重難點02相似三角形常見幾何模型綜合訓練

明考情,知方向

中考數學中《相似三角形七大幾何模型綜合訓練》部分主要考向分為七類：

一、“A”字型

二、“8”字型

三、反“A”字型

四、“k”字型

五、射影定理

六、“共邊”模型

七、“十字架”模型

相似三角形是四川中考數學中常考的幾何題型，很多考生往往不知道從哪里入手，本小節內容主要是

講解相似三角形中常見的七大幾何模型，引導學生進行分析，克服對幾何題的恐懼。

重難點題型解讀

考向一："A"字型

相似三角形幾何模型之"A"字模型

6

已知DEIIBC,則AADE-AABC,比例線段:黑=笫=。,自嚙

①直接求解：當題目中出現平行和現成的"A"字型時，我們可以利用求"A"字型的方法直接求解。

②間接求解：若題目中沒有出現平行，則需要我們自己做輔助線求解。如圖所示

1.（2022?四川巴中?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，C為AAOB的邊上一點，AC:OC=1:2,

過C作CD〃03交AB于點。，C、。兩點縱坐標分別為1、3,則3點的縱坐標為（）

【答案】C

【詳解】解：

.AC__CD_

,?=，

AOOB

；AC:OC=1:2,

.AC_I

>?=—，

AO3

；C、。兩點縱坐標分別為1、3,

CD=3—1=2,

???2__一1，

OB3

解得：OB=6,

，3點的縱坐標為6,故C正確.

故答案為：6.

2.（2024?四川綿陽?三模）如圖AABC中,tanZC=-,DE±AC,若CE=5,DE=1,且ABEC的面積

2

是4ADE面積的10倍，則BE的長度是（）

C.V5D.不

【答案】C

【詳解】解：如圖，作人AC于點R

^BF=x,貝UFC=2x,EF=CE—FC=5—2x,

DE±AC,BFJ.AC,

ZAED=ZAFB=90°,

又ZDAE=ZBAF,

AED^AFB,

DE_AE

,BF-AF'

1AE

xAE+5-2x

5-2x

AE=

x-l

.ABEC的面積是AADE面積的10倍,

:.-xECxBF=10x-xAExDE,

22

BP—x5x=10x—x-—―xl,

22x-1

整理得%2+3%-10=0,

解得玉=一5（舍），X2=2,

經檢驗，x=2是原方程的解，

/.BF=2,EF=5—2x2=1,

由勾股定理得BE=^EF2+BF2=Vf+22=A/5，

故選C.

3.（2024?四川宜賓?一模）如圖，在矩形ABC。中，AC為對角線，點8關于AC的對稱點為點E,連接AE,

CE,CE交AD于點八過點尸作共6人AC,垂足為G,過點G作GHL5C,垂足為點H,若AB=4,BC=8,

【答案】B

【詳解】???點B關于AC的對稱點為點E,

ZACB=ZACE,

:四邊形ABCD是矩形，

AAD//BC,ZABC^90°,

??^-ACB=Z.CAD,AC=\lAB~+BC2-45/5,

/.ZACE=ZCAD,

：.AF=CF,

△AB是等腰三角形，

FGAAC,

AAG=CG=-AC=2y/5ZCGF=ZCBA=9Q°,

29

,:ZACB=ZACEf

JjCGFsCBA,

.GFCG

,'AB-CB'

.GF_2y/5

??---=----,

48

???GF=5

GHLBC,

：.ZCHG=ZCBA=90°f

：.GH//AB,

;AG=CG,

???G”是AABC的中位線，

JGH=2,

,FG二小

故選：B.

4.（2024?四川成都?二模）如圖,。，片分別是AABC的邊AB,AC上的點，若NAZ>E=NC,AD=2,AC=4,

BC=6,則OE的長度為（）

A

BC

4

A.-B.2C.3D.4

3

【答案】C

【詳解】解：???NADE=NGNA=NA,

:.Z\ADE^/\ACB,

.ADDE日口2_。石

ACCB46

解得。石=3,

故選：C.

