第一章整式的運算

1.1同底數嘉的乘法

>知識導航

在學習新知識之前，我們先復習下什么叫乘方？S

求幾種相似因數日勺積的運算叫做乘方

一指數

底數------a"=a?a????a

八'-----y----'

n個a

塞

讀出下表各式，指出

底數和指數，并用積

底數指數積的形式

的形式來表達

嘉

53

(-2)2

(24

(0+1)2

計算下列式子，成果用累的形式表達，然后觀測成果

23X22

=（2x2x2）x（2x2）

=2x2x2x2x2

=25

根據上面式了?我們可以得到同底數轅U勺乘法法則

同底數塞的I乘法法則：同底數的塞相乘，底數不變，指數相加

。叫優=優1+"(m,n為正整數)

>同步練習

一、填空題：

].=,;?

2.=,=.

3.=.

4.若,則x=.

5.若，貝Im=______;若,貝Ija=___________.

若xx2xyx4x5=xv,則y=______;若ax(-a)2=a5,則x=__

二、6.若，則=....

三、選擇題：

7.下面計算對的的是..)

A.；B.；C.；D.

8.81X27可記為..)

A.93;B.37;C.36;D.312

9.若，則下面多項式不成立的是..)

A.(y-x)2=(x-y)2;B.(y-x)3=-(x-y)3;

C.(-y-x)2=(x+y)2;D.(x+y)2=x2+y2

10.計算等于..)

A.-239";B.-2;C.-21999;D.21999

11.下列說法中對日勺的是..)

A.和.一定是互為相反...B.當n為奇數時.和相等

C.當n為偶數時.和相...D.和一定不相等

三、解答題：(每題8分，共40分)

12.計算下列各題：

(1)(x-yf?(X一丁)'?()，一工產?(y-x)，(2)(a-b-c)(b+c-a)2(c-?+/?)3

(3)(—x)2,(—x)3+2.x,(—%)4—(—x),x4(4)x,x,r,1+x2,2—3,x5,x"13<1

已知的土地.匕一年內從太陽得到的能量相稱于燃燒煤所產生日勺能量，那么我國的土

地上，一年內從太陽得到口勺能量相稱于燃燒煤多少公斤？

14.(1)計算并把成果寫成一種底數騫的形式:①34x9x81；②625x125x56。

⑵求下列各式中口勺x：①優+3=〃2刈(。工0,。工])；②〃x.p6=p2x(〃wo,〃w])。

15.計算。

16.若，求xH勺值.

01.2新的乘方與積的乘方

>知識導航

根據上一節的知識，我們來計算下列式子

卜/)4(乘方的意義)

=(a3+3+3+3)(同底數幕口勺乘法法則)

=a-3x4=a12

于是我們得到幕的乘措施則：察H勺乘方，底數不變，指數相乘

(〃"-="""(n,m都是正整數)

(1)例題1:計算下列式子

52

⑵(io)(3)［。I

請同學們想想怎樣計算，在運算過程中你用到了哪些知識？

=^ab)-(aby(ab)

=(a-a-a^b-b-b)

于是，我們得到枳的乘措施則：枳的乘方，等于把積的每一種因式分別乘方，再把所得日勺

塞相乘.

(次?)"=Clnbn(n為正整數)

例題2:計算下列式子

⑴(-2x)3(2)(-4町丫⑶&丫

>同步練習

一.選擇題。

.1.時計算成果是..)

A.B.C.D.

2下列運算對的口勺是..)

A.

B.

C.

D.

.3.若，則等于..)

A.5B.6C.D.

.4.所得日勺成果是..)

A.B.C.D.2

.5.若x、y互為相反數，且不等于零,為正整數,則..)

A.一定互為相反數

B.一定互為相反數

C.一定互為相反數

D.一定互為相反數

.6.下列等式中，錯誤的是..)

A.B.

C.D.

.7.成立H勺條件是..)

A.n為奇數B.n是正整數

C.n是偶數D.n是負數

.8.,當時,m等于)

A.29B.3C.2D.5

.9.若，則等于..)

A.12B.16C.18D.216

.10.若n為正整數，且，則的值是..)

A.833B.289IC.3283D.1225

二.填空題。

.1...)

.2.

.3...)

.4...)

.6.若，(n,y是正整數)，則)

.,7*??)、??)

.8.若，則..)

.9.一種正方體H勺邊長是，則它H勺表面積是..)

