第02講整式［3大考點13大題型】

知識網絡

題型1實際問題中的代數式

題型2求代數式的值

題型3與代數式有關的規律探究

題型4整式的相關概念

題型整式的加減與幕的運算

//^**—，，5，■，，，--一?二...“一，……—,一

%」畫型6整式的乘除）

考點二整式及其運算yi題型7乘法公式的應用；

題型8化簡求值

題型9用圖形面積驗證乘法公式

整式題型10提公因式法因式分解）

題型11直接運用公式法因式分解）

考點三因式分解

題型12提公因式后應用公式法因式分解）

題型13因式分解的實際應用）

新考向：新考法）

新考向：新趨勢）

特色專項練新考向：新情境）

新考向：跨學科）

中考真題練

用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。

2.代數式的值

用數值代替代數式中的字母，按照代數式指明的運算，計算出結果，叫做代數式的值。

典例分析

【題型1實際問題中的代數式】

【例1】（2024中考?湖南長沙?中考真題）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校

園”的讀書活動.現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀

本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（）

A.8久元B.10（100―久）元C.8（100—%）元D.（100—8x）元

【變式1-1］（2024中考?浙江溫州?中考真題）某地居民生活用水收費標準：每月用水量不超過17立方米,

每立方米a元；超過部分每立方米（a+1.2）元.該地區某用戶上月用水量為20立方米，則應繳水費為（）

A.20a元B.（20a+24）元C.（17a+3.6）元D.（20a+3.6）元

【變式1-2］（2024中考?四川雅安?中考真題）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探

究紙杯疊放在一起后的總高度〃與杯子數量〃的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請

選用適當的字母表示H=.

①杯子底部到杯沿底邊的高加②杯口直徑。；③杯底直徑1；④杯沿高a.

【變式1-3］（2024中考?吉林長春?中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同

學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終

點的路程為公里.（用含x的代數式表示）

【題型2求代數式的值】

【例2】（2024中考?廣西?中考真題）如果a+b=3,ab-1,那么+2a2b2+ab3的值為（）

A.0B.1C.4D.9

【變式2-1］（2024中考?四川瀘州?中考真題）已知點A（a,-1）與點8（-4,b）關于原點對稱，則a—b的值

為（）

A.-5B.5C.3D.-3

【變式2-2］（2024中考?四川達州?中考真題）如圖是一個運算程序示意圖，若開始輸入久的值為3,則輸出

y值為_________

【變式2-3］（2024中考?山東濟寧?中考真題）已知a2-26+1=0,則券的值是.

【題型3與代數式有關的規律探究】

【例3】（2024中考?重慶?中考真題）下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定規律組成，其中第（1）個圖

形的面積為2cm2,第（2）個圖形的面積為8cm2,第（3）個圖形的面積為18cm2,……,由第（10）個圖

【變式3-1］（2024中考?山東?中考真題）已知一列均不為1的數的,a2,a3,an滿足如下關系:a2=

詈'，。3=芝黃'。4=芝黃，…，斯+1=三腎，若。1=2,貝胴2023的值是（）

J.U-l-L"2，"3，,-*-71

A.--B.-C.-3D.2

【變式3-2］（2024中考?青海?中考真題）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規律依次擺放，則第九個圖

中共有木料根.

第1個第2個第3個第4個

【變式3-3］（2024中考?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規律擺成的“小屋子”.按

照此規律繼續擺下去，第個“小屋子”中圖形“。”個數是圖形“?”個數的3倍.

O

OOO

CDOOOOOO

0OOOOOOOOOOO……

0OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

00OOOOOOoo

OOOOOOOooooo

⑴

(3)(4)(5)

考點二卜"式及其運胃

知識導航

1.單項式

用數或字母的乘積表示的式子叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單項式。

單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

注意：單項式是由系數、字母、字母的指數構成的，其中系數不能用帶分數表示，如-4-/a,這種表示

3

就是錯誤的，應寫成-1二7/分。一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。如-

3

是6次單項式

2.多項式

幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。多項式

里，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。

單項式與多項式統稱整式。

3.同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

4.合并同類項

把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。

合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連同它的指數不變。

5.整式的運算

⑴整式的加減

幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。

去括號法則：同號得正，異號得負。即括號外的因數的符號決定了括號內的符號是否改變：

如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；

如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。

⑵整式的乘除運算

①同底數塞的乘法：。"""=優"+"。同底數塞相乘，底數不變，指數相加。

②塞的乘方：（/）"=#"。幕的乘方，底數不變，指數相乘。

③積的乘方：（。6）"=屋勿。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘。

④單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數塞分別相乘，對于只在一個

單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

⑤單項式與多項式的乘法：p{a+b+c）=pa+pb+pc?單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每

