第20講橢圓的簡單幾何性質10種常見考法歸類

學宅目標彳

i.掌握橢圓的簡單幾何性質.

2.通過橢圓與方程的學習，了解橢圓的簡單應用，進一步體會數形結合的思想.

I［由基礎知識

------------------lllllllllllllllllllllllilllilllllllllllll-----------------------

知識點1橢圓的簡單幾何性質

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

42’

闖

圖形L

BlK

標準方程5+%=1（心。＞。）

范圍一〃WxW〃且一bWyWb—bWxWb且一

頂點4（一〃,0）,51（0,一力，&（。，b）4（0,Az（O,4）,51（一伍0）,Bz（b,O）

軸長長軸長=2°,短軸長=26

焦點乙（一c,0），巳（。,0）R（0,—c）,B（0，c）

焦距\FIF2\=2C

對稱性對稱軸x軸和y軸,對稱中心（0,0）

離心率e=*）＜e＜l）（注：e='

注：（1）橢圓的焦點一定在它的長軸上.

⑵橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.

⑶橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點，最大值為a+c,最小值為a-c.

（4）橢圓有四個頂點、兩個焦點，共六個特殊點，研究橢圓時一定要注意這六個特殊點的位置.

（5）已知橢圓的四個頂點，可以使用幾何作圖找出其焦點，方法是：以短軸的端點為圓心，a為半徑作弧交

長軸于兩點，這兩點就是該橢圓的焦點.

（6）橢圓的離心率e的大小反映橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓.

拓展：用離心率e=。來刻畫橢圓的扁平程度.

如圖所示，在Rt/XBE。中，cos/8&O=。記e=：,則0<e<l,e越大，越小，橢圓越扁；e越小,

越大，橢圓越接近于圓.

（7）常用橢圓方程的設法

2222

①與橢圓「+4=13>5>0）共焦點的橢圓方程可設為：T一+—=l（m>-b2）

aba+mb+m

2222

②有相同離心率：=+與=左（左>0,焦點在X軸上）或三+==左（左>0,焦點在X軸上）

abab

知識點2點與橢圓的位置關系

72

點P（XO，刃）與橢圓方的位置關系：

點P在橢圓上/1+潤=1；點尸在橢圓內部0條+涉1;點尸在橢圓外部臺￡+$>1.

知識點3直線與橢圓的位置關系

?2

直線y^kx+m與橢圓7十5=1（。>匕>0）的位置關系，判斷方法:

y=kx-\-m,

聯立,9+g=]消y得一元二次方程.

當/>o時，方程有兩解,直線與橢圓相交；

當/=o時，方程有一解,直線與橢圓相切；

當/<0時，方程無解,直線與橢圓相離.

知識點4直線與橢圓相交的弦長公式

1.定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦.

2.求弦長的方法

（1）交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求.

（2）根與系數的關系法：

如果直線的斜率為總被橢圓截得弦兩端點坐標分別為（xi，-），（血,陣），則弦長公式為：

|A8|=q1+網（XI+X2）2—4尤1尤2=A/1+p^/Cvi+V2）2—4yij2.

注：(1)已知弦A5是橢圓q+與=1(。＞/?＞0)的一條弦，中點M坐標為(%,%)，則A3的斜率

ab

22

石+乂-1

b22

為—葭x2，運用點差法求AB的斜率，設A(石,M),Bl%,%)；A、5都在橢圓上，＜/b

a%22

Tr+vr-1

兩式相減得：立W+支工=0,(…華+%)_(%-%)「)=0

crb2a2b2

即入二匹=_與.五±三=_竺，故&^=_竺

aa

玉一尤2~a%~y0

b2

(2)弦AB的斜率與弦中心M和橢圓中心。的連線的斜率之積為定值：---

豳解題策略

---------------------liiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiuiii-----------------------

1'用標準方程研究幾何性質的步驟

(1)將橢圓方程化為標準形式；

(2)確定焦點位置；

(3)求出a,b,c；

(4)寫出橢圓的幾何性質.

注：長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應是a,b,c的兩倍.

