2024學年第一學期溫州市高一期末教學質量統一檢測

數學試題（B卷）

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名.準考證號填寫在答題卷上.將條形

碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑;

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內相應位

置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以

上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊.不要弄破.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/={疝。＜5},3={3,4,5},則/門8=（）

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4）C.{3,4,5}D.{3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】根據集合的交集運算得解.

【詳解】因為/={疝＜》＜5},5={3,4,5},

所以/。5={3,4},

故選：D

2.下列命題為真命題的是（）

A.若。＞力〉0,則〉be1B.若Q>Z?>0,則

C.若Q＜6＜0,則一＜—D.若a<b<0,則

ab

【答案】B

【解析】

【分析】根據不等式的性質逐項分析即可.

22

【詳解】對A,當c=0時，ac=bc,故A錯誤；

對B,a>b>Q=>a-b>0,?+Z>>0=>o2-Z>2=(?+/?)(?)>0=>?2>,故B正確;

對C,若a<b<0,則—>0,則ax—<bx—,即一>—,故C錯誤；

abababab

對D,當。二-16,6=-4時，a<b<0,則J^=4>WF=2，故D錯誤.

故選：B

3.已知幕函數/(x)=(加2—3)/在(0,+”)上單調遞減，則加=()

A.-2B.1C.2D.-2或2

【答案】A

【解析】

【分析】利用幕函數的定義得到加2—3=1，可解得俄的值，再利用單調性進行檢驗即可.

【詳解】???/(x)=(加2-3卜'"是幕函數,

m~一3=1，m-+2,

當掰=2時，/(x)=x2,此時/'(x)在(0,+”)上單調遞增，舍去;

當加=-2時，/(%)=%-2,此時/(x)在(0,+e)上單調遞減，滿足題意;

/.m=-2.

故選：A.

「乙sina-2cosa2,

4.已知-----------二一，則tana=(

sina+cosa3

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】利用弦化切可得出關于tana的等式，即可解得tana的值.

sina-2cosa

?、、，一?sina_2cosares=tana-22一7口

【詳解】因為一----------=.cosa—=-------解得tana=8.

sina+cosasincr+cosertana+13

cosa

故選：D.

5.已知函數/(x)的部分圖象如圖所示，則/(x)的解析式()

11

A.2X+2~xB.2X-2~xC.----------D.----------

X+2~x2X-2~x

【答案】C

【解析】

【分析】根據函數圖象結合各選項具體解析式逐個分析，注意奇偶性和定義域的應用.

【詳解】對A,因為y=2、'+2r22,2嘰27=2，當且僅當x=0時等號成立，與圖象不符，故A不可

能；

對B,因為/(x)=2"2r,xeR,貝U/(—x)=2一,—2工=—/(x),故/(x)為奇函數，圖象關于原點成

中心對稱，與所給圖象不符，故B不可能；

11

對C,因為/(x)=1——xeR,則/(-x)=----------=/(》)，所以函數為偶函數，關于V軸對稱，

2+22+2

由A選項知2工+2一工〉2，所以/(%)=…［二，故C可能；

-2+212_

對D,因為y=--一的定義域為(-叫O)U(O,+s),當x=0時函數無意義，故D不可能.

2-2

故選：C

6.設x/eR,貝『2>#"是“log.x-log2y>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據特殊值判斷充分性，根據對數函數的性質及指數函數的性質判斷必要性.

【詳解】當x=l,y=-l時，2］〉4一\但log2y無意義，故不滿足充分性；

當logzX-log2y>1時,Mlog2X>log2y+l=log2(2y),所以x>2y,

則2X>22y>即2'〉4y，滿足必要性，

v，,u

所以“2*〉4>log2x-log2y>1”的必要不充分條件,

故選：B

7.已知/3=5畝[8+e]（0>0）,/[j1=0,則。的最小值為（

【答案】C

【解析】

【分析】根據正弦型函數的函數值，求出。的表達式即可得解.

