重難點08玩轉外接球、內切球、棱切球經典問題

【題型歸納目錄】

題型一：正方體'長方體模型

題型二：正四面體模型

題型三：對棱相等模型

題型四：直棱柱模型

題型五：直棱錐模型

題型六：正棱錐與側棱相等模型

題型七：側棱為外接球直徑模型

題型八：共斜邊拼接模型

題型九：垂面模型

題型十：最值模型

題型十一：二面角模型

題型十二：圓錐圓柱圓臺模型

題型十三：錐體內切球

題型十四：棱切球

【方法技巧與總結】

技巧總結一：正方體、長方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

3、補成長方體

（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.

（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長如圖3所示.

（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

技巧總結二：正四面體外接球

如圖，設正四面體ABCD的的棱長為“，將其放入正方體中，則正方體的棱長為史■“，顯然正四面體

2

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為氏=曰“?*=手〃’即正四面體外接球半徑為氏二手

a.

技巧總結三：對棱相等的三棱錐外接球

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可以

通過構造長方體來解決這類問題.

b1+C1=m2222

如圖，設長方體的長、寬、高分別為a,6,c,貝IJ/+02=”2,三式相加可得/+/+="+"一+廠,

2

a2+b2=t2

而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為R,則4+°2=4心，所以R=,”六

技巧總結四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：確定球心。的位置，Q是AABC的外心，則平面ABC；

第二步：算出小圓。的半徑AQ=r,OOX=1A4,=1/Z（然=//也是圓柱的高）；

2

第三步：勾股定理：0T=0.A+=R2=（|）2+/=R=卜十（夕,解出R

技巧總結五：直棱錐外接球

如圖，R4_L平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑A",連接PD,則PD必

過球心(9；

第二步：2為AABC的外心，所以OQ_L平面ABC,算出小圓。］的半徑。=r(三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得‘一=—也=上=2/)，OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2=PA?+(24o2R=1PA2+(2r)2；

(2)7?2=r2+OO；oR=G?+OO：.

技巧總結六：正棱錐與側棱相等模型

1、正棱錐外接球半徑：R=^~.

2、側棱相等模型:

如圖，P的射影是AABC的外心

o三棱錐P-ABC的三條側棱相等

。三棱錐P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心。「則P,0,Q三點共線；

第二步：先算出小圓。的半徑=再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；

第三步：勾股定理：0A"2=①一"產+產，解出R=）媒”.

技巧總結七：側棱為外接球直徑模型

方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形.

技巧總結八：共斜邊拼接模型

如圖，在四面體ABCD中，AB±AD,CBLCD,此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形

拼接而形成的，BD為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設點。為公共斜邊的中點，根據直

角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，OA=OC=OB=OD,即點。到A,B,C,。四點的距

離相等，故點。就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊班?就是外接球的一條直徑.

技巧總結九：垂面模型

如圖1所示為四面體P-ABC,已知平面上48_1_平面ABC,其外接球問題的步驟如下：

（1）找出△PAB和人鉆。的外接圓圓心，分別記為。1和Q.

（2）分別過。］和。2作平面R45和平面A6C的垂線，其交點為球心，記為O.

（3）過。|作鉆的垂線，垂足記為。，連接Q。，則

（4）在四棱錐A-OQOQ中，AD垂直于平面。O0Q，如圖2所示，底面四邊形。0。。?的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

o

o

圖1圖2

技巧總結十：最值模型

這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等

技巧總結十一：二面角模型

如圖1所示為四面體尸-ABC，已知二面角P-AB-C大小為a,其外接球問題的步驟如下：

(1)找出△RIB和A4BC的外接圓圓心，分別記為和

(2)分別過。］和。2作平面皿和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過a作AB的垂線，垂足記為。，連接a。，則aOLAB.

(4)在四棱錐4-00002中，垂直于平面。。0。2，如圖2所示，底面四邊形。00&的四個頂

點共圓且QD為該圓的直徑.

技巧總結十二：圓錐圓柱圓臺模型

1、球內接圓錐

如圖1,設圓錐的高為力，底面圓半徑為r,球的半徑為A.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來

計算R.如圖2,當PC>CB時，球心在圓錐內部；如圖3,當PC<CB時，球心在圓錐外部.和本專題前

面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

h2+r2

由圖2、圖3可知，OC^h-R^R-h,故⑺一封+尸=店,所以R="十'.

