園壓軸專練（十三大題型）

題型1:“有直徑現直角”

1.如圖，己知點C是以48為直徑的半。。上的動點（點C不與48重合），點。是介中點，連結

BD、0D,交/C分別于點E、F.

（1）如圖1,若22=4,7e的度數為120。，求OF的長.

⑵如圖2,若余=前,求差的值.

AF

（3）如圖3,連結OE,當△。8￡成為直角三角形時，求與AOE/的面積比.

【答案】（1）1

（2）6—1

（3）1或2

【分析】（1）連接OC,等弧等角，得到乙4。。=/。。。=60。，三線合一，得到。尸，NC,根據含30度

角的直角三角形的性質，求出。尸的長即可；

（2）同法（1）求出/巴。尸，進而求出。尸的長，即可得解；

（3）分/EO8=90。和/。￡3=90。，兩種情況進行討論求解.

【解析】（1）解：連接。。，貝I）：OA=OC=OD=^AB=2,

丁點。是:中點，元的度數為120。,

AD=CD

：.ZAOD=ZCOD=60°f

OFLAC,

：.ZOAF=30°f

：.OF=-OA=\-

2

(2)連接OC,貝U：OA^OC,

VAB為直徑，

，標的度數為180。，

；就=前,

：.ZAOC=90°,

：./CMC=45°,

同法(1)可知：。9_L/C,

/.ZOFA=90°,

：.OF^AF=~OA,

，DF=OD-OF=OA—OF=2一亞OA,

2

(3)①當NEO2=90。時，如圖:

為48的中點，

EO垂直平分,

/.EA=EB,AEAO=NEBO

:.BC^Ab=CD<度數均為60。,

/.ZAOD=60°,ZB=ZD=30°,

AEOD=30°=ZD,

DE=OE,

???OFYAC,

DF=OF,

'ADEF:S^OEF=DF：OF=1;

當NO￡5=90。時，OE上BD,連結3C,

OD=OB,

DE=BE,

VAB為直徑，

???N/C5=90。，

OFLAC,

；?/DFE=/BCE=90。,尸為力。的中點,

?：/DEF=/BEC,

ADEF之小BEC,

1.DF=BC,

?；OA=OB,尸為/C的中點，

，。尸是△/5C的中位線，

BC=2OF,

/.DF=2OF,

S^DEF-S^OEF=DF:OF=2.

綜上：AZ)￡F與△OE尸的面積比為1或2.

【點睛】本題考查弧，弦，角之間的關系，垂徑定理，圓周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的

判定和性質，中垂線的判定和性質，三角形的中位線定理，綜合性較強，屬于中考幾何常見的壓軸題.熟

練掌握相關定理和性質，是解題的關鍵.

題型2：“有垂徑現三角形”

2.如圖1,點E是。。直徑上一點，AE=2,BE=8,過點E作弦。_LA8,點G在礪上運動，連

接CG.

(2)如圖2,連接NG,作"CG的角平分線交NG于點F，在點G運動的過程中，/尸的長度是否會發生變

化？若發生變化，請說明理由；若不會發生變化，請求出其值.

(3)如圖3,過點8作3〃LCG于〃，連接。求。〃的最小值.

【答案】(1)8

(2)/尸的長度不發生變化；AF=2出

(3)2713-275

【分析】(1)連接O。，根據NE=2,BE=8,確定圓的半徑為5,結合CD_L48,根據垂徑定理，得到

ED=yJoD2-OE2=4?得8=2ED=8.

(2)連接N2/C,根據垂徑定理，得至u4D=AC=TAE?+ED2=2后，利用三角形外角性質，圓周角定

理，證明2。=/。="尸即可.

(3)根據題意，點〃的運動軌跡是以2c為直徑的ON上的前，當。、H、N三點共線時，ZW取得最小

值，計算即可.

【解析】(1)如圖，連接OD,

AE=2,BE=S,

AB=10,

圓的半徑為5,

G

I

???CDVAB,

?*-ED=yIOD2-OE2=4，

???CD=2ED=8.

(2)4b的長度不發生變化；AF=2#.理由如下:

0(?直徑AB,AE=2,BE=8,弦CD1,ED=4,

AD=AC=y)AE2+ED2=2退，

ZADC=ZACD=ZAGC,

???ZDCG的角平分線交ZG于點尸，

???ZFCD=ZFCG,

VZACF=ZACD+ZFCD,ZAFC=ZAGC+ZFCG,

???ZACF=/AFC,

：.AC=AF,

AF=25

故4月的長度不發生變化；AF=25

(3)如圖，連接5C,

?.,BHLCG,

G

點H的運動軌跡是以BC為直徑的?N上的礪,

當。、H、N三點共線時，。〃取得最小值，

連接DN,交前于點M,

故當X與〃■重合時，D8取得最小值，

EC=4,BE=8,CDLAB,

BC=-JBE2+EC2=4>/5，

NM=2亞,

過點N作尸NLCN于點尸，

則FN//EB,

,CN_CF

??麗一說’

,；CN=NB,

：.CF=FE=-EC=2,NF=-EB=4,DF=6,

22

DN=^DF2+FN2=2V13，

/.DM=DN-MN=2而-2遙，

故DH最小值為2^/13-2V5.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形外角性質，直角所對的弦是直徑，點圓最值，中位線定

理，熟練掌握垂徑定理，圓的最值性質是解題的關鍵.

