類型一與切線相關的證明與計算

C卜1(2024.龍巖模擬)如圖,在銳角/MON內部取一點A,過點A分別作ABXOM于點B,作

ACXON于點C,以AB為直徑作。P,CA的延長線與OP交于點D,連接BD.

⑴求證:/MON+/ABD=90。.

(2)若OB=BD,點D在OP的延長線上，求證:0N是OP的切線.

(3)當tanZMON=l時，連接OA,若CP_LOA于點F,求三：的值.

?針對訓練

1.如圖,AB是＜30的直徑,P是弦AC上一動點(不與點A,C重合)，過點P作PEJ_AB,垂足為E,射線

EP交弧AC于點F,交過點C的切線于點D.

⑴求證:DC=DP.

⑵若/CAB=3(T,AB=4,F是弧AC的中點，求CP的長.

I針對訓練

2.如圖，在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC,BC于點D,E,點F在AC的延長線上,

且BF是OO的切線.

(1)求證:/BAC=2/CBF.

(2)若。0的半徑為5,sin/CBF=|,求CD的長.

類型二圓的綜合探究

C$2(2024?福建)如圖，在△ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,以AB為直徑的。O交BC于

點D,AE_LOC,垂足為E,BE的延長線交◎于點F.

⑴求黑的值.

AE

(2)求證:△AEB^ABEC.

(3)求證:AD與EF互相平分.

?針對訓練

3.(原創)已知△ABC內接于OO,D是前的中點，連接AD,CD,BD,AD與BC交于點P.

圖2

(1)如圖1,若/DBC=28o,/ACB=74。,求/APB和/ABC的度數.

(2)如圖2,當AB為OO的直徑時，過點D的切線與AB的延長線交于點E,若CD〃AB,求NBDE

的度數.

I針對訓練

4.已知四邊形ABCD內接于。O,AC_LBD,垂足為E,CFJ_AB,垂足為F,交BD于點G,連接AG.

DD

⑴求證:CG=CD.

(2)如圖1,若AG=4,BC=10,求OO的半徑.

(3)如圖2,連接DF,交AC于點H,若/ABD=3(r,CH=6,試判斷士+2是不是定值.若是，求出該定值;

CDCF

若不是，說明理由.

I針對訓練

5.如圖,AB是。O的直徑,C,D為。O上不同于A,B的兩點，并且點C.D位于直徑AB的兩

側,CA=CD.

(1)如圖1,連接BD,求證:/ABD=2/BDC.

(2)如圖2,AB,CD交于點E,過點E作EF1DB于點F,延長FE交AC于點M,求證:CE=CM.

(3)在⑵的條件下，若tan/CDBgEB=5,求線段CE的長.

,針對訓練

6.【問題呈現】阿基米德折弦定理:阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有

史以來最偉大的數學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子.如圖1,AB和BC是。O的兩條

弦（即折線ABC是圓的一條折弦）,BC>AB,M是嬴的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折

弦ABC的中點，即CD=DB+BA.下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.

證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.

：DG

,：M是嬴的中點,，MA=MC.

又：/A=/C,BA=GC,

Z.AMAB^AMCG,AMB=MG.

又MD±BC,BD=DG,

；.AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.

【理解運用】如圖LAB、BC是OO的兩條弦,AB=4,BC=6,M是嬴的中點,MDJ_BC于點D,則

BD的長為.

【針對訓練探究】如圖3,若點M是余的中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷CD、DB與

BA之間存在怎樣的數量關系,并加以證明.

圖3

【實踐應用】如圖4,BC是。O的直徑,A為圓上一定點,D為圓上一動點，且滿足/DAC=45。,若

AB=6,OO的半徑為5,則AD的長為.

圖4

參考答案

例1解析:(1)證明:TAB是。P的直徑，

???NADB=90。,即ADXBD.

VCDXON,

ABD//ON,

AZMON=ZMBD.

VAB±OM,

???ZABD+ZMBD=90°,

AZMON+ZABD=90°.

(2)證明:如圖1,連接OD,則點P在OD上，過點P作PE±ON于點E.

VOB=BD,

???N1=N2,

ZMBD=Z1+Z2=2Z1.

由⑴可知NMON=NMBD=2N1,

???OP平分NMON.

VPE±ON,PB±OM,

APE=PB,

.\ON是。P的切線.

⑶解法一:如圖2,過點P作PH±AD于點H,過點B作BR±ON于點R,

貝！JAH=DH,ZPHC=ZCRB=90°.

設AH=x,AC=y.