5.（2023?四川甘孜?中考真題）如圖,在矩形ABCD中，AB=4,3C=6,點尸,。分別在AB和AC上，尸。〃8C,

M為P。上一點，且滿足PM=2MQ.連接AM、DM,若=則AP的長為.

【答案】3

【詳解】解：設AP的長為尤，

PQ//BC,

,APQsABC,

?AP=PQ

XVAB=4,BC=6,

3

尸。丁，

又?:PM=2MQ,

PM=x,MQ=—x,

PM=PA,

又；ZAPM=90°,

"PM是等腰直角三角形，

:?AMfx，ZPAM=45°,

ZDAM=45°,

又：MA=MD,

：.ZADM^ZDAM^45°,

：.Avn。是等腰直角三角形，

:.AD=0AM，即6=衣&尤，

「?尤=3,

???AP=3,

故答案為：3.

6.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，Z^ABC中，是中線，分別以點A,點B為圓心，大于;A8長為

半徑作弧，兩孤交于點M,N.直線MN交AB于點E.連接CE交AO于點R過點。作。G〃CE,交A8

于點G.若。G=2,則CP的長為.

【答案】|

【詳解】解：由作圖方法可知MN是線段AB的垂直平分線，

.?.點E是的中點，

CE是4ABC的中線，

又：AD是^ABC的中線，且AD與CE交于點E

.?.點廠是4ABC的重心，

/.CF=-CE,

3

,?DG//CE,

,BDGsBCE,

.CEBC、

DGBD

：.CE=2DG=4,

：.CF=-CE=-

33f

故答案為：g.

nA2

7.（2024?四川成都?二模）如圖，以點。為位似中心，作四邊形的位似圖形已知二二二二,

AA5

若四邊形ABC。的周長為8,則四邊形AB'C'D'的周長為.

一

C

B'C

【答案】28

【詳解】解：：黑=:，

AA5

.OA_2

"O47-7，

,/四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，

.?.四邊形ABCDs四邊形AB'CD',AB//AB，

：.^OAB-AOAB',

.ABOA2

"A'B'~OA'~1J

四邊形ABC。的周長：四邊形ABC'。'的周長=2:7,

?/四邊形ABCD的周長是8,

.??四邊形A'B'C'D的周長為28,

故答案為：28.

8.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,反比例函數y=*0）的圖象經過

AN

點A、8及AC的中點軸，A3與y軸交于點N.則f的值為（）

【答案】B

【詳解】解：作過A作BC的垂線垂足為。，BC與〉軸交于E點，如圖,

在等腰三角形ABC中，ADJ.BC,。是BC中點,

設4哈I,小，力，

由BC中點為。，AB=AC,故等腰三角形ABC中,

**.BD=DC=a—b

,.—Z?,—,

?AC的中點為M,

kk、

—+—

3a-b'3a-bk(a+b)'

：.Mab即

22、2，2ab,

7

3a-bk

由〃在反比例函數上得M

2'3a-b

2,

k(a+b)k

lab3a-b，

2

解得：b=-3af

由題可知，AD//NE,

.ANDEaa1

ABBDa—ba+3a4

故選：B.

9.（2024?四川綿陽?一模）如圖，在AABC中，4。是高，E是AB上一點，CE交AD于點、F,且

AD:BD:CD:FD=12:5:3:4,貝Usin/BEC的值是.

【答案】~

65

【詳解】解：如圖，過點C作CHLA3于點”，過點/作歹G人AB于點G,

設2D=5x,則AD=12x,CD=3x,DF=4x,

AB=^AD2+BD2=13x-CF==5x，AF=AD-DF=8x,

VZAGF=ZADB=90°,NGAF=NDAB,

：.八AGFs^ADB,

.FGAFFG_8x

"AB?"~5x~13x9

.”40

..rG=—x,

13

VZB=ZB,NBHC=NBDA.