題型3：題型1和題型2綜合

3.已知：是。。的直徑，弦CD交AB于點、E,且弧26=弧50.

圖3

(1)如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接/C,點尸為NC上的一點，連接初，過點。作8,8尸，垂足為點G,若點〃為弧A8的

中點，求NCEB的度數；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接尸〃交4B于點N,若AF=AN,FG=4,求。。的半徑.

【答案】(1)見詳解

(2)45°

(3)472

【分析】(1)連接BC、BD,可證是CD的垂直平分線，即可求證；

(2)連接8C,可求44cH+4CH=90。，由此可求//CH=45°,由NCGF=90。，即可求解；

(3)連接BC、BH,設立4=2a,可得NBHC=NA=2a,從而可求//VF=/4FN=90。-&,

ZCFH=9G0+a,進而可求NCHF=45。一(z,可證ZCHF=ZBHC,可得45。一a=2a,可求乙1=30。，

即可求解.

【解析】(1)證明：如圖，連接8C、BD,

圖1

,:前=前,

BC=BD,

???OC=OD,

二45是CQ的垂直平分線,

/.CE=DE；

圖2

???是O。的直徑，

:.ZACB=90°,

/.乙4CH+/BCH=90。,

??,點”為弧的中點,

.?.初=麗，

ZACH=ABCH,

ZACH=45°,

-CH1BF9

ZCGF=90°,

/.NCFB=90。—45。

=45°,

故NCFB的度數為45。；

圖3

設41=2a,

-BC=BC^

ABHC=N/=2。，

?「AF=AN,

ZANF=ZAFN

=1（180°-2a）

=90。—。，

:.ZCFH=1S00-ZAFN

=180°-（90°-^）

=900+a,

-ZACH=45°9

ZCHF=180。-NCFH-ZACH

=180°-（90°+a）-45°

=45。—。，

vZCFB=45°,ZFCB=90°,

/./CBF=NCFB=45。,

CF=CB,

???CHVBF,

BH=FH,

/CHF=ZBHC,

/FCG=/BCG=-ZACB=45°,

2

/.BG=CG=FG=4,

BC=ylCG2+BG2

=4柩，

45°-a=2a,

解得：a=15。，

.?.4=30。，

AB=IBC,

AB=8>/2,

的半徑為40.

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的基本性質，線段平行線的判定及性質，等腰三角形的判定及

性質，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性質，能根據題意作出適當的輔助線是解題的關鍵.

題型4：構造出圓心角、圓周角之間的關系

4.如圖，在△4BC中，4B=BC/ABC=90。,D是4B上一動點,連接CA,以8為直徑的。“交NC于

點E,連接期并延長交NC于點尸，交。”于點G,連接BE.

(1)若/仍G=45。，求證：點E是前的中點.

(2)當點。移動到使，AE'時，求2C:BD的值.

(3)當點。到移動到使G=30。時，求證：AE-+CF2=EF2.

【答案】(1)見解析

⑵行+1

(3)見解析

【分析】(1)根據題意可得/BEG=90。，再利用三角形內角和定理即可得到本題答案；

(2)根據題意求得//￡>￡=乙4=45。，再利用勾股定理即可得到本題答案；

(3)根據題意證明出/EMF=90。，利用勾股定理得到ADME是等邊三角形，再利用含30。角的直角三角

形三邊關系即可得到本題答案.

【解析】(1)解：證明：連接EG,

?.?剛/為。M的直徑,

???/BEG=90°,

又???4EBG=45。，

：./EGB=180。—/BEG-/EBG=45。，

??BE=EG，

???點E是數的中點.

(2)解：解：連接。￡.

???CQ為。M的直徑，CD1BE,

???血0=90。，BD=DE，

：.ZDEA=90°,BD=DE,

?:AB=BC,ZABC=90°,

N4=/ACB=45°,

???ZADE=180。-乙4-ZAED=45°,

ZADE=ZA=45°f

AE=DE,

：.AE=DE=DB,

AD=y/AE?+DE?=6BD,

AAB=AD+BD=C42+r)BD，

：.BC=AB=(42+r)BD,

BC：BD=42+1;

(3)解：證明：連接應0.