2h

p

3、球內接圓臺

（/一/_廿Y

R2=W+44n,其中小公〃分別為圓臺的上底面、下底面、高.

I2〃J

技巧總結十三：錐體內切球

方法：等體積法，即R返

S表面積

技巧總結十四：棱切球

方法：找切點，找球心，構造直角三角形

【典型例題】

題型一：正方體、長方體模型

[例1]（2025?高一?重慶?期中）正方體內切球與外接球體積之比為（）

A.5/3:3B.不：9C.1:3D.1:9

【答案】B

【解析】不妨設正方體的棱長為2a,正方體內切球和外接球的半徑分別為r和民

正方體內切球的直徑等于棱長，所以2r=2〃，即

正方體外接球的直徑等于體對角線，所以2R=2后；

44一

所以正方體內切球與外接球體積之比：最T='==

3

故選:B

【變式1-1］（2025?高一?云南昆明?期中）已知三棱錐尸-ABC,PA,PB、PC兩兩垂直，2=1,

PB=&PC=2,則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）

A.兀B.5TTC.67rD.8無

【答案】D

【解析】因為三棱錐P-ABC中，PA,PB、PC兩兩垂直，

所以其外接球半徑R滿足2R=JP黯+PB2+PC。=20，R=y/2.

故三棱錐P-ABC的外接球表面積為4%x（④/=8萬.

故選：D.

【變式1-2］（2025?天津武清?模擬預測）已知正方體ABCD-ABIGR的棱長為2,其各面的中心分別為點

E,F,G,H,M,N,則連接相鄰各面中心構成的幾何體的外接球表面積為（）

A.4〃B.8萬C.12〃D.16〃

【答案】A

【解析】如圖所示：設正方體ABC。-A四GR的中心。滿足：

OE=OF=OG=OH=OM=ON=1

所以該幾何體的外接球的球心為。，半徑為1

則外接球表面積為S=4萬/=4萬

故選：A

題型二：正四面體模型

【例2】（2025?全國?高三專題練習）棱長為“的正方體內有一個棱長為尤的正四面體，且該正四面體可以

在正方體內任意轉動，則x的最大值為（）

A.-aB.BaC.BaD.旦a

2263

【答案】。

【解析】

棱長為。的正方體的內切球的半徑%,正四面體可以在正方體內任意轉動，只需該正四面體為球的內接

正四面體，換言之，棱長為X的正四面體的外接球的半徑為g,

2

設正四面體為尸-ABC,過P作平面ABC,垂足為。，。為底面正AABC的中心，貝I」

A°備生=%,體高為卜_（*）2邛X，由于外接球半徑為藍，利用勾股定理得:

（^x-|）2+（^x）2=（-|）2,解得x=ga,

選。.

【變式2-1］（2025?河南?西平縣高級中學模擬預測）一個正四面體的棱長為2,則這個正四面體的外接球的

體積為（）

A.娓兀B.2%C.3萬D.20萬

【答案】A

【解析】如圖，四面體是正四面體，棱長BD=2,將其補形成正方體GBCD-MENF,

則正方體GBCD-KETVF的棱長==此正方體的體對角線長為布，

2

正四面體BDMN與正方體GBCD—MENF有相同的外接球，則正四面體BDMN的外接球半徑R=旦,

2

所以正四面體BDMN的外接球體積為V=g"爐=g".（當y=娓兀.

故選：A

【變式2-2］（2025?河南新鄉?二模）在正四面體S4BC中，54=26，D,E,b分別為SA,SB,SC的中

點，則該正四面體的外接球被平面DEE所截的圓周長為.

【答案】4萬

【解析】如圖所示，過點S作SPJL平面ABC,垂足為P,點P必為VABC的中點,

則正四面體S4BC外接球的球心必在線段S尸上，

設點。為正四面體外接球的球心，外接球半徑為R，

在等邊VABC中，因為AB=AC=BC=2括，可得AP=2君x立x2=2,

23

在直角△SAP,由SA=2百,AP=2,可得SP=J(26J一2?=20,

在直角中，^^OA2=AP2+OP2,即R2=2?+(2行一R『，解得尺=乎，

又由2E,尸分別為SA,SB,SC的中點，

所以0到平面O瓦的距離〃=逑-應=走，

22

設截面圓的半徑為「，則哉=笛+/,解得廠=2,

所以截面圓的周長為2萬廠=4萬.

