冷您13挑計(jì)與就隼

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

統(tǒng)計(jì)案例以及數(shù)字特征類的

2024全國(guó)III運(yùn)算子近年的考查頻率非常

考點(diǎn)01統(tǒng)計(jì)案例2023全國(guó)I乙卷高，容易與實(shí)際情景以及頻率

與數(shù)據(jù)分析2022乙卷甲卷分布直方圖相結(jié)合，從而考查

2021乙卷全國(guó)III統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，將

是高考的一個(gè)方向。

古典概型是高考數(shù)學(xué)中的一

2024I甲卷個(gè)重要考查點(diǎn)，難度小。排列

考點(diǎn)02古典概型與2023I卷II卷乙甲卷組合在近年的高考中考查的

排列組合2022乙甲I卷不是很多，一般是排隊(duì)性問

2021乙卷題，插空類，以及分類討論性

問題

20241卷II卷甲

2023I卷II卷乙甲卷離散型分布是高考的一個(gè)常

考點(diǎn)03正態(tài)分布、離2022乙I卷n卷考題型，主要是賽制類問題，

散型分布及應(yīng)用2021I卷n卷二項(xiàng)分布，超幾何分布類問題

2020I卷

考點(diǎn)04事件的獨(dú)2024I卷?xiàng)l件概率與全概率的應(yīng)用是

立，條件概率與全概2023甲卷I卷II卷高考在概率方面的一個(gè)重要

率公式應(yīng)用，獨(dú)立性2022乙卷I卷方向，在新高考中將是一個(gè)非

檢驗(yàn)2021甲卷I卷常重要的方向

2020I卷

隨著新一輪的高考數(shù)學(xué)改革，

2024I卷

概率與其他知識(shí)相結(jié)合成為

考點(diǎn)05概率綜合應(yīng)2023II卷乙卷

一個(gè)重要的考查方向，概率與

用2021II卷

數(shù)列，概率與函數(shù)倒數(shù)結(jié)合將

2020I卷

成為熱點(diǎn)。

分考并精準(zhǔn)練工

考點(diǎn)01統(tǒng)計(jì)案例與數(shù)據(jù)分析

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為10與0-產(chǎn)34=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

—x（6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75）=1067,故D錯(cuò)誤.

故選；C.

2.（2022?全國(guó)?高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽

取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和

講座后問卷答題的正確率如下圖：

*講座前

?講座后

居民編號(hào)

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為70%；75%>70%,所以人錯(cuò);

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率的極差為10。％-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯(cuò).

故選:B.

3.（2021?全國(guó)?高考真題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年

收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率/組距

0.20----------------------------I~—

0.14----------------------I—

0.10----------------------------------------------------

0.04----------------------------------------------------------

0.02-----------------------------------------------------------1-----1-----1

0bA2：53：54.’55：56：57：58.’59：590'.511’.5上.5占51；.5危入/萬元

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)

的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.

【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可

作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,

故D正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68

（萬元），超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

二、多選題

4.（2023?全國(guó),高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)占,心…其中不是最小值，%是最大值，貝U（）

A.尤2戶3，尤4，無5的平均數(shù)等于西，無2,…，%的平均數(shù)

B.%,馬,匕出的中位數(shù)等于%,聲,…％的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于X],…戶6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.x2,x3,x4,x5的極差不大于網(wǎng),工2,…,乙的極差

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:設(shè)程不，匕,無5的平均數(shù)為加，再戶2,…，無6的平均數(shù)為"，

皿?X]+X?+%+匕+*5+*6%+*3+*4+%2（X]+%）-（%+X2+X3+尤4）

火1j7?-m——,

6412

因?yàn)闆]有確定2（項(xiàng)+4）,/+%2+工3+的大小關(guān)系，所以無法判斷加，孔的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,l=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得機(jī)=2,〃=?；故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)石W%2W%4（工5，

