專題11整式的乘法與因式分解壓軸題真題分類-高分必刷題(解析版)

專題簡介：本份資料包含《整式的乘法與因式分解》這一章中五種種類型的常考壓軸題，所選題目源自各

名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含的題型有：募的運算的壓軸題、整式乘法的壓軸題、與平方

差公式完全平方公式相關的的壓軸題、配方法的壓軸題、因式分解的壓軸題。適合于培訓機構的老師給學

生作復習培訓時使用或者學生沖刺高分刷題時使用。

題型一：幕的運算的壓軸題

1.(2021春?岳麓區)定義：如果2"=〃(m,〃為正數)，那么我們把根叫做〃的。數，記作機=。(〃).

(1)根據。數的定義，填空：D(2)=,D(16)=.

(2)。數有如下運算性質：D(s?力=D(s)+D⑺，D(9)=D⑷-D(p),其中q>p.

D

根據運算性質，計算：

①若。(〃)=1,求。(/)；

②若己知。(3)=2a-b,D(5)=a+c,試求。(15),D(A),D(108),D(2工)的值(用a、b、

320

c表示).

【解答】解：⑴：21=2,二。(2)=1,?/24=16,：.D(16)=4,故答案為：1；4.

(2)①：2i=a,：.a=2..*.23=23.：.D(a3)=3.

@D(15)—D(3X5),—D(3)+D(5)=(2a-6)+(a+c)—3a-b+c,

D(立)=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-6)=-a+b+c.

D(108)=D(3X3X3X2X2)=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)

=3XZ>(3)+2XD(2)=3X(2a-b)+2Xl=6o-3b+2.

D帚)=D(27)-D(20)=O<3X3X3)-D(5X2X2)

=D(3)+D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+O(2)]=3XD(3)-[D(5)+2D(2)]

=3X(2a-b)-[a+c+2Xl]=6a-3b-a-c-2=5〃-3b-c-2.

2.閱讀材料：如果一個數的平方等于-1,記為a=-1,這個數，叫做虛數單位，那么形如a+bi(a,b

為實數)的數就叫做復數，a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部.它有如下特點：

①它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似.例如計算：

(2+z)+(3-40=(2+3)+(1-4)i=5-3z；(3+z)z=3z+z2=3z-1.

②若他們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復數相等；若它們的實部相等，虛部互為相反數，則稱這

兩個復數共轉，如1+27的共輾復數為1-2/.

根據材料回答：

(1)填空：尸=，產=；

(2)求(2+z)2的共輾復數；

(3)已知(a+i)Ib+i')=l+3z,求搭戶(冰+戶+』…+戶020)的值.

【解答】解：(1)".'z2=-1,.,.i3=i2,i=-l*z—-i,z4=z2,z2=-IX(-1)=1；

故答案為：-i,1.

(2)(2+02=/2+4Z+4=-1+4J+4=3+4J,故(2+z)2的共輾復數是3-4i；

(3)(a+i)(b+i)=ab_1+(a+b)i=l+3f,

'.ab-1=1,a+b=3,解得a=l,b=2或a=2,b—1,

當cz=l,6=2時，/+戶(片+戶+日…+,~020)—1+4(-i-，+]+j—1-1+；-1-z+1)=1-4i；

當a=2,b=l時，a2+b2(r+z3+z4--+z2020)=4+1(-1-z+l+z--+l+z-1-z+1)=4-i.

故/+/(z2+z3+z4--+z2020)的值為4-i或者1-4z.

3.(雨花區校級月考)規定兩數a,b之間的一種運算，記作(a,b),如果貝U(a,6)=c.我們

叫(a,b)為“雅對”.

例如：因為23=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對”定義說明等式(3,3)+(3,5)=

(3,15)成立.證明如下：

設(3,3)=m,(3,5)=n,則3m=3,3"=5,

故3'人3"=3'"+"=3義5=15,

則(3,15)—m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根據上述規定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)計算(5,2)+(5,7)=,并說明理由.

(3)利用“雅對”定義證明：(2",3")=(2,3),對于任意自然數〃都成立.