故答案為：44

題型三：對棱相等模型

【例3】四面體尸-ABC的一組對棱分別相等，且長度依次為26，岳,5,則該四面體的外接球的表面

積為()

2929A/29

A.——71B.28萬C.--------nD.29TT

46

【解析】?.?四面體尸-ABC的一組對棱分別相等，且長度依次為26，713,5,

.??可將其補為一個三個面上對角線分別為2君，舊，5的長方體，如圖所示：

，長方體的三邊長分別為2,3,4,

，長方體的外接球即是四面體的外接球，，四面體的外接球的半徑為Lx,22+3?+/=叵,

22

四面體的外接球的表面積為：4萬X（孚）2=29萬,

故選：D.

【變式3-1]（2025?高一?安徽?階段練習）為了求一個棱長為0的正四面體體積，小明同學設計如下解

法：構造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體AC4D為棱長是應的正四面體，且有

向-%-Aca=§/方體=].學以致用:

圖1

（1）如圖2,一個四面體三組對棱長分別為打，2,番，求此四面體外接球表面積;

（2）若四面體A8C。每組對棱長分別相等，求證：該四面體的四個面都是銳角三角形.

【解析】（1）由于四面體的對棱分別相等，結合長方體的面對角線性質,

可以將其置于長方體中，使其頂點與長方體頂點重合，如下圖:

設此四面體所在長方體的棱長分別為a,b,c,

a2+b1=3

貝小〃2+i=4,

Z72+c2=5

a2=1

解得"2=2,得(2R)2=Q2+〃+C2=6,

c2=3

?二外接球的表面積為6兀.

(2)在四面體ABC。中，AB=CD,AC=BD,AD=BC,

如下圖，將四面體放置長方體中，使其頂點與長方體頂點重合

四面體42co的四個面為全等三角形，

即只需證明一個面為銳角三角形即可.

設長方體的長、寬、高分別為。、b、c,

則432=42+52,BC2=b2+c2>AC2=a2+c2,

AB2+BC2>AC2,AB2+AC2>BC2,AC2+BC2>AC2,

VA5c為銳角三角形，則這個四面體的四個面都是銳角三角形.

【變式3-2】如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=BC=6PB=AC=2,PC=43=石，則三棱錐尸—ABC

外接球的體積為()

A.應兀B.0兀C.瓜兀D.6萬

【解析】由題意，PA=BC=43,PB=AC=2,PC=AB=y/5,將三棱錐尸—MC放到長方體中,

可得長方體的三條對角線分別為石，2,石，

即yja2+b2=A/3,^/a2+c2=2,-s/c2+b2=,

解得：a=l,b=0,c=百.

外接球的半徑R=JX+方+=逅.

22

4L

三棱錐P-ABC外接球的體積V=—萬爐=巫兀.

3

故選：C.

題型四：直棱柱模型

【例4】（2025?天津?一模）如圖，在直三棱柱ABC-AB|C］中，=69=26,VABC是等邊三角

形，點。為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐片-胡QC體積之比為（）

5若乃D5y/371

xr_^.-------

6,2

【答案】A

【解析】取三棱柱上底面中心。，下底面中心2，連接5Q.取。2中點。，連接。耳

則點。為三棱柱外接球球心，。均為三棱柱外接球半徑.

A

由43=也照=25可得AB=5C=AC=2A5，AA,=2

則OBi={OD：+BR：=+|x*x2道=亞

則三棱柱外接球表面積為4兀（6）=20兀

延長與A交AG與《，則用耳為四棱錐用-AA￡C的高

則"月―Q加］冬23M

則三棱柱外接球表面積與四棱錐瓦-MGC體積之比為羋=也

4V33

故選:A

【變式4-1］（多選題）（2025?高一?山東青島?期中）如圖，在直三棱柱ABC-4B|G中，A4,=2,

AB=BC=1,NABC=90。，側面A41cle的對角線交點。，點E是側棱B用上的一個動點，下列結論正確

的是（）

A.直三棱柱的體積是1

B.直三棱柱的外接球表面積是6無

C.三棱錐￡-相。的體積與點E的位置有關

D.AE+EG的最小值為28

【答案】ABD

【解析】直三棱柱ABC—A4。］中，A4,=2,AB=BC=1,ZABC—90°,如圖所示,

直三棱柱的體積為V=SAABC-A4,=%xlxlx2=l,故A選項正確;

直三棱柱ABC-4耳￡是長寬高分別為1,1,2的長方體的一半，外接球的半徑為R=，l2+F+22=逅,外

22

接球表面積是4兀汽②=6兀，故B選項正確；

。是AG與4C的交點，則的面積為定值，由平面441GC,E到平面44。的距離為定值，三

棱錐E-A4Q的體積為定值，與點E的位置無關，故C選項錯誤；

把側面A4QC和側面CQB內展開在一個平面上，當E為AG的中點時，AE+EG的最小值等于

=衣+（1+1『=2垃,故D正確.