一項，再把所得的積相加。

⑥多項式與多項式的乘法：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq。多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一

項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

平方差公式：（a+6）（ad尸/_62。兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。這個公式叫

做平方差公式。

完全平方公式：（。+6）2=4+2"+62,（a-b￥=?-2ab+R。兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，

加上（或減去）它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。

⑦同底數塞的除法：同底數幕相除，底數不變，指數相減。

任何不等于0的數的0次幕都等于lo

⑧單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數與同底數哥分別相除作為商的因式，對于只在被除式

里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

⑨多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商

相加。

典例分析

【題型4整式的相關概念】

【例4】（2024中考?山東泰安?中考真題）單項式-3ab2的次數是.

【變式4-1］（2024中考?上海?中考真題）計算：（4/）3=.

【變式4-2］（2024中考?湖北荊州?中考真題）下列代數式中，整式為（）

A.x+1B.--C.V%24-1D.--

x+lX

【變式4-3］（2024中考?重慶?中考真題）已知整式M:a九廿+a九_1/-1+…+Qi%+Qo，其中幾,冊劭為

自然數，a九為正整數，且九+a九+冊_1+…+%+的=5.下列說法:

①滿足條件的整式M中有5個單項式；

②不存在任何一個小使得滿足條件的整式M有且只有3個;

③滿足條件的整式M共有16個.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【題型5整式的加減與募的運算】

【例5】（2024中考?四川資陽?中考真題）下列計算正確的是（）

A.2a+36=5abB.（a+b）（a—b）=a2—b2

C.2a2-3b=6abD.（a3）2=a5

【變式5-1］（2024中考?廣東廣州?中考真題）若aWO,則下列運算正確的是（）

aCLCLQOu

A.2"*"3=5B.a?（!=a

C.---=-D.a3-i-a2=1

CLcia

【變式5-2］（2024中考?吉林?中考真題）下列各式運算結果為a5的是（）

A.a2+a3B.a2-a3C.（a2）3D.a104-a2

【變式5-3］（2024中考?山東日照?中考真題）下列計算正確的是（）

A.（2a2）3-6a6B.a3—a2=aC.a3-a4=a12D.a4d3—a

【題型6整式的乘除】

【例6】（2024中考?甘肅蘭州?中考真題）計算：2a（a—1）—2a2=（）

A.aB.—aC.2aD.-2a

【變式6-1］（2024中考?山東青島?中考真題）若（x+4）（x—2）=%2+px+q,則人4的值是（）

A.2,-8B.-2,-8C.-2,8D.2,8

【變式6-2］（2024?河北?模擬預測）如圖1是一個長為加，寬為〃的矩形（機＞n）.用7張圖1中的小矩

形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長是寬的|.

m

圖1圖2

(1)求m與n的關系；

(2)若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

【變式6-3](2022,江蘇無錫一模)已知計算(5—3x+mx2—6x3)?(―2x2)—x(—3x3+nx—1)的結果中不含

—和久2的項，求加，〃的值.

【題型7乘法公式的應用】

【例7】(2024中考?內蒙古赤峰?中考真題)已知2a2—a—3=0,則(2a+3)(2a—3)+(2a—1尸的值是

()

A.6B.-5C.-3D.4

【變式7-1](2024中考?四川涼山?中考真題)己知y2-ay+i是完全平方式，則m的值是.

【變式7-2](2024中考?湖南益陽?中考真題)己知加，"同時滿足2加+〃=3與2加-〃=1,則4/-/的值

是—.

【變式7-3](2024中考?山東聊城?中考真題)如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣.從

3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；

(31,37)…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律.請寫出

第〃個數對：.

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【題型8化簡求值】

【例8】(2024中考?吉林?中考真題)某同學化簡a(a+2b)-(a+b)(a-b)出現了錯誤，解答過程如下:

原式=a?+2ab-(a2-b2)(第一步)

=a2+2ab-a2-b2(第二步)

=2ab-b2(第三步)

(1)該同學解答過程從第幾步開始出錯，錯誤原因是什么；

(2)寫出此題正確的解答過程.

【變式8-1](2024中考?湖南長沙?中考真題)先化簡，再求值：+(m+3)(m-3),其中

5

m

【變式8-2](2024中考?北京?中考真題)已知%2-4%-1=0,求代數式(2%-3)2-(％+y)(x-y)-y2的值.

