專題06閱讀材料題(雙空題精選36道)

1.對于一個各位數字都不為零的四位正整數N,若千位數字比十位數字大3,百位數字是個位數字的3倍,

那么稱這個數N為"三生有幸數”，例如：N=5321,5=2+3,3=1x3,5321是個“三生有幸數”；又如

N=8642,?；8H4+3,8642不是一個"三生有幸數則最小的“三生有幸數”是.若將N的千位數字

與個位數字互換，百位數字與十位數字互換，得到一個新的四位數，那么稱這個新的數為數N的"反序數”,

記作N',例如：N=5321,其"反序數"N'=1235.若一個"三生有幸數"N的十位數字為X,個位數字為y,

設P(N)=N~Nj18x,若P(N)除以6余數是1,則所有滿足題意的四位正整數N的最大值與最小值的差是_____.

ol

【答案】43113331

【分析】本題考查了不等式組，整式的混合運算等知識，理解"三生有幸數"定義是解題的關鍵.

依據"三生有幸數"定義，要想它最小，每位數字都取到最小，即可得到答案；根據題意，算出N和N',得

到P(N)=ll%-9y+37,利用P(N)除以6余數是1,得到llx-9y是6的倍數，且x、y為正整數，求出X、

夕的取值范圍，確定N的最大值與最小值，即可得到答案.

【詳解】解：由題意，首先"三生有幸數”是一個各位數字都不為零的四位正整數，千位數字比十位數字大

3,百位數字是個位數字的3倍，要想它最小，每位數字都取到最小，則十位數字應該取1,則千位數字應

該取4,,個位數字也取1,百位數字取3,

最小的"三生有幸數"是4311,

由題意，“三生有幸數"N的十位數字為無，則個位數字為y,則

N=1000(%+3)+300y+10%+y=1010%+301y+3000,

則N'=1000y+100%+3Oy+(x+3)=101%+1030y+3,

891x-729y+2997

N-N'—18x=11%—9y+37,

???P(N)=-81-81

???P(N)除以6余數是1,〃為正整數,

.,.llx—9y+37=6"+1,

則11%—9y=6n—36,

??.11久-9y是6的倍數，且x、y為正整數,

(l<x<9

乂1<%+3<9'

1<3y<9

?<?1<%<6,1<y<3,

.,.x=3,y=3或％=6,y=2,

當x=6,y=2時，N的最大值為9662,

當刀=3)=1時，N的最小值為6331,

:.N的最大值與最小值的差是9662-6331=3331,

故答案為：4311；3331.

2.如果一個四位自然數4其數位上的數字均不為零，滿足千位與十位之和為9,百位數字與個位數字之和

為6.則稱力為"靜心養德數”，交換千位數字與十位數字，交換百位和個位數字得到新的四位數4,則PQ4)=

蓊，4的千位數字與百位數字之差記為QQ4)；又尸(力)=貌.若硒I是"靜心養德數"，則a+6=；

若FQ4)能被3整除，則滿足條件的力的最大值與最小值的差是.

【答案】117128

【分析】本題考查了整式中的新定義問題，涉及整式和分式的混合運算.根據"靜心養德數"的定義可得：

a+l=6,3+6=9,即可求得a+b；設4的千位數字為m,百位數字為九，根據"靜心養德數”的定義可得:

力=990m+99n+85,4=—990m—99n+8500,根據尸(4)能被3整除，進而分類討論，即可求解.

【詳解】解：根據"靜心養德數”的定義可得：a+l=6,3+b=9,

???a=5,b=6,

???a+b=5+6=11；

設4的千位數字為小，百位數字為n,則十位數字為9-個位數字為6-71,

：.A=1000m+100n+10(9—m)+6—n=990m+99n+96,

A'—1000(9—m)+100(6—n)+10m+幾=—990m—99n+9600,

Q⑷=7nf,

???4-4=(990m+99n+96)-(-990m-99n+9600)=99(20m+2幾-96)，

???尸(4)—=20m+2n—96,

lPQ4)20m+2n-96

”(4)=麗=xn，

,?,千位數字為TH,百位數字為71,則十位數字為9-僧，個位數字為6-幾，F(/)能被3整除，

.,.20m+2n-96=3fc(m-n),k為整數

.,.1<m<8,0<n<5,

mnP(4)Q(力F(4)

10-761-76

11-740不存在

12-72-172是3的倍數

13-70-235

68

14-68-3

T

33

15—69一4

20-562-28

21-541-54是3的倍數

22-520不存在

23-50-150

24-48-224是3的倍數

46

25一46-3

一'3"

......