故選：ABD

【變式4-2］（2025?高二?上海浦東新?期中）已知一個體積為36萬的球。|內切于直三棱柱A8C-A4￡（即

與三棱柱的所有面均相切），底面的VABC中有ZBAC=120°,AB:AC=3:5，則該直三棱柱的外接球02（即

使所有頂點均落在球面上）的表面積為.

【答案】820萬

【解析】解:由題知，記內切球。|半徑為外接球。2半徑為此，

VABC內切圓、外接圓半徑為廠,民

4%

則可吊=36%，解得片=3,

因為該球內切于一個直三棱柱，

當且僅當球半徑與底面三角形內切圓半徑相等，

同時棱柱的高恰為球半徑的2倍，

所以r=3,/z=6;

由題意，設AB=3a,AC=5%

則在VA2C中由余弦定理得，

BC2=9/+25/一2-3入5。W=49/,

BC=7a,

所以C—BC=15。,以謝=

由內切圓半徑公式,7=誓圾=岑。=3,

解得a=2g,所以BC=14A/L

p_BC.1473

由正弦定理,一sinNBAC一再一，得R=14,

W

而直三棱柱內接于一個球，

當且僅當兩全等的底面位于距球心距離相同且平行的兩個小圓上，

顯然該兩個小圓距球心的距離d應為棱柱高h的一半，

h

所以平面ABC與球心間的距離d=耳=3,

且其所在小圓的半徑即為其本身外接圓的半徑，為R=14,

由球的垂徑定理,后=胃+屋=142+3?=205,

所以球。2的表面積為4萬母=820%.

題型五：直棱錐模型

【例5】（2025?高一?江蘇南京?期末）如圖，四棱錐尸-ABCD中，上4,面A3Q）,四邊形ABCD為正方

形，PA=4,PC與平面ABCD所成角的大小為6,且tane=2、g,則四棱錐P-ABCD的外接球表面積為

3

/夕------\-----

Bl

A.26兀B.28K

C.34兀D.1471

【答案】C

【解析】如圖，因為上4,面ABCD,四邊形ABCD為正方形，

所以可將四棱錐尸-ABCD補成長方體PEFG-ABCD,

則四棱錐P—ABCD的外接球也是長方體PEFG-ABCD的外接球.

由面ABCD,所以/PC4就是PC與平面ABC。所成的角。，

貝=='=速，所以AC=30，

ACAC3

設四棱錐尸-ABCD的外接球的半徑為R,

因為長方體PEFG-ABCD的對角線PC的長即為其外接球的直徑，

所以PC=2R=,3+尸加=J（30『+4?=后,所以R=與，

所以四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4兀玄=34%.

故選：C

【變式5-1］（2025?高一?黑龍江七臺河?期中）據《九章算術》記載，“鱉腌”為四個面都是直角三角形的三

棱錐.如圖所示，現有一個“鱉膈"，上4_L底面ABC,ABYBC,且R4=AB=8C=2,三棱錐外接球表

面積為（）

p

A.10〃B.12〃C.14?D.16〃

【答案】B

【解析】如圖，將三棱錐補形為正方體,

則外接球半徑R=—=JAP2+AB2+Bj=J4+4+4

222

所以三棱錐外接球表面積S=4;rR2=4%x3=12;r.

故選：B.

【變式5-2］（2025?高一?河北唐山?期中）已知三棱錐尸-ABC中，24,面ABC,底面ABC是邊長為2的

正三角形，PA=4-,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為（）

.32屆c64%c32萬―64%

A.---------B.——C.—D.-----

273327

【答案】B

【解析】根據已知中底面VABC是邊長為2的正三角形，且PAL底面ABC,

可得此三棱錐外接球，即為以VABC為底面，以外為高的正三棱柱的外接球,

因為VABC時邊長為2的正三角形，可得VABC的外接圓半徑為r=3叵，

3

所以球心到VABC的外接圓圓心的距離為d=2,

故球的半徑為R=〃+屋=延,

3

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4%史=丁.