由⑴得NOCD=ZCDB=90°,

ZCOB=ZBAD,

???四邊形CDBR是矩形.

???BR=CD二

2x+y.

VtanZMON=l,

AtanZPAH=l,

PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.

???CP，OA于點F,

???ZCFO=ZPHC=90°,

AZ3+Z5=90o.

VACXOC,

???N4+N5=90。，

.\Z3=Z4,

.,.△OCA^ACHP,

*?任*P二H2￡CH即,U與x竺型x+y，

，y=2x,

???OA=VOC2+CA2=V（6X）2+（2x）2=2V10x,

CP=VCH2+PH2=V（3X）2+x2=V10x,

,一「OCCA6x-2x3v

??CF=———=----x,

OA2V10x5

.2^10.PF2

..PF=----x,..—=-.

5'CF3

解法二:?.?ZACO=ZAFC=90°,

cosZCAO=—AC2=AFAO.

ACAO

ZABO=ZAFP=90°,

cosZBAO=A^F=^AR|,.'.APAB=AFAO,

.?.AC2=APAB.

AB=2AP,AC2=2AP2,AC=V2AP.

如圖3,過點P作PH±AD于點H.

設PA=r,AC=V2r,

VtanZMON=l,.\ZMON=45°.

由⑴可知NBAD=45。,在RtAAPH中,AH=PH=jr,

CH=AC+AH=|V2r,PC=VPH2+CH2=V5r.

VACAF^ACPH,

PF=CP-CF=V5r-|V5r=|V5r,

?PF_|V5r_2

??赤-薛-3

針對訓練1.解析：

⑴證明:如圖，連接0C.

VDC切。O于點C,：.半徑OC_LDC,???ZDCP+ZACO=90°.

VPEXAB,

ZOAC+ZAPE=90°.

???ZDPC=ZAPE,.\ZOAC+ZDPC=90°.

VOA=OC,.??ZOAC=ZOCA,

JNDCP=NDPC,JCD=PD.

(2)如圖，連接OF,CF.

???NCAB=30°,???ZBOC=2ZCAB=60°,

.,.ZAOC=120°.

F是段的中點,ZFOC=ZFOA=60°.

VOF=OC,AOFC是等邊三角形,FC=OC=2.

ZAPE=90°-ZBAC=60°,?.ZDPC=ZAPE=60°.

VDP=DC,Z.ADPC是等邊三角形.

ZCFO=ZAOF=60°,CF//BE.

VBE±DE,.\CF±DP.

sinZCPF=—=—,FC=2,.\PC=—.

PC23

針對訓練2.解析：

⑴證明:如圖，連接AE.

VAB為。O的直徑,，ZAEB=90°,.\ZBAE+ZABE=90°.

VAB=AC,.*.ZBAE=ZCAE=-ZBAC.

，2

^.^BF是OO的切線,.,.NCBF+NABE=90。，

1

ZCBF=ZBAE=-ZBAC,ZBAC=2ZCBF.

⑵如圖，連接BD.

2

AB=AC=2OB=10,sinZCBF=1,

2

???sinZBAE=1,BEM,BC=2BE=8.

設CD=x，則AD=10-x.

VAB是。O的直徑,，ZADB=90°,AZBDC=90°,

:.82-x2=l()2_(10-x)2,解得X=y,CD=y.

例2解析:(1)TAB=AC,且AB是。O的直徑，

.\AC=2AO,

???ZBAC=90°,

在Rt^AOC中,tanNAOC岑=2.

VAEXOC,

在RtZkAOE中,tan/AOC=器，

?AE

..一=2,

OE'

?0E_1

**AE-2,

⑵證明:如圖1,過點B作BM〃AE,交EO延長線于點M,

???ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

VAO=BO,

???△AOE^ABOM(AAS),

.*.AE=BM,OE=OM.

..OE_1

,AE-?

.\BM=2OE=EM,

ZMEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

ZBEC=180°-ZMEB=135°,

???ZAEB=ZBEC.

VAB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=45°,

AZABM=ZCBE,

AZBAE=ZCBE,

.,.△AEB^ABEC.

(3)證明:如圖2,連接DE,DF.

c

「AB是OO的直徑,

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

VAB=AC,ZBAC=90°,

.*.BC=2BD,ZDAB=45°.

由(2)知,△AEB^ABEC,

AEAB2A0A0/口人八/LDC

—二——二——二一,ZEAO=ZEBD,

BEBC2BDBD

AAAOE^ABDE,

???ZBED=ZAEO=90°,

???ZDEF=90°,

???ZAFB=ZDEF,

???AF〃DE,

由⑵知,NAEB=135。,

???ZAEF=180°-ZAEB=45°.