806488

66

81667

T

34

82686

T

8370514

8472418是3的倍數

74

85743

???力的最大值為：8412；最小值為1284

滿足條件的力的最大值與最小值的差是8412-1284=7128

故答案為：7128.

3.任意一個四位正整數m=abed,如果它的各個數位上的數字均不為零，千位與十位上的數字之和是10,

百位與個位上的數字之和是9,則這個數稱為"十拿九穩數將加的千位與十位對調、百位與個位對調后的

四位數記為加，其中尸(小)=喑，貝葉(3871)=;若〃1(陶+4口+106+1為整數，則滿足條件的"十

拿九穩數"小的最大值為.

【答案】-339316

【分析】本題考查了新定義下的實數運算，利用二次根式的性質進行化簡.理解題意，熟練掌握利用二次

根式的性質進行化簡是解題的關鍵.

由題意知，a+c=10,b+d=9,加=edab,貝！Jc=10-a,d=9-b,當TH=3871時，m=7138,則F(3871)

opyi_71oo

=---....,計算求解即可；由題意知，m=1000a+100/?+10c+d,m=1000c+lOOd+10a+b,貝lj

l1000ci+100b+10c+d-(1000c+100d+10tt+Z?)oMo7-八小LA>-I?-iyc

F(m)=------------------------------------------------=20a+26-109,F(m)+4a+10b+1=12(2a+b—9)，

VF(m)+4a+10b+1=2,3(2a+b—9)，由JF(zn)+4a+10b+1為整數，可矢口

2a+b-9=3,2a+b-9=12,由題意知，當a值最大時，m的值最大，然后求出兩種情況的最大值，最后

比較大小即可.

【詳解】解：由題意知，a+c=10,b+d=9,m=edab,

???c=10-a,d=9—b,

當zn=3871時，加=7138,

「3871-7138

?*(3871)=—而一-33,

由題意知，m=1000(1+100b+10c+d,m'=1000c+lOOd+10a+b,

「lOOOa+lOOb+lOc+d—(lOOOc+lOOd+lOcz+b)990a+99b—990c—99d3八7,仁八?,八八

=------------------------------------------------=---------------------=10a+b-10c-d=20a+26-109,

+4a+10b+1=20a+2b—109+4a+10b+1=24a+12b—108=12(2a+b—9)，

???VF(m)+4a+10b+1=J12(2a+6-9)=213(2a+6-9)，

:〃(m)+4a+10b+1為整數，

.,.2a+b—9=3或2a+b-9=12,

由題意知，當a值最大時，m的值最大，

當2a+b—9=3時，最大的。值為5,此時b=2,6的最大值為5257；

當2a+b-9=12時，最大的a值為9,此時b=3,m的最大值為9316；

?■?5257<9316,

.,?滿足條件的"十拿九穩數的最大值為9316,

故答案為：—33,9316.

4.若一個四位數N,前兩位數字之和為8,后兩位數字之和為5,且各位數字均不為0,則稱N為"同城

數".把四位數N的前兩位數字和后兩位數字整體交換得到新的四位數N'.規定

F(N)=*.例如：N=3523,「3+5=8,2+3=5,；.3523是“同城數"，則"3523)=當筍箜

=12.若"同城數"M=2641,則F(M)=；已知T=血3是"同城數”(a,b,c,d均為正整數)，若*弋。+4c

是整數，則滿足條件的T的最大值是.

【答案】T52632

【分析】本題考查了新定義下實數的運算、二元一次方程等相關內容，關鍵在于理解同城數的定義，正確

列式計算.根據題意直接計算F(M),即可求解；根據同城數的定義，a+b=8,c+d=5,由題意可得

苧+喈=(a-c)+必等是整數，即可求解出滿足條件的所有T的值.

OOO

【詳解】解：根據題意，F(M)=生與產=—15；

因為丁=濟次是同城數，所以a+b=8,c+d=5,

F(T)+a+4c

8

abcd—cdaba+4c

=-----------------1----------

8x998

1a+4c

100/?10c

=8x99+++d)-(1000c+lOOd+10a+6)]+8

由6Tm/i,日F(T')+a+4cF(T'),a+4cl.，a+4c9a—9c+3,,2a+3c+3

整理化間得，—=zMM一,

ooo=ro(10a+b-10c-d)+—o---―-o-=(a—c)+--o

所以，2a+3c+3是8的倍數；

a+fo=8,c+d=5,

???a<8,b<8,c<5,d<5,

那么a、c可能的取值為a=1,c=1；或a=2,c=3；

???當。最大時，T取最大值，

a=2,c=3時，T取最大值，此時b=6,d=2,

???滿足條件的T的最大值是2632.

故答案為：—15；2632.