可知馬,無3,無4，%的中位數(shù)等于國(guó)，聲，…，%的中位數(shù)均為區(qū)產(chǎn)，故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槎嗍亲钚≈担瑹o6是最大值，

則%,X3，匕,無5的波動(dòng)性不大于國(guó),超,…％的波動(dòng)性，即％2,無3，尤4，工5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于再,馬,…，無6的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如:2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)”=1（2+4+6+8+10+12）=7,

6

4,6,8,10,貝I］平均數(shù)加=；（4+6+8+10）=7,

2222

標(biāo)準(zhǔn)差52=^［（4-7）+（6-7）+（8-7）+（10-7）］=舊,

顯然晅＞右，即心＞S2；故C錯(cuò)誤；

3一

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)無1W尤2WX34無44毛WZ，

則％-再2尤5-馬，當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)=/戶5=%時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：BD.

5.（2021?全國(guó)?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)為，%2,....x,,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)功，外，…，州，

其中乂=x,+c（"l,2,…,"）,c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有項(xiàng)四=￡（無）+。、D（y）=D（x）,即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極

差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：E（y）=E（x+c）=E（x）+c且cwO,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為王，則第二組的中位數(shù)為,=%+c,顯然不相同，錯(cuò)誤；

C：4了）=?？冢?。（。=。（幻，故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為Xm〃-X1nhi,則第二組的極差為

X+CX

Vmax一Vmiu=（max）~（^min+。）=^max-min，故極差相同，正確；

故選：CD

6.（2021?全國(guó),高考真題）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本占,血的離散程度的是（）

A.樣本尤1，尤2,…，x”的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本再戶2,…,X"的中位數(shù)

C.樣本%,無2,…戶”的極差D.樣本無1，尤2,…，無”的平均數(shù)

【答案】AC

【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).

【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

三、解答題

7.(2023?全國(guó)?高考真題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差

異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判

定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為"(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)

性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率0?=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(。)；

⑵設(shè)函數(shù)〃C)=MC)+4(C),當(dāng)ce［95,105］時(shí)，求/(c)的解析式,并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

【答案】⑴c=97.5,g(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/'(c)=最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出再根據(jù)第二個(gè)圖求出c297.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以,-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

水)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)?！辏?5,100］時(shí),

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0,82>0,02；

當(dāng)(100,105］時(shí),

/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-l00)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f-0.008c+0.82,95<c<100

故=1，

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃C)在區(qū)間［95,105］的最小值為Q02.

8.(2023?全國(guó)?高考真題)某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，

每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)

量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為王,

%［=1,2,…,10）.試驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率不545533551522575544541568596548

伸縮率必536527543530560533522550576536

記4=%%（i=1,2,…,10）,記Z］,z2,…,乙的樣本平均數(shù)為2,樣本方差為52.

⑴求5，一；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果

z>2.—,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

Vio

則不認(rèn)為有顯著提高）

【答案】（1）7=11,s2=61：

⑵認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出京工，再得到所有的4值，最后計(jì)算出方差即可;

（2）根據(jù)公式計(jì)算出2<二的值，和9比較大小即可.

V10

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548

［詳解］（］）x=---------------------------------------------------------------------=552.3,

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536。

y=-------------------------------------------------------------------------=541.3,

“10

亍=亍—歹=552.3—541.3=11,

4=x,-%的值分別為：9,6,8,—8,15,11,19分8,20,12,

222222222

,,2_(9-11)+(6-11)+(8-11)+(-8-11)+(15-11)+0+(19-11)+(18-11)+(20-11)+(12-11)_

RXS——O1

10

(2)由(1)知:彳=11,2J-=2>/61=V247,故有彳221匚，

V10V10

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

9.(2022?全國(guó)?高考真題)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木

的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：

n?),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量M0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得￡年=0.038,￡點(diǎn)=1.6158,?上=0.2474.

i=li=li=l

⑴估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

⑶現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

￡(不一于)(乂一頁(yè))____

附：相關(guān)系數(shù)廠=IJ“,J1.89671.377.