【詳解】因為/[]J=0，

jrjr

所以0x—+—=E,左eZ,

36

解得。=3k——,keZ,

2

因為。>0,所以。的最小值為

2

故選：C

8.已知定義域為R的函數/（X）滿足：\/x,yeR,/（x）-/（y）=/（x-y）+2（x—y）y,且/（6）=0,

則（）

A./（0）=1B./（3）=9

C./（x）是奇函數D.VxeR,/（x）+/（-x）>0

【答案】D

【解析】

【分析】利用賦值法結合題干信息逐項分析求解.

【詳解】對A,令x=6,y=0,則/⑹一/(0)=/(6-0)+2(6—0)x0,

由/(6)=0,則0—/(0)=/(6)+0,即—/(0)=0,所以/(0)=0,故A錯誤;

對B,令x=6/=3,則/(6)—/(3)=/(6—3)+2(6—3)x3,因為/(6)=0,

所以0—/(3)=/(3)+18,解得/(3)=-9,故B錯誤;

對于C,令x=0,貝/(>)=/(—>)—2>2,

又/(0)=0,所以—/(田=/(—田―2/，則—/(x)=/(—x)—2竟

當xwO時，/(—x)=—/(x)+2x2w—/(x),不滿足奇函數的定義,

所以/'(x)不是奇函數，故C錯誤；

對D,由C選項知，—f(x)=-x)-2%2,即/(x)+/(—x)=2x2>0,

所以X/xeR,/(x)+/(-x)>0,故D正確

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：根據所給函數性質，靈活賦值，恰當變形是解決問題的關鍵.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知since=，貝I()

2

.,、1

A.Sm(7T+6Z)=5B.SH1兀一。=一

'72

八?「兀、百「1

C.sin—+a=——D.cosa—二—

UJ2I2；2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據誘導公式逐項分析即可得解.

【詳解】由誘導公式知，sin(7r+a)=-sintz=—,故A正確；

,72

sin(7r-a)=sinor=,故B錯誤；

sinf—+al=cosa=±71-sin2=±,故C錯誤；

12J2

cosLAsina」,

I2j2故D正確.

故選：AD

/、ax2—2x+l,x<1

10.若函數/(x)=<存在最小值，則實數。的值可以是()

[lgx,x>1

A.0B.-lC.ID.y

【答案】ACD

【解析】

【分析】分類討論，結合二次函數的性質求出。的取值范圍即可得解.

【詳解】當x>l時，/(x)=lgx>0,此時函數無最小值;

當x<l時，/(x)=ar2-2x+l,

若。=0時，則/(x)=-2x+12-l,此時函數有最小值；

若a<0時，則/(x)=—2x+l的對稱軸為》=工<0,

a

.?./(力=狽2—2x+l在上先增后減，沒有最小值;

若a>0時，/(x)=6zx2-2x+1的對稱軸為x=—>0,

a

當工21=0<。<1時，要使函數有最小值，

a

則/(l)=a—2+1W0即可，解得0<aVl.

當=時，要使函數有最小值,

a

+1VO,無解0<a4l.

綜上，O?Q?1,所以實數。的值可以是0,1,1.

2

故選：ACD

11.已知整數集/={4,%，…，4}，5={x|x=a+6或x=a-aa若存在加eB,

使得m=ck,ceZ,keN“，則稱集合A具有性質M(k),則()

A.若/={1,2},則A具有性質"⑵B.若/={1,2,3},則A具有性質M(3)

C.若〃=4,則A一定具有性質M(5)D,若〃=7,則A一定具有性質"(10)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據已知條件新定義逐個分析即可.

【詳解】對A選項，若/={1,2}，則5={1,3,—1},因為3=1x3,—1=-1x1,1=1x1,故不可能存在k=2

滿足題意，A錯誤;

