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文檔簡介
類型一與切線相關(guān)的證明與計算
C卜1(2024.龍巖模擬)如圖,在銳角/MON內(nèi)部取一點A,過點A分別作ABXOM于點B,作
ACXON于點C,以AB為直徑作。P,CA的延長線與OP交于點D,連接BD.
⑴求證:/MON+/ABD=90。.
(2)若OB=BD,點D在OP的延長線上,求證:0N是OP的切線.
(3)當tanZMON=l時,連接OA,若CP_LOA于點F,求三:的值.
?針對訓練
1.如圖,AB是<30的直徑,P是弦AC上一動點(不與點A,C重合),過點P作PEJ_AB,垂足為E,射線
EP交弧AC于點F,交過點C的切線于點D.
⑴求證:DC=DP.
⑵若/CAB=3(T,AB=4,F是弧AC的中點,求CP的長.
I針對訓練
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC,BC于點D,E,點F在AC的延長線上,
且BF是OO的切線.
(1)求證:/BAC=2/CBF.
(2)若。0的半徑為5,sin/CBF=|,求CD的長.
類型二圓的綜合探究
C$2(2024?福建)如圖,在△ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,以AB為直徑的。O交BC于
點D,AE_LOC,垂足為E,BE的延長線交◎于點F.
⑴求黑的值.
AE
(2)求證:△AEB^ABEC.
(3)求證:AD與EF互相平分.
?針對訓練
3.(原創(chuàng))已知△ABC內(nèi)接于OO,D是前的中點,連接AD,CD,BD,AD與BC交于點P.
圖2
(1)如圖1,若/DBC=28o,/ACB=74。,求/APB和/ABC的度數(shù).
(2)如圖2,當AB為OO的直徑時,過點D的切線與AB的延長線交于點E,若CD〃AB,求NBDE
的度數(shù).
I針對訓練
4.已知四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC_LBD,垂足為E,CFJ_AB,垂足為F,交BD于點G,連接AG.
DD
⑴求證:CG=CD.
(2)如圖1,若AG=4,BC=10,求OO的半徑.
(3)如圖2,連接DF,交AC于點H,若/ABD=3(r,CH=6,試判斷士+2是不是定值.若是,求出該定值;
CDCF
若不是,說明理由.
I針對訓練
5.如圖,AB是。O的直徑,C,D為。O上不同于A,B的兩點,并且點C.D位于直徑AB的兩
側(cè),CA=CD.
(1)如圖1,連接BD,求證:/ABD=2/BDC.
(2)如圖2,AB,CD交于點E,過點E作EF1DB于點F,延長FE交AC于點M,求證:CE=CM.
(3)在⑵的條件下,若tan/CDBgEB=5,求線段CE的長.
,針對訓練
6.【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理:阿基米德(Archimedes,公元前287-公元前212年,古希臘)是有
史以來最偉大的數(shù)學家之一,他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子.如圖1,AB和BC是。O的兩條
弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是嬴的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折
弦ABC的中點,即CD=DB+BA.下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.
證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.
:DG
,:M是嬴的中點,,MA=MC.
又:/A=/C,BA=GC,
Z.AMAB^AMCG,AMB=MG.
又MD±BC,BD=DG,
;.AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.
【理解運用】如圖LAB、BC是OO的兩條弦,AB=4,BC=6,M是嬴的中點,MDJ_BC于點D,則
BD的長為.
【針對訓練探究】如圖3,若點M是余的中點,【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變,判斷CD、DB與
BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
圖3
【實踐應(yīng)用】如圖4,BC是。O的直徑,A為圓上一定點,D為圓上一動點,且滿足/DAC=45。,若
AB=6,OO的半徑為5,則AD的長為.
圖4
參考答案
例1解析:(1)證明:TAB是。P的直徑,
???NADB=90。,即ADXBD.
VCDXON,
ABD//ON,
AZMON=ZMBD.
VAB±OM,
???ZABD+ZMBD=90°,
AZMON+ZABD=90°.
(2)證明:如圖1,連接OD,則點P在OD上,過點P作PE±ON于點E.
VOB=BD,
???N1=N2,
ZMBD=Z1+Z2=2Z1.
由⑴可知NMON=NMBD=2N1,
???OP平分NMON.
VPE±ON,PB±OM,
APE=PB,
.\ON是。P的切線.
⑶解法一:如圖2,過點P作PH±AD于點H,過點B作BR±ON于點R,
貝!JAH=DH,ZPHC=ZCRB=90°.
設(shè)AH=x,AC=y.