(玉-君藝(乂-刀

Vi=ii=i

【答案】⑴0.06mZ；0.39m3(2)0.97(3)1209m3

【詳解】(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值亍=箸=0.06

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值歹=芾=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.060?,

平均一棵的材積量為0.39n?

1010

可5-歹)?a-10或

:(行茂他一寸信-1叫宮-回

0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134八加

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)VO.00018960.01377

則rx0.97

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為KT?,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得痂解N得y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3

10.(2022?全國(guó)?高考真題)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如

下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑴估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

【答案】⑴47.9歲；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)N={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式尸Q)=1-P(力即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【詳解】(1)平均年齡—5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)設(shè)/={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(/)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)xlO=1-0.11-0.89.

(3)設(shè)3="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)〃，C="從該地區(qū)中任選一人患這種疾病",

則由已知得：

尸⑻=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,尸(8|C)=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P(C\B)=W9=P?P(89=O-OO1XO-23=0.0014375。0.0014

P(B)P(B)0.16

11.(2021?全國(guó),高考真題)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無

提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為最和亍，樣本方差分別記為s；和學(xué).

(1)求x，yJ邑，$2；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果歹一了t2s則認(rèn)為新

設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

【答案】(1)1=10$=10.3,s；=0.036,s；=0.04；(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提

高.

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

(2)根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合(1)的結(jié)論進(jìn)行判斷.

?、平際、,、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

【詳解］(1)x=-------------------------------------------=10,

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=-------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八

S]=-----------------------------------------------0.036,

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八八“

-------------------------------------------------=0.04.

10

（2）依題意，?。?0,3=2x0.15=2,0.152=210.0225,2J0-036+0.04=2^Q0076,

,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

V10

考點(diǎn)02古典概型與排列組合

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C：QC短種B.乳種

C.C%C孰種D.C然C機(jī)種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x縹=40人，高中部共抽取60x嬰=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.

故選：D.

2.（2023?全國(guó)?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有cl種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C1A；=120種，

故選：C.

3.（2023?全國(guó)?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從

這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為0,6,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有A；=12

種方法，

同理："c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

4.（2022?全國(guó)?高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

故所求概率P=321一-7=；2.

213

故選：D.

5.（2022?全國(guó)?高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和

丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式,

故選：B

6.（2021?全國(guó)?高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行

培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘

法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者

中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的

位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

7.（2021.全國(guó).高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A.—B.—C.-D.一

3535

【答案】C

【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，

若2個(gè)0相鄰，則有C=5種排法，若2個(gè)。不相鄰，則有C；=10種排法，

102

所以2個(gè)0不相鄰的概率為--=-.

5+103

故選：C.

8.（2020?山東?高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1

名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【分析】分別安排各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有C：；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有點(diǎn)；

最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.

故不同的安排方法共有=6x10=60種.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2020?海南?高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至

少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生安排到2個(gè)村即可.

【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有川=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種

故選：C

二、填空題

10.（2024?全國(guó)?高考真題）在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中,

則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a/,cS),a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

11.(2024?全國(guó)?高考真題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機(jī)取3次,

每次取1個(gè)球.記羽為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，”為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則m與〃之差

的絕對(duì)值不大于!的概率為.

7

【答案】西

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為。力，第三個(gè)球的號(hào)碼為C,則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為6,第三個(gè)球的號(hào)碼為。，則竺F-審

故12c-(a+小3,故-342c-(a+b)W3,

故〃+6-3?20?。+6+3,

若c=l,則a+645,貝Mdb)為：(2,3),(3,2),故有2種，

若c=2,則14a+b47,則（a,6）為：（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10種，

當(dāng)c=3,貝！j3Wa+649,貝?。?）為：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16種,

當(dāng)c=4,則5W〃+bWll,同理有16種，

當(dāng)。=5,貝IJ7?Q+6?13,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝”9WQ+6?15,同理有2種，

共機(jī)與〃的差的絕對(duì)值不超過;時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為2（2+10+16）=56,

故所求概率為言=1.