故選：B.

題型六：正棱錐與側棱相等模型

【例6】（2025?高三?安徽池州?期末）三棱錐尸一ABC中，PA=PB=PC,ZABC=-,AC=&，則三棱

4

錐尸-ABC外接球表面積的最小值是（）

A.8?B.4〃C.27rD.兀

【答案】B

【解析】設底面VABC外接圓圓心為。一半徑為小

則2rh.蕓“=2,即r=l.

sinZABC

設三棱錐P-ABC高為"球的半徑為R.

由PA=PB=PC,得球心。在PQ上，且（//-A）?+r=|，

則尺=4〃+421?2日,=1,當且僅當/z=l時等號成立，

此時外接球表面積最小，則5m=4萬.

故選：B

【變式6-1］（2025?高二?江蘇南通?階段練習）已知正三棱錐尸-ABC的底面邊長為2石，若半徑為1的球

與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐尸-ABC外接球的半徑為（）

A.73B.2C.逑D.記

33

【答案】D

【解析】因為球與該正三棱錐的各棱均相切，

所以平面A3C截球得到的截面圓與VA3C的三邊均相切，

所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面A3C垂直的直線上，

又因為底面邊長為2?,所以底面正三角形的內切圓的半徑為

r=—AB-tan300=1,

2

又因為球的半徑為1,

所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點0,

如圖，過球心。作PA的垂線交R4于

貝L=r=l,

又因為。4=2,所以45=若，

▼1PO

所以丁三，

所以尸。=亞，

3

因為VABC外接圓的半徑為OA=2,

正三棱錐P-ABC外接球的球心在尸。上，設半徑為R,

所以A?=OA2+（PO—R）2,即^2=4+--R,

解得R=迪.

3

故選：D.

【變式6-2］（2025?重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐尸-ABC體積為也，且

6

PA=PB=PC,AB=AC=l,BC=^3,則三棱錐外接球的表面積為.

【答案】弓25萬

4

【解析】三棱錐尸―ABC中，取BC中點。，連PD,連A。并延長至。/,使。。尸AO,連接BO/,COi,

POi,如圖：

R

于是得四邊形ABQC為平行四邊形，而AB=AC=1,DABOC是菱形,

在AABC中，BC=6,由余弦定理有cosNBAC=圖■土蛇二^=一工，即/3AC=120。，

2ABAC2

則448&=60。，△A3。是正三角形，qA=q3=0C=l,于是得。/是AABC外接圓圓心，

因R4=BB=PC,。為BC中點，貝！JPDL8C,又4O/1BC,PD^AO{=D,尸￡>,AQu平面尸401，從而

有5CL平面PA。1，POt1BC,

同理POi^AC,而ACnBC=C，從而得尸?，平面A3C,由球的截面小圓性質知，三棱錐尸-ABC外

接球球心。在直線PQj上，

又SABC=L48.4^皿120。=走，則匕，ABC=,S.c=^，解得尸°i=2，

△AoCcZ4Ar-At5\^c31△AoC,。

設球。的半徑為凡則03=0P=R,。。|=|尺一2|,△△。。伊中，O.B2+O.O2=OB2,即

22

1+（R-2）=R,解得R=9,

4

則球。的表面積為s=4萬&=子，

4

所以三棱錐外接球的表面積為弓25萬.

4

故答案為：彳25兀

4

題型七：側棱為外接球直徑模型

【例7】（2025?五華區校級期末）已知三棱錐尸-的所有頂點都在球。的球面上，AB=5,AC=3,

BC=4,依為球O的直徑，PB=1。,則這個三棱錐的體積為（）

A.30mB.15A/3C.10A/3D.

【解析】解：如圖所示，由條件AABC為直角三角形，則斜邊鉆的中點。?為AABC的外接圓的圓心，

連接。。1得。Q_L平面ABC,Oq=邪0。-BO；=|若，

OO}//PA,PA=2。。=5』，

二必，平面ABC,

11LL

.?.三棱錐的體積為_x_x3x4x5g=10G

32

【變式7-1］（2025?紅花崗區校級月考）已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在同一個球面上，ABCZ）是邊長

為2的正三角形，AC為球。的直徑，若該三棱錐的體積為殍，則該球O的表面積（）

A.64萬B.487C.32萬D.16萬

【解析】解：根據題意作出圖形：

設球心為O,過BCD三點的小圓的圓心為。］,則OQ_L平面3a）,

延長CO|交球于點E,則AE_L平面BCD.

