專題11相似三角形的綜合問題

千硝立【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一（雙）A字型相似】..................................................................1

【考向二（雙）8字型相似】.................................................................3

【考向三母子型相似】.....................................................................5

【考向四旋轉相似】.......................................................................7

【考向五K字型相似】.....................................................................11

【直擊中考】

【考向一（雙）A字型相似】

例題：（2022?上海?九年級專題練習）如圖，在0ABe中，點。在邊4B上，點￡、點/在邊AC上，且。E〃

AFAE

BC,

FE~EC

(1)求證：DF//BE-

(2)如且A尸=2,EF=4,AB=6』.求證0ADEEBAE3.

【變式訓練】

1.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，在中，ZACB=90°,AC=BC=6,。是AB上一點，點E

在BC上，連接CD,AE交于點F若/。石=45。,應＞=24）,則CE=.

2.(2023秋?安徽六安?九年級校考期末)如圖，在AABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高.求證:

NACB^NAED.

3.(2021秋?山東濟寧?九年級校考階段練習)

RSABC中，NC=9O。，AC=20cm,BC=15cm,現有動點尸從點A出發，沿AC向點C方向運動，動

點。從點C出發，沿線段C2也向點8方向運動，如果點P的速度是4on/s,點。的速度是2c”〃s,它們同

時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設運動時間為f秒.

(1)求運動3時間為多少秒時，P、。兩點之間的距離為10c加？

(2)若A。。的面積為S,求S關于f的函數關系式.

(3)當f為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與AABC相似？

4.(2023?全國?九年級專題練習)如圖，AA5c中，點。在AC邊上，且NBOC=90。+1.

2

BB

E

(1)求證：DB=AB；

(2)點E在BC邊上，連接AE交8。于點尸，且ZAED=ZABC,BE=CD,求—ACB的度數.

(3)在(2)的條件下，若BC=16,△鉆尸的周長等于30,求■的長.

【考向二(雙)8字型相似】

例題：(2023?全國?九年級專題練習)如圖，在菱形ABC。中，0AOE、國。尸分另U交BC、A2于點E、F,

DF交對角線AC于點M,且0AZ)E=EIC。凡

(1)求證：CE=AF；

(2)連接ME,若烏=型，AF=2,求的長.

BECE

【變式訓練】

1.(2022春?九年級課時練習)如圖，在平行四邊形ABC。中，點￡是上一點，AE=2ED,連接8E交

AC于點G,延長BE交C。的延長線于點尸，則學的值為(

GF

CIDI

2.(2022春?陜西渭南?八年級統考期末)如圖在平行四邊形ABC。中，E是的中點，廠是AE的中點,

C尸交BE于點G,若BE=8,貝UGE=

3.(2022秋?北京房山?九年級統考期中)如圖，與BC交于。點，ZA=ZC,BO=4,DO=2,AB=3,

求CD的長.

4.(2023秋?安徽六安?九年級校考期末)如圖1,在R/fflABC中，a4cB=90。，AC=BC=1,。為A3上一點,

連接C。，分別過點A、B作AN3C。，BMSCD.

(1)求證：AN=CM；

(2)若點D滿足BD：AD=2；1,求。/的長；

(3)如圖2,若點E為A8中點，連接EM,設s而ENAO=左，求證：EM=k.

5.（2022?廣東佛山,校考三模）如圖1,AD,3。分別是AABC的內角/A4C、NABC的平分線，過點A作

AE±AD,交3D的延長線于點E.

⑴求證：ZE=1ZC；

（2）如圖2,如果AE=AB,且BD：r）E=2:3,求cos/ABC的值；

s

⑶如果/ABC是銳角，且AABC與AADE相似，求/ABC的度數，并直接寫出產的值.

【考向三母子型相似】

例題：（2022秋,全國?八年級專題練習）定義：如圖，若點尸在三角形的一條邊上，且滿足N1=N2,則稱

點尸為這個三角形的"理想點".

C

圖①圖②

⑴如圖①，若點。是AABC的邊AB的中點，AC=2五,AB=4,試判斷點。是不是AABC的"理想點",

并說明理由；

⑵如圖②，在RRABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若點D是AABC的"理想點"，求CD的長.

