專題14圖形初步的核心知識點精講

O復(fù)習(xí)目標O

1.了解線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系.掌握它們的表示方法.

2.掌握“兩點確定一條直線”的性質(zhì)，了解“兩條直線相交只有一個交點”.

3.理解線段的和與差的概念，會比較線段的大小，理解“兩點之間線段最短”的性質(zhì).

4.理解線段的中點和兩點間距離的概念.

5.會用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段.

6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、銳角、鈍角的概念.

7.掌握度、分、秒的換算，會計算角度的和、差、倍、分.

8.掌握角的平分線的概念，會畫角的平分線.

9.會解決有關(guān)余角、補角的計算問題；會用“同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等”進行推理.

10.靈活運用對頂角和垂線的性質(zhì)；

11.掌握并靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進行有關(guān)的推理和計算；

12.理解和識別方向角

O考點椅理O

考點1:直線、射線與線段的概念

端點

類型圖例表示方法書寫規(guī)范

個數(shù)

直線直線或直線

?/.0個兩個大寫字母無順序

BA或直線1

AB

兩個大寫字母中的第一個表

./

射線射線。/或射線/1個

AB示端點

----------1---------.線段或線段

線段2個兩個大寫字母無順序

AB氏4或線段/

注意：直線是可以向兩邊無限延伸的，射線受端點的限制，只能向一邊無限延伸；線段不能延伸，所以直

線與射線不可測量長度，只有線段可以測量。

考點2:基本事實

1.經(jīng)過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線

2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短

考點3：基本概念

1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。

2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點

考點4：雙中點模型

C為AB上任意一點，M、N分別為AC.BC中點，貝|MN=-AB

2

考點5：角及其平分線

1.度量角的大小：可用“度”作為度量單位。把一個圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分;

1分=60秒。

2,余角：若Nl+N2=90°,則/I與N2互余，若/I與N2互余，則/1+/2=90°.

3.補角:若Nl+N2=180°,則N1與N2互補，若N1與N2互補,則Nl+N2=180°.

性質(zhì)：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的補角相等.

4.角的平分線的性質(zhì)

（一）作己知角的平分線（已知：zAOBo求作：NAOB的平分線）

1、以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交0A于點M,交0B于點N。

2、分別以M,N為圓心，大于稱MN的長為半徑畫弧，兩弧在/AOB的內(nèi)部相交于點C。

3、畫射線OC,射線OC即為所求。

（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

幾何表示：???OC是NAOB的平分線，P是OC上一點，PD1OA,PE1OB,垂足分別為D,Eo.-.PD=PEo

5.角的平分線的判定

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

幾何表示：

???點P是NAOB內(nèi)的一點，PD1OA,PE1OB,垂足分別為D,E,且PD=PE,

.?.點P在NAOB的平分線OC上。

考點6：相交線

1.對頂角：如圖1所示，N1與N3、N2與N4都是對頂角。

2.鄰補角：如圖2所示，N1與N2互為鄰補角，由平角定義可知/1+/2=180°。

圖1圖2

3.三線八角

兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。

(1)同位角：可以發(fā)現(xiàn)/I與/5都處于直線/的同一側(cè)，直線b的同一方，這樣位置的一對角就是

同位角。圖中的同位角還有/2與/6,/3與/7,/4與/8。

(2)內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)N3與N5都處于直線/的兩旁，直線b的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯

角。圖中的內(nèi)錯角還有N4與N6。

(3)同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線b的兩方，這樣位置的一對角就是

同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有N3與N6。

4.垂線的性質(zhì)

(1)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

5.垂直平分線的性質(zhì)

(1)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

(2)逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

考點7：平行線

1.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

2.平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。

3.平行線的判定：

(1)同位角相等，兩直線平行。

(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

(3)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

4.平行線的性質(zhì)

(1)兩直線平行，同位角相等。

(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

說明：要證明兩條直線平行，用判定公理(或定理)在已知條件中有兩條直線平行時，則應(yīng)用性質(zhì)定

理

考點8：命題

內(nèi)容

定義能判斷一件事情的語句，叫做命題。

命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由已知事

組成

項推出來的事項

通常可以寫成“如果.....那么.....”的形式，“如果”后接的部

表達形式

分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。

分類題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題

典例引領(lǐng)

【題型1線與角概念和基本性質(zhì)】

【典例1】（2024?山東日照?中考真題）如圖，直線AB,CD相交于點。若N1=40。/2=120。，則NCOM的度

數(shù)為（）

A.70°B.80°

即時檢測

L（2024?江蘇常州,中考真題）如圖，推動水桶，以點。為支點，使其向右傾斜.若在點/處分別施加推力

F2,則FI的力臂0力大于F2的力臂OB.這一判斷過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線段最短

B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩點確定一條直線

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

2.（2024?廣西?中考真題）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（）

3.（2024?河南,中考真題）如圖，乙地在甲地的北偏東50。方向上，則N1的度數(shù)為（）

甲

A.60°B.50°C.40°D.30°

典例引領(lǐng)

【題型2：平行線的性質(zhì)和判定】

【典例2】（2024?山東濰坊,中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架4B與吊線FG平行，燈桿CD

與底部支架AB所成銳角a=15。.頂部支架EF與燈桿CD所成銳角0=45。，貝隨尸與FG所成銳角的度數(shù)為

A.60°B.55°C.50°D.45°

即時檢洲

1.（2024?山東淄博中考真題）如圖，已知ADIIBC,BD平分乙4BC.若乙4=110。,則ND的度數(shù)是（）

A.40°B.36°D.30°

2.（2024?福建?中考真題）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CD1DE）按如圖方式

擺放，若4B||CD,則N1的大小為（）

A.30°B.45°75°

典例引領(lǐng)

