忻州市重點中學2025屆高三下期末考試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．2．已知函數的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．3．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.14．第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環所占面積與單獨五個環面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內隨機取N個點，經統計落入五環內部及其邊界上的點數為n個，已知圓環半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．6．根據如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．7．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數都可以表示為兩個素數的和，例如：，，，那么在不超過18的素數中隨機選取兩個不同的數，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．8．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．9．已知在中，角的對邊分別為，若函數存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．10．明代數學家程大位（1533~1606年），有感于當時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統宗》，可謂集成計算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題．執行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．11．已知函數的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．12．過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則______.14．已知二項式的展開式中各項的二項式系數和為512，其展開式中第四項的系數__________．15．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集用區間表示為__________．16．若，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點，是的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現在市場上流行多種可實現語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯程度，從某地區隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數據如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據列聯表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，在三棱柱中，，，，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值.21．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，若曲線C上存在點P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.22．（10分）每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經濟”，以交通業為例，當天氣太冷時，不少人都會選擇利用手機上的打車軟件在網上預約出租車出行,出租車公司的訂單數就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數據中抽取的5天的日平均氣溫(單位：℃)與網上預約出租車訂單數(單位：份)；日平均氣溫（℃）642網上預約訂單數100135150185210（1）經數據分析，一天內平均氣溫與該出租車公司網約訂單數（份）成線性相關關系，試建立關于的回歸方程，并預測日平均氣溫為時,該出租車公司的網約訂單數；（2）天氣預報未來5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預測數據當成真實的數據，根據表格數據，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網約訂單數不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.2．A【解析】

畫出函數的圖像，函數對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.3．A【解析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.4．B【解析】

根據比例關系求得會旗中五環所占面積，再計算比值.【詳解】設會旗中五環所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.5．B【解析】

連接，使交于點，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點，連接、，則為的中點，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．6．C【解析】

根據程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．【點睛】本題考查程序框圖，是基礎題．7．B【解析】

先求出從不超過18的素數中隨機選取兩個不同的數的所有可能結果，然后再求出其和等于16的結果，根據等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機選取兩個不同的數共有，其和等于16的結果，共2種等可能的結果，故概率.故選：B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數得到，屬于基礎題.8．D【解析】

由題知，又，代入計算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點睛】本題主要考查了三角函數的定義，誘導公式，二倍角公式的應用求值.9．C【解析】

求出導函數，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數性質可得結論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點睛】本題考查導數與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．10．C【解析】

根據程序框圖依次計算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時不滿足，跳出循環，輸出結果為，由題意，得．故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學生的理解能力和計算能力.11．D【解析】

根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點；利用導數研究的單調性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數形結合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調遞減；在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設，，則，解得：設，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數確定參數范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數形結合的方式來進行求解.12．A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為，故選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

直接利用關系式求出函數的被積函數的原函數，進一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：定積分的應用，被積函數的原函數的求法，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．14．【解析】

先令可得其展開式各項系數的和，又由題意得，解得，進而可得其展開式的通項，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項式的展開式的通項為，令，則其展開式中的第4項的系數為，故答案為：【點睛】此題考查二項式定理的應用，解題時需要區分展開式中各項系數的和與各二項式系數和，屬于基礎題.15．【解析】設，則，由題意可得故當時，由不等式，可得，或求得，或故答案為（16．【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數公式可得，兩邊平方，由同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式即可計算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）【解析】

（1）連結BM，推導出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導出△ABA1是等腰直角三角形，設AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結，因為是矩形，所以，因為，所以，又因為，，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結，，因為是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1）（圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，.所以，則，，設平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18．（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數據可證得為等邊三角形，又由于是的中點，所以，從而可證得結論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點在平面的投影恰好為的中點，所以如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設，因為.所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標原點，方向為軸方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，由得取，則設直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設到平面的距離為，由，即，即，可得，設直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學生的轉化思想和計算能力，屬于中檔題.19．（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【解析】

（1）根據題意，知100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區購買“小愛同學”的女性人數和購買“天貓精靈”的女性的人數，即可求得答案；（2）根據列聯表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【點睛】本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應用，考查計算能力.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明后可得平面，從而得，結合已知得線面垂直；（2）以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，寫出各點坐標，求出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因為，為中點，所以，又，，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面.（2）由已知及（1）可知，，兩兩垂直，所以以為坐標原點，以為軸，