【變式訓練】

1.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級校考期中）如圖，AABC中，點。在45上，/B=2/BCD,若BD=2,

BC=5,則線段C￡＞的長為.

2.（2022秋?安徽蚌埠?九年級校考期中）如圖，在ABC中，。為BC邊上的一點，且AC=2面，CD=4,

BD=2,求證：△ACDH32cA.

3.（2022秋?安徽蚌埠?九年級校考期中）如圖，在AABC中，ZACB^9Q°,8為AB邊上的高，NABC的

平分線BE分別交CD,AC于點尸，E.

⑴求證：ACBF~^ABE；

⑵若AB=10,BC=6,求VCBb的面積,

⑶若5c=5，請直接寫出胃的值為

4.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖：在矩形A8CD中，AB=6m,BC=8m,動點尸以2m/s的速度從

A點出發，沿AC向C點移動，同時動點。以lm/s的速度從點C出發，沿C3向點8移動，設尸、。兩點

移動的時間為/秒（0</<5）.

(1)AP=m,PCm,CQ=m（用含f的代數式表示）

（2）f為多少秒時，以P、。、C為頂點的三角形與AABC相似？

（3）在P、。兩點移動過程中，四邊形尸與△的面積能否相等？若能，求出此時f的值；若不能,

【考向四旋轉相似】

例題：（2022秋?貴州貴陽?九年級校考期中）如圖1,在Rt^ABC中，48=90。,48=4,3。=2,點。,E分

別是邊8C,AC的中點,連接DE.將ACDE繞點C逆時針方向旋轉，記旋轉角為c.

⑴問題發現

AE

①當2=0。時,

茄

AF

②當夕=180。時，一

BD

⑵拓展探究

試判斷當0。＜。＜360。時，竊的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明;

BD

⑶問題解決

當ACDE繞點C逆時針旋轉至AB,E三點在同一條直線上時，求線段3D的長.

【變式訓練】

1.(2023?浙江寧波?校考一模)如圖1,在AABC中，/BAC=90o,AB=6,AC=8,D,E分別是ABIC的

中點.把△友組繞點B旋轉一定角度，連結AZ),AE,Cr),CE.

⑴如圖2,當線段在內部時，求證：八BAD^ABCE.

⑵當點。落在直線AE上時，請畫出圖形，并求CE的長.

(3)當AABE面積最大時，請畫出圖形，并求出此時VADE的面積.

2.（2022?山東棗莊?校考模擬預測）如圖1,在等腰直角三角形A￡>C中，ZADC=90°,AD=4.點E是AD

的中點，以DE為邊作正方形DEFG,連接AG,CE.將正方形DEFG繞點。順時針旋轉，旋轉角為a

(00<?<90°).

圖1圖2圖3

⑴如圖2,在旋轉過程中，

①判斷△AGO與△CED是否全等，并說明理由；

②當CE=CD時，AG與EF交于點、H,求G”的長.

（2）如圖3,延長CE交直線AG于點P.求證：AG±CP；

3.（2022?山東濟南■統考二模）⑴【方法嘗試】

如圖1,矩形ABPC是矩形ADGE以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉90。所得的圖形，CB、磯）分別是

它們的對角線.則CB與匹數量關系，位置關系;

（2）【類比遷移】

如圖2,在RtAABC和RtaADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AC=9,AB=6,AE=3,AD=2.將AZME繞

點A在平面內逆時針旋轉，設旋轉角，54E為a（0。We<360。），連接CE,3D.請判斷線段CE和3。的

數量關系和位置關系，并說明理由；

—E_______r上

B

CADQ------------A

圖1圖2

（3）【拓展延伸】

如圖3,在Rt/XABC中，ZACB=90°,AB=6,過點A作A尸〃3C,在射線AP上取一點。，連接8,使

得tanZA3“請求線段9的最大值.

C

AB

圖3備用圖

4.（2023秋?河南南陽?九年級校考期末）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉a后，AABC與VADE構成位似

圖形，我們稱AABC與VADE互為"旋轉位似圖形”.