Z\BCH^^BAD,

.CHBCCH5x+13x

?.---=----,即Rn----=--------

ADBA12x13x

：.CH=—,

13

FG//CH,

：.Z\EFGS&ECH,

40x

MR即1^=四

ECCHEF+5x96x

IT

25x

~T'

10.（2024?四川成都?一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形,且AB=AC,延長AB至D,使得AB：BD=mn,

連接CD,E是BC邊上的中點，連接AE,并延長AE交CD與點R連接陽，則3尸：FD=.

【詳解】解：過點8作3//〃AF交CD于H,

:.二BDHs^ADF

.PHBDn

HFABm

VAB=AC,E1是5C邊上的中點，

AELBC,

???川是線段5。的垂直平分線，

:.BF=CF,

VEF//BH,CE=EB,^BE=-CE

2

:?CEFsCBH,

.CFCECE1

2CE~2,

：.CF=-HF即C/=HF,

2f

CF：FD=m：(ni-\-n),

:?BF：FD=nk^m+ri).

故答案為：加:"+〃）.

RF

11.（2024?四川成都?二模）如圖，在正方形"8,點E/在射線5c上，㈤「45。，則區最大值是

【答案】勺

【詳解】解：過點石作￡6，鉆交AF于G,過點G作于H,如下圖所示:

B

^&：BE=x,正方形ABC。的邊長為a,——=k,其中％左>0,

EF

.EG.LAE,ZE4F=45°,

/.AE=EG,

?四邊形ABC。為正方形，AB=a,

又？590?,

EG.LAE,GH1EF,

/B=ZAEG=ZEHG=90°,GH//AB,

/./BAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZHEG=90°,

:.NBAE=NHEG,

在AABE"和石"G中

ZBAE=ZHEG

<ZB=ZEHG=90°

AE=EG

.△ABE公AEHG(AAS),

AB=EH=a,BE=GH=x,

BH=BE+EH=x+a,

FB=FH+BH=FH+x+a,

GH//AB,

:.AFGHsAFAB,

:.GH:AB=FH:FB,

x:a=FH:(FH+x+a),

2

a-x

272

.口口a+aXX〃

..EF=FrHrj+,E77H17=----------+,a=--X---+-----,

a-xa-x

BEax—x27

?'?-----―-----7=k，

EFx2+a2

整理得：(l+^)x2—ax+ka1=0,

依題意得關于X的方程(1+%)爐-依+32=0有兩個實數根

???根的判別式△=(-4-40+9x^20

a>0,

■上式兩邊同時除以得:1-4左-4二20,

整理得：伏

k>0,

,1V2

/.kH—W，

22

.??0〈左V史匚，

2

的最大值為受二，

2

???黑的最大值為正二1.

EF2

故答案為：叵1.

考向二："8"字型

①對于平行（ABIIDE）類型的"8"字型模型：AABC—CDE比例關系：合=等=器；

CCUCUL

②對于非平行（ZB=ZE）類型的"8"字型模型：AABOACDE比例關系：?=2=緇

￡/CC>tUCi

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在「ABC。中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交BA,3c于點M,N；②分別以M,N為圓心，以大于;的長為半徑作弧，兩弧在—A3C

內交于點。；③作射線3。，交AD于點E,交CD延長線于點尸.若8=3,DE=2,下列結論錯誤的是

F

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

-BE5

C.DE=DFD.=—

EF3

【答案】D

【詳解】解：由作圖可知，所為-ABC的角平分,

：.ZABE=ZCBE,故A正確；

???四邊形ABC。為平行四邊形，

:.AD=BC,AB=CD,ADBC,

???AD//BC

：.ZAEB=ZCBE,

:.ZAEB=ZABE,

：.AE=AB=CD=3f

：.BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確；

?；AB=CD,

ZABE=ZF,

?:ZAEB=ZDEF,

A/4EB^ADEF,

.BEABAE

??而一而一而‘

.BE3_3

EF~DF~2"

BF3

笠=：,DF=2,故D錯誤；

EF2

,:DE=2,

ADE=DF,故C正確，

故選：D.

