專題16填空壓軸題

x+2,x<-a,

1.(2023?北京)設々>0,函數/(x)=<da2-f，-碑!k〃，給出下列四個結論，正確的序號為

-yfx-l,x>a?

①/(x)在區間(a-1,y)上單調遞減；

②當Q..1時，/(X)存在最大值；

③設M(x，/(苔))(玉,,〃)，N(X2,f(x2))(x2>a),則

④設「(七，/(x3))(x3<-a),。(%4，/(X4))(X4...-6Z),若|尸。|存在最小值，則。的取值范圍時(0,；］.

2.(2022?北京)已知數列｛4｝的各項均為正數，其前幾項和S〃滿足々/5〃=9(〃=1,2,...).給出下列四

個結論：

①｛%｝的第2項小于3；

②｛4｝為等比數列；

③｛4｝為遞減數列；

④｛風｝中存在小于焉的項.

其中所有正確結論的序號是—.

3.(2021?北京)已知函數/(x)=|/gx|-fcr-2,給出下列四個結論：

(1)若1=0,則/(元)有2個零點；

(2)存在負數3使得/(x)恰有1個零點；

(3)存在負數左，使得/(x)恰有3個零點；

(4)存在正數3使得/(x)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是—.

4.(2020?北京)為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業

要限期整改.設企業的污水排放量W與時間f的關系為W=/?),用一FS)一八°)的大小評價在刀,力這

b-a

段時間內企業污水治理能力的強弱.已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示.

甲企業

Ot2

給出下列四個結論：

①在L，與這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

②在芍時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在時刻，甲，乙兩企業的污水排放都已達標；

④甲企業在［0,公，匕，￡，L，刈這三段時間中，在［0，外的污水治理能力最強.

其中所有正確結論的序號是—.

5.(2023?朝陽區一模)某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力(戰斗單位數)隨時間的變化遵循

蘭徹斯特模型：

x(t)=X。cosh(Va&r)-《匕sinh(yfabt)

<

y(t)=Yocosh(-Jabt)-sinh(y/abt)

其中正實數X。、為分別為紅、藍兩方初始兵力，f為戰斗時間；x(t),丁⑺分別為紅、藍兩方f時刻的兵力；

正實數a,b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；coshx="+''和sinhx=分別為雙

22

曲余弦函數和雙曲正弦函數.規定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習

勝利，并記戰斗持續時長為T.給出下列四個結論：

①若x°>為且。=6,貝I彳⑺>>?)(噴出T)；

②若X。〉為且a=6,則7=!勿近4；

a丫x°-4

③若強>2,則紅方獲得戰斗演習勝利；

④若強>口，則紅方獲得戰斗演習勝利.

y0

其中所有正確結論的序號是—.?

6.(2023?西城區一模)如圖，在棱長為2的正方體中，點Af,N分別在線段和與弓

上.

出下列四個結論：

①MN的最小值為2；

②四面體MWBC的體積為3；

3

③有且僅有一條直線MN與ADt垂直；

④存在點M,N,使AA/BN為等邊三角形.

其中所有正確結論的序號是

7.（2023?東城區一模）己知函數/'（xisi畤x+e）（X>0,0<e<萬）的部分圖象如圖1所示，A,3分別

為圖象的最高點和最低點，過A作x軸的垂線，交x軸于點A,點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該

圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時|48|=加，則;1=

①展？；

②圖2中，ABAC=5；

③圖2中，過線段9的中點且與垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={QeS||AQ|,,2},則T表示的區域的面積大

于工.

4

其中所有正確結論的序號是—.