???ZEMB=2ZECB,

由(2)知N￡CH=45。，

???/EMB=90。,

...ZEMF=90°,

EM2+MF2=EF2^

-CG=30%

ZCMG=30°,

Z.DME=60°,

"：DM=EM,

ADME?是等邊三角形，

/.DE=EM,ZCDE=60°,

由(2)知AE=DE,

：.AE=ME,

■：AAEC=90°,ZCDE=60°,

ZDCE=30°,

:.NDCE=NCMG=3Q°,

：.CF=MF,

EM2+MF2=EF2^

：.AE2+CF2=EF2.

【點睛】本題考查圓周角定理，三角形內角和定理，勾股定理，垂徑定理，等腰直角三角形性質和判定，

等邊三角形性質及判定，含30。角的直角三角形三邊關系.

題型5：題型1-4綜合

5.如圖，在△4BC中，點。是/C的中點，以。為圓心，為半徑作。。，交5c于點。，交AB于點、E,

弧瓦＞與弧DC相等，點尸在線段BE上，ABAC=2ZBDF.

(2)判斷。尸與。。的位置關系，并加以證明；

(3)若OO的半徑為5,EB+DF=AO,求AD的長.

【答案】(1)見解析

(2)。尸與。0相切，證明見解析

(3)8。=廂

【分析】該題主要考查了圓周角定理，切線的性質“切線垂直于過圓心的直徑或(半徑)”和判定，三角形中

位線的性質“三角形中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半”和判定,解題的關鍵是做出對應輔助

線；

(1)連接4。，根據弧瓦)與弧DC相等，得出NC4D=NR4D,根據/C是。。的直徑，得出N4DC=90。,

證出4=即可求證；

(2)連接O。，根據/4DC=90。，得出4D28C,證出是△48C的中位線，得出。。〃48,根據

NBAC=2NBDF,證出=尸，由等量代換得出NN尸。=90。，根據平行線性質得出/。〃尸=90。,

即可證明。尸與相切；

(3)連接DE,CE,根據弧與弧DC相等證出。E=OC,根據CD=8。，得出DE=BD,結合(2)得

出EF=FB,證出。k是ABCE的中位線，得出EC=2。尸，

設E尸長為x,則3E=2x,表示出。尸=5-2x,￡C=10-4x,AE=10-2x,根據NC是O。的直徑，得

出乙4EC=90。，在RtZi/EC中，運用勾股定理解出x,得出BF=1,DF=3,在Rt△。尸8中，運用勾股定

理解出8￡)=布；

【解析】(1)證明：連接4D,

?.?弧EO與弧DC相等；

/.ACAD=NBAD,

是。。的直徑；

ZADC=90°,

ZADB=90°,

ACAD+ZACD=90°,ABAD+NABD=90°,

ZACD=/ABD,

：.AB=AC；

(2)。尸與。0相切,

證明：連接。D,

,?ZADC=90°,

：.ADIBC,

AB=AC,

CD=BD,

???點。是4。的中點，

.?.0D是的中位線,

OD//AB,

'：/CAD=/BAD,

???ABAC=2ZBAD,

??,ABAC=2/BDF,

:?ZBAD=/BDF,

9：ZADB=90°,

???ZADF+ZBDF=90°,

：.ZADF+ZBAD=90°,

???ZAFD=90°,

：.ZGEF+乙所D=180°,

???ZODF=90°,

???ODYDF,

???。尸與。。相切；

解：連接。區CE,

???弧切與弧。。相等,

???DE=DC,

9：CD=BD,

:.DE=BD,

?.,ZAFD=90°,

DFLBE,

：.EF=FB,

二。尸是△5C￡的中位線,

???EC=2DF,

設所長為x,貝l」5￡=2x,

9

：EB+DF=AOf

DF=5-2x,

：.EC=10-4xf

'：AB=AC,

AB=10,

，AE=AB-EB=10-2x1

???/C是oo的直徑，

???//￡C=9(T^R34￡(F,AE2+EC2=AC2,

即(10-2x『+(10-4x)2=1()2,

解得x=l或尤=5(舍)，

BF=\,DF=3,

在RtADFB中，BF-+DF2=BD1,

解得麗.

題型6：動點問題（列方程；分類討論）

6.如圖1,在RtZ\48C中，乙4c3=90。，/C=12cm,AB=20cm,動點。由點C向點2以每秒3cm速

度在邊NC上運動，動點￡由點C向點/以每秒4cm速度在邊上運動，若點。、點￡從點C同時出發，運

動f秒（/>0）,連接。E.

