浙江省衢州市2024-2025學年高一上學期1月教學質量檢測數學試題

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合a={1,2,3},B={0,2,4},則2CB=()

A.{0}B.{2}C.{1,2}D.[0,123,4}

2.已知幕函數f(x)的圖象過點(2,偽，貝葉(9)=()

A.-3B.V3C.2D.3

3.“x〉0”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列不等關系成立的是（）

.71717171

A3一03>2°IB.log23>log32C.sin§>tan-D.cos^->cos(—

5.函數〃X）=Q+l）2（x—2）的部分圖象大致為（）

6.已知函數/'(%)=2*+x—1,g(x)—log2x+x—1,6%)=婷+x—1的零點分別為a,b,c,則a,b,c

的大小順序為()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

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7.已知函數y=f(x)的圖象關于點P(a力)中心對稱的充要條件是函數丫=/。+。)—匕為奇函數，則函數“久

)=熹圖象的對稱中心是()

A.(1,1)B.(2,1)C.(0,-1)D.(0,1)

8.已知/(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且/'(%),9(久)在(一8,0］上單調遞增，則下

列不等關系恒成立的是()

A.g(g(l))>g(g(2))B.9(/(1))<9(/(2))

C)(9(1))>/(g(2))D./(/(I))>

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列結論正確的是()

A.2a-2b=16B.Vafa<2

11

C.log2a+log2b>2D.-+^>1

10.已知函數/(x)=sin(cosx)—cos(sinx),則()

A"(久)是奇函數Bj(x)圖象有對稱軸

C./(x)是周期函數D./(l)<0

11.已知正實數x,y滿足｛，;貝1K)

qf—

A.y>1B.%<-C.y2o<V2D.y<x

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若ln(log2m)=0,則m=.

13.玉璜，是一種佩戴飾物.在中國古代，玉璜與玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等總稱為“六瑞”，被倜

禮少一書稱為是“六器禮天地四方”的玉禮器，多作為宗教禮儀掛飾.現有一弧形玉璜呈扇環形，已知4D

=4,弧力B長為2兀，弧CD長為兀，此玉璜的面積為

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14.已知函數八乃={"1+久於°+2a+5,x>0在(。，+8)上有4個不同零點，則實數a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在平面直角坐標系久Oy中，角a是第二象限角，且終邊與單位圓交于點P(犯臺.

(1)求實數m及tana的值；

⑵求3(P+cos(北㈤

(J水sin(7T-a)+sin(尹a)J且，

16.(本小題15分)

2

已知函數/(X)=loga(—x+ax—3)(a>0且a豐1).

(1)若。=4,求函數f(%)的定義域及值域；

(2)若函數/O)在(1,3)上單調遞增，求實數a的取值范圍.

17.(本小題15分)

TTTT

已知函數人式)=asin(2x-g)+b(a>0,b&R)在區間［05］上的值域為［。,3］.

(1)求函數/O)的解析式；

(2)若對任意久1e［0,芻，存在亞e臣團使得/(久。2f(久2)，求實數小的取值范圍.

18.(本小題17分)

-1

已知函數/(X)=a(x+1)+彳，ae.R.

(1)討論函數的單調性(無需證明)；

(2)若a<0,解關于x的不等式f(|x—2|)>/(久2)；

(3)若關于％的方程外3，+1)=1有兩個不同的解，求實數a的取值范圍.

19.(本小題17分)

設點集。是集合M={Q,y)|x,yeR}的一個非空子集，若按照某種對應法則/,。中的每一點(％y)都有唯一

的實數t與之對應，則稱/'為。上的二元函數，記為t=f(久,y),當二元函數/(久,丫)滿足對任意x,y,zeR,均

有：①/(x，y)=/(yA)；②/a%)=0；③/(x*)+/(z,y)>/(x,y)成立，則稱二元函數具有性質P.

(1)試判斷二元函數f(久,y)=|x-y|是否具有性質P,并說明理由；

(2)若具有性質P,證明：函數g(x,y)=77^而具有性質P；

(3)對任意具有性質P的函數/(K,y),均可推出F(x,y)=”二素篇具有性質P,求實數小的取值范圍.

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答案和解析

1.5

【解析】???/1={1,2,3},B={0,2,4},

???4CiB={2}.

故選反

2.D

【解析】設fO)=-

1

由/(2)=2。=也得a=5,

1

???/(%)=%2,

1

則/(9)=9=3.

故選D

3.C

【解析】由礦>1,得久>0,反之也成立，

所以“x>。”是“1>1”的充要條件.

故選C.

4.B

【解析】對于4、3-0-3<3°=1,201>2°=1,則3一°3<2°1,故/錯誤;

對于B、log23>log22=1,log32<log33=1,則log23>log32,故3正確;

對于C、Sin^-=—,tan7=1,貝Usin^Ctanz，故C錯沃；

7T7T7rlTCTT

對于。、COS^-=0,cos(—2)=COS^-=-,則cos,Vcos(一§),故。錯誤.

故選B.