【題型3：度、分、秒的計算】

【典例3】（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）74。19'30"=

即時檢洲

1（22-23七年級上?浙江湖州?期末）已知N1與42互余，若42=29。20、則N1的度數(shù)等于（）

A.61WB.60080,C.60040zD.29°20'

【題型4：三角板放置產(chǎn)生的角度計算】

【典例4】（2024?四川瀘州?中考真題）把一塊含30。角的直角三角板按如圖方式放置于兩條平行線間，若

41=45。，貝！U2=()

A.10°B.15°C.20°D.30°

2即時檢測

1.（2024?山東東營?中考真題）己知，直線磯6,把一塊含有30。角的直角三角板如圖放置，41=30。,

三角板的斜邊所在直線交b于點4貝此2=（）

2.（2024?四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E在力B的延長線上，^DF||AB

時，NEDB的度數(shù)為（）

【題型5：命題】

【典例5】（2024湖南中考真題）下列命題中，正確的是（）

A.兩點之間，線段最短B.菱形的對角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D.直角三角形是軸對稱圖形

1.（2024?江蘇無錫?中考真題）命題"若a>b,貝必-3<b-3”是命題.（填"真"或"假"）

2.（2024江蘇宿遷中考真題）請寫出定理"兩直線平行，同位角相等"的逆定理

O好題沖關(guān)O

基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2025湖南婁底一模）下列命題中錯誤的是（）

A.兩點之間線段最短

B.有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.兩點確定一條直線

D.平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

2.（2024安徽二模）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含45。角的三角板的一條直角邊與含30。角的

三角板的斜邊垂直，貝M的度數(shù)為（）

A.60°B.65°D.75°

3.（2024甘肅模擬預(yù)測）如圖，直線a,則41的余角為（）

A.10°B.20°

4.（2024河北石家莊二模）關(guān)于圖中的點和線，下列說法錯誤的是（）

AB

A.點C在直線48上B.點C在線段4B上

C.點3在射線AC上D.點5在線段4c上

5.（2024江蘇蘇州一模）如圖所示幾何體的左視圖是（）

7.（23-24七年級上?江西撫州?期末）如下圖，該幾何體從正面看得到的圖形為（）

正面

8.（24-25七年級上,重慶渝北?期末）九曲橋九曲十八彎彎折的道路不僅可以增加美感，還可以增加游客在橋

上行走的路程，如圖，A,8兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，這其中的數(shù)學(xué)原理

是（）

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短

C.兩點之間，線段最短D.過一點有無數(shù)條直線

9.（24-25七年級上?甘肅蘭州?期末）已知乙4=30。15',9B=30.3°,則乙4和2B的大小關(guān)系是（）

A.Z-A>Z-BB.Z.A-Z-BC.Z.A<Z.BD.無法判斷

10.（24-25八年級上?山西晉城?期末）下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.如果。2=62,那么a=b

B.如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等

C.對頂角相等

D.相等的角是內(nèi)錯角

11.（2025廣東模擬預(yù)測）將一副三角板如圖所示放置，ZCOD=AAOB=90°,若NBOC=160。，則乙4。。

的度數(shù)為.

12.（24-25七年級上?廣東惠州,期末）如圖，鐘表上八時整時，時針與分針所成的角是度.

13.（24-25七年級上廣東惠州?期末）如圖，已知5、C兩點把線段4D分成2:5:3三部分，M是4。的中點,

若MC=12cm.則線段=cm.

ABMCD

14.（24-25八年級上?陜西銅川?期末）如圖，點E、尸分另IJ在線段CD、48上，連接AE、BC、BD,過點F作FG||AE

分另lj交BC、CD于點、H、G,ABFG=^AEC.

⑴求證：AB||CD；

（2）若BC平分"BD,4=100。，求NC的度數(shù).

15.（24-25七年級上?湖南衡陽?期末）綜合與實踐活動課上，老師讓同學(xué)們以"平行線的等角轉(zhuǎn)化功能"為主

題開展數(shù)學(xué)活動，已知直線4B||CD,點E是4B和CD之間任意一點，連結(jié)8E、CE,完成下面任務(wù).

【任務(wù)一】（1）如圖L已知NB=45°,4BEC=70°,過點E作EF||4B,求NC的度數(shù)；

【任務(wù)二】（2）如圖2,ZB-ZC=9O°,判斷BE與CE的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1

0片能力提升

1.（24-25九年級上?甘肅白銀?期末）如圖，小明用七巧板拼成一個邊長為2的正方形，再用這副七巧板拼

成一個矩形，則矩形的對角線長為（）

A.V10B.2V5

2.（24-25七年級上?福建廈門?期末）如圖,把一張長方形的紙條ABC。沿EF折疊，若4BFN比N8FE多6°，

貝!U￡TC=

3.（24-25七年級上?福建廈門?期末）在數(shù)軸上剪下8個單位長度（從2到10）的一條線段，并把這條

線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為

1:1:2,則折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)可能是—.（寫出所有情況）

二............II'I'

折提剪許處

真題感知

L（2024?海南?中考真題）如圖，直線Mln,把一塊含45。角的直角三角板2BC按如圖所示的方式放置，點8

在直線〃上，NA=90。，若41=25。，則42等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）全國兩會，習(xí)近平總