⑴求證：XDCEsxACB;

（2）如圖2,設經過點。、C、K三點的圓為OO,連接。。并延長交4B于點

①猜想直線。C與直線的位置關系，并證明你的結論；

②當。。與邊48相切時，貝『=；

③在點。、點E運動過程中，若。。與邊4B交于點M、N(點〃?在點N下方，如圖3),連接CO并延長

交邊48于點連接。M，當AOHM與ACAE相似時，直接寫出f值.

【答案】(1)見解析

4812

(2)@OC1AB,見解析；②元;③/=《或

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，圓周角定理，切線的性質；

CDAC3

(1)直接證明一=—=-結合NECD=NBCA=90°可得XDCE^AACB；

CECB4

(2)①由OC=OE,可得/O￡C=NOCE,由ADCEsMCB可得/CED=NCBA,再證明

ZHAC+ZACH=900BRnT；

②根據/EC。=90。可得DE為直徑，當。。與邊相切時切點為"，此時CH=5t,再利用面積列方程求

解即可;

③先求出。〃=—OC=￡—1%,OM=OD=OC=OE=^t,再分情況討論，當時,

「口QHoCH4

5r南=于當A。-時，分別代入列方程求解即可.

【解析】(1)證明：由題意得，CE=4t,CD=3t,

.CD3t_3

??赤―蘇一"

,：ZACB=90°,AC=l2cm,AB=20cm,

???CB=YIAB2-AC2=7202-122=16cm，

?"_12_3

**CF-T6-4>

.CDAC

**cF-cF,

又,:ZECD=ZBCA=90°,

：.XDCEs/^ACB；

(2)解：?OC±AB.

證明：???。。經過點。、C、E三點，

OC=OE,

：.ZOEC=AOCE,

??,由(1)XDCEsxACB,

???/CED=/CBA,

：.ZHAC+/ACH=ZHAC+ZOEC=ZBAC+ZCBA=90°,

???ZAHC=90。，

OCLAB；

②?.,CE=4z,CD=3t,

:?DE=VC^2+C￡>2=，⑷丫+⑻丫=5t,

：.OD=OC=OE=-t,

2

;。。與邊力5相切，

OH=—t,

2

:?CH=5t,

,：ZACB=90°,4C=12cm,^5=20cm,CS=16cm,

：.S=-AC^BC=-CH-AB,

ARC22'

12x16=5^x20,

48

解得”不；

③由=可得8=^^^=當，

2zADJ

485

：.OH=CH-OC=-----1

52

由半徑相等可得OM=OD=OC=OE=^t,

485

---------1

當時，——,則二二-'s2，解得,=—■；

DEOM5tb.5

-i

2

48_5

CFOH4/飛"—732

當△OHMs-CZ）時，——=,貝汗丁=?，解得才=*;

DEOM5t"15

-i

2

12T,7

綜上所述，當AOffiW與ACDE相似時，”不或冷

7.在矩形4BC。中，AB=6cm,2c=8cm,點尸從點“出發沿4B邊以lcm/s的速度向點8移動，同時,

點。從點8出發沿8c以2cm/s的速度向點C移動，其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動.設運動時

間為/秒：

（1）如圖1,幾秒后，48尸。的面積等于8cm2?

⑵在運動過程中，若以P為圓心、P4為半徑的。P與AD相切（如圖1）,求f值；

⑶若以0為圓心，尸。為半徑作

①如圖2,以。為圓心，PQ為半徑作。。.在運動過程中，是否存在這樣的"直，使。。正好與四邊形/BCD

的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出/值；若不存在，請說明理由；

②如圖3,若。。與四邊形C0P。的邊有三個公共點，貝心的取值范圍為.（直接寫出結果，不需說

理）

【答案】（1）2秒或4秒

⑵|

12—

（3）①。或三或-10+8亞；?0<t<-10+2A/41

【分析】（1）由題意可知尸/=，，BQ=2t,從而得到尸3=6T,BQ=2t,然后根據△PQ3的面積為8cm2

列方程求解即可；

（2）如圖1所示：連接PE.依據勾股定理可求得3。的長，然后依據切線長定理可知。￡=/。=8,從而

可求得3E的長，由圓的半徑相等可知==然后在Rt△尸座中依據勾股定理列方程求解即可；

（3）①先判斷。。不與3c相切，然后分。。與4。相切；。。與CD相切，根據半徑等于產。構建方

程求解即可.

②先求得。。與四邊形。尸0c有兩個公共點時t的值，然后可確定出t的取值范圍.

【解析】（1）解：由題意知，AP=t,BQ=2t,貝U3P=6-/,

?凡BAQ《BP-BQ=8

.,.!（6-?）-2?=8,

解得，=2或t=4,

故當運動時間為2秒或4秒時，XBPQ的面積為8cm2；

（2）解：如圖1,設切點為E,連接尸E.