8.（2023?豐臺區一模）三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，目前尺規作圖仍不能解決這個問題.古

希臘數學家尸。卬（約300~350前后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點

C為圓心作圓交角的兩邊于A,3兩點；取線段的三等分點O,D；以3為焦點，A,。為頂點作雙

曲線雙曲線H與弧AS的交點記為E,連接CE,則

3

①雙曲線//的離心率為；

②若NAC3=^,|AC|=30,庭交AB于點P,則|OP|二^

2

修B

9.（2023?順義區二模）已知玉，馬，…，々023均為正數，并且」一+二一+...+—--=1,給出下列

1+再1+X21+/023

四個結論：

①玉，X2,馬）23中小于1的數最多只有一個；

②玉，尤2，…，曲）23中小于2的數最多只有兩個；

③不，x2,%023中最大的數不小于2。22；

④玉，尤2，…，尤2023中最小的數不小于天篙.

其中所有正確結論的序號為—.

10.（2023?石景山區一模）項數為左（左eN*,左..2）的有限數列伍“｝的各項均不小于-1的整數，滿足

+a2-^+0^-^+...+ak_i-2+ak=0,其中％w0.給出下列四個結論：

①若k=2,則。2=2;

②若k=3,則滿足條件的數列｛4｝有4個；

③存在4=1的數列｛an｝；

④所有滿足條件的數列｛%｝中，首項相同.

其中所有正確結論的序號是—.

11.（2023?東城區二模）定義在區間［1,+（?）上的函數/（尤）的圖象是一條連續不斷的曲線，/（尤）在區間［2左-1,

2月上單調遞增，在區間［2左，2左+1］上單調遞減，k=l,2,■.給出下列四個結論：

①若"（2左）｝為遞增數列，則/（%）存在最大值；

②若"（24+1）｝為遞增數列，則/（x）存在最小值；

③若/（2幻/（2左+1）＞0,且/（2幻+/（2左+1）存在最小值，則"（x）|存在最小值;

④若f（2k）f（2k+1）＜0,且/（2Q-f（2k+1）存在最大值，則|/（x）|存在最大值.

其中所有錯誤結論的序號有—.

12.（2023?海淀區二模）在數列｛%｝中，芯=1,尤2=2.設向量。"=（七,七+1）,已知a,34二-%j=0（〃=l,

2,…），給出下列四個結論：①F=3;②N*,玉>0；③N*,xn+2>xn；④N*,%+i。工〃.其

中所有正確結論的序號是—?

13.（2023?西城區二模）已知直線/:y=fcv+b和曲線C:y=」虧，給出下列四個結論：

1+X-

①存在實數左和使直線/和曲線C沒有交點；

②存在實數左，對任意實數6,直線/和曲線C恰有1個交點；

③存在實數6,對任意實數左，直線/和曲線C不會恰有2個交點；

④對任意實數％和6,直線/和曲線C不會恰有3個交點.

其中所有正確結論的序號是―.

14.（2023?朝陽區二模）斐波那契數列又稱為黃金分割數列，在現代物理、化學等領域都有應用，斐波那

契數列伍“｝滿足4=〃2=1，an=an-l+an-2（Z7--3,7?6N*）.給出下列四個結論：

①存在meN*,使得金，am+l,金+2成等差數列；

②存在meN*,使得am+1,金十?成等比數列；

③存在常數乙使得對任意“eN*,都有a“，0+2，氏+4成等差數列；

④存在正整數Zj,Z2,，，且彳<，2<Y%"，使得4+嗔++%"=2023.

其中所有正確結論的序號是—.

15.（2023?海淀區一模）在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,。是邊AC的中點，E是邊至上的動

點（不與A,3重合），過點E作AC的平行線交于點P,將她跖沿歷折起，點3折起后的位置記

為點、P,得到四棱錐尸-ACFE,如圖所示，給出下列四個結論：

①ACV/平面PEF；

②APEC不可能為等腰三角形；

③存在點E,P,使得PDLAE；

④當四棱錐尸-ACRE的體積最大時，AE=A/2.