該三棱錐的體積為逑，

3

/.-xAExSARrn=—xAEx—x2x2xsin60°=4垃,

3As8323

解得AE=還，

3

?.?4。為球0的直徑，,00］=」/1￡=友，

123

?.?CQ=|XA/4^T=^,.1球半徑R=OC=，（半一+（半＞=2.

該球O的表面積S=4萬火2=167r.

故選：D.

A

【變式7?2】（2025?撫順校級月考）已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，尸。為球O的直徑,

且尸C_LQ4,PCVOB,AAOB為等邊三角形，三棱錐尸-ABC的體積為且，則球。的表面積為（

A.4nB.8萬C.127rD.16萬

【解析】解：設球心為O,球的半徑r.

-.■PC±OA,PCLOB,「.PC，平面493,

三棱錐P-ABC的體積可看成是兩個小三棱錐P—ABO和C-ABO的體積和.

吃棱錐P-ABC=咚棱錐AB。+&棱錐C-AB。=］義X/xrX2=4,

.7=1,

球O的表面積為4萬.

故選：A.

題型八：共斜邊拼接模型

【例8】在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角5—AC—。，則四

面體ABCD的外接球的體積為（）

入125口125「125八125

A?7CLJ.TCCz.TCD.--------71

12963

【解析】設矩形對角線的交點為O,則由矩形對角線互相平分，可知。4=OB=OC=OD.

???點O到四面體的四個頂點A、B、C、。的距離相等，即點O為四面體的外接球的球心，如圖2所示.

圖2

???外接球的半徑R=OA=上.故V球=4切?3=里選c.

236

【變式8-1】三棱錐P—ABC中，平面PAC，平面ABC,AC=2,PA±PC,ABIBC,則三棱錐

P-ABC的外接球的半徑為

【解析】AC是公共的斜邊，AC的中點是球心O,球半徑為R=l.

【變式8-2］在平行四邊形ABCD中，滿足荏.礪=4方，2AB=4-BD,若將其沿折成直二面角

A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

A.16萬B.8萬C.47rD.2萬

【解析】平行四邊形ABCD中，

1.?AB*AD=AB,

AB*BD=0,

:.AB1BD,

沿折成直二面角A-班＞-C,

?.?平面T4BD_L平面BZX?

三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC,

AC2=AB'+BD2+CD2=2AB2+BD1=4

：.外接球的半徑為1,

故表面積是4萬.

題型九：垂面模型

【例9】（2025?河南?模擬預測）在四棱錐S-A3C。中，側面SAD，底面ABC，且&1=SD,

ZASD^90°,底面ABC。是邊長為2的正方形，設尸為該四棱錐外接球表面上的動點，則三棱錐尸-&LD

的最大體積為（）

A.1+./2B.2+2.c.2+?D.1±^

333

【答案】D

【解析】連接AC血交于點0,取AD中點為連接SM,OS,作圖如下:

因為AS=DS,NASO=90。，又M為AO的中點，故“為RhSAD的外心，

又平面SW_L平面A3c。，且面&lOc面43co=AD,又OM_LAD,OMu面ABCD,

故可得OM_L面&⑷，故Q4=OS=QD；

又四邊形ABCD為正方形，且。為對角線交點，故可得Q4=OB=OC=OD,

綜上所述，OA=OB=OC=OD=OS,故。為四棱錐S-ABCD的外接球的球心.

則其外接球半徑R=OD=；BD=g.

又尸為該四棱錐外接球表面上的動點，若使得三棱錐尸-&仍的體積最大，

則此時點P到平面SAD的距離h=OM+R=l+42,

故其體積的最大值V=；S?s.x/2=gxgxADxSMx（l+點）

=1x|x2xlx（l+^）=^-y^.

故選：D.