三.計算：

(I)(tn-n)2(/?-niy(ii-/n)3，⑵/?x'——xn~2?x4+x,,+2

(3)(a+8)?(〃+a)?(Z?+々J+(a+8y*(〃+a)2

⑷工?(-4?(-〃戶?(旬2

⑸-(3/打;(-3x)2?(—??12y)2

（6）（--（一女/）~十一（2。）~

四.（1）若，且，求H勺值。

（2）若，求時值c

五.（I）若，求時值。

（2）試判斷H勺末位數是多少？

0同底數嘉的除法

1.31

>知識導航

學習同底數冢H勺乘法后，下面我們來學習同底數幕的除法

I.同底數哥的除法性質

(a—0.m.n—正/故.并且m>n)

這就是說，同底數箱相除，底數不變，指數相減

注意：

(1)此運算性質的條件是：同底數塞相除，結論是：底數不變，指數相減

(2)由于0不能做除數，因此底數a#0

(3)應用運算性質時，要注意指數為“1”日勺狀況，如，而不是

2.零指數與負整數指數的意義

(1)零指數

4°=1(4W())

即任何不等于0時數的0次幕都等于1

(2)負整數指數

，P是正整數)

即任何不等于零時數一P次第,等于這個數的p次轅II勺倒數

注意：中a為分數時運用變形公式為正整數)，計算更簡樸

如：，，

a-2+々一3=々-2-(-3)=。

>經典例題

例題1：計算

⑵(-撲(管

(1)

(3)(一。人)6+(一(4)(1一)')3+(尤-y).

解：⑴

(-令5+(-$2=(—步=(—1-A

(2)3333=27

(3)(-㈤6X一加尸二(一曲尸二(一曲)3=_13

(4)(X-yY^-(x-y)2=(x-yY~2=x-y

例題2:計算

(i)/Xa'+q)

(2)

(3)y,y'+(->)'+(-y)4

解：⑴

(2)S$?/)+(〃.〃5)=》8-〃7=b

⑶"？+(->)'+(-?=J+(-y)3=/-/=0

>同步練習

一、填空題：(每題3分，共30分)

1.計算(-X)5+(一X)2=_____,X10+f/+工4

2.水的質量0.000204kg,用科學記數法表達為.

3.若故意義，則x_______.4.=________.

5.{(tn-n)2?(w-n)?,J24-(m-n)4=.6.若5x-3y-2=0,則

1O5V4-1O3V=

7.假如=3,/=9,則a3m~2n=.8.假如9"'"x27”川+342=81,那么

m=.

9.若整數x、y、z滿足(￡)'*(孚))3(3)'=2,則乂=_______,y=_______z=________.

8915

7

10.21x（5。-方產+—（5〃-b）“=24,則m、n的關系（m,n為自然數）是

8

二、選擇題：（每題4分，共28分）

11.下列運算成果對口勺的是（）

02x3-x2=x?x3?(x5)2=x,3③(-x)y(-x)Jx3?(0.l)2X10'=10

A.①②B.②④C.②③D.@@?

12.若a=-0.3",b=-32,c=(—)2,d=(—)°，則()

33

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.a<d<c<bI).c<a<d<b

13.若10」,=25,則10〉等于（）A.二B.——

5625

99'）119

14.己知3后,。=g記，那么P、Q日勺大小關系是（）A.P>QB.P=QC.P<QD.

無法確定

15.已知aXO,下列等式不對的口勺是（）A.（-7a）°=lB.(a2+-)°=lC.(|a|-1)°=1

2

0.（-）°=1

a

16.若3"'=5,3"=4,則3.-”等于（）A.—B.6C.21D.20

4

三、解答題：（共42分）

17.計算：（12分）

（D（|）°+（-i）3+dr3-|-3|；

⑵（-27）F：＜（-9嚴+（-3尸；

(3)..(4).(n是正整數).

18.若（3x+2yT0）°無意義，旦2x+y=5,求x、y時值.（6分）

19.化簡：..20.已知，求⑴;(2)

21.已知，求H、J值..22.已知，求整數x.

0整式的乘法

1.4

>知識導航

1.單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相似字母的晶分別相乘，其他

字母連同它口勺指數不變，作為積的因式。

2.單項式與多項式相乘：運用分派律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加

3.多項式與多項式相乘乘法法則

(a+b)(m+n)

=(a+b)m+(a+b)n

=am+bm+an+bn

一般地，多項式與多項式相乘，先用一種多項式的每一項分別乘以另一種多項式的每一項,

再把所得口勺積相加

4.一種特殊的多項式乘法

(x+a)(x+b)=x24-(a+b)x+ab(a,b是常數)