2.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，AF平分—R4C,將矩形沿直線石尸折疊，使點A,

5分別落在邊A。、3C上的點A,?處，EF,A尸分別交AC于點G,H.若GH=2,HC=S,則正的

長為（）

拒

5D.5

~2~

???AD//BC,

由折疊的性質得AE=AE,BF=B'F,四邊形和四邊形A0在都是矩形,

：.ABEFOB'

.AG_BF

??而一赤一‘

AG=OG,

?「AF平分/R4C,AB//GF,

：.ZGAF=ZBAF=ZGFA,

JAG=GF=GO,

i^AG=GF=GO=xf

VGH=2,HC=8,

*.HO=x-2,GC=8+2=10,

.*AE//FC,

\AEGsCFG,

.AEEGAGAEEGx

~~——,即Rn一=—二—①,

CFGFGCCFx10

：AA://FC,

AAXHSACFH,

:,臉=彌即奈=*②，

*.*AA!=2AE,

由①②得當=g,

OJ

解得x=W,則AG=GF=GO=W

33

20A/2

在RtZiCFG中，CF=yJCG2-FG2=

3

10

AEY

,20為一10，

3

.-.AE=^H,即

99

故答案為：A.

3.（2023?四川雅安?中考真題）如圖，在（ABCD中，尸是AD上一點，CF交BD于點E,C廠的延長線交54

的延長線于點G,EF=1,EC=3,則G廠的長為（）

【答案】C

【詳解】???四邊形AB。為平行四邊形,

AB//CD,AB=CD,

.GFAGEGBG

*'FC-CD'EC-CD'

設Gb為x,

VEF=\,EC=3,

：.EG^l+x,BG=AG+CD,

T*l+x_AG+CJ|AG

4CD'3CDCD'

.l+xYX

..------=1+—,

34

即8-x=0,

得x=8,

GF=8.

故選：C.

4.（2023?四川內江?中考真題）如圖，在VABC中，點。、E為邊A3的三等分點，點工G在邊BC上,

AC〃DG〃所，點X為AF與DG的交點.若AC=12,則?！钡拈L為（）

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【詳解】解：D、E為邊的三等分點，EF〃DG〃AC,

:.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

:.AB=3BE,DH是△AEF的中位線，

:.DH=-EF,

2

EFAC,

ZBEF=ABAC,ZBFE=ZBCA,

:.ABEFs/xBAC,

EFBEEFBE

——=——,即nn一=,

ACAB123BE

解得：￡F=4,

:.DH=-EF=-x4=2,

22

故選：C.

5.（2023?四川巴中?中考真題）如圖，在RtZXABC中，AB=6cm,BC=8cm,D、￡分別為AC、BC中點,

連接AE、3D相交于點F,點G在CD上，且DG：GC=1：2,則四邊形DEEG的面積為（）

A

BEC

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

【答案】B

【詳解】如圖所示，連接OE,

故選：B.

6.（2022?四川攀枝花?中考真題）如圖，在矩形A58中，AB=6,AD=4,點E、尸分別為BC、CD的中

點，BF、DE相交于點G,過點E作E"〃CD,交即于點X,則線段G8的長度是（）

5

D.

3

【答案】A

【詳解】解析：四邊形A5CD是矩形，AB=6,AD=4,

.\DC=AB=6,BC=AD=4,ZC=90°,

「點￡、方分別為5C、CD的中點，

：.DF=CF=-DC=3,CE=BE=-BC=2,

22

EH//CD,

：.FH=BH,

BE=CE,

13

:.EH=-CF=-.

22

由勾股定理得：BF=VBC2+CF2=A/42+32=5^

：.BH=FH=-BF=-

22f

EH//CD,

:AHGADFG,

,EH_GH

,,而一商'

3

.3=GH

■"?~5「J

----Crrz

2

解得：GH=f,

6

故選：A.