2、利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路

利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數法，其步驟是：

(1)確定焦點位置；

(2)設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；

(3)根據已知條件構造關于參數的關系式，利用方程(組)求參數.列方程(組)時常用的關系式有—

3、求橢圓離心率及范圍的兩種方法

(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=。求解.若已知a,b或b,c可借助于片二"+廿求出。或°,

再代入公式e=。求解.

(2)方程法：若a,c的值不可求，則可根據條件建立a,6,c的關系式，借助于/=〃+°2,轉化為關

于a,c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以。的最高次幕，得到關于e的方程或不等式，

即可求得e的值或范圍.

4、判斷直線與橢圓的位置關系

判斷直線與橢圓的位置關系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，

得到關于另一個變量的一元二次方程，則/>0臺直線與橢圓相交；/=00直線與橢圓相切；/<00直線與橢

圓相離.

5、解決橢圓中點弦問題的兩種方法

(1)根與系數關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與

系數的關系以及中點坐標公式解決；

(2)點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中

72

點坐標和斜率的關系，具體如下：已知A(X1，力)，8(X2，>2)是橢圓方=l(a>6>。)上的兩個不同的點，

M(x0,")是線段A8的中點，

由①-②,得力?一施+如一加。,變形%苔=4?總一嚼,即一簿

6、求與橢圓有關的最值、范圍問題的方法

(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理.

(2)數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解.

(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢

圓的范圍.

7、解決和橢圓有關的實際問題的思路(數學抽象)

(1)通過數學抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉化為數學問題.

(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質求出數學問題的解.

(3)用解得的結果說明原來的實際問題.

Q考點剖析

--------------lllllllllllllillllllillllllllllllllllllll-----------------------

考點一：由標準方程研究幾何性質

22

例1.（2023秋?高二課時練習）橢圓一L—+二一=1的焦點坐標為（）

m-2m+3

A.(±5,0)B.(0,±5)

C.(+75,0)D.(0,土斯)

222

變式1.（2023秋?高二課時練習）橢圓三+匕=1與橢圓工+^^=1（0<%<9）的關系為（）

2599-k25-k

A.有相同的長軸長與短軸長B.有相同的焦距

C.有相同的焦點D.有相同的離心率

22

變式2.（2023秋?四川內江?高三期末）橢圓亍+1_=1的焦點為可、工，點”在橢圓上且詢軸，則

￡到直線月M的距離為（）

A.-B.3C.—D.3—

5311

22

變式3.（2023秋?高二課時練習）已知耳，耳是橢圓上+乙=1的兩個焦點，點尸在橢圓上，如果月耳是

94

直角三角形，求點尸的坐標.

考點二：利用幾何性質求標準方程

例2.（2023秋?高二課時練習）求滿足下列條件的橢圓的標準方程:

⑴焦點在y軸上，焦距是4,且經過點”（3,2）；

⑵經過兩點4（0,2）和8

(3)經過A2,兩點.

v22

（4）過點（-3,2）且與橢圓土+?=1有相同焦點.

22

變式1.（2023?高二課時練習）求與橢圓上+匕=1的焦點相同，且經過點的橢圓的標準方程.

43

變式2.（2023?高二課時練習）與橢圓9/+4y=36有相同的焦點，且短半軸長為2石的橢圓方程是（）

,2

A.￡+《=1B.匕+片=11_]D

C.-口言=1

252025204520

變式3.（2023秋?高二課時練習）中心在原點,焦點在工軸上,若長軸長為18,且兩個焦點恰好將長軸三

等分，則此橢圓的方程是（）

A.JJ1”11

B.

8172819

%-/J

c.D.=1

7281972

變式4.（2023?全國?高二專題練習）若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦

點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為白，則這個橢圓的方程為（）

A.工+匚1

129129912

cJJD.J

91239

考點三：點與橢圓的位置關系

（一）點和橢圓位置關系的判斷

小]例3.（2023?全國?高二假期作業）已知橢圓C:[+;=l,則下列各點不在橢圓內部的是（）

A.（1,1）B.1）

C.（"0）D.（川

22

變式1.（2023秋?高二課時練習）若點（3,2）在橢圓二+1=1上，則下列說法正確的是（）

ab

A.點（-3,-2）不在橢圓上B.點（3,-2）不在橢圓上

C.點（-3,2）在橢圓上D.無法判斷上述點與橢圓的關系

變式2.（2023春?上海浦東新?高二統考期中）已知橢圓C:二+上=1,直線

259

/:（m+2）x-（〃z+4）y+2—7〃=O（7〃CR）,則直線/與橢圓C的位置關系為（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