【解答】解:(1)V22=4,(2,4)=2；；5°=1,(5,1)=0；V33=27,

(3,27)=3；故答案為：2,0,3；

(2)設(5,2)=x,(5,7)=y,則5工=2,5y=7,.-.5^=5%?5>=14,

(5,14)=x+?；.(5,2)+(5,7)=(5,14),故答案為：(5,14)；

(3)設(2",3")=x,貝U(2")*=3",即(2D"=3",所以2》=3,即(2,3)=x,

所以(2",3")=(2,3).

題型二：整式乘法的壓軸題

4.(2021?天心區開學)對于任意四個有理數a,b,c,d,可以組成兩個有理數對(a,b)與(c,d).我

們規定：(a,b)O(c，d)=bc-ad.例如：(1,2)O(3,4)=2X3-1X4=2.

根據上述規定解決下列問題：

(1)有理數對(3,-5)0(4,-2)=；

(2)當滿足等式(-2,3x-1)O(k,x+k)=5+左的x是整數時，求正整數上的值；

(3)若(5+2/,2s+t)O(x，_y)=2r-s對于任意有理數s,f均成立，求尤+y的值.

【解答】解：(1)根據題意得，原式=-20+6=-14,故答案為：-14.

(2)?.?等式(-2,3x-l)O(k,x+B=5+k,且x為整數，(3x7)k-(-2)(x+Z)=5+k,

：.(3左+2)尤=5,.\%=—§—,是整數，；.3左+2=土1或土5,”是正整數，.,"=1.

3k+2

(3)*.*(5+2/,2s+/)O(%，一y)=2/-s,(2s+/)x-(s+2/)(-y)=2/-s,

去括號，合并后(2x+y+l)s+Cx+2y-2)/=0,,上式對于任意有理數s,/均成立，

；.2x+y=-1①，x+2y=2②，；.(①+②)+3得：x+y=

3

5.(2020秋?開福區月考)好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：(』x+4)(2X+5)(3X-6)

2

的結果是一個多項式，并且最高次項為：-lr-2x-3x=3x3,常數項為：4X5X(-6)=-120,那么一

2

次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數.根據嘗試和總結她發現：一次項系數就

是：,1X5X(-6)+2X4X(-6)+3X4X5=-3,即一次項為-3x.

2

請你認真領會小東同學解決問題的思路、方法，仔細分析上面等式的結構特征，結合自己對多項式乘法

法則的理解，解決以下問題.

(1)計算(x+2)(3尤+1)(5尤-3)所得多項式的一次項系數為.

(2)若計算(/+尤+1)(7-3x+a)(2x-1)所得多項式不含一次項，求a的值.

(3)若(x+1)2021=aox2021+aix2020+a2r2019+,?,+aioiox+a2O21,則(12020=.

【解答】解：(1)由題意得：一次項系數為：1X1X(-3)+2X3X(-3)+2X1X5=-11；

故答案為-11.

(2)?.,不含一次項，，一次項系數為0,即IXaX(-1)+1X(-3)X(-1)+lXaX2=0,

解得a=-3,'.a=-3.

(3)V(x+1)2。21是2021個(x+1)相乘，

???幾個多項式相乘的積的一次項系數為每個多項式中一次項系數與另外的多項式的常數項的積之和

它的展開式的一次項系數為2021個IXIX…X1=1的和，

,HiScFF

，它的展開式的一次項系數為2021.，及020=2021.

故答案為：2021.

6.(2014秋?雨花區校級月考)你能求(x-1)(x"+x98+x97+-+x+l)的值嗎？

遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手.分別計算下列各式的值：

(1)(X-1)(尤+1)=x2-1;

(2)(尤-1)(f+x+l)=/-1；

(3)(x-1)(J?+N+X+I)=x4-1；

由此我們可以得到：

(%-1)(x"+x98+x97+???+x+1)=；

請你利用上面的結論，完成下面兩題的計算：

(1)299+298+297+-+2+1；

(2)(-2)50+(-2)49+(-2)48+-+(-2)+1.