5.對于一個各個數位上的數字不相等且均不為零的四位自然數根=抽出，且滿足a+6+c=d2,則稱這個

數為"前和幕數"，如：爪=5924,因為5+9+2=42,所以5924是"前和暴數若彷方是“前和幕數”，則

這個數是;若四位數N是"前和幕數"，將"前和幕數"的千位數字與百位數字對調，十位數字與個位

數字對調，得到新數3,若力+B能被33整除，則滿足條件的/的最大值和最小值的差是.

【答案】36744950

【分析】本題考查了新定義下的實數運算，一元一次方程的應用，因式分解的應用.理解新定義，正確推

理計算是解題關鍵.

根據"前和塞數"的定義求解即可；設這個四位數4=赤3,則2=而而，再結合"前和幕數"的定義，得出

4+8=1089(。+6)+11(1+砌，再由4+8能被33整除可知小是整數，得到滿足條件的d的值為3,進

而得出滿足條件的等式，即可得到/的最大值與最小值，即可解答.

【詳解】解：,??希河是"前和嘉數"，

...3+b+7=42,

.,.b=6,

???這個數是3674；

設這個四位數4=abed,則B=badc,

4+8=1000。+100b+10c+d+10006+100a+lOd+c

=1100a+11006+lie+lid

=(1089a+10896)+(11a+11b+lie+lid)

—1089(。+b)+H(a+6+c+d)，

???四位數/是"前和基數"，

a+b+c-d2,

2

■-A+B=1089(a+b)+ll(d+d)，

A+B能被33整除，

???飛；+幻=等是整數,且。中67?不乙l<a<9,l<b<9,l<c<9,l<d<9

二滿足條件的d的值為3,

???Q+力+c=儲=9,

滿足條件的等式為1+2+6=9,

滿足條件的/的最大值是6213,最小值為1263,

它們的差為6213-1263=4950.

故答案為：3674；4950.

6.對于任意一個四位數"，若它的千位數字與個位數字均不為0,且滿足千位與百位上的數字之差等于個

位與十位上的數字之差，則稱〃為“對稱等差數"，將這個"對稱等差數"反序排列(即個位與千位對調，十位

與百位對調)得到一個新的四位數小，記。0)=詈，則0(1232)=,若X,y都為"對稱等差數"，記

x的千位數字與個位數字分別為夕q,且x的千位與十位上的數字之和為8；y的千位數字與個位數字分別

為s,t.當。(久)能被8整除時，有D(x)+D(y)=3s+4t+st-46成立，則滿足條件的。(y)的最小值為.

【答案】一1一4

【分析】本題考查列代數式，分式的性質.理解"對稱等差數"的定義，正確表示出x,y是解題的關鍵.

根據"對稱等差數"的定義即可直接求出。(1232).根據題意求出x的十位數字和百位數字，進而求得D(x)

=p-q,根據。(久)能被8整除，得至ljp-q=±8或0,當p-q=±8時均不合題意，舍去；而當p-q=0時，

D(x)=。，設y的十位數字為。，則百位數字為s-t+a,進而得到D(y)=s-t,根據

尤)+D(y)=3s+4t+st—46得至!Js—t=3s+4t+st-46,因此s=^^—5,根據s,t的取值范圍可得｛；_g

或或g,進而￡>(y)=s—1=7,—2,-4,即可得到。(y)的最小值為一4.

【詳解】解：當幾=1232時，m=2321,

,、1232-2321

.??0(1232)=-—=-1

???x的千位數字與個位數字分別為p,q,且x的千位與十位上的數字之和為8,

?■?X的十位數字為8-p,

???x是"對稱等差數"，滿足千位與百位上的數字之差等于個位與十位上的數字之差,

?1-X的百位數字為p-[q-(8—p)]=8-q,

??X=1000p+100(8—q)+10(8—p)+q，

[1000p+100(8-q)+10(8-p)+q]-[1000Q+100(8-p)+10(8-q)+p]1089(p-q)

?.?%=----------------本------------------=3-

=p-q，

???D(%)能被8整除，

?,.p-q=±8或0,

①當p-q=-8時，p=1,(?=9,不合題意，舍去;

②當p—q=8時，p=9,q=l,不合題意，舍去；

③當p-q=O時，p=q,D(x)=O,

的千位數字與個位數字分別為s,3設其十位數字為a,

則百位數字為s-t+a,

**.y=1000s+100(s—t+CL)+10a+t,

[1000s+100(s-t+a)+10a4-t]-[1000t+100a+10(s-t+a)+s]1089(s-t)

?,?%)=--------------------------------------------------------=^^=ST,

vD(x)+D(y)=3s+4t+st—46,

:.s—t—3s+4t+st—46,

：.2s++st=46,

46-5t56-5(t+2)56-

???s=H=2+t=而一5

???s,/均為整數，且1WSW9,1<t<9,

ft=2=5=6

Us=9或ts=3或ts=2，

=s—t=7,—2,—4,

??.D(y)的最小值為-4.