（二）根據點和橢圓位置關系求參數

例4.（2023秋?高二課時練習）已知點在橢圓8x2+3y2=24上，則機的取值范圍是

22

變式1.（2023?高二課時練習）點4（凡1）在橢圓?+]=1的外部，則”的取值范圍是（）

A.卜母，母）B.卜8,-

C.（-2,2）D.（-1,1）

22

變式2.（2023秋?高二課時練習）若點A（?U）在橢圓寧+三=1的內部，則實數機的取值范圍是.

（三）點和橢圓位置關系的應用

例5.（2023秋?廣東惠州?高二惠州市惠陽高級中學實驗學校校考期中）己知直線2"-y+2=。與橢

22

圓土+匕=1（，〃>0）恒有公共點，則實數%的取值范圍為.

9m

變式1.（2023?全國?高二專題練習）如果直線/：丁=々卜+百）與橢圓C：/+產=1（">1）總有公共點，

求實數a的取值范圍.

22

變式2.（2023秋?湖南郴州?高二校考期中）已知點P。,2）和焦點在y軸上的橢圓：±+乙=1,且過尸作

4m

橢圓的切線有兩條，則該橢圓半焦距C的取值范圍是（）

A.0<c<2B.c>2C.0<c<型D.c>—

33

22

變式3.【多選】（2023春?重慶渝中?高二重慶復旦中學校考開學考試）已知橢圓乙+匕=1的左、右焦點

43

分別為B,F2,過、的直線〃與過B的直線〃交于點設M的坐標為（xo,yd）,若〃，/2,則下列結論正

確的有（）

A.9+武<1B.三+苑>1C.4君+3y；<lD.4尤；+3*>1

4343

考點四：橢圓的離心率問題

（一）求橢圓的離心率

在1例6.（2023秋?高二單元測試）設耳，工是橢圓E：J+"=l（a>6>0）的兩個焦點，P為直線y=

上一點，△片尸鳥是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為.

22

變式1.（2023?海南海口?海南華僑中學校考模擬預測）已知耳，F?分別是橢圓C：=+當=1（a>b>0）

ab

的左，右焦點，尸是C上的一點，若31Ml=2閨6且/尸片月=60。，則C的離心率為（）

A.B.2-73C.幣-2D.3-20

變式2.（2023春?河北?高二校聯考期末）如圖所示，斜率為一冷的直線/交橢圓5+/=1（°>6>0）于M、

N兩點，交x軸、y軸分別于Q、尸兩點，且標=函，則橢圓的離心率為.

22

變式3.（2023春?廣東深圳?高二統考期末）已知橢圓C:二+與=1（。>6>0）的右焦點為尸，過原點的直線

ab

/與c交于A8兩點，若AF'M,>|AF|=3|BF|,則C的離心率為（）

A.叵B.叵C.2D.1

4553

變式4.（2023春?上海虹口?高二統考期末）已知△△耳耳是等邊三角形，M、N分別是邊A耳和A耳的中點.

若橢圓以耳、F?為焦點，且經過/、N,則橢圓的離心率等于.

22

變式5.（2023春?湖北武漢?高二校聯考期末）已知橢圓C:2+券=1（。>匕>。）的左、在頂點分別為4，4，

且以線段A4為直徑的圓與直線融--+2仍=。相切，則C的離心率為（）

A-B.也C.逅D.逑

3333

22

變式6.（2023?河北衡水?衡水市第二中學校考三模）已知橢圓C:J+2=l（a>6>0）的左、右焦點分別為

ab

耳,F2,P為C上的動點.若「耳|+怛閭=46，且點P到直線x-y+6=0的最小距離為0,則C的離心

率為.

