ABD-AACE,得到處=42,然后去證

CEAE

△AFEs^DFC,AADFs^ECF,通過對應邊成比例即可得到答案;

拓展創新：在AD的右側作NDAE=/BAC,AE交BD延長線于E,連接CE,通過△B4C5AEME,

△BAD^&AE,然后利用對應邊成比例即可得到答案.

【解答】問題背景：?..△ABCSZSADE,

,ABAC

??NBAC=NDAE,------------,

ADAE

：.NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

???NBAD=NCAE,

**?AABD~AACE；

嘗試應用：連接CE,

BC

D

?-?ABAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30°，

**?ABAC~ADAE,

.ABAD

ACAE

*：NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

AZBAD=ZCAE,

*'?AAJBD^AACE,

BDAD

CEAE

由于NADE=30°，/DAE=90°，

Ap

???加〃30。=——

AD3

即變=四=6,

CEAE

翳6

小

VZBAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30，

；?ZC=ZE=60°，

又：ZAFE=ZDFC,

Z\AFE^Z\DFC,

.AFEFAFDF

>>----=----,即an-----=----

DFCFEFCF

又：ZAFD^ZEFC

AADFS/\ECF,

.DF_AD_

??---------------J;

CFCE

拓展創新：AD=45

如圖，在AD的右側作NDAE二NBAC,AE交BD延長線于E,連接CE,

VZADE=ZBAD+ZABD,ZABC=ZABD+ZCBD,/BADZCBD=30°，

AZADE=ZABC,

又"DAE=NBAC,

**?^BAC~ADAE,

.ABAC_BC

**AD-AE-DE?

XVZDAE=ZBAC,

AZBAD=ZCAE,

/.^BAD^^CAE,

.BDABAD_4_243

?,瓦一瓦―瓦—訪一丁’

設CD=x,在直角三角形BCD中，由于/CBD=30。，

；.BD=6X，BC=2X,

3

/.CE=—x

29

..AB_BC

?AD-?

4_2x

???而一有，

—X

?*.AD=厲

【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

12.在AABC中，NACB=90°,C。是中線，AC=BC,一個以點。為頂點的45。角繞點。旋轉，使

角的兩邊分別與AC、8C的延長線相交，交點分別為點￡、F,。尸與AE交于點DE與BC交于點、N.

圖2

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF；

如圖2,在NEA*繞點。旋轉的過程中，試證明CZ>2=CE.C廣恒成立;

(3)若CD=2,CF=近,求。N的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）￡>N=2叵

3

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質得到/BCD=NACD=45。，/BCE=NACF=90。，于是得到NDCE

=/DCF=135。，根據全等三角形的性質即可的結論;

rA「7-?

(2)證得ACDFs/XCED,根據相似三角形的性質得到J=——，即CD2=CE?CF；

CECD

(3)如圖，過D作DG_LBC于G,于是得到/DGN=/ECN=90。，CG=DG,當CD=2,=應時,

求得CE=20，再推出ACENsAGDN,根據相似三角形的性質得到0=C￡=￥=2,

求出GN,

GNDGV2

再根據勾股定理即可得到結論.

【解答】(1)證明：：NACB=90°，AC^BC,。是中線,

AZBCD=ZACD=45°,ZBCE=ZACF=9Q。,

:.NDCE=ZDCF=135°.

CE=CF

在ADCE與&DCF中，<NDCE=NDCF,

CD=CD

：.ADCE學ADCF.

，DE=DF；

(2)證明：：NZ)CF=NZ)CE=135°,

；?ZCDF+ZF=180°-135°=45°

???ZCDF+ZCDE=45°,

；?/F=NCDE.

ACDF^ACED.

CDCF,

???-=—>BnnPCD2=CECF.

CECD

(3)如圖，過。作。GLBC于點G,

則NDG/V=N￡GV=90°,CG=DG.

當8=2,=0時,

由。02=慮?。尸，得CE=26.

在RMDCG中,

CG=DG=CD-sinNDCG=2xsin45。="

,:NECN=/DGN,ZENC=ZDNG,

△CENs^GDN.

.CNCE2V2c

?,----=-----=——2,

GNDGV2

GN=-CG=-XS/2^—.

333

圖2

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三