故答案為：-1;-4

7.一個四位數M,若干位數字與十位數字之和為11,百位數字與個位數字之和也為11,則稱M為"雙11

數".將M的千位數字和十位數字交換，百位數字和個位數字交換，得到M的逆序數并記K(M)=

筌.若M是最大的"雙11數"，則K(M)=;若M是"雙11數”且華衛是完全平方數，則滿足條

件的M的最大值為.

【答案】777744

【分析】本題考查利用新定義解題，根據"雙11數"定義得到最大的"雙11數"千位數字和百位數字都為9,

十位數字和個位數字都為2；設M的千位數字和百位數字分別為a,b,根據"雙11數"定義求解即可.

【詳解】解：是最大的“雙11數"，"雙11數"的千位數字與十位數字之和為11,百位數字與個位數字之

和也為11,

???最大的"雙11數"千位數字和百位數字都為9,十位數字和個位數字都為2,

9922-2299

-99-=77;

設M的千位數字和百位數字分別為a,b,

是"雙11數”，

??.M的十位數字和個位數字分別為ll-a,11-b,

.-.M=1000a+100b+10(n-a)+U-b=990a+99b+121,

??.M的逆序數M'=1000(n-a)+100(n-b)+10a+b=-990a—99b+12100,

=嗟==990a+99b+121-f99b+12100)=-2],

.K(M)+111_20a+2b-121+lll_20a+2b-10_2a+2b-l

■■9-9—9—'a-1H9'

???竺坦是完全平方數，

.??2a+26—1是9的倍數，

由題意得，lWaW9,l<ll-a<9,l<b<9,1<11-/?<9,

/.2<a<9,2<6<9,

.,.7<2a+26—1<35,

.??2a+26—1最大值為27,整理得a+6=14,"竽義=2a—1+等=2a+2為完全平方數，

?.?在6<2a+2<20范圍內的最大完全平方數為16,

■,-2a+2=16,解得a=7,

此時b=7,M=7744為最大值；

故答案為：77,7744.

8.若一個四位自然數的千位數字比百位數字大3,十位數字比個位數字大2,則稱這個四位數為"奮斗數”;

若千位數字比百位數字大2,十位數字比個位數字大5,則稱這個四位數為"前進數".例如：5286是“奮斗

數"；3194是"前進數”.則最小的"奮斗數"是；若P、Q分別是“奮斗數"、"前進數"，且它們的個位數字

均為1，P、Q各數位上的數字之和分別記為G（p）和G（Q）,若就怒能被11整除，則怒的最大值為.

【答案】3020得

【分析】本題考查了新定義下的實數運算.理解"奮斗數"，"前進數"的定義，正確的表示數和式子是解題的

關鍵.

由題意知，最小的"奮斗數"千位數字要最小，百位和個位最小為0,然后求解即可；設P、Q百位數字分別為

Q、b,則P=1000（。+3）+100。+30+1、Q=1000（/）+2）+100h+60+1,G（p）

=a+3+a+3+l=2a+7,G（Q）=b+2+b+6+l=2b+9,進而可得G（p）-G（Q）=2（q-b—1）,

P-Q-420=ll[100（a-h-l）+150].G（P）-G（Q）=------2（ii）-----,麗=訴，由G（P）-G（Q）耳匕被,整除，

可知=5。+小彳是整數,即^^是整數，貝必-6-1=±1或a-b-l=±3或a-b-l=±5,

”°z^哈a—7D—/L5)°a—b—1a—b—1

當。一6-1=一1時，a=b,且b的取值為小于10的自然數，由黑^=|^=卷^=1一引言，可知當b=9時,

tr(Q)ZD4-yZo+9ZD+9

彩的值最大，為募；同理，計算其他情況下的最大值，最后比較大小確定較大值即可.

