變換理論變換是從拉氏變換引申出來的一種變換方法，是研究線性離散系統的重要數學工具。一、變換定義由式(8-5)，采樣信號的拉氏變換(1-1)可見為的超越函數。為便于應用，進行變量代換（1-2）將式(8-19)代入式(8-18)，則采樣信號的變換定義為(1-3)變換定義式（1-3）表示變量的系數代表連續時間函數在采樣時刻上的采樣值。有時也將記為(1-4)這些都表示對離散信號的變換。二變換方法常用的變換方法有級數求和法和部分分式法。1.級數求和法根據變換的定義，將連續信號按周期進行采樣，將采樣點處的值代入式（1-3），可得再求出上式的閉合形式，即可求得。例1-1對連續時間函數按周期進行采樣，可得試求。解按(1-3)變換的定義若，則無窮級數是收斂的，利用等比級數求和公式，可得閉合形式為2.部分分式法（查表法）已知連續信號的拉氏變換，將展開成部分分式之和，即且每一個部分分式都是變換表中所對應的標準函數，其變換即可查表得出例1-2已知連續函數的拉氏變換為試求相應的變換。解將展成部分分式：對上式逐項查變換表，可得三變換的基本定理1.線性定理若,,,為常數，則(1-5)證明由變換定義式(1-5)表明，變換是一種線性變換，其變換過程滿足齊次性與均勻性。2.實數位移定理實數位移是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為滯后。實數位移定理表示如下：如果函數是可z變換的，其變換為，則有滯后定理(1-6)以及超前定理（1-7）其中為正整數。證明式(1-6)，由變換定義令，則有由于變換的單邊性，當時，有，所以上式可寫為再令，式(1-6)得證。證明式(1-7)，由變換定義可知令，則有再令，可以得到式(1-7)得證。顯然可見，算子有明確的物理意義：代表時域中的延遲算子，它將采樣信號滯后個采樣周期；同理，代表超前環節，它把采樣信號超前個采樣周期。實數位移定理的作用相當于拉氏變換中的微分或積分定理。應用實數位移定理，可將描述離散系統的差分方程轉換為域的代數方程。例1-3試用實數位移定理計算滯后函數的變換。解3.復數位移定理如果函數是可變換的，其變換為，則有(1-8)證明由變換定義令，代入上式，則有原式得證。例1-4試用復數位移定理計算函數的變換。解令，查表可得根據復數位移定理(1-8)，有4.終值定理如果信號e(t)的z變換為E(z)，信號序列e(nT)為有限值(n＝0，1，2，…)，且極限存在，則信號序列的終值(1-9)證明根據z變換線性定理，有由平移定理于是上式兩邊取時的極限，得當取為有限項時，上式右端可寫為令，上式為所以得證。在離散系統分析中，常采用終值定理求取系統輸出序列的穩態值和系統的穩態誤差。例1-5設變換函數為試利用終值定理確定的終值。解由終值定理(1-9)，得5.卷積定理設和，，為兩個采樣信號序列，其離散卷積定義為(1-10)則卷積定理可描述為：在時域中，若(1-11)則在z域中必有(1-12)證明由變換定義，有所以根據變換平移定理，有故交換求和次序并利用式(1-10)，上式可寫為原式得證。在離散系統分析中，卷積定理是溝通時域與域的橋梁。利用卷積定理可建立離散系統的脈沖傳遞函數。應當注意，變換只反映信號在采樣點上的信息，而不能描述采樣點間信號的狀態。因此變換與采樣序列對應，而不對應唯一的連續信號。不論什么連續信號，只要采樣序列一樣，其變換就一樣。四反變換已知變換表達式，求相應離散序列的過程,稱為反變換，記為(1-13)當時，，信號序列是單邊的，對單邊序列常用的反變換法有部分分式法，冪級數法和反演積分法。1.部分分式法（查表法）部分分式法又稱查表法，根據已知的，通過查變換表找出相應的，或者。考慮到變換表中，所有變換函數在其分子上都有因子，所以，通常先將展成部分分式之和，然后將等式左邊分母中的乘到等式右邊各分式中，再逐項查表反變換。例1-6設為試用部分分式法求。解首先將展開成部分分式，即把部分分式中的每一項乘上因子后，得查z變換表得，最后可得2.冪級數法變換函數的無窮項級數形式具有鮮明的物理意義。變量的系數代表連續時間函數在時刻上的采樣值。若是一個有理分式，則可以直接通過長除法，得到一個無窮項冪級數的展開式。根據的系數便可以得出時間序列的值。例1-7設為試用長除法求或。解應用長除法，用分母去除分子，即可寫成所以 長除法以序列的形式給出的數值，但不容易得出的封閉表達形式。3.反演積分法（留數法）反演積分法又稱留數法。在實際問題中遇到的變換函數，除了有理分式外，也可能是超越函數，此時無法應用部分分式法及冪級數法來求反變換，只能采用反演積分法。當然，反演積分法對為有理分式的情形也適用。的冪級數展開形式為(1-14)設函數除有限個極點,,…外，在z域上是解析的，則有反演積分公式(1-15)式中表示函數在極點處的留數，留數計算