5.A

【解析】因為函數/(%)=(%+1)2(%—2),

由/(%)=0，得%--1或％=2,

當久<—1或一1V%<2時，/(x)<0,當％>2時，/(%)>0,

由選項可知，只有人滿足題意，

故選4.

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6.B

【解析】由題得a,b,c分別為方程2%=1-%,log2%=1-%,%3=1一久的根,

3

在同一直角坐標系中作出y=2%,y=log2x,y=x,y=l-%的圖象，

由圖可得b>c>a,

故選反

7.C

【解析】令g⑴=熹+小

則定義域為{%|%。0},

口，A1_2%,1_1-2工-1J_11_，、

且9(-%)_2—久]_]+5—1_2%+2—1-2X+2-1-2X~2~-0(%)

則9(久)是奇函數，則函數/⑶圖象的對稱中心是(0,一同，

/八一J.Z

故選C.

8.C【解析】由題意,得f(x)在(0,+8)遞減,g(x)在R上遞增，且貝0)=0,

對于4、因為g(2)>g(l),貝!Jg(g(2))>g(g(l)),故/錯誤；

對于8、因為外1)>/(2),貝的(7(1))>//(2)),故8錯誤；

對于C、因為g(2)>g(l)>0,則f(g(l))>/(g(2)),故C正確；

對于。、因為/(i)>/(2),若/(1)>/(2)>。，w(ra))</(/(2)).故。錯誤,

故選c.

9.ABD

【解析】對于2、2。2^=2。+。=24=16,故/正確；

對于B、yTab<r^--2,當且僅當a=6=2時，取等號，故3正確;

對于C、log2d+log2。=Iog2(ab)&log2(喏)=log24=2,

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當且僅當a=b=2時，取等號，故C錯誤;

對于仄打齊長。+6)?+9=X2：+%A1

4

當且僅當a=6=2時，取等號，故。正確.

故選/5D.

10.BCD

【解析】函數/(%)=sin(cosx)—cos(sin%)的定義域為R,

/(一%)=sin[cos(—x)]—cos[sin(—%)]=sin(cosx)—cos(sinx)=/(x),

則函數/(%)是偶函數，圖像關于y軸對稱，故4錯誤，8正確；

因為cos(%+2TT)=cosx,sin(x+2TT)=sinx,

所以/(%+2TT)=sin[cos(x+2TT)]—cos[sin(x+2TT)]=sin(cosx)—cos(sinx)=/(%),

故函數/(%)是周期函數，選項C正確；

因為0<cosl<1,所以0<sin(cosl)<sinl,

又因為0<sinl<1,所以cosl<cos(sinl)<1,

因此，sin(cosl)<cos(sinl),

所以/(l)=sin(cosl)—cos(sinl)<0,選項D正確.

故選BCD.

U.ABD

【解析】由y8=3%+y,%>0

可得y'—y=y(y7-1)=3x>0,

又y>0,則y，—i>o,故故4正確;

%>0,則%4=%+1>1,則%4>1,即％>1,

令f(%)=X4—X—1,X>1,

則正實數%為/(%)=0的解，即為/(%)的零點，

/(%)=%4—X—1=%(%3—1)—1,

x>1,x3—1>0,且函數y=%與y=爐—1都單調遞增,

故/(%)=X4—X—1在％>1時單調遞增，

62551625-320-25649、八

/(1)=-1<0,/(1)-----———1==------〉0

2564256-----------256

故f(x)在(琮)上存在零點，即1＜久故8正確;

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y8-y-3x,1<x<1,貝ij3xe(3,竽)，

令g(y)=y8—y，y>1,貝！lg(y)e(3,第，

g(y)=y8—y=y(y7—1),

由y>l,y7—1>0,且函數s=y,s=y7—i均單調遞增，

故g(y)=,一y在y>i單調遞增，

i<y2(應時，5(y)<(V2)4-V2=4-V2,

由Gl,可知4—時<3,即此時g(y)￡(3+,

故步>四，故c錯誤；

.(%4=1+%汨=%2+2%+1日nf——%=%2+%+1

田(y8=3%+y，量ly8=3%+y，BlJty8-y=3xf

由1V%<■!，可得%2+x+1—3%=x2—2%+1=(%—l)2>0,

t^Jx2+%+1>3x,即久8—久〉y8_丫，即g(x)>g(y),

又y>l時，g(y)單調遞增，且x>l,y>1,故龍>y,故。正確.

故選/5D

12.2

【解析】由ln(log2H2)=0得log2nl=1,所以m=2;

故答案為2.

13.6兀

1

【解析】玉璜的面積為5X(7T+2兀)x4=6兀，

故答案為67r.

