遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．4 B．60 C．68 D．524．學(xué)校放三天假，甲?乙兩名同學(xué)打算去敬老院做志愿者，甲同學(xué)準(zhǔn)備在三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)準(zhǔn)備在前兩天中隨機(jī)選一天，則甲乙選擇同一天的概率是（

）A． B． C． D．5．若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．對任意，都有，且不恒為0，函數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．4 D．68．已知，向量，且的最小值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其中，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為、、、，則（

）A． B．C． D．10．若，記為不超過的正整數(shù)中與互質(zhì)（兩個(gè)正整數(shù)除1之外，沒有其余公因數(shù)）的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，則下面選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．若是質(zhì)數(shù)，則D．11．在正三棱臺中，分別是線段上的點(diǎn)，是上、下底面的中心，是底面內(nèi)一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若平面，則點(diǎn)的軌跡長等于C．D．當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)構(gòu)成的圖形為直角梯形三、填空題12．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，則.13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則.14．的最大值為.四、解答題15．如圖1，在中，，，、兩點(diǎn)分別在、上，使.現(xiàn)將沿折起得到四棱錐，在圖2中.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的正切值.16．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．在中，角所對的邊分別是，且滿足(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范圍.18．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.(1)求和；(2)求證：是等比數(shù)列；(3)求的數(shù)學(xué)期望（用表示）.19．已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，過圓上一動點(diǎn)作圓的切線交圓于兩點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn).(1)四邊形的面積是否是定值，直接給出結(jié)果，不必證明；(2)對平面上所有點(diǎn)進(jìn)行如下變換，（即：原坐標(biāo)在這個(gè)變換下的新坐標(biāo)為），圓、圓、直線分別變換成，點(diǎn)變換成.①寫出的方程，與是否相切，證明你的結(jié)論；②四邊形的面積是否是定值，請說明理由.參考答案1．C【詳解】，，.故選：C2．A【詳解】或，或，但或，故“”是“”的充分而不必要條件，A正確，BCD錯(cuò)誤.故選：A3．D【詳解】，∴，∴，故選：D.4．C【詳解】甲同學(xué)有3種選擇，乙同學(xué)有2種選擇，故共有種選擇，其中甲乙選擇同一天的情況有2種，故甲乙選擇同一天的概率為.故選：C5．B【詳解】的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，所以.故選：B6．B【詳解】點(diǎn)在上，則，且或，因，則，，則，解得，故或.故選：B7．B【詳解】令，可得，所以，令，可得，因?yàn)椴缓銥?，所以，所以是奇函數(shù)，因?yàn)椋?故選：B.8．C【詳解】延長至，使，則，所以共線，又的最小值為，且，所以為等腰三角形，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則，

所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即的最小值為.故選：C9．ABC【詳解】對于A選項(xiàng)，由平均數(shù)的性質(zhì)可得，A對；對于B選項(xiàng)，不妨設(shè)，若為奇數(shù)，設(shè)，則數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，若，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為、、、，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；當(dāng)，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為、、、，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；若為偶數(shù)，同理可知，，B對；對于C選項(xiàng)，由方差的性質(zhì)可得，C對；對于D選項(xiàng)，若、是、、、中最大值、最小值，當(dāng)時(shí)，則為、、、中的最大值，為、、、中的最小值，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則為、、、中的最小值，為、、、中的最大值，此時(shí)，，D錯(cuò).故選：ABC.10．BC【詳解】不超過14且與14互質(zhì)的正整數(shù)有，共6個(gè)，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；不超過16且與16互質(zhì)的正整數(shù)有，共8個(gè)，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若是素?cái)?shù)，與前個(gè)正整數(shù)均互素，可得，所以C選項(xiàng)正確；若，則，然而必為偶數(shù)，故比小的數(shù)中所以偶數(shù)與不互質(zhì)，而且為奇數(shù)也與不互質(zhì)，此時(shí)，當(dāng)為合數(shù)時(shí)，還會存在至少1個(gè)數(shù)與不互質(zhì)，此時(shí).例如時(shí)，，，∴，，此時(shí)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．AC【詳解】A選項(xiàng)，顯然⊥底面，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，所以，故，A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕制矫妫矫妫云矫妫十?dāng)在上時(shí)，滿足平面，故的軌跡長度為，其中，由余弦定理得，點(diǎn)的軌跡長不等于，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，，，又棱臺的體積為，所以，C正確；D選項(xiàng)，四邊形為等腰梯形，當(dāng)與重合，時(shí)，，但此時(shí)與平行，故與不平行，此時(shí)四點(diǎn)構(gòu)成的圖形不為直角梯形，D錯(cuò)誤.故選：AC12．2【詳解】由焦半徑公式得，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離，解得.故答案為：213．【詳解】因?yàn)閷θ我鈴?fù)數(shù)，都有，又，所以，所以，所以.故答案為：.14．25【詳解】設(shè).則在橢圓上，在圓上..設(shè)是上一點(diǎn)，，∵，∴，即，∴當(dāng)共線的時(shí)，取最大值，此時(shí)最大，最大值為5，∴.15．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在圖1的中，，所以，，且，，因?yàn)椋裕瑒t，，在中，，，，則，在圖2的中，，，，滿足，所以，，因?yàn)椋⑵矫妫裕矫?（2）解法一：因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，設(shè)平面一個(gè)的法向量，則，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，，.因此，平面與平面所成角的正切值為；解法二：過在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫驗(yàn)槠矫妫裕驗(yàn)椋⑵矫妫裕矫妫驗(yàn)槠矫妫瑒t，所以，為平面與平面所成的角，設(shè).在中，，，，，所以，，，在中，，，，，所以，，則，在中，，所以，平面與平面所成角的正切值為.16．(1)答案見解析(2).【詳解】（1）解：由函數(shù)，其中，可得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為及；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為及.綜上可得：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為及；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為及.（2）解：由（1）知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，所以，令，可得，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，令，可得，令，可得，所以為單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榍遥裕C上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理得，即，因?yàn)椋裕裕裕忠驗(yàn)椋?（2）由余弦定理得：，代入得：，根據(jù)基本不等式，得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，的面積為：，故面積的最大值為.（3）令，則，所以可化為：因?yàn)椋啥魏瘮?shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式大于，當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，故的取值范圍為18．(1)，；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）依題意，，，，.（2）設(shè)表示次取球后甲口袋有2個(gè)黑球，表示次取球后甲口袋有1個(gè)黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同時(shí)乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同時(shí)乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，當(dāng)時(shí)，則，，，，因此，即，，所以是為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列.（3）依題意，的分布列為012期望，由（2）得，所以.19．(1)是，(2)①，與相切，證明見解析；②四邊形的面積是定值，理由見解析【詳解】（1）由與垂直，四邊形的面積，四邊形對角線互相