【詳解】解：由題意知，最小的"奮斗數"千位數字要最小，

???"奮斗數"的千位數字比百位數字大3,十位數字比個位數字大2,百位和個位最小為0,

千位最小為3,十位最小為2,

???最小的"奮斗數”為3020；

設P、Q百位數字分另IJ為a、b,貝產=1000(a+3)+100a+30+1,Q=1000(6+2)+100/?+60+1,G(p)

=a+3+a+3+l=2a+7,G(Q)=b+2+b+6+l=2b+9,

???G(p)—G(Q)=2a+7—(2b+9)=2(Q—b—1),

???尸一Q—42。=1000(a+3)+100。+30+1—1000(/)+2)—1006—60—1—420=ll[100(a—Z?—1)+150]>

P-Q-420ll[100(a-b-l)+150]G(P)2a+7

?'G(P)—G(Q)=2(a-b-l)'G(Q)=2d+9，

???就懸能被11整除，

100U(a-b)-l)+150=-50+曰是整數，即鼻是整數,

.,.a-b—1=±1,a—b-1=±3或a—b—1=±5,

當a-b—l=-l時，a=b,且b的取值為小于10的自然數,

G(P)_2a+7_2b+72

??G(Q)-2b+9-2b+9-—2b+9,

當。=9時，黑的值最大，為第

27

同理，當a—6-1=—3時，繇的最大值為||；

當a-b—1=-5時，?怒的最大值為總

G(Q)27

當a-力一1=1時，2景的最大值為當；

當a—Al=3時，黑的最大值為?；

當a—b—1=5時，磊的最大值為三；

.Z〈衛〈至〈至

,272727999'

?,?春祭的最大值為

1Q

故答案為：3020,

9.對于一個四位自然數N,如果N滿足各數位上的數字不全相同且均不為0,它的千位數字減去個位數字之

差等于百位數字減去十位數字之差，那么稱這個數N為"差同數”.對于一個"差同數"N,將它的千位和個位

構成的兩位數減去百位和十位構成的兩位數所得差記為s,將它的千位和十位構成的兩位數減去百位和個位

構成的兩位數所得差記為如規定：F儂)=答.例：N=7513,因為7-3=5-1,故：7513是一個“差同

數”.所以：s=73—51=22,t=71—53=18,貝I」：F(7513)=^^=2.已知4378是一個"差同數"，則

尸(4378)=,若自然數P,Q都是"差同數"，其中P=1000%+10y+616,Q=10(hn+n+3042

(l<x<9,0<y<8,l<mW9,0WnW7,%,外科幾都是整數)，規定：fc當3F(P)-尸(Q)能被11整

除時，貝收的最小值為.

【答案】1

【分析】本題主要考查了整式加減的應用、不等式的性質、有理數加減乘除運算的應用.理解"差同數"的定

義，善于把新知識轉化為常規知識來解決問題是解題關鍵.

(1)根據"差同數"的定義求得s和和3進而求得尸(N)；

(2)根據"差同數"的定義和已知條件，求得F(P)=x-6,F(Q)=3-進而求得3尸(P)-F(Q)=3x+m-21,

再根據字母的取值范圍，分情況考慮即可求出發的最小值.

【詳解】解：由題意知，s=48-37=ll,t=47-38=9,

11+2x9

-29-

?;P=1000%+10y+616=1000%+6x100+10(y+1)+6,其中04y48,

??/的千位數字為x,百位數字為6,十位數字為y+1,個位數字為6,

???由“差同數〃知：x-6=6-(y+l),

即％+y=11；

而Sp=(10x+6)—(60+y+1)=10x—y—55,

tP=(10%+y+1)—66=10%+y—65,

,、_10x-y-55+2(10x+y-65)_30x+y-185_29x4-11-185_

???廣⑺-29—29—29-X-6;

?：Q=100m+n+3042=3x1000+100m+4x10+(n+2),其中1<m<9,0<n<7,

???。的千位數字為3,百位數字為冽，十位數字為4,個位數字為ri+2,

???由“差同數”知：3-(n+2)=m-4,

即租+九=5；

而SQ=30+ri+2—(10m+4)=n—10m+28,

“=34—(10m+幾+2)=—10m—n+32,

EVC、九―10m+28+2(—10m—n+32)—30m—n+93Q

??(Q)—29-29——

.,.3F(p)—F(Q)=3%+m—21,

vl<%<9,0<y<8,%+y=11,

.,.3<%<9；

vl<m<9,0<n<7,m+n=5,

.,.1<m<5,

.,.-11<3x+m-21<11；

V3F(P)-F(Q)=3%+zn-21能被11整除，

.,.3%+m—21=-11或0或11；

①當3x+m—21=—11時，X=3+F，

v—4<1—m<0,

.,.1—m=0或—3,

；?m=1或4,

當m=l時，荏=4,%=3,y=8；

當?n=4時，n=1,x=2,y=9,不合題意；

7F(P)3-63

,\K------=----=----

F(Q)3-12'