【變式9-1］（2025?江西南昌?模擬預測）若體積為8的四棱錐P-ABCD的五個頂點都在表面積為20兀的球

面上，四棱錐尸-ABCD的底面是邊長為2貶的正方形，平面R4C，平面ABCD,則棱24的長為（）

A.3正或26B.2石或2布C.屈或2叢D.M或36

【答案】D

【解析】設四棱錐P-ABCD的外接球球心為0，半徑為R，貝IJ4兀氏2=20無，解得R=布,

設四棱錐P-ABCD的高為〃，則&ABs=gx（2血『x/z=8,解得/?=3,

設AC的中點為E,過點E在平面PAC內作/J_AC,

因為平面PAC_L平面ABCD,平面PACPl平面ABCD=AC,/u平面PAC,

二./_L平面A5CD,

由球的幾何性質可知OE，平面ABC。，且Ee/,則Ow/,

所以，Oe平面PAC,故4c的外接圓的半徑為石，.七山/4「。=羋=’尸=延，且

2V52V55

OE=yjR2-AE2=］，

因為3＞有-1,所以，P、。在AC的同側，則NAPC為銳角，設24=7九，PC=n,

所以，cosZAPC=Vl-sin2ZAPC=—,

,△me=；x4x3=}wisin/A尸C,可得切〃=66',①

22

由余弦定理可得16=AC2=m2+“2-2m?cosZAPC=n?+〃2-12,.\m+n=28,②

聯立①②可解得m=M或陋

故選：D.

【變式9-2］（2025?高三?山東威海?期末）已知三棱錐尸-ABC,。為BC中點，

28=/）。=46=3。=4。=2,側面尸3。，底面48（?,則三棱錐ABC外接球的表面積為,過點。

的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為

【解析】根據球和棱錐的幾何性質、面面垂直的性質定理，結合球的表面積公式和圓的面積公式進行求解

即可.連接尸。,。4,由尸B=PC=AB=8C=AC=2可知：VABC和△P3C是等邊三角形，

設三棱錐P-ABC外接球的球心為0,所以球心0到平面ABC和平面PBC的射影是VABC和△P3C的中

心EE,△PBC是等邊三角形，。為2C中點，所以尸。，8C,

又因為側面PBC，底面ABC,PBCC\底面ABC=BC,

所以P。1底面ABC,而AQu底面ABC,因此PQ_LAQ

所以。歹QE是矩形.

VA3C和△P3C是邊長為2的等邊三角形，所以兩個三角形的高耳=j22-（gx2）2=相,

在矩形。吃中，OE=FQ=；h=[.

AE=^h=空,連接CM,所以04=〃^+研\+3=姮,

33V333

所以三棱錐P—ABC外接球的表面積為47?（。4）2=4萬弓=等；

設過點。的平面為a,

當時，此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，

0。=8片”。2=&）、*=*=*6=當，

因此圓。的半徑為：^O^-OQ2=^-|=1,所以此時面積為乃-12=萬；

當點。在以。為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，

面積為：%.（半）2=,，所以截面的面積范圍為：喂,

題型十：最值模型

【例10】（2025?高一?安徽池州?期中）已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點R。，若線段P。的最

小值為2g-2,則正方體的外接球的表面積為.

【答案】487t

【解析】設正方體的棱長為名。＞。，則正方體的外接球與內切球半徑分別為反;，且球心均為正方體

22

的中心,

,.|PG|>^|￡_|,且線段P。的最小值為2后-2,

:.---=2y/3-2,:.a=4,

22

正方體的外接球的表面積為4兀（當）=4n（26『=48K.

故答案為：48兀

【變式10-1】（2025?陜西西安?模擬預測）已知直四棱柱ABCD-4B/GQ/,高A4/為3,底面ABCD為長方

形且面積為：7，則該直四棱柱外接球表面積的最小值為.

【答案】16%

7

【解析】設底面邊長分別為。，b,則ab=：,

2

另設球半徑為R,則（2尺）2="+62+3222必+9=16,即RA2,

二直四棱柱外接球的半徑的最小值為2,

:該直四棱柱外接球的表面積的最小值為4萬-2?=16%.

故答案為：16萬

【變式10-2】（2025?遼寧撫順?一模）已知三棱柱ABC-ABC的頂點都在球。的表面上，且

27r

AC=BC,ZACB=—,若三棱柱4BC-ABg的側面積為12+6石，則球。的表面積的最小值是（）

A.8兀B.12KC.24兀D.32兀

【答案】C

【解析】依題意可知三棱柱ABC-A與G是直三棱柱，設其高為〃，

設AB=c,AC=BC=a,

貝ij（Q+Q+C）X/Z=12+6A/^,h=12+6百,

2a+c

改」xj12+6百丫_（6+373?_63+36g

44I2a+cII2a+cI4a2+c2+4ac

27r

由余弦定理得，=Q?+/—2a2cos-^