7

故答案為：~

12.（2023?全國(guó),高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

13.（2022?全國(guó)?高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率

為.

3

【答案】-/0.3

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10種選法;

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率尸=歷.

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=而

3

故答案為：—

14.（2022?全國(guó)?高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

【答案】*

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有〃=C；=70個(gè)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有機(jī)=6+6=12

個(gè)，故所求概率尸=m'=312=白6.

n7035

故答案為：—.

考點(diǎn)03正態(tài)分布、離散型分布及應(yīng)用

一、單選題

1.（2021?全國(guó)?高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布下列結(jié)論中不正確的是（）

A.b越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,4為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=1。附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在（9910.1）

內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,

故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.0）的概率與落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果

落在（9.9,10.2）的概率與落在（10,10.3）的概率不同，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

二、多選題

2.(2024?全國(guó)?高考真題)隨著“一帶一路"國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推

動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值下=2.1,

樣本方差$2=0,01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(L8,012),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入y

服從正態(tài)分布N(月s'),貝|]()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布"(〃，才)，尸(Z〈〃+。)。0.8413)

A.P{X>2)>0.2B.P{X>2)<0.5

C.P(K>2)>0.5D.P(K>2)<0.8

【答案】BC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的3。原則以及正態(tài)分布的對(duì)稱性即可解出.

【詳解】依題可知，于=2.1,$2=0.01,所以y~N(2.1,0.1),

p(y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(y<2.1+0.1)?0.8413>0.5,C正確，D錯(cuò)誤：

因?yàn)閄~N(1.8,0.1),所以P(X>2)=尸(X>1.8+2x0.1),

因?yàn)槭?X<1.8+0.1)x0.8413,所以尸(X>1.8+0.1)。1一0.8413=0.1587<0.2,

而尸(X>2)=尸(X>L8+2x0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正確，A錯(cuò)誤，

故選：BC.

3.(2020?山東?高考真題)信息燧是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…且

P(X=i)=Pt>0(/=1,2,-JA=1,定義X的信息燧砥X)=-￡pJog2).則()

1=1J=1

A.若。=1,則H(X)=0

B.若〃=2,則H(X)隨著月的增大而增大

C.若P,=-(/=1,2,?■?,/?),則H(X)隨著n的增大而增大

n

D.若"=2m,隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,…，且尸(y=/)=Pj+%1+??/=1,2,…,㈤,則H(X)4H(y)

【答案】AC

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，求得7/(X),由此判斷出A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行排除；對(duì)于C選

項(xiàng)，計(jì)算出“(X),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，計(jì)算出"(X),H(Y),利用基本

不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若〃=1,則i=l,PI=l,所以〃(X)=-(lxlog21)=0,所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃=2,貝lj，=l,2,Pz=l-p、,

所以〃(X)=-[R-log2A+(1-A)-1°g2(1-A)]，

當(dāng)Pi=；時(shí)，〃(X)=-1glog2；+jlog2'1j，

當(dāng)Pl1時(shí)，”（Xh-g/ogzKlogz；］，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，若R」（i=l,2,…㈤,則

n

>

/7（X）=-f--log2-|xn=-log,-=log0n,

\nn）n

則”（X）隨著〃的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃=2加，隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,…，加，且P（Y=j）=pj.+p2m+l_j.

（j=1,2,…，m.

?嗎i

"(X)=-10g2Pi=￡,10g2—

i=li=lPi

[1t1,11I

=Pi,log?—+021°§2——+,,,+Plm-\,1°§2----+Pim?1°§2----.

PlPlP2m-lPl,n

H(丫)=(R+02,”).log?---+(0+),bg?----------+…+屹“+4+i),logZ--------

+

Pl+P2mP2+Plm-1P,?Pm+l

,I,1,1,1