A

圖2圖3

⑴知識理解：兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形—（填"是"或"不是"）"旋轉位似圖形";

如圖1,AABC與VADE互為“旋轉位似圖形”，

①若e=26°,ZB=100°,ZE=29°,則N3AE=

②若45=6,DE=8,AB=4,貝|3C=_；

⑵知識運用：

如圖2,在四邊形ABCD中，ZA￡)C=90°,AELBD于E,NDAC=NDBC,求證：AACD和互為“旋

轉位似圖形"；

⑶拓展提高：

如圖3,AABC為等腰直角三角形，點G為AC中點，點廠是A3上一點，。是G尸延長線上一點，點E在

線段Gb上，且△ABD與AAGE互為"旋轉位似圖形"，若AC=6,AD=242,求出DE和的值.

【考向五K字型相似】

例題：(2022?山東濟南?山東師范大學第二附屬中學校考模擬預測)如圖，在MBC中，點。、E分別是邊BC、

AC上的點，且/ADE=NB.

⑴如圖1,若NB=NC,求證：ABCE=BDCD-,

(2)若AB=8,3C=10,NB=2ZC.

①如圖2,當AT)=DE時，求BD的長；

②如圖3,當BD=CE時，直接寫出8。的長是

【變式訓練】

1.(2021秋?湖南永州?九年級校考階段練習)(1)如圖，點C在線段A3上，點DE在直線AB的同側,

ACAD

ZA=ZDCE=ZB,求證:

BE~BC

(2)如圖，點C在線段A3上，點"E在直線A3的同側，ZA=NDCE=NCBE=90。,ZADC=ZABD,

AC=3,BC=},求tan/CDB的值;

(3)如圖，△ABD中，點C在AB邊上，且NA￡>C=/B,AC=3,BC=可，點E在邊上，連接CE,

12BE

ZBCE+ZBAD=180°,CE=y,求而的值.

2.(2022春?全國?九年級專題練習)如圖1,在AABC中，ZBCA=^0°,AC=3,BC=4,點尸為斜邊A3上一

點，過點尸作射線PDLPE,分別交AC、8C于點。，E.

⑴問題產生團若尸為AB中點，當POLAC,尸ELBC時，—=

⑵問題延伸：在（1）的情況下，將若回。尸E繞著點尸旋轉到圖2的位置，▼的值是否會發生改變？如果

PE

不變，請證明；如果改變，請說明理由；

⑶問題解決：如圖3,連接DE,若△PDE與AABC相似，求3P的值.

3.（2022?山東濟南?校考三模）已知AABC中，0ABe=90。，點。、E分別在邊8C、邊AC上，連接。E,

口ABDE,

DF^DE,點、F、點C在直線。E同側，連接PC,H.-----=........-k.

BCDF

圖4

⑴點。與點3重合時,

①如圖1,（=1時,AE和PC的數量關系是，位置關系是

②如圖2,左=2時,猜想AE和尸。的關系，并說明理由;

⑵8O=2C。時，

①如圖（時,

3,=1若AE=2,SACDF=6,求FC的長度;

②如圖4,左=2時,點〃、N分別為功和AC的中點，若A8=10,直接寫出MN的最小值.

專題ii相似三角形的綜合問題

行府【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一（雙）4字型相似】.................................................................1

【考向二（雙）8字型相似】..................................................................3

【考向三母子型相似】......................................................................5

【考向四旋轉相似】........................................................................7

【考向五K字型相似】.....................................................................11

【直擊中考】

【考向一（雙）4字型相似】

例題：（2022?上海?九年級專題練習）如圖，在a48c中，點。在邊上，點E、點F在邊

AFAE

AC上，且。E〃BC,

FE-EC

（1）求證：DF//BE-

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6退.求證EADEEBAEB.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

Ar）Ar4/74n

【分析】（1）由題意易得第==，則有〒=言，進而問題可求證；

BDECFEBD

（2）由⑴及題意可知空="=1,然后可得4D=2?,進而可證絲=絲=3，最

BDEF2ABAE3

后問題可求證.