對B選項，若/={1,2,3},則5={—2,—1,1,2,3,4,5},則當x=3,c=l,左=3時,/具有性質M（3）

B正確；

對C選項，將整數分成5左,5左+1,5左+2,5左+3,5左+4,左eZ這五類，依次記為集合C、D、E、F、

G,

當〃=4時，％,。2，。3，。4肯定是這5類中的一類，如果用,。2，。3，。4四個屬于的集合各不相同，

比如4e。,4eE,%eE,%eG,那么q+%肯定是5的倍數，且為+4468,滿足M（5）的定義，

如果為,。2，。3，。4四個中有兩個或者以上元素屬于同一個集合，

比如用‘々eG,則q-4也是5的倍數，故C正確；

對D選項，

將整數分成10左,104+1,10左+2,10k+3,10左+4,10左+5,10左+6,10左+7,10k+8,10左+9,這10類，

依次記為集合C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,當〃=7時,外,電，。3，。4，。5，&，出分別是這10類中的一類，

分兩類情況，如果為,。2，。3，。4，。5，。6，。7七個屬于的集合各不相同，

eeee

比如qC,a2D,a3E,a4F,a5&G,a6&H,aye/,

那么生+的肯定是10的倍數，且%+的eB,滿足"（10）的定義，

如果外,。2，。3，。4，牝，&，。7七個屬于的集合中有兩個或者以上元素屬于同一個集合，

比如。6，。7?6,則％-。7也是1。的倍數，且滿足河（1。）的定義，

故D正確.

故選：BCD.

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.

12.計算：g-3_?

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據指數幕的運算法則求解.

_2_21

【詳解】83=（23p=2-2=1,

故答案為：—

4

13.定義在R上的奇函數/(x)在［0,+8)上遞增，且/(1)=2,則滿足—2</(x)<0的x的取值范圍是

【答案】［-1,0］

【解析】

【分析】根據函數奇偶性判斷出函數的單調性，再由單調性求解即可.

【詳解】因為定義在R上的奇函數/(x)在［0,+力)上遞增，

所以/(x)在R上單調遞增，

因為/⑴=2,所以=—/⑴=—2,

又/(0)=0，

則—2</(x)V0o/(—l)</(x)W/(0)=-lVx<0,

即X的取值范圍是［-1,0］.

故答案為：［-1,0］

14.在VABC中，=---------,則ZC=_________.

cos51-taiL4tanC

?一一02兀

【答案】—

3

【解析】

【分析】由已知條件，利用三角恒等變換化簡求出cosC即可得解.

.cosA2

【詳解】由-----=------------,

cos51-taiL4tanC

cosA2cos4cosc2cos4cosc

化弦可得~：—.-TTTTA，

cos5cosAcosC-smAAsmCcos(/+C)

又以)$(4+。)=一以)53,cosZwO,

i2cosC1

所以——=-------,解得cosC=——,

cos5-cos52

因為0<。<兀，所以。二”.

3

故答案為：--

3

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

34

15.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與無軸的非負半軸重合，終邊經過點尸

(1)求sin。+tana的值;

(2)若角￡滿足sin(a+/?)=—g,且°+技］,求sin#的值.

Q

【答案】(1)--

15

(2)1

【解析】

【分析】(1)根據角的終邊上的點的坐標，利用三角函數定義求解；

(2)由同角三角函數的基本關系及角的變換、兩角差的正弦公式求解.

【小問1詳解】

34

因為尸在角的終邊上,

555

一44

所以由三角函數定義知，sma=—,tana=-一

53

—*448

所以sina+tanoc-------------.

5315

【小問2詳解】

37r3

??,a+夕w71,——,sin(a+p)=—

25

cos(a+夕)=——

f3

又cosa=——，

5

/.sin/?=sin[(a+/?)—a]=[—[一X。

5-

16.已知函數/(x)=loga(x+l)+loga(l-x),(a>0且"1).

(1)判斷函數/(X)的奇偶性，并說明理由；

(2)若求實數a的取值范圍.

【答案】(1)偶函數，理由見解析

⑵門U(L+oo)

【分析】(1)利用函數奇偶性的定義即可判斷;

(2)將利用對數運算性質進行化簡，再利用對數函數的單調性解對數不等式即可.