【解答】解：根據題意：(1)(x-1)(x+1)=/-1；

(2)(x-1)(/+x+l)=/-1；

(3)(尤-1)(J+f+x+l)=x4-1,故(x-1)(x"+x98+x97+-+.r+l)=x100-1,故答案為：?00-1；

根據以上分析：

(1)299+298+297+—+2+1=(2-1)(299+298+297+---+2+1)=2100-1；

(2)(-2)50+(-2)49+(-2)48+…(-2)+1=-A(-2-1)[(-2)50+(-2)49+(-2)48+-

3

(-2)+1]=-A(-251-1)=對+1.

33

題型三：與平方差公式、完全平方公式相關的的壓軸題

7.如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.

如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個數都是神秘數.

(1)28是神秘數嗎？為什么？

(2)設兩個連續偶數為泰+2和2左(其中左取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數

嗎？為什么？

(3)①若長方形相鄰兩邊長為兩個連續偶數，試說明其周長一定為神秘數.

②在①的條件下，面積是否為神秘數？為什么？

【解答】解：(1):28=82-62,，28是神秘數;2014不是神秘數，神秘數必須是4的倍數；

(2)兩個連續偶數構造的“神秘數”是4的倍數，(2%+2)2-(2k)2=8%+4=4(2好1),

...神秘數是4的倍數；

(3)①設長方形相鄰兩邊長分別為2〃+2和2”，(〃為正整數)，則其周長為：

2[(2"+2)+2"]=8"+4,(2〃+2)2-(2n)2=8n+4,

.?.此長方形的周長=(2/2)2-(2〃)2,即此長方形的周長等于兩個連續偶數的平方差，

???該長方形的周長一定為神秘數；

②該長方形的面積不為“神秘數”，理由如下：

長方形的面積為：(2〃+2A2〃=4w設兩個連續的偶數為2A+2和泰，“為非負整數)，

假設此長方形的面積為“神秘數”，則4"(n+1)=⑵+2)2-(2k)2,即4〃(w+1)=8阱4,

：.n(?+1)=2k+l,為正整數，(?+1)必為偶數，而2打1為奇數，

：.n(n+1)=2左+1不成立，.?.假設此長方形的面積為“神秘數”不正確，

故該長方形的面積不為“神秘數”.

8.一個正整數根能寫成相=Qa-b)(a+b)(a、6均為正整數，且則稱相為“美滿數”，a、b為

加的一個完美變形，在根的所有完美變形中，若/+院最大，則稱。、6為相的最佳完美變形，此時尸

(加=cr+b2.例如：12=(4+2)(4-2),12為“完美數”，4和2為12的一個完美變形，32=(9+7)

(9-7)=(6+2)(6-2),因為92+72>62+22,所以9和7是32的最佳完美變形，所以F(32)=130.

(1)8(填“是”或“不是”)完美數；

10(填“是”或“不是”)完美數；

13(填“是”或“不是”)完美數；

(2)求尸(48)；

(3)若一個兩位數a的十位數字和個位數字分別為無，y(lWxWyW9),“為“完美數”且x+y能被8

整除，求尸(?)的最小值.

【解答】解：(1)：8=(3-1)X(3+1),...8是完美數；???10不能寫成兩個正整數和與差乘積的形

式，二10不是完美數；..T3=(7-6)X(7+6),??.13是(填“是”或“不是”)完美數.