7.（2024?四川瀘州一模）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E,b分別在邊AO,AF,3E1相交于點

G,若AE=3ED,tan/OE4=2,則AG的長為（）

AED

11V5

A10V5R12括r11小

11111012

【答案】B

【詳解】如圖，延長交于點H,

???四邊形ABC。是正方形，

ADBC,AD=BC=CD=4,ZADC=ZBCD=90°,

AE=3ED,

：.AE=3,ED=1^

VtanZDE4=2,

，辿=2,

DF

：.DF=2,

：.CF=CD—DF=4—2=2,

：.CF=DF,

9：ZBCD=90°,

：.ZHCF=90°,

：.ZADF=ZHCF=90°,

在AAD尸和HCF中,

ZADF=ZHCF

<DF=CF,

ZAFD=ZHFC

.?..(ASA),

:.CH=AD=4,AF=HFf

在&ADb中，由勾股定理得

AFNAIF+DF?='42+2?=2后，

/.HF=2百，

/.AH=AF+HF=445,

ADBC,

/.AEG-HBG,

.AEAG

,?麗一訪‘

.3_AG

,,8-4A/5-AG，

..ACr=--------,

11

故選：B.

8.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，菱形ABC。的邊長為6,ZBAD=12009過點。作交5。的

延長線于點E,連結AE分別交5Q,8于點尸，G,則FG的長為

【詳解】解：,菱形ABCD的邊長為6,ZBAD=120°,

：.AD=BC=CD=6,AD//BC,ZBCD=120°,

:.ZDCE=60°,

DE上BC,

../DEC=900,

在RtVOCE中，NCDE=90°—ZDCE=3。。，

:.CE=-CD=3,

2

/.DE=ylCD2-CE2=3A/3，

:.BE=BC+CE=9.

ADBE,

ZADE=180?！?DEC=90°,

22

在RtADE中,AE=y]DE+AD=小國+G=3幣,

ADBE,

/.AFD^EFB,

.AFAD_6_2

'FE~BE~9~3"

.477_2_6a

..AF——AAEr——x3,7------,

555

AD//CE,

AAGD^AEGC,

AGAD6

----==—=2,

EGCE3

/.AG=2AE=^X3幣=2幣,

33

.”入廠。/76s4近

..FG=AG—AATF7=2y7-------=------.

55

故答案為：亞.

5

9.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CZXAD上

的動點，且CE=L>F.當AE+CF的值最小時，則CE=

【答案】|2

【詳解】解：延長BC,截取CG=CD,連接GE,AG,如圖所示:

???四邊形ABC。為平行四邊形，

AAB=DC=2,AD=BC=4,AD//BC,

：.ZD=ZECG,

?:CD=CG,DF=CE,

:?-CDF'GCE,

:?CF=GE,

：.AE+CF=AE+EG,

???當AE+EG最小時，AE+C尸最小，

??,兩點之間線段最短，

???當A、E、G三點共線時，AE+EG最小，即AE+CF最小，且最小值為AG的長,

9：ADCG,

AAEDs/xGEC,

,ADDE2-CE

*~GC~~CE嗚=CE

2

解得CE=§.

2

故答案為：—.

10.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，E,尸是正方形ABCD的邊A5的三等分點，尸是對角線AC上的動

Ap

點，當尸石+小取得最小值時，克的值是

【詳解】解：作點尸關于AC的對稱點/，連接所'交AC于點P,過點尸作AO的垂線段，交AC于點K,

由題意得：此時「落在A。上，且根據對稱的性質，當P點與嚴重合時尸E+尸尸取得最小值,

2

設正方形ABCD的邊長為a,貝!|AF'=Ab，

「四邊形45co是正方形,

:.ZF'AK=45°,ZP'AE=45°,ACfa

F'K_LAF',

:.NF'AK=NFKA=45。,

..?_272

..AK------a,

3

ZF'PK=ZEPA,

.-.^F'KP'^EAP',

F'KKP'c

/.------=------=2,

AEAPr

,APr=-AK=-y/2a

39f

:.CP=AC-AP=L@,

9

.”'_2

*cF-7?

AP7

???當PE+尸尸取得最小值時，的值是為，，

9

故答案為：—.