16.(2023?豐臺區二模)已知函數/(x)Kcos2x|+l.給出下列四個結論：

①/(%)的最小正周期是萬；

②/(X)的一條對稱軸方程為x=—；

4

Q77"

③若函數且0)=/(4)+/?(6￡尺)在區間［0,——］上有5個零點，從小到大依次記為玉，x2,x,x,x5,則

834

%+2(X2+%+%)+毛=5%；

....-rr1

④存在實數a，使得對任思meR,都存在玉，x2e［----，0］且占片々，滿足4?)=/(m)H---------(k=1,2).

6f(m)

其中所有正確結論的序號是—.

17.(2023?房山區一模)設函數x’°，給出下列四個結論：①函數“X)的值域是R；②

［x+4x+1,x,0?

Va>l,方程/(%)=〃恰有3個實數根；③玉產火十，使得/(-/°)-/(%)=。；④若實數%<%2<%3<%4，且

4

/(再)=/(%2)=/(%3)=/(X4)?則(玉+%2)(馬-％4)的最大值為4G——.其中所有正確結論的序號是.

e

18.(2023?平谷區一模)如圖，矩形ABCD中，AD=2AB=2fM為5C的中點，將AAfiM沿直線AM翻

折，構成四棱錐4-AMCD,N為耳。的中點，則在翻折過程中，

①對于任意一個位置總有C7V//平面AM"；

②存在某個位置，使得CN，M；

③存在某個位置，使得用；

④四棱錐B「AMCD的體積最大值為孝.

上面說法中所有正確的序號是—.

19.(2023?通州區一模)兩個數互素是指兩個正整數之間除了1之外沒有其他公約數.歐拉函數以〃)(〃eN*)

的函數值等于所有不超過正整數"，且與〃互素的正整數的個數，例如。(1)=1,(p(4)=2.

關于歐拉函數給出下面四個結論:

①0(7)=6；

②V"eN*,T亙有cp(ji+1)..；

③若機，〃(機ww)都是素數，貝!J=夕(加)夕(")；

④若〃=p氣/#eN*),其中“為素數，則0(")=(p-l)pJ.

(注：素數是指除了1和它本身以外不再有其他因數，且大于1的正整數.)

則所有正確結論的序號為—.

20.(2023?海淀區校級模擬)對于滿足一定條件的連續函數/(x),存在一個點無0,使得/(xo)=刈，那么

我們稱該函數為“不動點”函數，而稱刈為該函數的一個不動點，現新定義：若磔滿足/(xo)=-刈，則

稱xo為了(xo)的次不動點，有下面四個結論

①定義在R上的偶函數既不存在不動點，也不存在次不動點

②定義在R上的奇函數既存在不動點，也存在次不動點

③當"時，函數f(x)Rog?(l-a"2，］.)在。1］上僅有一個不動點和一個次不動點,

④不存在正整數m,使得函數f(x)=^eX卷x-m在區間〔0，U上存在不動點，其中，正確結論的序號

為.

21.(2023?昌平區二模)如圖，在長方體ABCD-A耳G〃中，AB=2,AAl=AD=l,動點E,廠分別在

線段鉆和CG上.

給出下列四個結論：

①/.DEF=g；

②△2所不可能是等邊三角形；

③當尸時，DiF=EF；

④至少存在兩組E,F,使得三棱錐OEF的四個面均為直角三角形.

其中所有正確結論的序號是—.

22.（2023?延慶區一模）四面體OABC的三條棱。4,OB,OC兩兩垂直，OA=OB=2,OC=4,D為

四面體Q4BC外一點，給出下列命題：

①不存在點使四面體ABCD三個面是直角三角形；

②存在點D,使四面體ABCD是正三棱錐；

③存在無數個點。，使點。在四面體ABCD的外接球面上；

④存在點。，使CD與他垂直且相等，且80=后.

其中真命題的序號是—.

|lrvc\9x>0

23.（2023?海淀區校級模擬）已知函數/（?=1,有下列四個結論：

xH----Fa,x<0

①設函數F（x）的極大值點和極小值點分別為不和X?,則%-占=2；

②若a=0,函數/（尤）的極大值和極小值分別為〃和機，則M-〃z=2；

③存在實數。，對任意的實數6,函數y=/（x）-6都恰有兩個零點；

④若方程/（x）=6有4個實根，從小到大記為菁，x2,x3,x4,則X］尤2=尤3%.