D

w

圖I

ADLAP,

OP與AD相切9

???。夕分別與Z。，相切，

???AD=DE=8.

???OP與相切，

PELBD,

在RtA4BD中，依據勾股定理可得BD=用+心=10-

BE=BD-DE=2.

'：AP=PE,

：.PE=t,PB=6-t.

在RtZV）班中，依據勾股定理可得，（6-Z）2=/2+22,

o

解得f=§;

（3）解：①由題意知。。不與N8,2C相切,

當。。與相切時，設切點為E,連接QE,

則QE=PQ,

則四邊形/80E是矩形,

：.QE=AB=PQ,

6?=（67）2+（2/）2,

12

解得"0或

當。。與DC相切時，

Z.（6-『+⑵）2=（8-2。2,

解得4=一10+8夜，=-10-872（舍去），

19

綜上，當f的值為0或M或-10+8行時，。。正好與四邊形/BCD的一邊（或邊所在的直線）相切;

當。。經過點。時，。。與四邊形。尸0c有兩個公共點，則QD=P。，

得方程（67）2+（2f『=36+（8-2^,

解得：％=-10-2a（舍），t2=-10+2A/41,

???當0</<-10+2跖，。。與四邊形CDP。有三個公共點.

故答案為：0<l<-10+2面.

【點睛】本題主要考查的是主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了三角形的面積公式、切線長

定理、勾股定理、圓的性質，依據題意列出關于，的方程是解題的關鍵.

題型7：圓與平面直角坐標系

8.如圖，以點P（T,O）為圓心的圓，交x軸于5、C兩點（8在C的左側），交了軸于A、。兩點（A在。

的下方），/43c=30°,將UBC繞點尸旋轉180。，得到△州（%.

（1）求A、8兩點的坐標；

（2）請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形4CW的形狀（不必證明），求出點M的坐標；

（3）動直線L從與四重合的位置開始繞點5順時針旋轉，到與3c重合時停止，設直線工與CN交點為￡,

點。為班的中點，過點E作EG,2c于G,連接QG.請問在旋轉過程中/MQG的大小是否變化？

若不變，求出NMQG的度數；若變化，請說明理由.

【答案】⑴/（0,一6），臺（-3,0）

⑵矩形，河卜2,6）

⑶不變，ZMQG^120°

【分析】（1）連接相，根據等邊對等角，結合三角形的外角求出N/PO=60。，根據含30度角的直角三角

形的性質，求出。4/尸的長，得到A點，2點的坐標即可；

（2）連接及并延長，交圓尸于點連接的幺CN,即可得到四邊形/CW,根據旋轉的性質，推出四

邊形/CA%為矩形，過點/作MN,2c交3C于點N,證明A/OP之AACVP（AAS）,可得點/的坐標；

（3）結合題意，得NBMC=NBGE=90。；再結合點。是成的中點，根據直角三角形斜邊中線性質，得

QM=QE=QB=QG,從而推導得點E、M、8、G在以點0為圓心、然為半徑的圓上，故得MQG=2ZMBG.

再根據=ZPCA=^(180°-ZOAP),即可求解.

【解析】(1)解：如圖，連接的.

由題意知，PA=BP,OP=l,

：.ZPAB=NABC=30°,

???AAPO=ZPAB+ZPBA=60°,

ZAOP=90°9

：.ZPAO=30°f

AP=2OP=2,OA=4iOP=V3,

/(0,—VJ),BP=CP=AP-2,

：.0B=0P+BP=3,

???8(-3,0)；

(2)解：如圖，四邊形/CW是矩形,

由題意，得：//尸M=180。，AP=PM,

，4尸,河三點共線,

；AP=PM,BP=CP,

，四邊形/CWB是平行四邊形，

又,:2C為直徑，

ABAC=90°,

???四邊形ZCW是矩形.

過點加作MN,5c交8C于點N.

在A/O尸和△肱VP中，

ZAOP=ZMNP

<ZAPO=ZMPN,

AP=MP

:.AAOP^AMVP(AAS),

MN=OA=y[?>,NP=OP=\,

又：尸(TO),

..?點M的坐標為卜2,道)；

(3)解：如圖,

結合(2)的結論，四邊形/CA=是矩形，/ABM=NBMC=90。,

???EG1B0,

：.NBGE=90°,

ZBMC=ABGE=90°,

?..點。是8E的中點，

QM=QE=QB=QG=；BE,

點￡、M,B、G在以點。為圓心、Q2為半徑的圓上，

AMQG=2ZMBG.

■：NABC=30°,ZABM=90°,

ZMBC=60°,

ZMQG=2ZMBG=120°.

???在旋轉過程中NMQG的大小不變，始終等于120。.

