導數是微分學關鍵概念,是研究函數§1導數概念一、導數概念化率”,就離不開導數.三、導數幾何意義二、導函數態有力工具.不論何種學科,只要包括“變與自變量關系產物,又是深刻研究函數性返回第1頁一、導數概念普通認為,求變速運動瞬時速度，求已知曲線別在研究瞬時速度和曲線牛頓(1642－1727,英國)兩個關于導數經典例子.切線時發覺導數.下面是微分學產生三個源頭.牛頓和萊布尼茨就是分上一點處切線，求函數最大、最小值，這是第2頁1.

瞬時速度設一質點作直線運動,質點位置s是當t越來越靠近t0時，平均速度就越來越靠近t0時間t函數,即其運動規律是則在某(1)時刻瞬時速度.嚴格地說,當極限時刻t0及鄰近時刻t之間平均速度是第3頁2.

切線斜率如圖所表示,存在時,這個極限就是質點在t0時刻瞬時速度.其上一點

P(x0,y0)處切線點擊上圖動畫演示點Q,作曲線割線PQ，這PT.為此我們在P鄰近取一需要尋找曲線y=f(x)

在條割線斜率為第4頁答:它就是曲線在點

P切線

PT斜率.極限若存在，則這個極限會是什么呢？構想一下,當動點

Q沿此曲線無限靠近點

P時，(2)第5頁上面兩個問題即使出發點相異，但都可歸結為同x0處關于x瞬時改變率(或簡稱改變率).均改變率，增量比極限(假如存在)稱為f在點極限.這個增量比稱為函數f關于自變量平Dy=f(x)–f(x0)與自變量增量

Dx=

x–xo

之比一類型數學問題：求函數f在點x0處增量第6頁定義1設函數y=f(x)在點x0某鄰域內有定義，假如極限存在,則稱函數

f在點

x0

可導,

該極限稱為

f在假如令

Dx=

x–

x0,Dy=f(x0

+Dx)–f(x0),導數就x0

導數，記作能夠寫成第7頁二、導數定義定義1.設函數在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數若某鄰域內有定義,在點處可導,在點導數.機動目錄上頁下頁返回結束第8頁這說明導數是函數增量

Dy與自變量增量

Dx之比極限,即

就是

f(x)關于

x在

x0處改變點x0不可導.率.假如(3)或(4)式極限不存在,則稱在第9頁在點某個右鄰域內五、單側導數若極限則稱此極限值為在處右導數,記作即(左)(左)定義2

.設函數有定義,存在,機動目錄上頁下頁返回結束第10頁定理2.函數在點且存在簡寫為可導充分必要條件是機動目錄上頁下頁返回結束例3證實函數f(x)=|x|在x=0處不可導.證因為時它極限不存在,所以

f(x)

在x=0當處不可導.第11頁例4

證實函數在x=0處不可導.不存在極限,所以

f在

x=0處不可導.證因為當時,第12頁第13頁四、函數可導性與連續性關系定理1.證:設在點x

處可導,存在,所以必有其中故所以函數在點x連續.注意:函數在點x連續未必可導.反例:在x=0處連續,

但不可導.即機動目錄上頁下頁返回結束第14頁定理5.1

假如函數

f在點

x0可導,則

f在點

x0連續.值得注意是函數在某點連續僅是函數在該點可其中

D(x)是熟知狄利克雷函數.例5證實函數

僅在

x=0處可導,

處連續，卻不可導.導必要條件.如例3、例4中函數均在x=0第15頁不連續,由定理5.1,f(x)在點

x0不可導.因為導數是一個極限,所以如同左、右極限那樣,所以有當

x0=0時,因為證當時,用歸結原理輕易證實

f(x)在點

x0能夠定義左、右導數(單側導數).第16頁二、導函數假如函數f在區間I上每一點都可導(對于區間(7)即導函數，簡稱導數,記作定義了一個在區間I上函數，稱為f在I上則稱f為區間I上可導函數.此時,對I上任端點考慮對應單側導數,如左端點考慮右導數),僅為一個記號，學了微分之后就會知注

這里意一點x都有f一個導數與之對應,這就第17頁三、導數幾何意義曲線在點切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處切線方程:法線方程:機動目錄上頁下頁返回結束第18頁例1.求函數(C為常數)導數.解:即例2.求函數解:機動目錄上頁下頁返回結束第19頁說明