②當3久+m—21=0時，%=7-p

vl<m<5,

：.m=3,

.,.n=2,x=6,y=5；

???3—m=0,

.*(P)=F(Q)=0,

??.k不存在；

③當3x+m—21=11時，x=10+^,

vl<m<5,

-3W2—7nW1,

.,.1—m=-3或0,

.,.m=4或1；

由①知，k=-I；

??.k的最小值為-|；

故答案為：1；—

10.對任意一個三位數n,如果打滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“雅慧數”,

將一個“雅慧數"任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111

的商記為尸0).例如幾=123,對調百位與十位上的數字得到213,對調百位與個位上的數字得到321,對調

十位與個位上的數字得到132,這三個新三位數的和為213+321+132=666,666+111=6,所以F(123)

=6.計算:尸(617)=;若s,t都是“雅慧數"，其中s=100久+32,t=150+y(lWxW9,lWyW9,%y

都是正整數)，規定k=黯，當尸(s)+F(t)=18時，所有滿足條件k的和等于—.

【答案】14?

【分析】本題考查了不定方程的應用，新定義運算，根據新定義直接求得尸(617)=14,設s=100x+32,

t=150+y,根據F(s)+F(t)=18得出x+y=7,進而分類討論，根據k=黯，求得k的值，即可求解.

【詳解】解：根據題意尸(617)=(167+716+671)+Hl=14

故答案為：14,

vs,t都是"雅慧數"，s=100%+32,t=150+y,

???F(s)=(302+10x+230+%+lOOx+23)+111=%+5,

F(t)=(510+y+lOOy+51+105+lOy)+111=y+6.

???F(t)+尸(s)=18,

%+5+y+6=x+y+ll=18,

%+y=7.

<?<1<x<9,1<y<9,且％,y都是正整數，

(x—1—p.f%—2—p.(x—3-p.(x—4-p.(x—5—p(x—6

???[y=6或ty=5或ty=4或ty=3或ty=2或ty=1-

s是“雅慧數"，

???%W2,%H3.

是"雅慧數〃，

???yw1,yw5.

(x=1-^.(x=4-^(x=5

???ly=6或ty=3或ty=2，

.1(s)=6或fF(s)=9或fF(s)=10

-IF(t)=12=9F(t)=8，

.%)l—c尸⑸L尸(S)5

??卜=西=5或/=府=1或卜=而=牙

所有滿足條件k的和等于J+1+1=^-

11.若正整數加滿足個位數字是1,其他數位上的數字均不為1,且百位數字和十位數字相等，則稱正整數

m為"群鳳和鳴數"，交換"群鳳和鳴數"加的首位數字和個位得到一個新數n,并記P(m)=誓-3+15,

那么最小的四位“群鳳和鳴數”為；若四位正整數k=1000%+100y+10y+l(2<x<9,0<y<9M

y^l,X、y均為整數)與p(k)均為"群鳳和鳴數"，那么所有滿足條件的四位“群鳳和鳴數組的和為.

【答案】200111442

【分析】本題主要考查了新定義一一"群鳳和鳴數熟練掌握新定義，整數數字的表達式，整式的混合運算，

是解答本題的關鍵.

根據"群鳳和鳴數"的定義和最小數的性質即可確定最小的四位“群鳳和鳴數"；然后根據"群鳳和鳴數"和交換

"群鳳和鳴數”求得左、k',進而求得P(k)，然后再根據“群鳳和鳴數”的定義即可解答.

【詳解】解：由題意可得，在"群鳳和鳴數"中，百位數字和十位數字相等且不為1,

則最小的四位"群鳳和鳴數"的千位上只能是2,十位和百位數為0,個為位為1,

即2001.

故答案為：2001.

?■k=1000%+100y+10y+1(2<x<9,0<丫49且)/71,尤、y均為整數)與P(k)均為"群鳳和鳴數”，

???交換k的首位數字和個位數字得到一個新數K

則川=1000+100y+10y+x.

：.k+k'=1001%+220y+1001,k-k'=999久一999.

.P_1001久+220y+1001999--999

??二(A)—ii111

=91%+2Oy+91—(9x—9)+15

=82x+2Oy+115.

?；P(k)為"群鳳和鳴數"，且20y的末位數數字為0,115的末尾數字為5,

??.82久的末尾數字必為6.

.-.X—3或x=8.

當久=3時，P(k)=361+20y.

???P(k)為"群鳳和鳴數"，即百位和十位上數字相同，

：.y=4,P(fc)=441.

：.k=1000%+100y+10y+1=3000+400+40+1=3441.

當x=8時，P(k)=771+20y.

?；P(k)為"群鳳和鳴數”，即百位和十位上數字相同，

.-.y=0,P(k)=771.

：.k=1000%+100y+lOy+1=8000+1=8001.

.,?所有滿足條件的k的和為：3441+8001=11442.