【點睛】本題屬于圓內綜合題，考查圓的基本知識，垂徑定理，圓周角定理，旋轉的性質，直角三角形斜

邊中線的性質，平面直角坐標系，矩形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理

等，綜合性較強，有一定難度，解題的關鍵是綜合運用上述知識，逐步推導論證.

題型8：圓與二次函數

9.如圖1,在平面直角坐標系xQy中，開口向上的拋物線>=依2+云+。與x軸交于4,3(1,0)兩點，與歹

軸交于點C,且。/=。。=3。8.

圖2

(1)求該拋物線的函數表達式:

(2)若點G為拋物線上一點，當=時，直接寫出點G的坐標;

⑶如圖2若M為線段48的中點，N為拋物線的頂點，?7經過/,B,C三點.經過圓心7的直線交拋物

線于。，E兩點，直線沏交x軸于點尸，直線MT交x軸于點Q.求“尸同。的值.

【答案】（l）.y=—+2x-3

（1013811

⑵-3~~9

=詳見解析

【分析】本題考查二次函數綜合題，涉及待定系數法求二次函數解析式，二次函數與角度問題，二次函數

與定值問題;

(1)由8(1,0)求出/(-3,0),C(0,-3),然后將這三個點代入y=a/+6x+c計算即可；

(2)取點M(-2,l),N(-2,-l),MV交x軸于尸，證明ABOC2AMPB,ABOCANPB,得到

NGBA=/BCO=NMBA=/NBA,點、G為直線BM、5N與拋物線的交點，分別求直線由/、8N解析式，

再與二次函數解析式聯立求交點即可；

(3)先求出圓心再設。(加，川+2吁3),E(〃,/+2〃-3),求出經過的直線DE解析

式，再與拋物線聯立得到/+(2-左卜-2-左=0,推出加+”="2,mn=-k-2,再求出ND解析式及其與

x軸于點尸，得到〃？=帛+1|=高4

同理.0=^,再代入計算即可

【解析】⑴解：?."(1,0),

OB=\,

：.OA=OC=3OB=3,

二./(-3,0),C(0,—3),

將4(-3,0),5(1,0),C(0,—3)代入＞=辦2+bx+c得:

0=9a-3b+c

＜0=a+b+c,

c=-3

a=1

解得＜6=2,

c=-3

???該拋物線的函數表達式為y=x2+2x-3；

(2)解：取點ACV交x軸于尸，則/BOC=/MPB=NNPB=90°,

：.ZGBA=ZBCO=ZMBA=ZNBA,

...點G為直線9、8N與拋物線的交點，

設直線BM解析式為y=/x+4，

(、/、fl=—2左+b,

代入8(1,0)得1I解得

IU/C]I

二?直線破解析式為歹=一;x+g,

10

11x=-----

、，、y~—1—x=1,、3

聯立《33,解得或<

y二0一13

y=x2+2x-3y=-

9

即直線9與拋物線的交點點G的坐標［-了，］

同理直線3N與拋物線的交點點G的坐標

10138_11

???點G的坐標

39~~9

(3)解：MPMQ=—；理由如下:

???OT經過45。三點,

???圓心丁在AB的垂直平分線x=-1,與的垂直平分線y=x的交點處,

???T(-L-1).

???。/為拋物線上兩點,

.,.設加，加2+2加—3),+2〃—3),

設經過T(T-1)的直線QE解析式為片人(工+1)-1,

y=k(<x+l^-l

聯立得:

y=x2+2x-3

即：%?+(2—左)x—2—左=0,

:.m+n=k-2,mn=-k-2.

?.?N為拋物線的頂點，

二.N(-1,-4),

+2加—3),

.4。表示為y=>+2〃L3+4(X+I)_4,即：j/=(m+l)(x+l)-4

m+1

???直線沏交x軸于點尸,

令歹=0,得(加+1)(%+1)-4=0

4

解得馬=-7-1

m+1

4

,\MP=\xp+]\=---1+1=

m+1m+1

4

同理，MQ=

n+\

4416=61616

:.MPMQ==

m+1H+1(m+l)(?+l)||mn+m+n+lk-2-k-2+]3

故MPMQ的值為了.

10.如圖，已知拋物線了=辦2+法+0(℃<0)與X軸交于/、3(/在3的左邊)，與y軸交于C,且

OB=4OA.