22

變式7.（2023?高二課時練習）已知橢圓「+==1（a>b>0）的一條弦所在的直線方程是2x-y+5=0,

ab

弦的中點坐標是河（T」），則橢圓的離心率是（）

A.|B.叵C.在D.也

2225

（二）求橢圓的離心率的取值范圍

22

例7.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓。:。+2=1（〃>人>0）的左右焦點為耳,鳥，若橢圓。上

ab

恰好有6個不同的點，使得△大工尸為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.(《,；)B.(1,1)C乂嗎9D.受5：1）

變式1.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓C關于X-軸、y軸均對稱，焦點在y軸上，且焦距為2c（c>0）,

若點A|c,事c不在橢圓C的外部，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

22

變式2.（2023?全國?高三專題練習）已知居C。）是橢圓C:=+2=l（a>6>0）的左、右焦點,

ab

若橢圓C上存在一點尸使得而「而2=。2，則橢圓Jc的"離心率e的取值范圍是（）

C.也八號。,歸

22

變式3.（2023?全國?高二期末）己知點耳，工是橢圓=+多=1（。>6>0）的左右焦點，橢圓上存在不同兩點

ab

A8使得率=2可，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A.陷B.唱C.D.［對

22

變式4.（2023春?上海青浦?高二統考期末）點A為橢圓C:=+R=l（a>匕>1）的右頂點，尸為橢圓C上一

ab

點（不與A重合），若西.用：=0（。是坐標原點），則橢圓。的離心率的取值范圍是（）

B.D.

變式5.（2023春?湖南益陽?高二統考期末）若橢圓上存在點P,使得P到橢圓兩個焦點的距離之比為2:1,

則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率e的取值范圍是（）

A.再B.1o閘C.D.

L3J（3JL3）I3」

（三）由橢圓的離心率求參數（范圍）

［、］例8.（2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶市第七中學校校考期末）已知橢圓工+二=1的離心率0=匕

則上的值可能是（）

或？7

A.3B.7C.3D.7或了

O

變式1.（2023?全國?高三專題練習）設橢圓土+上=1（加＞0,〃＞0）的離心率為e,則”是“m=4〃”

mn2

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式2.（2023春?河北石家莊?高二正定中學校考階段練習）若橢圓C:二+f=1的離心率為逅，則橢圓

m23

C的長軸長為.

變式3.（2023春?湖南衡陽?高二衡陽市八中校考階段練習）已知橢圓、+4=1（。＞人＞。）的離心率為巫，

則長軸與短軸的比值為.

22

變式4.（2023?全國?統考高考真題）設橢圓G：3+y2=l（a＞DC：L+y2=l的離心率分別為e..若

a4

e2-gq，則。=（）

A.箸B.&C.73D.76

考點五：直線與橢圓的位置關系

2

（2023春?江西吉安?高二校考期中）直線＞=x+l與橢圓爐+乙=1的位置關系是（)

2

B.相切C.相交D.無法確定

22

變式1.（2023秋?黑龍江綏化?高二海倫市第一中學校考期中）直線/：依+y-a+l=0與橢圓上+匕=1的

32

位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.相切或相交

變式2.（2023春?上海浦東新?高二上海南匯中學校考期中）直線3元-2y+6=0與曲線仁一型=1的公共

94

點的個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

變式3.（2023秋?內蒙古赤峰?高二校考期末）若直線如-〃y=4與。0：/+,2=4沒有交點,則過點P（m,n）、

22

。（。,5）兩點的直線與橢圓/+?=：!的交點個數是（）

A.至多為1B.2C.1D.0

變式4.（2023?湖南長沙?長沙市明德中學校考三模）直線/：升2y—4=0與橢圓二二+上=1（%＞0）有且僅有一

m+1m

個公共點P,則m=，點P的坐標是.

變式5.（2023春?河南?高三校聯考階段練習）已知橢圓C:/+0=l,離心率為乎，過尸（1,2）的直線分

別與C相切于A,B兩點，則直線方程為（）

A.%+y-1=0或%+4,-1=0B.%+4y-1=0

C.x+y-l=0D.尤+y+l=0或％+4)—1=0

考點六：弦長及中點弦問題

（-）弦長問題

0Q例］0.（2023秋?高二課時練習）過橢圓3d+4/=48的左焦點產引斜率為1的直線交橢圓于A、B

兩點，貝"A引等于.