故答案為：11442.

12.一個各個數位上的數字均不為0的四位正整數.若干位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字

與十位上的數字之和的2倍，則稱這個四位數為"倍和數"，對于"倍和數任意去掉一個數位上的數字,

得到四個三位數，這四個三位數的和記為F(m),貝中(2124)=—，若"倍和數"皿千位上的數字與個位上的

數字之和為8,且筆處能被7整除，則所有滿足條件的"倍和數"中的最大值與最小值的和為—.

【答案】7749357

【分析】此題主要考查了新定義，二元一次方程以及不等式的性質，根據題意列出相關式子是解本題的關

鍵.

第一空，根據題意直接計算，即可求出答案；第二空，設6的千位數字為a,百位數字為6得出

m=1000a+100b+10(4-b)+(8-a)>(l<a<7,1WbW3且a力為整數)，則可得F(m)

=297a+996+108,故可推得一黑^，=7(4a+b+2)+2fe-a-2,26—a-2能被7整除，進而分類討論

即可.

【詳解】解：尸(2124)=212+214+224+124=774,

故答案為:774；

設機的千位數字為。，百位數字為b,

???"倍和數千位上的數字與個位上的數字之和為8,

■■m的個位數字為(8-a)，

???千位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字與十位上的數字之和的2倍，

???百位上的數字與十位上的數字之和為4,

■■m的十位數字為(4-b)，

：.m=1000a+100b+10(4-h)+(8-a)>(1<a<7,1WbW3且a力為整數)，

???尸(nt)=100a+106+(4—b)+100。+10/?+(8—CL)+100。+10(4—b)+(8—ct)+100b+10(4—b)+

(8-a)=297a+99b+108,

..尸(m)+24

■n-

_297a+996+108+24

二11

11(27。+9b+12)

二11

=27a+9b+12

—7(4a+b+2)+2b—CL—2

??.2b-a—2能被7整除，

vl<a<7,1WbW3且為整數，

*'.-7W2b—ci—243,

：2b—CL—2=-0,

：.2b—a—5或2b=a+2,

當2b=a—5時，由a-5>0,

故a=7,b=1或Q=9力=2(舍去)

則此m=7131,

當2b=a+2時，

.?.a=2,b=2或a=4力=3或a=6/=4(不符合題意),

m=2226或4314,

所有滿足條件的“倍和數〃加的最大值與最小值的和為7131+2226=9357,

故答案為：9357.

13.我們規定：如果一個四位自然數4滿足千位數字與個位數字之和為6,百位數字與十位數字之和也為

6,則稱人為〃六六大順數〃，若/、B均為〃六六大順數〃，其中/=abed,B=5xyl(1<a,b,y<6f

0<c,d,x<5,且a,b,c,d,x,y均為整數)，將/的前三位數字組成的三位數萬瓦記為/的后三位數字

組成的三位數原記為九，若租十九能被13整除，貝b+b=,在此條件下，將人的前兩位數字組成的兩

位數斜記為s,將B的后兩位數字組成的兩位數yl記為3若3s+t=/(k為整數)，則滿足條件的8的最大

值與最小值的差為.

【答案】490

【分析】本題屬于實數的新定義問題，理解題意，正確掌握整式的化簡是解題的關鍵.

(1)根據定義血+幾=13(7a+7b+5)+8a+8b+7,8a+8b+7能被13整除即可,確定8a+8b+7的

范圍，列舉即可；

(2)根據定義得到/=27a+10y+13,確定50工/4235,再分類討論，一一列舉即可.

【詳解】解：?m=abc=100a+10/)+c,n=bed=100b+10c+d,

由題意得a+d=6,b+c=6,

.'-d=6—a,c=6—b,

--Tn+zi=lOOct+110b+11(6—b)+6-a

=99a+995+72

=13(7a+7b+5)+8a+8b4-7

??a力為整數，

?-13(7a+7b+5)能被13整除，

???使得zn+九能被13整除，則8a+8b+7需要能被13整除,

,?,1<a,b<6,

.,.16<8a+8b<96,

.-.23<8a+8b+7<103

/.8a+8b+7可取26,39,52,65,78,91

??.8a+8b可取19,32,45,58,71,84,

顯然19,45,58,71,84不是8的整數倍，故舍，

.,.8a+8b=32,

.,.a+b=4；

②vs=ab,t=yl,

.,./c2=3ab+yl,

va+6=4,

：.b=4—a,

■?■k2=3a(4-a)+yl=3(i0a+4-a)+10y+1=27a+lOy+13,

??,1<a,b<6

可求50<27a+lOy+13<235,

即504/4235,

可取64,81,100,121,144,169,225,

當廿=64,則27a+10y=51,

此時無符合題意的整數解，舍；

當〃2=81,則27a+10y=68,

此時無符合題意的整數解，舍；

當公=100,則27a+10y=87,

則符合題意；

當廿=121,則27a+10y=108,

則不符合題意，舍；

當廿=144,貝Ij27a+10y=131,

則符合題意；

當々2=169,則27a+10y=156,

此時無符合題意的整數解，舍；

當上2=225,貝！|27a+10y=212,

則｛；：§，不滿足a+b=4,舍，

fa=1-=3

,Ay=6或ty=5'