故答案為：是，不是，是；

(2)a+b,a-b同為奇數或同為偶數，所以48=24X2或48=12X4或48=8X6,

卜+b=24或[a+b=12或卜+b=8,解得：(a=13或(a=8或(a=7,

la-b=2la-b=2la-b=6lb=llIb=4Ib=l

132+112>82+42>72+12/.F(九)=132+112=290

(3)由題可知：n=10x+y=(〃+。)(〃-。).?1x+y能夠被8整除且1

.?.x+y=8或x+y=16

①當x+y=8時，IWxWyW%?,?冗=1或2或3或4,

即〃=17或26或35或44,而26不是“完美數”

(a+b=17a+b=35_pfa+b=7-fa+b=22

la-b=l或Lb=l或ta-b=5或t>la-b=2'

解得：卜=9或卜口8或卜=6或卜=12

lb=8lb=17lb=llb=10

F(17)=92+82=145,F(35)=182+172=613,F(44)=122+102=244

②當x+y=16時，尤WyW9,；.x=7或8,

."=79或88

...1a+b=79或卜+b=44或5+b=22,

Ia-b=lIa-b=2Ia-b=4

解得卜=40或(a=23或(a=13,

lb=39lb=21lb=9

：.F(79)=402+392=3121,F(88)=232+212=970,

；.F(n)的最小值為145.

9.(2018秋?天心區校級期中)【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒

等式.

例如圖1可以得到(a+b)2—a2+2ab+b2,基于此，請解答下列問題：

(1)根據圖2,寫出一個代數恒等式：.

(2)利用(1)中得到的結論，解決下面的問題：若a+6+c=10,ab+ac+bc=35,則/+反+°2=.

(3)小明同學用圖3中x張邊長為。的正方形，y張邊長為6的正方形，z張寬、長分別為a、b的長

方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+26)長方形，貝!Jx+y+z=.

【知識遷移】(4)事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數恒等式，圖4表示的是一個邊

長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據圖4中圖形的變化關系，寫出一

個代數恒等式：

bb

【解答】解：(1)由圖2得：正方形的面積=(〃+/?+c)2；正方形的面積uaZ+oZ+d+Zab+Zac+zA,

(。+0+。)2=6Z2+Z?2+C24-2?/?+2?C+2Z?C,…(2分)

故答案為：(〃+。+。)2=〃2+。2+。2+2〃。+2〃。+2"；

(2)*.*(a+0+c)2=〃2+。2+。2+2而+2〃。+2。。，??"+Z?+c=10,ab+ac+bc=35,

.*.102=6Z2+/?2+C2+2X35,：.a2+b2+c2=100-70=30,

故答案為：30；…(4分)

22222,2

(3)由題意得：(2〃+。)(〃+2。)=xa+yb-^zabf2a+5ab+2b=xa+yb^-zabf

'x=2

<y=2>.??x+y+z=9,

z=5

故答案為：9；…(6分)

(4)I?原幾何體的體積=丁-lXl?x=d-羽新幾何體的體積=(x+1)(x-1)x,

Ax3-x=(x+1)(x-1)x.故答案為：J?-x=(x+1)(x-1)x.…(8分)

題型四：配方法的壓軸題

10.(2020秋?長沙縣校級月考)閱讀下面文字內容并解決問題:

對于形如/+2"+/的二次三項式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x+a)2的形式.但/+4X-5

=(x2+4尤+4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3),對于二次三項式/+4x-5就不能直接用完

全平方公式分解了，對此，我們可以填上一項4,使它與/+4尤構成一個完全平方式、然后再減去4,

這樣整個多項式的值不變，即=(尤+5)(x-1).

像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的方法，叫做配方法.

請用配方法來解下列問題：

(1)用配方法因式分解：?-6x+5；

(2)已知:x2+y2-8x+12y+52—0,求(x+y)的值;

(3)求/+8x+7的最小值.

【解答】解：(1)x2-6X+5—X1-6x+9-9+5=(x-3)2-4—(尤-3+2)(x-3-2)=(x-1)(尤-5).

(2)：/+y2-8x+12y+52=/-8x+16+y2+12y+36=(x-4)2+(y+6)2.

X,.,?+/-8x+12j+52=0,；.(x-4)2+(y+6)2=0,=(x-4)2^0,(y+6)2^0,

(x-4)2=0,(y+6)2=0,解得x=4,y=-6.(x+y)2=(4-6)2=4.

(3)/+8x+7=/+8x+16-16+7=(尤+4)2-9,:(x+4)2^0,；.(x+4)2-9^-9.

，/+8x+7的最小值為-9.