全部正確命題的序號為.

24.（2023?西城區校級模擬）如圖，在棱長為1的正方體中，點尸是線段上一動點（不與A［，5重合），

則下列命題中：

①平面A41P±平面R4尸；

②ZAP'一定是銳角；

③￡>G，2尸；

④三棱錐B「RPC的體積為定值.

其中真命題的有—.

AB

25.（2023?北京模擬）小圖給出了某池塘中的浮萍蔓延的面積y（機2）與時間，（月）的關系的散點圖.有以

下敘述:

y/m2

12

11

10

9

8

7

6

4

3

2

1

1234~」

①與函數y=?+l相比，函數y=7作為近似刻畫》與，的函數關系的模型更好；

②按圖中數據顯現出的趨勢，第5個月時，浮萍的面積就會超過30/；

③按圖中數據顯現出的趨勢，浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩倍;

④按圖中數據顯現出的趨勢，浮萍從2月的4/蔓延到164至少需要經過3個月.

其中正確的說法有

（填序號）.

26.（2023?東城區校級模擬）設函數/（尤）=[?‘°瓢°,其中a>0.

log3x,x>a

①若a=3,則/"（9）]=；

②若函數y=/（x）-2有兩個零點，貝心的取值范圍是.

27.（2023?大興區模擬）曲線C:J（x+l）2+y2.J（x_i）2+y2=3,點尸在曲線C上.給出下列三個結論:

①曲線C關于y軸對稱；

②曲線C上的點的橫坐標的取值范圍是[-2,2]；

③若A(-1,O),5(1,0),則存在點P,使ARAB的面積大于

2

其中，所有正確結論的序號是—.

28.(2023?北京模擬)已知函數/(x)=,；2］2］，8⑴=+當-2a+2(a>0),給出下列

~~x+€［°，F

〔242

結論：

①函數/(%)的值域為［0,g］；

②函數g(元)在［0,1］上是增函數；

③對任意a>0,方程/(x)=g(x)在［0,1］內恒有解;

④若存在%,x2e［0,1］,使得/(占)=g(%)成立，則實數。的取值范圍是］飄

其中所有正確結論的序號是—.

29.(2023?門頭溝區一模)在正方體ABC。-A與C2中，棱長為1,已知點尸，。分別是線段A',AC1上

的動點(不含端點).其中所有正確結論的序號是—.

①尸。與耳C垂直；

②直線尸。與直線CD不可能平行；

③二面角P-AC-。不可能為定值；

④則IPQI+IQCI的最小值是巧.

3

30.(2023?通州區模擬)聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，其中包含著正弦函數.純音的數

學模型是函數y=Asin。"我們聽到的聲音是由純音合成的，稱為復合音.已知一個復合音的數學模型是

函數/(x)=sinx+；sin2x.給出下列四個結論：

①/(無)的最小正周期是萬；

②/(尤)在［0,2萬］上有3個零點；

③/(x)在［0,§上是增函數；

④/(無)的最大值為更.

4

其中所有正確結論的序號是—.

31.(2023?西城區校級模擬)已知正方體的棱長為1,P是空間中任意一點.給出下列四

個結論：

①若點尸在線段A2上運動，則始終有C/J_C4；

②若點P在線段M上運動，則過P,B,2三點的正方體截面面積的最小值為手；

③若點尸在線段A2上運動，三棱錐。-3尸￡體積為定值；

④若點P在線段AtB上運動，則AP+PDX的最小值為也+也.

其中所有正確結論的序號有—.