【變式8-3](2024中考?湖北隨州?中考真題)先化簡，再求值：(2+。)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3-^

i

(-a2b)2,其中ab=~~.

【題型9用圖形面積驗證乘法公式】

【例9】(2024中考?湖北隨州?中考真題)《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學

發展史的一個里程碑.在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利

用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中.

(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，(下

面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號)

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+fo)(c+d)=ac+ad+be+bd

公式③：(a—b)2=a2—2ab+b2

公式④：Ca+b)2=a2+2ab+b2

圖1對應公式,圖2對應公式,圖3對應公式,圖4對應公式:

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式9+匕)9-匕)=。2-》2的方法，如圖5,請寫出

證明過程；(已知圖中各四邊形均為矩形)

圖5

（3）如圖6,在等腰直角三角形ABC中，^BAC=90°,。為8C的中點，E為邊/C上任意一點（不與端點重

合），過點E作EG1BC于點G,作點8過點2作AF7//C交EG的延長線于點足記△AFG與

△CEG的面積之和為Si，AABD與的面積之和為S2.

①若E為邊ZC的中點，則的值為；

②若￡不為邊/C的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理

由.

【變式9-1］（2024中考?浙江衢州?中考真題）有一張邊長為a厘米的正方形桌面，因為實際需要，需將正

方形邊長增加b厘米，木工師傅設計了如圖所示的三種方案:

方案一

小明發現這三種方案都能驗證公式：a2+2ab+b2=（a+b）2,對于方案一，小明是這樣驗證的:

a2+ab+ab+b2=a2+1ab+b2=(a+6)2

請你根據方案二、方案三，寫出公式的驗證過程.

方案二：

方案三：

【變式9-2］（2024中考?浙江金華?中考真題）如圖1,從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小

正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形.

圖1圖2

（1）設圖1中陰影部分面積為Si，圖2中陰影部分面積為S2,請直接用含a,b的代數式表示Si和S2；

（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式.

【變式9-3］（2024中考?江蘇常州?中考真題）【閱讀】：數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數、

三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系，我們把這一思想稱為“算兩次”.“算兩次”

也稱做富比尼原理，是一種重要的數學思想.

【理解】：（1）如圖，兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一

個梯形.用兩種不同的方法計算梯形的面積，并寫出你發現的結論;

（2）如圖2,n行n列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數，可得等式：聲=

???

【運用】：（3）邊形有n個頂點，在它的內部再畫小個點，以（m+n）個點為頂點，把n邊形剪成若干個

三角形，設最多可以剪得y個這樣的三角形.當n=3,機=3時，如圖，最多可以剪得7個這樣的三角形,

所以y=7.

y=；當n=5,m=時,y—9；

②對于一般的情形，在n邊形內畫小個點，通過歸納猜想，可得y=(用含小、踐的代數式表示).請

對同一個量用算兩次的方法說明你的猜想成立.

1.因式分解的定義

把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這

個多項式分解因式。

以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

11222222

②公式法：a-b=(a+b)(a-b)；a+2ab+b=(a+b)；a-2ab+b=(a-b)o

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq={a+p)(。+1)

2.因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式

法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解

法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解

典例分析

【題型10提公因式法因式分解】

【例10】(2024中考?江蘇徐州?中考真題)若nm=2,m-n-1,則代數式m2n一小層的值是.

【變式10-1](2024中考?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)分解因式：a+2ab+ab2^.

【變式10-2](2024中考?湖北黃石?中考真題)因式分解：x(y-l)+4(l-y)=.

【變式10-3】(2024中考?青海西寧?中考真題)長和寬分別為a,b的矩形的周長為14,面積為10,貝必2。+a

/的值為.

【題型11直接運用公式法因式分解】

【例11】(2024中考?四川眉山?中考真題)已知a2+#=2a—b—2,貝|3a-3的值為()

A.4B.2C.-2D.-4

【變式11-1](2024中考?山東威海?中考真題)因式分解：(%+2)(%+4)+1=.

【變式11-2】(2024中考?四川自貢?中考真題)把x2—y2—2y—1分解因式結果正確的是().

A.(x+y+1)(x—y—1)B.(x+y—1)(x—y—1)

C.(x+y—1)(x+y+1)D.(x—y+1)(x+y+1)

【變式11-3】(2024中考?山東淄博?中考真題)若多項式4/—?1肛+9y2能用完全平方公式因式分解，則小

的值是.