【小問1詳解】

/(X)是偶函數，理由如下:

x+1>0

根據題意，要使/(X)有意義，則有〈八，1<X<1,

l-x>0

/(X)的定義域為(T,l),關于原點對稱，/(—X)=log“(-x+l)+loga(l+x)=/(x),

是偶函數;

【小問2詳解】

J,31113,

"/I-1=1叫-+log°-Tog“-<h

33

???當時，logfl—<1=logaa,:.a>—,.tQ>1；

333

當0<a<l時，log”一<1=loga，：.a<-—\

4Oa44

綜上所述，實數a的取值范圍是［o,

17.已知函數/(x)=2V2sinxcos+1.

兀

(1)求f

(2)把y=/(x)圖象上的所有的點向右平移四個單位，得到函數y=g(x)的圖象，求y=g(x),

6

71371

工￡:，丁的值域.

68

【答案】(1)走土1

2

⑵[1,亞]

【解析】

【分析】⑴法1：將/(x)=2Visin%cosx+：+1拆分化簡得到/(x)=6sin2x+：最代入求解;

法2：先代入計算/,再應用兩角和余弦公式計算;

(2)通過平移得到新函數y=g(x)的方程，再結合正弦函數的性質得到值域.

【小問1詳解】

法1：

sin2x+—I+sin

I4

/(x)=2后in(2x+f

=^Vf-Vl+1=V3+1

42

【小問2詳解】

g(x)=V2sin271713

+—in|2x---7ivxe一「兀

4JI1268

兀2兀,sinl2%+-^-jG

45T

f(x)=V2sin12x+；Je[1,忘]

18.某市軌道交通SI線是全國第一條制式市域鐵路，運營五年來累計客運量已突破5500萬.經市場調研測

算，S1線列車載客量與發車間隔/(單位：分鐘)有關.當4〈/<16時，載客量為4(16-501左

為常數)，且發車間隔/=4時的載客量為344人；當16〈/<20時列車為滿載狀態，載客量為800人.

(1)為響應低碳出行，要求載客量達到滿載的一半及以上，列車才發車，則列車發車間隔至少為多少分鐘？

(2)已知甲、乙兩站間列車票價為2元，發一趟車的固定支出為560元，當發車間隔為多少分鐘時，S1線

列車在運營期間每分鐘的收益最大，并求出最大值.

【答案】（1）列車發車間隔至少為6分鐘.

（2）65元

【解析】

【分析】（1）先求出左，再解方程（16-fy+50f=400可得列車發車間隔時間的最小值;

48

2t——+36,4W/<16

（2）設S1線列車在運營期間每分鐘的收益為s,則s八’，據此可求最大值.

$6"20

【小問1詳解】

由題設有力(16—2『+50x4=344,故4=1,

(16-r)2+50r,4<r<16

故P(/)=<

800,16<r<20

若載客量為滿載量的一半即400,則4W/<16,且（16-疔+50此400,

故此6,所以列車發車間隔至少為6分鐘.

【小問2詳解】

設S1線列車在運營期間每分鐘的收益為s,

2(16-rV+2x50r-560

--------------------------,4<r<16

則s=<

2x800-560,16^20

48

It——+36,4</<16

整理得到：

照,16Q20

當4〈/<16時，§<32—3+36=65,

當16<20時，S<&2=65,當仁16時等號成立，

16

故當發車間隔為16分鐘時，51線列車在運營期間每分鐘的收益最大且最大值65元.

D

19.三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數了=2/+—（/>0,5>0）的圖象恰如其形.牛頓最早

X

研究了函數/（X）=/+嚏的圖象，所以也稱/（X）的圖象為牛頓三叉戟曲線.

（1）判斷了（X）在（1,+8）上的單調性，并用定義證明；

（2）已知兩個不相等的正數加，〃滿足：/（，〃）=/（〃），求證：mn<l；

⑶是否存在實數。，b,使得/（x）在［凡可上的值域是［3a,3可？若存在，求出所有a/的值；若不存在,

說明理由.

【答案】（1）單調遞增，證明見解析

（2）證明見解析（3）存在，。=1,6=73+1

【解析】

【分析】（1）根據函數單調性的定義證明；

（2）由/（加）=/（〃）可得加〃（加+〃）=2,再由基本不等式得證;

（3）根據已知結合函數的單調性求解.

【小問1詳解】

/（x）在（1,+。）單調遞增，證明如下:

(2,

設V%1，%