14.[—3兀,一2兀)

【解析】由sin久=0得久=/OT(/CeZ),

①若/'(x)=N—2%+2a+5無零點，則(一2尸-4(2a+5)<0,得a>—2,此時/'(久)=sinx滿足條件的零

點最多1個，不合題意；

②若/'(久)=丫2-2x+2a+5只一個零點，則a=—2,此時f(x)=sMx滿足條件的零點最多1個，不合題意;

③若/(*)=/-2%+24+5有兩個零點，一個正數，另一個為零，則a=-|,此時/(久)=sinx滿足條件的

零點只1個，不合題意；

④若/'(X)=久2-2x+2a+5有兩個正零點，則｛$[2+">°,則一|<a<-2,此時/'(x)=sinx

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滿足條件的零點有1個，不合題意；

⑤若f(x)=%2—2久+2a+5有兩個零點，一個正零點，另一個為負零點,2a+5<0,此時a〈—也

則/■(久)=sinx滿足條件的零點必須有3個｛二|彳空，得一3?r<a<-27r.

綜上：ae[―3區—2兀).

故答案為[-3兀,一2").

44

15.解(1)因為角a與單位圓交于點P(zn，M),所以sina=《，cosa=m,

又角a為第二象限角，且siMa+cos2a=1,

所以7n=cosa=—Vl^sin2a=一三，所以tana=亙=-

5m§

cos(—a)+cos(^7i—a)_cosa—sina_1—tana_7

Isin(7T—a)+sin(j+a)sina+cosa-tancr+1-,

2

16.1?：(1)當a=4時，f(%)=log4(—x+4%—3),

令一支2+4%—3>0=1<x<3,

所以函數/(%)定義域為(1,3),

2

又f(x)=log4[-(x-2)+1],

22

所以0<—x+4x—3<l^log4(-x+4%-3)<0,所以函數/(%)的值域為(-8,0].

(2)設1=-x2+ax-3,因為/(%)在(1,3)上為增函數，

所以當a>1時，t=—/+a%—3在(1,3)上為增函數且—/+a%—3>0在(1,3)上恒成立，

a>1

所以｛弓》3=a》6,

、-1+a—3》0

當0<a<1時，t=—x2+ax—3在(1,3)上為減函數且—7+—3>0在(1,3)上恒成立，

0<a<1

所以修<1=無解.

、一9+3a—3)0

綜上所述，實數a的取值范圍為[6,+8).

17.解：(1)因為所以一三2x—三票，

則一注sin(2%—^)<1,

又a>0,故—]+/(x)<a+b,

依題意則「金甘；。，解得居二:，

(a+6=3—1

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TV

故/(%)=2sin(2x—g)+1；

(2)由題意可知f(Xi)min27(%2)min，

因為e[0,^],

LLr、iRITIT

所以一%W2xi—4〈不

則一吳sin(2%Y)<1,

故f01)min=0，

7T1

則/'(%2)minW0即sin(2%2-6)minW一m

又*26后河所以詈<2x2-^<2m-^,

貝|]2加一*2等，解得小2§,

oo3

217"

故小的取值范圍為[于+8).

18.解：(1)/(久)定義域為｛x|x力0｝,

當Q=0時，/(X)=!在(-8,0)和(0,+8)上單調遞減；

當a<0時，f(x)=a%+*+。在(一8,0)和(0,+8)上單調遞減；

當a>0時，/(%)=a%+*+。在(—叫—華)和(由+8)上單調遞增；

在(,*o)和(0苦)上單調遞減；

(2)由/(%)的定義域知—2|>0,X2>0,得％W2且%W0,

1,

又由(1)知當a<0時，/(%)=ax+-+。在(0,+8)上單調遞減；

故/(|%—2|)>—2|<%2,

則或｛丈黑尤2,即2或久>1，

所以不等式/'(,-2|)>/■(7)的解集為｛x|x<-2或1<x<2或x>2].

(3)令t=3，+l,則其在R上單調遞增，且t>l.

則方程/(3才+1)=1有兩個不同解等價于方程f(t)=1在(L+8)上有兩個不同解,

1

f(t)=a(t+1)+--1在(1,+8)上有兩個不同解.

即a=盅會在(1,+8)上有兩個不同解.

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mm

令6=t—16(0,+8),則a=(優+D(M+2)=-2+3?1+2,

故，=m+得+3在n?G(0,+8)上有兩個不同解，

又37=租+知+3在(0,加上遞減，(短+8)上遞增，

貝咕>3+2遮，即0<a<3—2&.

19.解：(1)f(x,y)=|x-y|具有性質P,

所以/'(%%)=|y一對=f(x,y),

f(x,x)=\x—x\—G,

f(x,z)+/(z,y)=\x-z\+\z-y\>\x-z+z-y\=\x-y\=/(x,y),

故/(x,y)=|工一y|具有性質P.

(2)因為gQ,y)="(M)="(y,x)=g(x,y);

g(K,x)=Jf(x,久)=0;

下證g(x,z)+g(z,y)>g(x,y),

即證J/(x,z)+J/(z,y)>J/(x,y)，

Q/(x,z)+/(z,y)+27/(x,z)J/(z,y)>/(x,y),(*),

又/?y)具有性質P，故/O，z)+/(z,y)>f(x,y),

結合2，f(：r,z)"(z,y)N0,知(*)式成立，

故g(x,z)+g(z,y)>g(&y)成立，

所以函數g(x,y)具有性質P.

(3)先證f(x,y)具有性質P時，必有f(x,y)>0成立.

因為/(%,y)具有性質P