變式1.（2023?全國?高三對口高考）已知橢圓j+/=l,過左焦點P作傾斜角為工的直線交橢圓于A、B

96

兩點，則弦48的長為.

22

變式2.（2023秋?福建莆田?高二校聯考期末）已知橢圓二+2=1（。>6>0）的一個頂點為以0,4）,離心率

ab

e=也,直線/：>=x-4交橢圓于M,N兩點.求弦MN的長.

5

1fV2

變式3.（2024秋.云南.高三云南師大附中校考階段練習）斜率為三的直線/與橢圓C：二+乙=1交于A,

3364

B兩點，且尸（3夜,@在直線/的左上方.若ZAP3=60。，則AF鉆的周長是.

變式4.（2023秋?山東濱州?高二統考期末）已知橢圓C的兩個焦點分別是￡（-1,0）,巴（1,0）,并且經過點

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線/：y=x+%與橢圓C相交于A,8兩點，當線段A8的長度最大時，求直線/的方程.

變式5.（2023春?河南開封?高二統考期末）已知點尸在圓。:必+y=4上運動，過點尸作x軸的垂線段尸

為垂足，M為線段PZ）的中點（當點尸經過圓與x軸的交點時，規定點M與點尸重合）.

⑴求點M的軌跡方程；

（2）經過點（班,0）作直線/,與圓。相交于A,8兩點，與點M的軌跡相交于C3兩點，若恒斗仁必=乎，

求直線/的方程.

22

變式6.（2023春?廣東廣州?高二統考期末）已知橢圓C:^+齊=1（°>6>。）的焦點坐標為片（T，°）、60，°），

點AL」十為橢圓C上一點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）經過點尸?且傾斜角為45。的直線,與橢圓C相交于M、N兩點，。為坐標原點，求AOMN的面積.

變式7.（2023春?廣東江門?高二統考期末）已知橢圓。/+。1（。＞人＞0）的離心率為弓,且與雙曲線

/-犬=：有相同的焦距.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A8,過左焦點歹的直線/交橢圓C于。E兩點（其中點。在x軸上方），

求AAEF與NBDF的面積之比的取值范圍.

22

變式8.（2023?陜西商洛?鎮安中學校考模擬預測）已知耳,工分別為橢圓加：［+2=1（°＞6＞0）的左、右焦

ab

點，直線乙過點尸2與橢圓交于A，8兩點，且耳工的周長為（2+忘）。.

⑴求橢圓M的離心率；

⑵直線4過點F?,且與4垂直，4交橢圓M于兩點，若求四邊形AC即面積的范圍.

（二）中點弦問題

例1L（2023秋?安徽安慶?高二安慶市第二中學校考階段練習）已知橢圓工+：=1的弦被點（1,1）平

分，則這條弦所在的直線方程為.

22

變式1.（2023春?新疆塔城?高二統考開學考試）已知過點MCM）的直線，與橢圓上+匕=1相交于A,B

42

兩點，且線段A8以點〃為中點，則直線的方程是.

22

變式2.（2023?全國?高三對口高考）直線x+y-l=O截橢圓上+乙=1所得弦的中點M與橢圓中心連線。0

43

的斜率為.

變式3.（2023秋?高二課時練習）橢圓妙2+沖2=1與直線＞=1—無交于出，N兩點，過原點與線段MN中

點的直線的斜率為正，則‘等于（）

2n

A.1B.變C.-D.立

2233

22

變式4.（2023?吉林長春?東北師大附中校考模擬預測）已知斜率為2:的動直線與橢圓r上v+二=1交于A8兩

554

點，線段A8的中點為則M的軌跡長度為.

變式5.（2023春?廣西?高二校聯考階段練習）在直角坐標系無2y中己知A（-5,0）,3（5,0）,尸是平面內一動

點，且直線B4和直線尸2的斜率之積為-g.記點尸的運動軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）若直線/與曲線C相交于N兩點.且線段的中點為求|MN|.

考點七：求橢圓的參數或范圍問題

22

例12.（2023秋?廣西欽州?高二校考階段練習）已知點A,3是橢圓±+±=1上不關于長軸對稱的

1612

兩點，且48兩點到點〃（加,0）的距離相等，求實數機的取值范圍.