由⑴得NOCD=ZCDB=90°,
ZCOB=ZBAD,
???四邊形CDBR是矩形.
???BR=CD二
2x+y.
VtanZMON=l,
AtanZPAH=l,
PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.
???CP,OA于點F,
???ZCFO=ZPHC=90°,
AZ3+Z5=90o.
VACXOC,
???N4+N5=90。,
.\Z3=Z4,
.,.△OCA^ACHP,
*?任*P二H2£CH即,U與x竺型x+y,
,y=2x,
???OA=VOC2+CA2=V(6X)2+(2x)2=2V10x,
CP=VCH2+PH2=V(3X)2+x2=V10x,
,一「OCCA6x-2x3v
??CF=———=----x,
OA2V10x5
.2^10.PF2
..PF=----x,..—=-.
5'CF3
解法二:?.?ZACO=ZAFC=90°,
cosZCAO=—AC2=AFAO.
ACAO
ZABO=ZAFP=90°,
cosZBAO=A^F=^AR|,.'.APAB=AFAO,
.?.AC2=APAB.
AB=2AP,AC2=2AP2,AC=V2AP.
如圖3,過點P作PH±AD于點H.
設(shè)PA=r,AC=V2r,
VtanZMON=l,.\ZMON=45°.
由⑴可知NBAD=45。,在RtAAPH中,AH=PH=jr,
CH=AC+AH=|V2r,PC=VPH2+CH2=V5r.
VACAF^ACPH,
PF=CP-CF=V5r-|V5r=|V5r,
?PF_|V5r_2
??赤-薛-3
針對訓練1.解析:
⑴證明:如圖,連接0C.
VDC切。O于點C,:.半徑OC_LDC,???ZDCP+ZACO=90°.
VPEXAB,
ZOAC+ZAPE=90°.
???ZDPC=ZAPE,.\ZOAC+ZDPC=90°.
VOA=OC,.??ZOAC=ZOCA,
JNDCP=NDPC,JCD=PD.
(2)如圖,連接OF,CF.
???NCAB=30°,???ZBOC=2ZCAB=60°,
.,.ZAOC=120°.
F是段的中點,ZFOC=ZFOA=60°.
VOF=OC,AOFC是等邊三角形,FC=OC=2.
ZAPE=90°-ZBAC=60°,?.ZDPC=ZAPE=60°.
VDP=DC,Z.ADPC是等邊三角形.
ZCFO=ZAOF=60°,CF//BE.
VBE±DE,.\CF±DP.
sinZCPF=—=—,FC=2,.\PC=—.
PC23
針對訓練2.解析:
⑴證明:如圖,連接AE.
VAB為。O的直徑,,ZAEB=90°,.\ZBAE+ZABE=90°.
VAB=AC,.*.ZBAE=ZCAE=-ZBAC.
,2
^.^BF是OO的切線,.,.NCBF+NABE=90。,
1
ZCBF=ZBAE=-ZBAC,ZBAC=2ZCBF.
⑵如圖,連接BD.
2
AB=AC=2OB=10,sinZCBF=1,
2
???sinZBAE=1,BEM,BC=2BE=8.
設(shè)CD=x,則AD=10-x.
VAB是。O的直徑,,ZADB=90°,AZBDC=90°,
:.82-x2=l()2_(10-x)2,解得X=y,CD=y.
例2解析:(1)TAB=AC,且AB是。O的直徑,
.\AC=2AO,
???ZBAC=90°,
在Rt^AOC中,tanNAOC岑=2.
VAEXOC,
在RtZkAOE中,tan/AOC=器,
?AE
..一=2,
OE'
?0E_1
**AE-2,
⑵證明:如圖1,過點B作BM〃AE,交EO延長線于點M,
???ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.
VAO=BO,
???△AOE^ABOM(AAS),
.*.AE=BM,OE=OM.
..OE_1
,AE-?
.\BM=2OE=EM,
ZMEB=ZMBE=45°,
ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,
ZBEC=180°-ZMEB=135°,
???ZAEB=ZBEC.
VAB=AC,ZBAC=90°,
ZABC=45°,
AZABM=ZCBE,
AZBAE=ZCBE,
.,.△AEB^ABEC.
(3)證明:如圖2,連接DE,DF.
c
「AB是OO的直徑,
ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.
VAB=AC,ZBAC=90°,
.*.BC=2BD,ZDAB=45°.
由(2)知,△AEB^ABEC,
AEAB2A0A0/口人八/LDC
—二——二——二一,ZEAO=ZEBD,
BEBC2BDBD
AAAOE^ABDE,
???ZBED=ZAEO=90°,
???ZDEF=90°,
???ZAFB=ZDEF,
???AF〃DE,
由⑵知,NAEB=135。,
???ZAEF=180°-ZAEB=45°.