11.配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題.例如：因為九2\0,所以3/+121,

即：3a2+1有最小值1,此時a=0；同樣，因為-3Q+1)2(0,所以-3(a+1)2+6^6,即-3(a+1)

2+6有最大值6,此時。=7.

(1)當工=時，代數式2(x-1)2+3有最(填寫大或小)值為.

(2)當尤=時，代數式-/+4x+3有最(填寫大或小)值為.

(3)矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m,當花園與墻相鄰的邊長為多少時,

花園的面積最大？最大面積是多少？

【解答】解：(1)V(%-1)220,

...當X=1時，(X-1)2的最小值為0,

則當x=l時，代數式-2(尤-1)2+3的最大值為3；

(2)代數式-X2+4X+3--(x2-4x+4)+7--(x-2)2+7,

則當x=2時，代數式-/+4尤+3的最大值為7；

(3)設垂直于墻的一邊為x%,則平行于墻的一邊為(16-2r)m,

花園的面積為x(16-2x)=-2X2+16X=-2(x2-8x+16)+32=-2(x-4)2+32,

則當邊長為4米時，花園面積最大為32加2.

故答案為：1;大；3；2；大；7.

12.(2021秋?天心區校級月考)上數學課時，王老師在講完乘法公式Ca±b)2=/±2必+廿的多種運用

后，要求同學們運用所學知識解答：求代數式/+4尤+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出

如下解答方法：

解：J?+^X+5=X2+4A-+4+1=(x+2)2+1

(x+2)2?o,

/.當x=-2時，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(x+2)2+1^1

...當(x+2)2=0時，(x+2)2+1的值最小，最小值是1,

.,./+4x+5的最小值是1.

請你根據上述方法，解答下列各題

(1)知識再現：當尤=—時，代數式/-6x+12的最小值是一；

(2)知識運用：若y=-x2+2x-3,當天=—時，y有最—值(填“大”或“小”)，這個值是一；

(3)知識拓展：若-d+Bx+y+SnO,求y+元的最小值.

【解答】解：(1)Vx2-6x+12=Q-3)2+3,.?.當x=3時,有最小值3；故答案為3,3.

(2)：＞=-f+2x-3=-(尤-1)2-2,...當尤=1時有最大值-2；故答案為1,大，-2.

(3)：-/+3無+y+5=0,.\x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6,:(x-1)2^0,

(尤-1)2-6N-6,...當x=l時，y+x的最小值為-6.

13.(2021秋?開福區校級期中)閱讀下面材料，在代數式中，我們把一個二次多項式化為一個完全平方式

與一個常數的和的方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數學方法，它不僅可以將一個看似

不能分解的多項式因式分解，還能求代數式最大值，最小值等問題.

例如：求代數式：12元+2020的最小值

解：原式=/-12無+62-62+2020

=(%-6)2+1984

,/(%-6)22o,

.,.當尤=6時，(彳-6)2的值最小，最小值為0,

(%-6)2+198421984,

當(x-6)2=0時，(尤-6)2+1984的值最小，最小值為1984,

，代數式：x2-12x+2020的最小值是1984.

例如:分解因式：x2-120x+3456

解：原式=/-2X60x+602-6()2+3456

=(X-60)2-144

=(x-60)2-122

=(x-60+12)(x-60-12)

=(x-48)(x-72).

(1)分解因式f-46x+520；

(2)若y=-/+2x+1313,求y的最大值；

(3)當初，”為何值時，代數式機2_2〃?+2”2-4W+2030有最小值，并求出這個最小值.

【解答】解：(1)/-46x+520=/-46X+232-9=(%-23)2-9=(%-26)(%-20)；

(2)y=-f+2x+1313=-/+2x-1+1314=-(/-2x+l)+1314=-(x-1)~+1314,

：-(x-1)2<0,-(x-1)2+1314<1314,的最大值1314；

(3)m2-2nm-2m+2rr-4n+2030=m2-2m(n+1)+(〃+l)2+H2-6〃+9+2020

=(m-n-1)2+(n-3)2+2020,當他-〃-1=0,n-3=0時代數式有最小值，

解得m=4,M=3,最小值為2020.