22

變式1.（2023秋?湖北荊州?高二沙市中學校考階段練習）已知橢圓上+乙=1,若橢圓上存在兩點A、B關

43

于直線y=4x+〃z對稱，則機的取值范圍是（）

22

變式2.（2023?全國?高二專題練習）已知橢圓C：工+2=1（a>人>0）的右焦點尸（c,0）,點P（x,y）

ab

是橢圓。上的一個動點.求證：a-c<\PF\<a+c.

22

變式3.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓+3=1的焦點為F2,橢圓上的動點尸坐標（5,%）在

第一象限，且/與尸鳥為銳角，%的取值范圍為

變式4.（2023?高二課時練習）已知橢圓?+y2=i的兩個焦點為耳，F2,尸（x,y）為橢圓上任意一點，求

使"PF?290。的x的取值范圍.

22

變式5.（2023?全國?高三專題練習）若經過點E（l,0）的直線/與橢圓亍+]=1有A,8兩個交點（其中點

A在x軸上方），求k目的取值范圍.

考點八：求橢圓的最值問題

由例⑶22

（2023秋?高二課時練習）已知點尸（x,y）是橢圓器+卷=1上一點，求點尸到點A（3,0）的距

離的取值范圍.

2

變式1.（2023?全國?高三專題練習）己知橢圓C:（+f=1的右頂點為A,P為C上一點，則為1的最大值

為.

變式2.（2023春?廣東茂名?高二統考期末）已知橢圓。：捺+，=1（4>6>0）的離心率為手，下頂點為3,

點/為C上的任意一點，則|阿|的最大值是（）

A.當bB.肥bC.拒bD.2b

丫225

變式3.（2023?全國?高二專題練習）已知點尸在橢圓±+±=1上運動，點。在圓（元-1）2+9=-上運動，

938

則|尸。的最小值為.

變式4.（2023秋?江蘇蘇州?高二統考期末）若且尸在;+[=1上，Q在圓紅-1）2+丁=；上，

則；|24|+|尸0|的最小值為.

變式5.（2023秋?廣東佛山?高二佛山一中校考階段練習）已知點P（a,b）是曲線（x-2y+2）?，12-3爐-49=0

上的動點則1+,+；|的取值范圍是.

考點九：橢圓的定點、定值問題

例14.（2023?福建福州?福建省福州第一中學校考模擬預測）己知橢圓E：[+'=ig>Z>>0）離心

率為孝，焦距為2VL

⑴求E的方程；

（2）過點T。,。）分別作斜率和為1的兩條直線4與4,設4交E于A、8兩點，4交E于C、。兩點，AB,CD

的中點分別為M、N.求證：直線過定點.

22

變式1.（2023春?陜西西安?高二西安市鐵一中學校考階段練習）已知橢圓C：，+多=1（。>6>0）的離心

率為孝，左、右頂點分別為A、B,點、P、。為橢圓上異于4、8的兩點，A/MB面積的最大值為2.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設直線AP、8。的斜率分別為6、k2,且3勺=5右.求證：直線尸。經過定點.

變式2.（福建省泉州市部分中學2022-2023學年高二下期末聯考數學試題）己知。為坐標原點，點尸到點

產（1,0）的距離與它到直線/：x=4的距離之比等于記尸的軌跡為「.點A,8在「上，￡48三點共線，M

為線段48的中點.

(1)證明：直線與直線的斜率之積為定值；

(2)直線與/相交于點N,試問以為直徑的圓是否過定點，說明理由.

丫2v21

變式3.(2023春.上海崇明.高二統考期末)已知橢圓「*+方=1(°>10)的離心率是萬，其左、右焦點分

別為耳、F2,過點3(0,6)且與直線8耳垂直的直線交x軸負半軸于￡).

(1)設6=24,求。的值；

(2)求證：2根+@=6；

(3)設a=2,過橢圓「右焦點F?且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓「交于尸、。兩點，點M是點尸關于x軸

的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N,使得M、Q、N三點共線？若存在，求出點N的坐標；若不存

在，說明理由