【詳解】解：（1）SDE//BC,

ADAE

團----=----,

BDEC

AFAE

團---------，

FEEC

AFAD

0一=

FEBD

^\DF//BE；

(2)財尸=2,EF=4,

ADAF

團由（1）可知,AE=6

BD-EF-2f

她5=6右,

團AD=—AB=2^3,

3

回6_73AD_2A/3_^

AB-6V3-V9V

AEADA/3

1r2a1------=-------=------,

ABAE3

的4二胤4,

^\ADE^\AEB.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，在RtA45C中，ZACB=90°,AC=BC=6,D是AB

上一點，點E在BC上，連接CD,AE交于點R若/3￡=45。,3。=24）,則CE=

【答案】2

【分析】過。作D”垂直AC于X點，過。作DG〃AE交BC于G點，先利用解直角三角

形求出8的長，其次利用ACDG^ACB。，求出CG的長，得出BG的長，最后利用

△BDGS.BAE,求出BE的長，最后得出答案.

【詳解】解：如圖：過。作斯垂直AC于X點，過。作￡>G〃AE交8C于G點，

團在RGABC中，AC=BC=6,

團AB=，AC2+BC2=6五,

又回BD=2AD,

團4。=2后，

團在等腰直角三角形中，AH=DH=2,

007=6-2=4,

在及KHD中,CD7cH2+DH?=2后，

團。G〃AE,

國NCFE=/CDG=45。,4=45。，

國NCDG=NB,

又國NDCG=NBCD,

回ACDGS^CBD,

CDCG

0----=-----，

CBCD

ECD2=CGCB,

即20=6CG,

HCG=—,

3

ino

BBG=BC-CG=6——=-,

33

又回。G〃AE,

國ABDGS^BAE,

又國3D=2AD,

BDBG2

團==-9

BABE3

Q

又BG、，

3

國BE=BGx—=4,

2

0CE=6—4=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質及相似三角形的判定與性質綜合，解題關

鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質得出對應邊成比例求出答案.

2.（2023秋?安徽六安?九年級校考期末）如圖，在"LBC中，BD、CE分別是AC、AB邊

上的高.求證：7ACBWAED.

E,D

B

【答案】見詳解

【分析】先證明AACEsAAgn,即有喋=與，再結合ZA=ZA,即可證明VACBsyAED.

ADAB

【詳解】回B。、CE分別是AC、AB邊上的高，

^\ZAEC=ZADB=90°,

0ZA=ZA,

0AACES^ABD,

「AEAC

ADAB

又團NA=NA,

^NACB^NAED.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握三角形的判定與性質是解答本題的

關鍵.

3.（2021秋?山東濟寧?九年級校考階段練習）

RbABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現有動點尸從點A出發，沿AC向點C

方向運動，動點。從點C出發，沿線段CB也向點2方向運動，如果點尸的速度是4cMs,

點。的速度是2CH7/S,它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設運

動時間為f秒.

（1）求運動時間為多少秒時，P、。兩點之間的距離為10cm?

（2）若ACP。的面積為S,求S關于f的函數關系式.

（3）當f為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與AABC相似？

【答案】（1）3秒或5秒；（2）S=（20/-4r2）cm2；（3）r=3或f

【分析】（1）根據題意得到A尸二4和徵，CQ=2tcm,AC=20cm,CP-（20-4/）cm,根據三角形

的面積公式列方程即可得答案；

(2)若運動的時間為ts,則CP=(20-4?)cm,CQ-2tcm,利用三角形的面積計算公式，即

可得出5=20力4尸，再結合各線段長度非負，即可得出t的取值范圍；

(3)分①RfACPQsRtACAB和②RtACPQsRfACBA,利用相似三角形得出比例式,

建立方程求解，即可得出結論.

【詳解】(1)解：由運動知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

0AC=2Ocm,

團。尸二(20-4/0cm,

在放△CPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20-旬2+⑵)2=1。2；

回2=3秒或，=5秒

(2)由題意得AP=4『，CQ=2tf則CP=20—小，

因此R/ACPQ的面積為S=1x(20-4r)x2r=(20r-4r2)cm2；

(3)分兩種情況：

①當氏人才。6尺人■8時，§=詈，即紇史=當解得公3;

CACB2015

②當Rr^CPQs心△CBA時，—=^,即空凸=且，解得:”.