NDFB=NDAB=45。,
???NDFB=NAEF,
???AE〃FD,
???四邊形AEDF是平行四邊形,
???AD與EF互相平分.
針對訓練3.解析:(1)???ZDBC=28°,AZCAD=28°,
???ZAPB=ZCAD+ZACB=28°+74°=102°.
???D是前的中點,,施二的,
AZDAB=ZCBD=28°.
在aABP中,NDAB=28o,NAPB=102。,
???ZABC=180°-ZDAB-ZAPB=50°,
???ZAPB=102°,ZABC=50°.
(2)如圖,連接OD.
???CD〃AB,
???ZDCB=ZABC.
???D是前的中點,
???CD=BD,.\ZDCB=ZDBC=ZDAB.
VAB為。O的直徑,???ZADB=90°,
???ZDAB+ZABC+ZDBC=90°,.\ZDAO=30°.
〈DE為。O的切線,???OD_LDE,
AZBDE+ZODB=90°.
ZADO+ZODB=90°,.\ZBDE=ZADO.
OD=OA,???ZADO=ZDAO,
/.ZBDE=ZDAO=30°.
針對訓練4.解析:⑴證明:如圖1.
D
圖1
VAC±BD,CF±AB,
工ZAEB=ZAFC=90°,
???Z2+ZBAC=90°,Zl+ZBAC=90°,
???N1=N2.
VZ1=Z3,
???Z2=Z3.
ZDEC=ZGEC=90°,
???Z3+ZCDE=90°,Z2+ZCGE=90°,
???ZCDE=ZCGE,
ACG=CD.
(2)如圖2,連接CO并延長交。O于點Q,連接BQ,
D
圖2
由⑴知,CG=CD,N2=N3,
???AC是DG的中垂線,
.\AG=AD.
VACXBD,
ZCED=90°,
???ZCDE+ZECD=90°.
???CQ為OO的直徑,
???ZCBQ=90°,
.'.ZCQB+ZQCB=90°.
VZCQB=ZCDB,
.\ZQCB=Z3,
BQ=AD,
???BQ=AD=AG=4.
在RtACQB中,根據(jù)勾股定理得CQ=V42+102=2V29,
AOO的半徑為例.
(3)《+A的值是定值.
如圖3,過點H作HM〃CD交CF于點M,
圖3
ZCHM=Z3.
由(1)知,N2=N3,
.\ZCHM=Z2,
ACM=HM.
VHM//CD,
.,.△FMH^AFCD,
.FM_HM_CM
…CF-CD-CD,
?.FMCMCF1
.--1--=—=l,
CFCFCF'
,CMCM1
??一十—=l,
CDCF'
.一+工=工
CDCFCM'
過點M作MNXCH于點N,則CN=|CH=3.
在RtACMN43,cosZ2=—=—.
'CMCM
ZABD=30°,
AZl=Z2=Z3=30°,
.11_V3
??--1----.
CDCF6
針對訓練5.解析乂1)證明:如圖1,連接OCQD.
圖1
在^OCA和aOCD中,
0C=0C,
CA=CD,
0A=0D,
:?△OCA之△OCD(SSS),
???ZACO=ZDCO.
VOA=OC,
AZA=ZACO.
VZA=ZCDB,
???NCDB=NOCD,
.'.OC/7DB,
AZABD=ZBOC.
VZBOC=2ZBDC,
AZABD=2ZBDC.
⑵證明:如圖2,連接AD.
圖2
VMF±BD,
???ZMFB=90°.
TAB是。。的直徑,
???ZADB=90°,
???ZEFB=ZADB,
AMFAD,
???ZCME=ZCAD,ZCEM=ZCDA.
VCA=CD,
???ZCAD=ZCDA,
???ZCME=ZCEM,
???CM=CE.
(3)如圖3,連接AD,BC,CO,延長CO交AD于點H,
圖3
由(1)知,NACONDCO.
VCA=CD,
ACH±AD,AH=DH.
ZCDB=ZCAO=ZACH,
tanNCDB=tanNCAO=
tan/ACH=|,設(shè)BC=2a,貝!]AC=4a,AB=2V5a,AH=^a,CH=^a,
.?.OH=CH-OC=^a,
3V5
?,/CATTOH『
..tanZOAH=——二梟一一3.
AH延a4
VEF^AD,
???ZBEF=ZOAH,
tanZBEF=-.
4
VEB=5,
ABF=3,EF=4.
1
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