考向三：反"A"字型

相似三角形幾何模型之反"A"字模型（特點：共角）

①如圖1所示：已知NAED=NACB,則AADEiABC，線段比例關系：器=*=奈

/1￡JDG/1C

②如圖2所示:已知NABD=NACB,貝必ABDSAACB,線段比例關系：*=霹=煞

DC/IC

③如圖3所示：AADEJAABC,線段比例關系：竿=取=條

ALDJCI￡5

1.（2024?四川內江?一模）如圖，在矩形ABC。中，BC=6,DC=1,點。為對角線8。的中點，OE±BD,

交BC于點E,點尸是對角線30上的動點，尸E+尸C的最小值為（）

【答案】B

【詳解】解:延長EO交AO于點尸，如圖,

BD=YJBC2+CD2=2

丁點。為對角線50的中點,

BO=DO=\

'：OE±BD,

：./DOF=/BOE=90°,

又ADBC

：.ZODF=NOBE

：.ABOE2/\DOF,

：.DF=BE,OF=OE,即點尸在AD上，

連接尸C,交BD于點P,連接PE,

當點EP,C三點共線時，PE+PC的值最小，為CP的長,

,/NOBE=ZCBD,ZBOE=ZBCD=90°

:.BOEsBCD,

,BEBO

"BD~BC

BOBD1x2273

BC一瓦一丁

DF=^~

3

在RtZ^CD廠中,

PE+PC的最小值為:&T,

故選：B

2.（2024?四川巴中?二模）如圖，在AABC中，點。，E分別在邊A3,AC上，S.ZAED=ZB,則下列各

式中一定正確的是（）

B.AE.AC=AD.AB

C.ACAD^AEABD.AECE^AD-BD

【答案】B

【詳解】解：ZAED=ZB,ZBAC^ZEAD,

：.ABACsLEAD,

故選：B.

3.（2024?四川自貢?一模）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=60°,。是AC上一點，DEJ.AB于E,且

CD=2,DE=1,則3C的長為（）

A

CB

A.2B.173C.273D.4G

【答案】B

【詳解】解：???在AABC中，ZC=90°,ZB=60°,

AZA=30°,

VCD=2,DE=1,

：.AD=2DE=2,

???AC=AD+OC=4，AE=dAl"DE2=5

VZA=ZA,ZDEA=ZC=90°,

:.八ABC^/\ADE,

.BCAC

??法一瓦’

?B?C丁4⑻解得:BC4=J^3.

故選：B.

4.（2024?四川成都?一模）如圖，矩形ABCZ）中，已知48=3,8。=6,石為4。邊上一動點，將/睡沿BE邊

翻折到,EBE.點A與點斤重合.連接ORCF.則。P+的最小值為.

【詳解】解：在5C上取點G,使5G=1.5,連接FG,DG,

:翻折，

/.BF=AB=3,

又BC=6,

.BG1.51BF_31

**BF-T-2?BC-6-2?

.BGBF

??而一拓’

又AFBG=NCBF,

/.一FBS,.CBF,

.GF_BF\

**CF-BC-2)

/.FG=-CF,

2

DF+=FC=DF+GFNDG,

2

當。、F、G三點共線時，DF+(/C最小，

2

在RtACDG中，CD=AB=3,CG=BC-BG=4.5,ZBCD=90°,

/.DG=VCD2+CG2=,

2

即的。尸+[PC的最小值為亞.

22

故答案為：巫.

2

5.（2023?四川資陽?中考真題）如圖，已知。的圓心。在AABC的邊AC上，與AC相交于A、E兩點,

且與邊2C相切于點連結DE.

（1）若￡4=BD,求證：A5是）。的切線；

（2）若CD=4,CE=2,求。的半徑.

【答案】（1）見解析

（2）。的半徑長為3

【詳解】（1）證明：連接OD,則如=。4,

Z.OAD=Z.ODA,

：)0的圓心。在AC上，且與邊BC相切于點。，

/.BCYOD,

/ODB=90。,

BA=BD,

/.ZBAD=ZBDA,

：.Z.OAB=AOAD+ZBAD=Z.ODA+ZBDA=ZODB=90°,

是，。的半徑，且ABLOA,

.二AB是。的切線.