CBCA152011

因此7=3或/=五時，以點C、尸、。為頂點的三角形與AABC相似.

【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

4.(2023?全國?九年級專題練習)如圖，AABC中，點。在AC邊上，且/BDC=9(T+LZA8。.

2

(1)求證：DB=AB；

(2)點E在8c邊上，連接AE交3。于點F,且NAFD=N/WC,BE=CD,求NACB的

度數.

(3)在(2)的條件下，若2c=16,△反/的周長等于30,求AF的長.

【答案】(1)見解析；(2)NACB=60。；(3)AF=11

【分析】(1)根據三角形內角與外角之間的關系建立等式，運用等量代換得出NA=ZBDA,

證得r)g=AB；

(2)作CH=BE,連接。X,根據角的數量關系證得/￡AC=/C,再由三角形全等判定得

B1BDHB1B1ABE,最后推出前CW為等邊三角形，即可得出—ACB=60。；

(3)借助輔助線A。團CE,構造直角三角形，并結合平行線構造&8尸瓦回2。8，建立相應的

等量關系式，完成等式變形和求值，即可得出A尸的值.

【詳解】(1)證明：EB8OC=9O°+；0AB。，^\BDC=SABD+^A,

0她=90。—

00Br>C+0BDA=18O",

00BDA=18OO-0B￡)C=9O--1-a4BD.

0EL4=0B￡?A=9O°-1-EL4B￡).

^DB=AB.

解：(2)如圖1,作CH=BE,連接。”，

EEA尸￡)=0A8C,B1AFD=BIABD+BIBAE,^ABC^tSABD+lSDBC,

WAE=SDBC.

El由(1)知，^BAD^SBDA,

又EBEAC=E18A。一EIBAE,SC=^ADBSDBC,

00CA￡=fflC.

t2L4E=CE.

^\BE=CH,

⑦BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

朋3=30,

^\BDH^ABE,

@BE=DH.

^\BE=CD9

團CH=DH=CD.

甌。CH為等邊三角形.

函4C3=60°.

(3)如圖2,過點A作AO團CE垂足為O.

A

^CAE=^CDH=60°9^AEC=^DHC=60°.

題ACE是等邊三角形.

i&AC=CE=AE=x,貝!J5E=16—x,

即汨

^BFE^\BDH.

BFBEEF16—x

團----------

BDBHDH-x

16—Xnc16—X-

0BF=-----BD=-----AB,

16-x（16-xV

EF=-----DH=\-----」

xx

配L4B廠的周長等于30,

即AB+BF+AF=AB+AB+L（--無）二30,

%x

X

解得AB=16一3.

O

在RWCO中，AC=-,40=叵

22

x

團8。=16——.

2

在的480中，AO2+BO2=AB2,

即5犬+116-5：=116-[I

解得玉=0（舍去）%=等.

0AF=11.

【點睛】本題考查了三角形角的性質、等邊三角形的性質與判定以及全等三角形的判定與性

質的綜合應用，解題的關鍵是能熟練掌握三角形的性質與全等判定并借助輔助線構造特殊三

角形的能力.

【考向二（雙）8字型相似】

例題：（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在菱形ABC。中，MOE、13c刀尸分別交BC、AB

于點E、F,。/交對角線AC于點M,S^DE=^\CDF.

（1）求證：CE=AF；

（2）連接ME,若笠=孚，AF=2,求ME的長.

BECE

【答案】（1）見解析（2）2

【分析】（1）通過已知條件，易證EIAZ）flfflC￡）E,即可求得；

（2）根據唾=總，易求得BE和8居根據已知條件可得望=g=坐，證明

BECEBECEAF

^AMF^\CMD,——=——=—,再證明財8C?回MEC,即可求出ME.