【題型12提公因式后應用公式法因式分解】

【例12】(2024中考?四川綿陽?中考真題)把代數式m%2_，6nix+9m分解因式，下列結果中正確的是()

A.m(x+3)2B.m(x+3)(x—3)

C.m(x—4)2D.m(x—3)2

【變式12-1】(2024中考?江西南昌?中考真題)分解因式：2a2-4a+2=—.

【變式12-2](2024中考?湖南?中考真題)閱讀理解：對于/-(序+1)這類特殊的代數式可以按下面

的方法分解因式：

x3-(n2+l)x+n—x3-n2x-x+n—x(x2-n2)-(x-n)—x(x-n)(x+〃)-(x-〃)=(x-〃)

Cx2+nx-1).

理解運用：如果V-(?2+1)x+n=0,那么(x-/?)Cx2+nx-1)=0,即有x-〃=0或爐+vx-1=0,

因此，方程x-"=0和-1=0的所有解就是方程3-(序+])x+"=0的解.

解決問題：求方程x5-5x+2=0的解為.

【變式12-3](2024中考?廣西百色?中考真題)閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2*2一久一3的方法.

(1)二次項系數2=1X2；

(2)常數項—3=—1x3=lx(—3)驗算：“交叉相乘之和”；

①②③④lx3+2x(-1)=1；1x(-1)+2x3=5；

1x(-3)+2xl=-l；1x1+2x(-3)=-5

（3）發現第③個“交叉相乘之和”的結果1x（—3）+2xl=-l,等于一次項系數個,即（久+1）（2久-3）=2/

一3久+2久-3=2/一久—3,貝1]2%2-久-3=（久+l）（2x-3）.像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解

因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3"+5*-12=.

【題型13因式分解的實際應用】

【例13】（2024?四川成都?模擬預測）定義：若4?i3_3n—25正整數，且0<n<500）等于兩個連續正奇

數的乘積，則稱〃為“彗星數”.貝『'彗星數"〃的最小值為，最大值為.

【變式13-1]（2024中考?陜西?中考真題）小穎說：“對于任意自然數〃,（〃+7）2-（小5）2都能被24整除.”你同

意他的說法嗎？理由是什么？

【變式13-2】（2024中考?浙江杭州?中考真題）閱讀下列題目的解題過程：

已知a、b、c為△A8C的三邊，且滿足a2c2-6"=〃_〃，試判斷八42。的形狀.

解：：a2c2-匕2c2=/-〃（A）

那（a?-52）=（a2+Z?2）（a2-b2'）（B）

.'.c2=a2+b2（C）

.■.AABC是直角三角形

問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號：；

（2）錯誤的原因為：；

（3）本題正確的結論為：.

【變式13-3]（2024?河北?模擬預測）有一列數：4,12,20,....這些正整數都能表示為兩個連續偶數的

平方差，我們把這樣的正整數稱為“好數”.如：

第1個數：4=22-02.

第2個數：12=42—22.

第3個數：20=62—42.

（1）設兩個連續偶數為2k和2k-2（其中左取大于1的整數），由這兩個連續偶數構造的“好數”是4的倍數

嗎？請通過計算加以說明？

（2）2024是“好數”嗎？請通過計算判斷，如果是，它是第幾個“好數”；如果不是，寫出小于它的最大“好數”.

特色專項練

【新考向：新考法】

1.（2024中考?河北?中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒.

（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出。個黑子放入乙盒，使乙盒

棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a=；

（2）設甲盒中都是黑子，共爪（爪>2）個，乙盒中都是白子，共2加個，嘉嘉從甲盒拿出a（l<a<m）個黑

子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數比甲盒所剩棋子數多個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回0個棋子放到

甲盒，其中含有穴0（萬<a）個白子，此時乙盒中有y個黑子，貝吟的值為.

a個

2.（2024中考?浙江杭州?中考真題）若整式/+小產（爪為常數，且640）能在有理數范圍內分解因式，

則機的值可以是（寫一個即可）.

3.（2024?重慶?模擬預測）一個四位自然數如果M滿足各數位上的數字均不為0,它的百位上的數字

比千位上的數字大1,個位上的數字比十位上的數字大1,則稱“為“珊瑚數”.對于一個“珊瑚數”同時

將〃的個位數字交換到十位、十位數字交換到百位、百位數字交換到個位，得到一個新的四位數N.稱N

為“明佳數”，規定：F（M）=要如果〃是最大“珊瑚數”，則F（M）是，對于任意四位自然數

abed=1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整數且lWaW9,0<b>c、d<9）,規定：

G（abcd）-exd-axb.已知尸、。是“珊瑚數”，其中尸的千位數字為加（加是整數且13mW7）,十位

數字為8；。的百位數字為5,十位數字為s（s是整數且3WsW8）,且s>m.若G（P）+G（Q）能被13整

除，則尸伊）的最小值是.