,?,%+y=6,

...y=6時，則％=0,則5=抽1,

y=5時，貝!J%=1,則8=5151,

???Bmax—Bmm=5151-5061=90，

故答案為：4,90.

14.若一個四位數的千位數字比百位數字大2,十位數字比個位數字大3,則稱這個四位數為"霜降數”.若

其千位數字比百位數字大3,十位數字比個位數字大5,則稱這個四位數為"寒露數"，如4241是“霜降數”,

6361是"寒露數"，最小的"寒露數"是,若M、N分別是“霜降數"、"寒露數"，且它們的個位數字均為

1,M,N各數位上的數字之和分別記為尸（M）和尸（N），若F（M）_F（N）能被11整除，則當品取得最小值時M

的值是.

【答案】30502041

【分析】本題考查了對題干"霜降數"與"寒露數"概念的理解，以及用代數式表示數字，根據未知數的范圍推

算最小值，根據題意即可得出最小的“寒露數"；設M=a641,N=cd61,且。=b+2,c=d+3,再結合a,b

M—N—201

取值范圍和尸（M）T（N）能被11整除，即可得出a，6取值情況，分別計算不同情況下的值，再進行比較，即

可解題.

【詳解】解：根據題意可得：最小的"寒露數〃千位數字要最小，

???〃寒露數"千位數字比百位數字大3,十位數字比個位數字大5,百位和個位最小為0,

二千位最小為3,十位最小為5,

???最小的〃寒露數〃為3050；

?:M、N分別是〃霜降數〃、〃寒露數〃，且它們的個位數字均為1,

???可設M=ab41,N=cd61,且a=b+2fc=d+3,

?*(M)=a+b+5=2b+7,F(N)=c+d+7=2d+10,

M-N-201_1000a+100b+41-1000c-100d-61-201

人JR(M)一產(N)―2b+7—2d—10

_1100b-1100d-1221

2b—2d—3

_H(lOOb-lOOd-lll)

2b—2d—3'

M-/V-201,士…N

能被11整除，

100d-100d-lll為整數,

-2b-2d-3-

.lOOb-lOOd-111_100b-100d-150+39

?2b-2d-3-2b-2d-3-

???二為整數，

：.2b-2d-3=±1,±3,±13,±39,

則b—d=2,1,0,3,8,-5,21-18,

?--0</?<7,0<d<6,

.'.-64b—d<7,

，b—d=-5,0,1,23

”(M)=2b+7,F(N)=2d+10,

F(M)_2b+7

'F(N)=2d+10,

設b—d=/c,則匕=4+匕

F(M)2b+7_2d+2k+7

'F(N)―2d+10-2d+10'

當需取得最小值時，k應最小，即b-d=-5,

：,b=0,d=5或b=l,d=6,

出〃匚1F(M)2b+77

當b=°,d=5時，麗=亦行—元，

*八1/ZLH-FF(M)2b+79

當b=l,d=6時，麗=痂而=五，

.?二<2

■20、22'

此時b=0,d—5,

止匕時M=2041.

故答案為：3050,2041.

15.若一個四位數M=赤3滿足〃的千位數字與百位數字的和與它們的差的積恰好是M的后兩位數字組成

的兩位數，則稱這個四位數河為"均衡數"，則最大的"均衡數"為;將均衡數”的千位數字與十位

數字對調，百位數字與個位數字對調得到的新數記為M',記P(M)=g，G(M)=/當P(M)、G(M)均為整

數時，則滿足條件的所有州的中位數為.

【答案】98176327

【分析】本題主要考查了定義新運算，中位數的定義，

根據"均衡數"的定義判斷①即可，再將各數位對調，由P(M),G(M)為整數得出多種可能，然后根據中位數

的定義解答即可.

【詳解】千位數字最大為9,再根據"均衡數”的定義可知百位數字最大為8,則(9+8)x(9-8)=17,

所以最大的"均衡數"是9817；

故答案為：9817；

=［是整數,

??.a是b的倍數，且1工。工9,

72937293一目由后立人

當a=9,b=3時,M=9372,M'=