AFAMBE

【詳解】解：（1）回四邊形A5C。是菱形，

^\AD=CD,國DAF=@DCE,

又回她。￡=團。。/，

^1ADE-國EDF=ECDF-團EOR

^\ADF=^\CDE,

在媯。尸和團C。石中，

ZADF=ZCDF

<AD=CD,

ZDAF=ZDCE

^\ADF^\CDE,

^CE—AF.

（2）團四邊形ABC。是菱形,

^\AB=BCf

由（1）得：CE=Ab=2,

⑦BE=BF,

設BE=BF=x,

CECD

回AF=2,

~BE~CE

7Y-L?

回4=*,解得了=行-1,

x2

⑦BE=BF=^-T,

CE

回——，＞CE=AF,

BECE

CECDCD

0—=一=一

BECEAF

^CMD^^AMF,^DCM^^AMF,

^BAMFmCMD,

CDCM

0=，

AFAM

CDCMCE

團==且她Cg=SAC。

AFAMBE

的45c?[WEC,

^\CAB=^CME=BACB,

^\ME=CE=2.

【點睛】本題主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性質，熟練它們的判定和

性質是解答此題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2022春?九年級課時練習)如圖,在平行四邊形ABCD中，點E是A。上一點，AE=2ED，

連接砥交AC于點G,延長的交C。的延長線于點八則票的值為()

C-I?1

【答案】A

【分析】先根據平行四邊形的性質得到A8EIC。，則可判斷△ABGEECPG,△ABE00DFE,于

是根據相似三角形的性質和AE=2ED即可得結果.

【詳解】解：回四邊形ABC。為平行四邊形,

0A施CD,

m^BG^CFG,

BGAB

0一=——

GFCF

m^BE^DFE,

「AEAB

DEDF

^\AE=2ED,

^AB=2DFf

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握

相似三角形的判定和性質進行解題.

2.（2022春?陜西渭南?八年級統考期末）如圖在平行四邊形ABC。中，E是的中點，F

是AE的中點，CF交BE于點G,若巫=8,貝IJGE=—.

DEC

【答案】2

【分析】延長CR交于根據已知條件得出CE=《DC,根據平行四邊形

的性質得出。CBAB,OC=AB,根據全等三角形的判定得出回CE/迥0M4E根據全等三角形

的性質得出CE=AM,求出BM=3CE,根據相似三角形的判定得出國CEGfflMBG,根據相

似三角形的性質得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長CP、54交于

DE

SE是CD的中點，尸是AE的中點,

0￡F=AF,CE=；DC,

團四邊形ABCD是平行四邊形,

團。CWA3,DC=ABf

[7]CE=yAB,0ECF=[?]M,

在[3CE尸和IWAb中

ZEFC=ZAMF

<ZECF=NM,

EF=AF

mCEF^IMAF(A4S),

^CE=AM,

的0=3CE,

回。CWA5,

甌"G鼬03G,

CEEG1

0——二

BMBG3

回BE=8,

GE1

S

8—GE3

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三

角形的性質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵.

3.（2022秋?北京房山?九年級統考期中）如圖，與BC交于。點，NA=NC,BO=4,

DO=2,AB=3,求CD的長.

【答案】1.5

【分析】由Z4=NC,NAQ5=NCOD可得出利用相似三角形的性質可得

出代入_BO=4,DO=2,AB=3,即可求出CD的長.

【詳解】解：財。與5c交于。點,

^\ZAOB=ZCOD.

0ZA=ZC,

0小AOBsqjD.

ABBO

回一=

CD~DO

回80=4,00=2,AB=3,

ECE>=1.5.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例

列式.

4.(2023秋?安徽六安?九年級校考期末)如圖1,在RZBABC中，0ACB=9O°,AC=BC=1,

。為48上一點，連接C。，分別過點4、2作AA0C￡>,BM5\CD.

(1)求證：AN=CM；

(2)若點D滿足BD：AD=2：1,求。M的長；

(3)如圖2,若點E為AB中點，連接EM,設$譏回乂4。=匕求證：EM=k.