【新考向：新趨勢】

1.（2024中考?四川德陽?中考真題）在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智

取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，

使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為〃?.王小明抽取到的題目如圖所

示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則爪=

2.（2024中考?河北?中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數

乘法和簡單的加法運算.淇淇受其啟發，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運算結果為

3036.圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖2中現有數據進行推

036

圖1圖2

A.“20”左邊的數是16B.“20”右邊的“口”表示5

C.運算結果小于6000D.運算結果可以表示為4100a+1025

3.（2024中考?湖北武漢?中考真題）幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方

九宮格.將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，例

如圖（1）就是一個幻方.圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（）

492X620

35722y

816

(1)(2)

A.9B.10C.11D.12

【新考向：新情境】

1.（2024中考?貴州安順?中考真題）給出三個整式a2,爐和2ab.

⑴當a=3,b=4時,求a?+爐+2就的值;

(2)在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進行加法或減法運算，使所得的多項式能夠因式分解.請寫出你

所選的式子及因式分解的過程.

2.(2024中考?湖北宜昌?中考真題)小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：

a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a?-b?分別對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現將(x?-y2)

a2-(x2-y2)b?因式分解，結果呈現的密碼信息可能是()

A.我愛美B.宜昌游C.愛我宜昌D.美我宜昌

3.(2024七年級上?江蘇泰州?一模)天平在初中物理學科中是用來測物體質量的一種重要工具，是根據杠

桿平衡原理制成的.在數學學科中我們定義：若a—b=0,則稱。與6互為“天平數”，若3必-5與-*+4互

為"天平數”，則代數式97+3%-7=.

4.(2024中考?安徽?中考真題)數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為爐-產(工,丫均

為自然數)”的問題.

(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下5為正整數)：

N奇數4的倍數

1=12-024=22-02

3=22—128=32—12

5=32—2212=42-22

表示結果

7=42—3216=52-32

9=52—4220=62-42

2n—l=n2—4n=

一般結論

（九—1）2

按上表規律，完成下列問題:

(i)24=()2_()2.

(ii)4n=；

(2)興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數)的正整數N不能表示為好一步(久，y

均為自然數).師生一起研討，分析過程如下：

假設4n一2=——7，其中％,y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若x,y均為偶數，設x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數，

22

則久2-y2=(2fc)-(2m)=4(/一7n2)為4的倍數.

而4幾-2不是4的倍數，矛盾.故％,y不可能均為偶數.

②若久，y均為奇數，設x=2k+l,y=2m+1,其中k,ni均為自然

數，

則y2—Qk+1)2—(2m+l)2=為4的倍數.

而4九-2不是4的倍數，矛盾.故x,y不可能均為奇數.

③若x,y一個是奇數一個是偶數，則y2為奇數.

而4幾-2是偶數，矛盾.故凡y不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

5.(2024中考?青海西寧?中考真題)八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

將2a-3a6-4+66因式分解.

【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2a-3ab)—(4-6b)=曲2-36)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-(3a/)-6fa)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-36)

【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式

法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組分解法在代數式的化簡、求值及方

程、函數等學習中起著重要的作用.(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)

【類比】

⑴請用分組分解法將久2-a?+久+a因式分解；

【挑戰】

(2)請用分組分解法將ax+a2-2ab-bx+廿因式分解；

【應用】

(3)“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理.如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直

角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形.若直角三角形的兩條直角邊長分別是。和b(a>6),

斜邊長是3,小正方形的面積是1.根據以上信息，先將。4—2a3b+2a2廿一2a/因式分解，再求值.

1.（2024中考?廣東廣州?中考真題）如圖，把Ri，R2,R3三個電阻串聯起來，線路力B上的電流為/,電壓

為U,則［/=/%+//?2+笈3.當Ri=20.3,/?2=31.9,/?3=47.8,/=2.2時，U的值為.

/1IB

Ri&Rs

中考真題練1

I.（2024中考?山西?中考真題）下列各式中，運算結果為6m4的是（）

A.3m+3m3B.（-3m2）2C.12m52mD.—2m3-3m

2.（2024中考?河北?中考真題）若a,6是正整數，且滿足2a+2。j■…+,=法x211專則a與b