(2)解：VOD=OE,

：./ODE=NOED,

是。的直徑，

/.ZADE=90°,

：.ZCAD+ZOED=90°,

,/ZCDE+/ODE=ZODC=90°,

:./CDE=/CAD,

*:zc=zc,

:.ACDE^Z\CAD,

.CDCE

??一,

CACD

?■CECA=CD2,

VCD=4,CE=2,OE=OA,

2（2+2OE）=42,

解得OE=3,

的半徑長為3.

6.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，BE是1。的直徑，點A在。上，點C在8E的延長線上，ZEAC=ZABC,

平分N54E交。于點O,連結OK.

⑴求證：C4是。的切線；

(2)當AC=8,CE=4時，求OE的長.

【答案】(1)見解析(2)6a

【詳解】(1)證明：連接。4,

:.ZBAE=90°,

ZBAO+ZOAE=90°,

OA=OB,

:.ZABC=NBAO,

ZEAC=ZABC,

:.ZCAE=ZBAO,

:.ZCAE+ZOAE=90°,

:.ZOAC=90°,

Q4是：。的半徑，

「.C4是?。的切線；

(2)解：.ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

/.AABC^AEAC,

ACCE

**BC-AC?

.8_4

??—―，

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

連接50,

AD平分Z&3，

\?BAD2EAD,

「?BD=DE，

BD=DE，

BE是C。的直徑，

:.NBDE=90。,

:.DE=BD=—BE=6y/2.

2

7.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，是。的直徑，點。是。上的一點，點尸是84延長線上的一點,

連接AC,ZPCA=ZB,

B

OD

⑴求證：PC是:。的切線；

(2)若sin/B=；,求證：AC=AP；

(3)若CD_LAB于。，B4=4,BD=6,求AD的長.

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶AD=2

【詳解】(1)如圖所示，連接OC,

?「A3是（：。的直徑，

???ZACB=90°,

：.ZBCO+ZOCA=90°,

'：OB=OC,

：.ZB=ZBCO,

?.?ZPCA=ZB,

；.ZPCA=/BCO,

o

：.ZPCA=ZOCA=90f

：.OCLPC,

???PC是。的切線；

（2）證明：VsinZB=-,

2

AZB=30°,

ZPCA=ZB=30°f

由（1）知NACB=90。，

???NC4B=60。，

JZP=ZCAB-ZPCA=30°,

???/PCA=NP,

：.AC=AP；

（3）設陋=x,

在RtZiACB中，CD±ABf

：.AB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90°

???ZB=ZACD

???ZBDC=ZADC=90°

：.ABDCs^CDA

,BDCD

**CD-AD

CD2=ADxBD=6x.

VZP=ZP,NPCA=ZB,

:..PAC^PCB,

.PA_pc

**PC-PB*

??.PC2=PAPB=4（6+4+%）=4（10+x）,

在Rt^PCD中，由勾股定理得尸。2+co2=pc2,

即（4+%）2+6x=4（10+x）,整理得尤2+10%-24=0,

解得石=2,x2=—12（舍去）,

故AD=2.

8.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，已知A3是一。的直徑，AC是。的弦，點。在W外，延長OC,

A5相交于點￡,過點。作。尸，于點尸，交AC于點G,DG=DC.

⑴求證：DE是。的切線；

（2）若。的半徑為6,點尸為線段Q4的中點，CE=8,求的長.

【答案】（1）見解析⑵3?9

【詳解】（I）證明：連接OC,如圖,

,DG=DC,

.\ZOAC=ZOCA,ZDGC=ZDCG,

ZAGF=ZDGC,

:.ZAGF=ZDCGf

又?DF1,AB,

:.ZAFG=90°,

/.ZOAC+ZAGF=180°-ZAFG=180?！?0°=90°,

NOCD=NOC4+ZDCG=NOAC+ZAGF=90°,

二.DE是。的切線；

(2)解：如(1)圖，NOCE=90。,

又'ZDFE=90°,ZOEC=ZDEF,

DFE^.OCE,

,PC_CE

,DF-FE，

」O的半徑為6,CE=8,

,.OC=OB=OA=6f

:.OE2=OC2+CE2,即O石=162+82=10,

又一點廠為線段Q4的中點，

：.OF=-OA=-x6=3

22f

:.EF=OF+OE=3+10=13f

.6_8

,DF-13?