圖1圖2

【答案】(1)見解析；(2)35；(3)見解析

15

【分析】(1)證明朋(A4S),由全等三角形的性質得出AN=CW；

(2)證明0ANZ)回SBM。，由相似三角形的性質得出處=生=42=2，設AN=x,則3M

BMDMBD2

=2x,由(1)知AN=CM=x,BM=CN=2x,由勾股定理得出％=當，則可得出答案；

(3)延長ME,A7V相交于點用證明ELVffiEBBME(A4S),得出證得HN=MN,

過點E作EG0BM于點G,由等腰直角三角形的性質得出答案.

【詳解】(1)證明：EAW3CD,BMB\CD,

EBANC=90°,WMC=9Q°,

又EAC2=90°,

^EACN+^BCM=BBCM+SCBM=9Q°,

SSACN^CBM,

又a4c=BC,

0BACA00CBM(4AS),

0AN=CM；

(2)解：^EAND^SBMD,SADN=SBDM,

mAND^iBMD,

回-A-N----D-N---A--D——1

BM~DM~BD2'

設AN=x,則8M=2x,

由(1)知A7V=CM=x,BM=CN=2x,

^AN2+CN2=AC2,

*+⑵)2=12,

Br=—,

5

EICM=立，CN=地，

55

0W=亞，

5

SDM=-MN=-x—=^-;

33515

(3)解：延長ME,AN相交于點X,

圖2

SE為AB的中點，

^\AE—BE,

00AW=9O°,回BMN=90°,

mHAE=^\MBE,^AHE=^\BME,

(AAS),

^AH=BM,

又喇f=CN,CM=AN,

團CN=A”,

⑦MN=HN,

團團HMN=45°,

回的08=45°,

過點E作EG02M于點G,

^\sin^\NAD=kfIWLD=團EBG,

FG

^sin^EBG=—=k,

BE

又0AC=3C=1,

(ZL45=y/2,，

0BE=—,

2

^EG=—k,

2

0￡A/=5/2EG=-J2x^-k=k.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義，等

腰直角三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的

判定與性質是解題的關鍵.

5.(2022?廣東佛山?校考三模)如圖1,AD,8。分別是AABC的內角/BAC、NABC的平

分線，過點A作AELAD,交的延長線于點E.

⑴求證：ZE=1ZC；

(2)如圖2,如果AE=AB,且3O:Z)E=2:3,求cosNABC的值；

⑶如果/ABC是銳角，且AABC與AADE相似，求—ABC的度數，并直接寫出乎況的值.

?AASC

【答案】⑴見解析

(暇

(3)30°,2-相或45。，2-72

【分析】(1)由題意：ZE=900-ZADE,證明ZA￡>E=9(T-；NC即可解決問題.

(2)延長AD交3C于點尸.證明AE〃3C,可得N?WE=NE4D=90。，—,由

AEDE

BFBF2

BD:DE=2:3,可得cosNA5C=——=——=-.

ABAE3

(3)因為AABC與AADE相似，ZDAE=90°,所以/ABC中必有一個內角為90。因為/ABC

是銳角，推出NABCW90。.接下來分兩種情形分別求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖1中，

圖1

■：AE^AD,

:.ZDAE=90°,ZE=900-ZADE,

?.?AD平分NBAC,

ZBAD=-ABAC,同理ZABD=-ZABC,

22

ZADE=ZBAD+ZDBA,ABAC+ZABC=180°-ZC,

ZADE=1(ZABC+ABAC)=90°-1zC,

ZE=90°-(90°--ZC)=-ZC.

22

(2)解：延長AD交3C于點F.

圖2

-.-AB=AE,

:.ZABE=ZE,

班平分/ABC,

:.ZABE=ZEBC,

:.ZE=ZCBE,

：.AE//BC,

BF_BD

:.ZAFB=ZEAD=90°,

AE-DE

-,BD:DE=2:3,

;.8sZABC=^=吧q

ABAE3

(3)???AABC與A4DE相似，ZDAE=90°,

：./ABC中必有一個內角為90。

?/NABC是銳角,

.\ZABC^9O0.