32.(2023?房山區二模)如圖所示，在正方體ABCD-A耳GO中，M是棱朋上一點，平面與棱CQ

交于點N.給出下面幾個結論：

①四邊形MBND、是平行四邊形；

②四邊形可能是正方形；

③存在平面MBNR與直線BB,垂直；

④任意平面MBNR與平面ACBt垂直；

⑤平面MBND｝與平面ABCD夾角余弦的最大值為半.

其中所有正確結論的序號是—.

33.(2023?海淀區校級模擬)已知函數/(x)=|x+l|+|ax-2|,函數/(x)的最小值記為A/(a),給出下面

四個結論：

①M(a)的最小值為0；

②M(a)的最大值為3；

③若/(尤)在(-oo,-l)上單調遞減，則。的取值范圍為(-co,-2]J[0,+00);

④若存在feR,對于任意的xeR,f(t+x)=f(t-x),則。的可能值共有4個;

則全部正確命題的序號為—.

34.（2023?海淀區校級模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，E為CD的中點，BC±CD,AE±CD,M,

N分別是AD,BE的中點，將AADE沿AE折起，使點。不在平面ABCE內，則下命題中正確的序號為.

QMN11AB；

②MN1AE；

③MN//平面CDE；

④存在某折起位置，使得平面3CZ），平面ABD.

35.（2023?海淀區校級三模）若函數/（尤）的圖象上存在不同的兩點M0,y）,Ng,必），坐標滿足關

系：1Al%+必%1..5/才+才々考+￡，則稱函數/（尤）與原點關聯.給出下列函數：

①/（x）=2x；

②/（x）=sinx；

③/（x）=x+—（%>0）；

x

④/（x）=Inx.

其中與原點關聯的所有函數為—（填上所有正確答案的序號）.

36.（2023?北京模擬）由無理數論引發的數字危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國數學家戴德金

從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數（史稱戴德金分割），并把實數理論建立在嚴格的

科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機，

所謂戴德金分割，是指將有理數集。劃分為兩個非空的子集〃與N,且滿足N=Q,M'N=0,M

中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷，對于任一戴德金分割（M,N）,

下列選項中，可能成立的是—.

①沒有最大元素，N有一個最小元素；②M■沒有最大元素，N也沒有最小元素；③Af有一個最大元素，

N有一個最小元素；④M有一個最大元素，N沒有最小元素.

37.（2023?東城區模擬）在數列｛%｝中，對任意的都有凡>0,且給出下列四個結論:

①對于任意的”..3,都有下.2；

②對于任意％>0,數列｛%｝不可能為常數列；

③若0<%<2,則數列僅"｝為遞增數列；

④若Oj>2,則當九.2時，2<%<%.

其中所有正確結論的序號為—.

38.(2023?順義區一模)如果函數/(x)滿足對任意s,fe(O,+8),f(s+t)<f(s)+f(t),則稱f(x)為優

函數.給出下列四個結論：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)為優函數；

②若/(尤)為優函數，則f(2023)<2023f(1)；

③若了(無)為優函數，則/(X)在(0,+oo)上單調遞增；

④若尸(無)=也在(0,^o)上單調遞減，則/(%)為優函數.

X

其中，所有正確結論的序號是—.

39.(2023?海淀區校級模擬)已知點。是邊長為4的正方形的中心，點P是正方形ABCD所在平面內一點，

10Pl=1,AP=AAB+/JAD.

(1)X的取值范圍是;

(2)當4+〃取得最大值時，\AP\=.

40.(2023?海淀區校級模擬)已知伍“｝是各項均為正數的無窮數列，其前〃項和為+-=l(aeN*).給

Sn

出下列四個結論：

①％=&；②數列｛對｝有最大值，無最小值；③.“>(〃+1)%”；④存在〃0eN*,使得時<然|.其中

所有正確結論的序號是—.

41.(2023?海淀區校級三模)已知/(尤)=〃尤2-2尤-6加|x-l|,給出以下命題：

①當a=0時，存在b>0,/(無)有兩個不同的零點；

②當a=0時，存在b<0,7(x)有三個不同的