考向四："k〃字型

相似三角形幾何模型之％"字模型（也稱為"一線三等角"）在四川中考中?？贾苯切?/p>

①銳角型K字：已知N1=N2=N3貝MABCSACED,

證明：,「NACD=N2+NA,NACD=NI+NECD,zi=z2

/.zA=zECD

又?.N2=N3:.△ABCiCED。

②鈍角型K字和直角型K字證明（同上）

結論：BCxCD=ABxED（即底“底=腰x腰）

1.（2023?四川南充?中考真題）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平

面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小

菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,則旗

桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，

BCD

由圖可知，AB±BD,CD上DE,CF.LBD

\?ABC?CDE90?.

丁根據鏡面的反射性質，

JZACF=ZECF,

???90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

ABCjEDC,

AB_BC

DE~CD'

小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

.16-2

DE=8m.

故選：B.

2.（2024?四川達州?一模）如圖，將矩形ABCD沿著G￡、EC、G下翻折，使得點A、B、。都落在點。處，

且點G、。、。在同一條直線上，點E、O、F在另一條直線上.以下結論:①AAEGsADGb；?AB=y[2AD;

③SCOF=：SSG；@EF=3DF.其中正確結論的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【詳解】解：由折疊的性質可得：NDGF=NOGF,ZAGE=ZOGE,

:.ZOGF+ZOGE=1NDGO+；ZAGO=|(ZDGO+ZAGO)=90°,

"?ZA=ZD=90°,

：.ZAEG+ZAGE=ZAGE+ZDGF=90°,

ZAEG=ZDGF,

△AEGs/iDGF,故①正確；

同理可得：.AEGsBCE,

.AGBE

??瓦一拓’

設DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

AAD=BC=2a1AB=2b,

,a_b

?,g—五，

b=41a，

???縹="=忘，即=故②正確；

AD2a

?：ND=NFOC=90。,/OCF=/DCG,

；.OCFs&DCG,

?￡c^-m2_m2-W-i

SCDG[DC）IDCJ（AB）2，

,?sC0F=2sCDG,故③正確；

「OCFS&DCG,

.?.空=型=夜，

OFOC

DG=0OF=-JiDF,

OE=BE=b=^a=?DG=^x?DF=2DF，

：.EF=OE+EF=DF+2DF=3DF,故④正確；

綜上所述，正確的有①②③④，共4個，

故選：D.

3.（2024?四川樂山?一模）如圖所示，在邊長為6的正方形A5C。中，￡為CD上的點，/為BC的中點，過

點、尸作HF工EF交AB于點、H,點M,N分別是H尸和3斤的中點，若DE=2,則MN的長為（）

AD

D0NFC

998

BC

A.8-4-D.9-

【答案】A

【詳解】解：在正方形正方形ABCD中，BC=CD=6,DE=2,

：.EC=CD—DE=4,

又?../為的中點，

Z.BF=FC=-BC=3,

2

:.HF1EF,

：.NHFB+NEFC=90。,

XVZB=90°,

NBHF+NHFB=9Q。,

：./BHF=/CFE,

又：在正方形正方形ABCD中，ZB=ZC=90°,

/.ABHF^ACFE,

3

?普翁即:IBH

BH=-

4

又??,點M,N分別是彼和5尸的中點,

199

MN=-BH=—x—=一

2248

故選A.

4.(2024?四川巴中?一模)在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點。重合，頂

1oAn

點A、3恰好分別落在函數y=-上(％<0),>==(%>0)的圖象上，則點的值為()

xxBO

【答案】A

【詳解】解：過點A、3分別作ADJ_x軸，軸，垂足為。、E,

：.ZADO=ZBEO=9Q0

：.ZAOD+ZOAD=90°

19

點A在反比例函數y=-一（％<0）上，點3在y=-（x>0)±,

XX

?s_1V_9

,,dAAOD一不，,ABOE-T'

又「ZAOB=90°,

：.ZAOD-^