14.(雨花區校級月考)對于形如7+2m+/這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成(x+a)2的形式.但

對于二次三項式^+2xa-3a2,就不能直接運用公式了.此時，我們可以在二次三項式W+2xa-3a2中

先加上一項使它與/+2xa的和成為一個完全平方式，再減去整個式子的值不變，于是有：

/+2xa-3a2—(x1+2xa+a2)-a2-3a2

=(x+a)2-4a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3〃)(x-a)

像這樣，先添一適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配

方法”，利用“配方法”，解決下列問題：

(1)分解因式：a2-6〃+8；

(2)若/-2孫+2/-2y+l=0,求N的值.

【解答】解：(1)/-6。+8=〃2-6〃+9-9+8=(。-3)?-l=(。-2)(〃-4).

2222222

(2)\'x-2xy+2y-2y+l=0f/.x-2xy+y+y-2y+l=0,(x-y)+(y-I)=0,

*.*(x-y)2,2o,(y-1)22o,.,.x-y=o,y-1=0,x=y=l,.\xy=l.

題型五：因式分解的壓軸題

15.閱讀，已知Q+/?=-4,ab=3,求。2+萬2的值。

解:因為已知a+Z?=T,ab=3,

所以。2+〃=5+加2_2帥=(_4)2—2x3=10

請你根據上述解題思路解答下列問題：

(1)己知a—/?=—3,ab——2,求(a+6)(a~—6I)的值；

(2)已知。一。一〃=一10,(?-Z?)+c=-12,求(a-6)2-/的值。

【解答】解：(1)(。+6)(。2—萬2)=(。+人)(。+人)(。—6)=(。+人丁(。一人)；

2

而(a+加2=(。—32+4。人=(_3)+4x(-2)=1,所以原式=1x(—3)=—3；

⑵(a-力2-c2=(a—b+c)(a—b—c)=-12x(-10)=120。

16.先閱讀下列材料，然后回答后面問題：

將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法是分組分解法.能分組分解的多項式通常有

四項或六項，一般的分組分解有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分

法等.

如“2+2”分法：

axay+bx+by={ax+ay)+(bx+by)=a{x+y)+b(x+y)=(%+y)(a+Z?)

如“3+1”分法：

2xy+y2-1+x2=x2+2xy+y2-1=(x+y)2-1=(x+y+l)(x+y-I)

請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：

(1)分解因式：X2-y2-x-y；

(2)分角星因式：45am2-20ax2+20ary-5ay2；

(3)分解因式：4?2+4-a—4a2b—b—4ab+1.

[解答]解：(1)x2-y2-x-y=(x+^)(x-j)-(x+j)=(x+y)(x-^-l)；

(2)45am2-20ax2+20axy-5ay2=45am2-5a(4x2-4xy+j2)=5^[9m2-(lx-y)2]

=5a(3m-2x+y)(3m+2x-y)；

(3)4〃2+4a—402b—b—4ab+1=(4?2+4a+1)—b(4a2+4a+1)=(2a+1)2(1-b).

17.將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分

組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法:

ax+aybx+by

={ax+ay)+(Jbx+by)

=a(x+y)+b(x+y)

=(x+y)(a+b)

請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：

(1)分解因式:X2-y2-x-y；

(2)分解因式：9m2-4x2+4xy-y2；

(3)分解因式：4a2+4a-4a2b2-b2-4^2+1.

【解答］解：(1)x2-y2-x-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-)/)-(%+)；)=(x+y)(x-y-l)；

(2)9m2-4x2+4xy-y2=9m2-(4x2-4xy+y2)=(3m)2-(2x-y)2=(3m+2x-y)(3m-2x+y)；

(3)4a2+4〃-402b2-b2-4ab2+l=(2a+1)2-b\2a+1)2=(2a+1)2(1+b)(l-b).