NDFB=NDAB=45。,

???NDFB=NAEF,

???AE〃FD,

???四邊形AEDF是平行四邊形,

???AD與EF互相平分.

針對訓練3.解析:(1)???ZDBC=28°,AZCAD=28°,

???ZAPB=ZCAD+ZACB=28°+74°=102°.

???D是前的中點，，施二的,

AZDAB=ZCBD=28°.

在aABP中,NDAB=28o,NAPB=102。,

???ZABC=180°-ZDAB-ZAPB=50°,

???ZAPB=102°,ZABC=50°.

(2)如圖，連接OD.

???CD〃AB,

???ZDCB=ZABC.

???D是前的中點，

???CD=BD,.\ZDCB=ZDBC=ZDAB.

VAB為。O的直徑,???ZADB=90°,

???ZDAB+ZABC+ZDBC=90°,.\ZDAO=30°.

〈DE為。O的切線,???OD_LDE,

AZBDE+ZODB=90°.

ZADO+ZODB=90°,.\ZBDE=ZADO.

OD=OA,???ZADO=ZDAO,

/.ZBDE=ZDAO=30°.

針對訓練4.解析:⑴證明:如圖1.

D

圖1

VAC±BD,CF±AB,

工ZAEB=ZAFC=90°,

???Z2+ZBAC=90°,Zl+ZBAC=90°,

???N1=N2.

VZ1=Z3,

???Z2=Z3.

ZDEC=ZGEC=90°,

???Z3+ZCDE=90°,Z2+ZCGE=90°,

???ZCDE=ZCGE,

ACG=CD.

(2)如圖2,連接CO并延長交。O于點Q,連接BQ,

D

圖2

由⑴知,CG=CD,N2=N3,

???AC是DG的中垂線，

.\AG=AD.

VACXBD,

ZCED=90°,

???ZCDE+ZECD=90°.

???CQ為OO的直徑，

???ZCBQ=90°,

.'.ZCQB+ZQCB=90°.

VZCQB=ZCDB,

.\ZQCB=Z3,

BQ=AD,

???BQ=AD=AG=4.

在RtACQB中，根據勾股定理得CQ=V42+102=2V29,

AOO的半徑為例.

(3)《+A的值是定值.

如圖3,過點H作HM〃CD交CF于點M,

圖3

ZCHM=Z3.

由(1)知,N2=N3,

.\ZCHM=Z2,

ACM=HM.

VHM//CD,

.,.△FMH^AFCD,

.FM_HM_CM

…CF-CD-CD,

?.FMCMCF1

.--1--=—=l,

CFCFCF'

,CMCM1

??一十—=l,

CDCF'

.一+工=工

CDCFCM'

過點M作MNXCH于點N,則CN=|CH=3.

在RtACMN43,cosZ2=—=—.

'CMCM

ZABD=30°,

AZl=Z2=Z3=30°,

.11_V3

??--1----.

CDCF6

針對訓練5.解析乂1)證明:如圖1,連接OCQD.

圖1

在^OCA和aOCD中,

0C=0C,

CA=CD,

0A=0D,

:?△OCA之△OCD(SSS),

???ZACO=ZDCO.

VOA=OC,

AZA=ZACO.

VZA=ZCDB,

???NCDB=NOCD,

.'.OC/7DB,

AZABD=ZBOC.

VZBOC=2ZBDC,

AZABD=2ZBDC.

⑵證明:如圖2,連接AD.

圖2

VMF±BD,

???ZMFB=90°.

TAB是。。的直徑，

???ZADB=90°,

???ZEFB=ZADB,

AMFAD,

???ZCME=ZCAD,ZCEM=ZCDA.

VCA=CD,

???ZCAD=ZCDA,

???ZCME=ZCEM,

???CM=CE.

(3)如圖3,連接AD,BC,CO,延長CO交AD于點H,

圖3

由(1)知,NACONDCO.

VCA=CD,

ACH±AD,AH=DH.

ZCDB=ZCAO=ZACH,

tanNCDB=tanNCAO=

tan/ACH=|,設BC=2a,貝!]AC=4a,AB=2V5a,AH=^a,CH=^a,

.?.OH=CH-OC=^a,

3V5

?，/CATTOH『

..tanZOAH=——二梟一一3.

AH延a4

VEF^AD,

???ZBEF=ZOAH,

tanZBEF=-.

4

VEB=5,

ABF=3,EF=4.

1