(1)若點/的坐標是(-1,0),C的坐標是(0,-4),試求拋物線的解析式；

⑵在(1)的條件下，如圖1,直線V=x與拋物線y="2+6x+c交于。、￡兩點，點尸在直線DE下方的

拋物線上，若以尸為圓心作。尸，滿足。尸與直線。E相切，求當。尸的半徑最大時，點尸的坐標；

(3)如圖2,若OB=OC,M、N分別是拋物線對稱軸右側上的兩點(M在N的右邊)，連接4"、AN、

PB

MN,MV交x軸于點P,點K是MN的中點，若。MW■的內心在x軸上，K的縱坐標為"，試探究——的

n

值是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】(1))=尤2-31

(2)(2,-6)

…士PB1

(3)定值，一=-

n5

【分析】(1)設拋物線的解析式為V=a(x+l)(x-4),將C點坐標代入，即可求解；

(2)過尸作由，OE于〃，過尸作尸。〃了軸，交直線于0,由切線的性質得〃在。尸上，r=HF,

由勾股定理得,設。(優M),尸(加，療一3俏一4),可求。尸=一加2+4加+4,即可求解；

(3)設/(-加⑼，設拋物線解析式為y=4x+W(x-4加)，將C(0,-4加)代入得，am=\,設直線⑷/解

析式為丁=k(》+小)，聯立直線與拋物線的解析式得與=加上+4加，M^mk+4m,mk2+5mk^,同理可求

出N(-mk+-5叫,由中點得K(4加,MP),待定系數法得直線解析式為y=5x+加/-20加,

可求出產(4%-("Ko],由P8=OP-O2可求出PB,即可求解.

【解析】(1)解：的坐標是(T,。)，

0/=1,

OB=AOA,

.-■5(4,0),

.??可設拋物線的解析式為V=a(x+l)(x-4),

VC(0,-4),

a(O+l)(O-4)=-4,

解得：a=l,

y-(x+l)(x-4)

=x~—3x—4,

故拋物線的解析式為y=/-3x-4；

(2)解：如圖，過尸作尸8，。￡于“，過尸作尸。〃＞軸，交直線。￡于0,

在。尸上，r=HF,

?..直線y=x,

/.HOF=45°,

QF=4iHF=6r,

設。（私加），F（m,m2-3m—4^,

QF=-m2+4m+4

=-（m-2）2+8,

v-l<0,

..?當冽=2時，。%乂=8,

*ax=4亞,

2

：.yF=2-3x2-4

=-6,

（3）解：定值，

設/（-加,0）,

?-?OB=4OA,OB=OC,

5（4m,0）,C（0,—4m）,

，設拋物線解析式為>=a（x+?0（x-4%）

將C（0,-4m）代入得，

am=1,

???&42W的內心在x軸上，

NMAB=/NAB,

設直線/V解析式為：了=Mx+m）,

,[y=Q（x+機）（x―4機），

解得：XM=mk+4m,

M（mk+Am,mk2+5加上）,

?;AP平分NMAN,且。在x軸上,

，直線AM與直線AN關于不軸對稱,

「?同理設直線4V解析式為：y=-k（x+m）,

同理可求出N(^-mk+4m,mk2-5mk),

???K是AW的中點，

xK=；（加左+4加一加左+4機）

=4m,

yK=；（加左2+5加左+加左之一5加左）

=mk?,

：.K(4m,mk2},

設直線MV解析式為：y=k2x+b1,則有

[mk+4冽)左i+4=mk2+5mk

[—mk+4m)k[+々=mk2—5mk'

&=5

解得:

=mk2-20m'

???直線跖V解析式為：y=5x+mk2-20m,

當丁=0時，

5x+mk2-20m=0，

解得：x-4m--mk2,

.?小一)可，

1

OP=4m--mk9,

:.PB=OP-OB

=4m-14m--mk2\

I5J

=^mk2,

PB^mk"1.

nmk25

【點睛】本題考查了待定系數法，二次函數的性質，切線的性質，三角形的內心定義，勾股定理等；能熟

練使用待定系數法求函數解析及輔助未知數表示點的坐標，掌握切線的性質，并能利用二次函數性質求最

值是解題的關鍵.

題型9：新定義題一直線與圓的位置關系

11.在平面直角坐標系xQy中，O。的半徑為1.對于O。的弦和一點C,給出如下定義：若直線NC與

。。只有一個公共點，AABC=a,則稱點C是弦4B的“a切割點”.

①若點為弦42的“120。切割點”，則加=，點5的坐標為；

②若弦與x軸平行且只有一個點尸為弦N8的“a切割點”，則a的取值范圍是；

（2）已知點。為直線y=Gx+6上一點，若存在的弦MN.當1〈兒W＜0時，點。為弦的“90。切割

點直接寫出6的取值范圍.