①當NB4C=ND4E=90。時，

ZE=-ZC,

2

/.ZABC=ZE=-ZC

2f

QZABC+ZC=90°,

/.ZABC=30°,止匕時1^=2—

3AABC

②當NC=NZME=90。時，ZE=1ZC=45°,

:.ZEDA=45°,

?.■AABC與AADE相似，

:.ZABC=45°,此時設小=2一四.

綜上所述，ZABC=30°,乎里=2一8.ZABC=45°,當造=2一0.

^AABC

【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質,

銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

【考向三母子型相似】

例題：（2022秋?全國?八年級專題練習）定義：如圖，若點尸在三角形的一條邊上，且滿足

Z1=Z2,則稱點P為這個三角形的"理想點".

⑴如圖①，若點D是“1BC的邊AB的中點，AC=2五,AB=4,試判斷點。是不是“LBC

的"理想點"，并說明理由；

⑵如圖②，在HAABC中，NC=90。，AB=5,AC=4,若點。是44BC的"理想點”，求

CD的長.

【答案】⑴。為AABC的理想點，理由見解析

129

”或I

\rAD

【分析】(1)由已知可得去=黑，從而AACDSAABC,ZACD=ZB,可證點。是AABC

ADAC

的“理想點”；

(2)由。是AABC的"理想點"，分三種情況：當。在AB上時，CO是A3邊上的高，根據

面積法可求CD長度；當。在AC上時，ABOC-AABC,對應邊成比例即可求CD長度；。不

可能在BC上.

(1)

解：點。是AABC的"理想點”，理由如下：

?.■。是AB中點，AB=4,

:.AD=BD=2,ADAB=8,

AC=20，

AC2=8,

AC2=ADAB,

,ACAB

"AC'

?.?ZA=ZA,

:.AACD^AABC,

ZACD=NB,

.?.點。是AABC的"理想點”；

(2)

①。在A3上時，如圖：

?.?。是AABC的"理想點”，

ZACD=ZB或ZBCD=ZA,

當NACD=/3時，

ZACD+ZBCD=90°,

:./BCD+ZB=90°,

:.ZCDB=90°,即C￡＞是AB邊上的高,

當N3CL>=NA時，同理可證/CDB=90。，即8是AB邊上的高,

在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=ylAB2-AC2=3,

=-ABCD=-ACBC,

MBC22

:.CD=g

②?.?AC=4,BC=3,

:.AC>BC^ZB>ZA,

；?"理想點”。不可能在BC邊上,

③。在AC邊上時，如圖：

?.?。是AABC的"理想點”,

:.ZDBC=ZA,

又NC=NC,

ABZX?^AABC,

129

綜上所述，點。是AABC的"理想點"，。的長為三或二.

54

【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解"理想點”的定義.

【變式訓練】

1.（2022秋,黑龍江哈爾濱?九年級校考期中）如圖，AABC中，點。在A3上，=2/BCD,

若瓦＞=2,BC=5,則線段CD的長為.

B

D

C

【答案】V14

【分析】延長CB到E,使BE=BD,連接DE,可得等腰右3田和等腰ACED,CD=ED,

再證明AEDB?AECD,利用相似三角形對應邊成比例即可求出ED.

【詳解】解：如圖所示，延長CB到E,使3E=BD,連接DE,

團NE=NEDB

回ZDBC=2/BCD,NDBC=ZE+/EDB,

冷E=NDCB=ZEDB,

團AEDB?皿D,CD=ED

EDEBED2

E一=一，BRnP------=一

ECED2+5ED

解得：ED=CD=M，

故答案為：A/14.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質和相似三角形的判定和性質，利用已知二倍角關系

①構造等腰ABED和②構造等腰AC￡D是解題關鍵.

2.（2022秋?安徽蚌埠?九年級校考期中）如圖,在A4BC中，。為8c邊上的一點,且AC=276，

CD=4,BD=2,求證：△AC。團團3cA.

【答案】證明見解析.

【分析】根據AC=2指，0=4,BD=2,可得三=三，根據回CWC,即可證明結論.

nCAC

【詳解】解：a4c=2"，cr>=4,BD=2

cAC2娓迷CD4屈

BC4+23AC2V63

ACCD

回一=

BCAC

團團。二團C

^EACDSSBCA.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，