18.(2019秋?雨花區校級月考)“十字相乘法”能把二次三項式分解因式，對于形如一+公y+4的關于羽

y的二次三項式來說，方法的關鍵是把W項系數〃分解成兩個因數“2的積，即。=〃1?〃2,把F項

系數C分解成兩個因數Cl,C2的積，即C=C1?C2,并使正好等于孫項的系數。，那么可以

直接寫成結果：a^+bxy+cy1=(mx+ciy)(〃zx+t2y).

例：分解因式：x2-2孫-8y2.

解：如圖1,其中1=1X1,-8=(-4)X2,而-2=1X2+1X(-4).

.'.x2-2xy-8y2=(%-4y)(x+2y)

而對于形如小+6孫+c/+dx+ey4/的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如圖2,將〃分解

成機〃乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，，分解成/女乘積作為第三列，如果根夕+秋=4pk+qj

=e,mk+nj=d,即第1,2歹(J、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規則，則原式=(g+〃yt/)(九x+qy+左)；

例：分解因式：x2+2xy-3y2+3x+y+2

解：如圖3,其中1=1X1,-3=(-1)X3,2=1X2；

而2=1X3+1X(-1),1=(-1)X2+3X1,3=1X2+1X1；

7+2孫-3y2+3x+y+2=(x-y+l)(x+3y+2)

請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：

(1)分解因式：

①6--17xy+12y2=__________________

②2?-孫-6/+2x+17y-12=

③/-xy-6y2+2x-6y=

(2)若關于％,y的二元二次式W+7孫-18/-5%+四；-24可以分解成兩個一次因式的積，求加的值.

【解答】解：(1)①6/-17孫+12/=(3x-4y)(2x-3y),

②2/-孫-6/+2x+17y-12=(x-2y+3)(2x+3y-4),

③x2-xy-6y2+2x-6y=(x-3y)(x+2y+2),

故答案為：①(3x-4y)(2x-3y),②(x-2y+3)(2x+3y-4),③(x-3y)(x+2y+2),

(2)如圖，

或根=9X(-8)+3X(-2)=-78.

19.閱讀下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分項數多于3的多項式只單純

用上述方法就無法分解，如V—2孫十丁—16,我們細心觀察這個式子就會發現，前三項符合完全平方公

式，進行變形后可以與第四項結合再運用平方差公式進行分解.過程如下：

x2-2xy+y2-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4),這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種分組

的思想方法解決下列問題：

1.知識運用：

試用“分組分解法”分解因式：x2-/+xz-yz；

2.解決問題：

22

(1)已知a,b,c為AABC的三邊，&b+2ab=c+2ac9試判斷AABC的形狀.

212

(2)已知四個實數a,b,c,d,滿足awb,c豐d,a+ac=12k,b+be=12k,c+ac=24k,

d2+ad=24Z:,同時成立.

①當左=1時，求〃+c的值；

②當左時，用含有。的代數式分別表示b,c,d(直接寫出答案即可).

【解答】解：L知識運用原式=(x+y)(X-y)+2(兀—y)=(x+y+z)(x—y);

2.解決問題

(1)Z?2+2ab=c2+2ac,b2—c2—lab—lac=0,(/?+c)(b—c)+2a(b—c)=0,

(2a+b+c)(b—c)=0,2a+Z?+cwO,c=0,即Z?=c,所以，AABC是等腰二角形；

(2)①當后=1時，?a2+ac=12,:.a(a+c)=12,c2+tzc=24,即c(c+.)=24,

當a+cwO時，貝Uc=2a；把c=2a代入/+ac=12,得々=±2,當a=2時，c=4,貝!Ja+c=6,

當a=-2時，c=T,貝i」a+c=-6,綜上所述：〃+c的值為一6或6；

②當左。0時，a2+ac=12k=b2+be,/.(a+b+c)(a-b)=Q,awb,/.a+人+c=0,

同理由，+〃c=24左二/+加，得Q+c+d=O,已知。2+々。=12左，c2+ac=24k,

當a+c=O,則。=—a,b=09d=0,此時攵=0,不合題意，

當a+cw0,則c=2a