【答案】⑴①2；（0,1）；②60。4。＜120°

⑵-2石W6W2石

【分析】（1）①過點/作軸于C,連接CM,解RM/OC得到乙40c=30。，則//OM=60。，根據

題意可得與。。相切，則/CMM=90。，進而可得N/MO=90。一N/（W=30。，求出（W=2O/=2,

則％=2；設OM與。。軸交點為夕，證明為等邊三角形，得到N4B'O=60。，貝UN484f=120。，再

由/4BM=120。，可得點5與點9重合，即。、B、"三點都在y軸上，則以0,1）.②如圖，先由平行線

的性質得到/CM8=//OC=30。，再由“a切割點”的定義得到NCMP=90。，當點＜在43下方時，可得

0。＜44期＜60。，當點8在N8上方時，可得0。＜/5以＜120。，再由只有一個點尸為弦N3的“a切割

點”，可得60°Va＜120。.

（2）在。。取弦MN',使得W=l,此時點。'為弦MN'的"90。切割點”，連接。。'，OM,ON',貝I]

ZQ'MO=ZQ'N'M=90°,證明△OW是等邊三角形，得到NOW=60。，貝I]/Q'AW'=30°,可求出

Q'M=當,則可利用勾股定理求出00=JQ求2+0"=浮,故點0在以點。為圓心，半徑為亨的

圓上運動；如圖所示，在。。取弦MV",使得MN"3，此時點0〃為弦舫V”的"90。切割點”，連接

OQ",ON",證明△MW是直角三角形，且/NOW=90。，得到/MW=45。，貝I]=45°,即可

推出△Q〃AW"是等腰直角三角形，得到Q"M=4iMN"=2,則Q"O=亞層/廬=石，故點。〃在以點。

為圓心，半徑為右的圓上運動；綜上所述，當1<MN〈痣時，點。的軌跡是以。為圓心，半徑為亨和

半徑為6兩個圓組成的圓環，那么直線>=后+6一定要與以。為圓心，半徑為浮和半徑為百兩個圓

組成的圓環有交點；求出當直線了=后+6與以。為圓心，半徑為右的圓相切時6的值即可得到答案.

【解析】(1)解：①如圖，過點N作軸于C,連接。4,

/.ZAOC=30°,

???點M在y軸上，

/.ZAOM=90°-30°=60°,

???點M(0,m)為弦AB的“120。切割點”,

???4M與。。相切,

???AMLOA,

：./0AM=90°,

/AMO=90°-ZAOM=30°,

???OM=2OA=2x1=2,

「?加=2,

設。河與O。軸交點為夕，

OA=OB',

???"OB，為等邊三角形，

???/AB'O=60°,

???/AB'M=120。，

?.?點M（0,加）為弦4g的“120。切割點”，

：.ZABM=120°f

???點5與點9重合，即。、B、河三點都在y軸上,

OB=\,

???NOAB=NABP=3。。,

???弦4B與x軸平行且只有一個點P為弦AB的“a切割點”,

AP與OO相切于4,

AP10Af

ZOAP=90°,

當點々在下方時，

.?./[45=90。+30。=120。，

0°<ZABPi<60°,

0°<a<60°；

當點g在43上方時，則/￡/8=90。-30。=60。，

0°</￡8/<120°,

二0°<<z<120°,

?.?只有一個點尸為弦48的“a切割點”，

60°4a<120°.

(2)解:如圖所示，在。。取弦MN'，使得W=1,此時點Q'為弦MN'的"90。切割點”,連接OM,ON',

：.AQ'MO=ZQ'N'M=90°,

：。。的半徑為1,

OM=ON=MN'=1,

/./\OMN'是等邊三角形，

/.NOMN'=60°,

：.ZQ'MN'=30°,

：.QN=*MN=[,

：.QM=2Q'N'=當,

：.Q'O=ylQ'M2+OM2=浮，

點。'在以點。為圓心，半徑為呼的圓上運動；

如圖所示，在0。取弦使得兒加〃=亞，此時點。〃為弦的"90。切割點”，連接O。"，ON",

：.OM=ON"=1,ZQ"MO=ZQ"N"M=90°,

'/N"M2=2,OM2+N"O2=1+1=2,

N"M2=OM2+N"O2,

△N%。是直角三角形，且NN"OM=90。，

ZN"MN=45°,

：.NQ"MN"=45°,

???△0"兒W〃是等腰直角三角形，

，Q"M=>/2MN"=2,

Q"O=^Q"M2+OM2=石,

點。"在以點。為圓心，半徑為火的圓上運動；

綜上所述，當1<MV<0時，點。的軌跡是以。為圓心，半徑為浮和半徑為右兩個圓組成的圓環，

:點。為直線了=底+6上一點，

，直線y=G+b一定要與以。為圓心，半徑為孚和半徑為百兩個圓組成的圓環有交點；

如圖所示，當直線丁=岳+6與以。為圓心，半徑為石的圓相切于點，G軸上方）時，連接3,設直

線y=+6與x軸，y軸分別交于K、L,則K--y-,0,Z（0,6）,

7

：.OK