>公式的特點：（I）相乘的兩個因式都只具有一種相似口勺字母，都是一次二項式并且一次

項U勺系數是Io

>（2）乘積是二次三項式，二次項系數是1,一次項系數等于兩個因式中常數項之和，常

數項等于兩個囚式中常數項之積。

>經典例題

例題1:計算

(~2x2y)2-(-^x)*z)|x2z2

⑴（-2.51）.（-4盯2）

解：⑴

=4xy--(-—xyz)'—x^z^

i3

=l4x(--)x-^](x4-x-x2)(y2-50-(2z2)

JJ

6733

=——xyz

5-

MB2:計算

3

~—a(2a2+3。-1)

(1)

(—2a)~?(—ab+b~}+(3〃~Z?—2ab~,(—ci)

(2)22

解:(1)

333

=——a-2a2+(——a)-3a+(——a)?(-1)

222

「923

=-3a—a~+—a

22

(-2a)2?(；"+〃)+(3。%-2ab2)?(一；〃)

=4〃2.dM+/)+Oa2b-2加),(-16/)

22

=4a2'^ab+Aci2-b2+(—ga)?3a%+(—ga)?(-2aZ72)

3

=2a3b+4a2b2一一a3b+a2b2

2

=-ayb+5crbl

2

例題3：計算

(1)(x-3y)(5a-2b)(2)(x+4)(x-1)

解：⑴

=X'5ci+x?(-2Z?)+(一3y)?5a+(-3y)?(-2/?)

=5ax-2bx-15ay+6by

(2)(x+4)(x-l)

=x2-x+4A-4

=x2+3x-4

>同步練習

一、填空題

1.3x3y(—5x3y2)=；(a2b3c),(ab)=；

3孫(一2幻3?(-l/)2=____

5XIO8?(3XIO2)=

4"

ym-1?3y2in—/=.

2.4m(m2+3n+l)=；(—y2—2y—5),(—2y)=；

—5J?(—f+Zr-1)=；

a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=；(-2mn2)2—4mn3(mn+1)=.

3.(a+b)(c+d)=：(x-l)(x+5)=；(2a-2)(3a-2)=；(2x+y)(x-

2y)=；(—x-2)(x+2)=.

4.若(x+2)(x+3)=x2+ax+b,則a=,b=.

5.長方形B'J長為(2a+b),寬為(a—b),則面積S=,周長L=.

6.若(y-a)(3y+4)中一次項系數為一1,則a=.

7.多項式(x2-8x+7)(x2-x)中三次項的系數為.

8.(3x—1)2=,(x+3)(x—3)=.

二、選擇題

9.(—2a4b2)(—3a)2"勺成果是()

A.-I8a6b2B.I8a6b2

C.6a5b2D.—6a5b2

10.下列計算對的的是()

A.(—4x)(2x2+3x-1)=—8x3—12x2—4x

B-(x+y)(x2+y2)=x3+y3

C.(-4a-l)(4a-l)=l-16a2

D.(x—2y)2=x2—2xy-4y2

11.下列計算對的的是()

A.(a+b)(a—b)=a2+b2

B.(a+b)(a_2b)=a2—ab—2b2

C.(a+b)2=a2+b2

D.a3,a3=a9

12.若(am+lbn+2)?(a2n—lb2m)=a5b3,則m+i:等于()

A.1B.2

C.3D.-3

13.假如(x+m)(2x+)的積中不含x項，則m等于()

A.B.-

C.D.-

14.長方形的長是1.6X103cm,寬是5X102cm,則它的面積是()

A.8X104cm2B.8X106cm2

C.8X105cm2D.8X107cm2

15.式子一()?(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內應填上()

A.4a3bcB.36a3bc

C.—4a3bcD.—36a3bc

三、解答題

16.(a2b3c)2(2a3b2c4)17.(ab2—2ab+b)(—ab)

(—a2n+1bn—1)(—2.25an—2bn+1)19.(—),(2)

20.已知ab2=—6,求一ab(a2b5—ab3—b)U勺值.

2l.(x+3)(x-2)22.x2+(2—x)—x(9+4x)

23.(x-2)(3x+l)-2(x+l)(x+5)24.已知ax=2,bx=3,求(ab)2x時值.

25.求卜圖中陰影部分的面積.

1.5平方差公式

>知識導航

請同學們根據上節課的知識計算(a+b)(a?b),然后仔細觀測成果

下面我們根據圖形的面積來計算(a+b)(a-b)=2x2x2x2x2

圖1I內面積應當為2

圖2的面積應當為(a+b\a-b)圖1

而2個圖形的面積是相等的

因此(。+〃)(4一人)=a?-b2

圖2

由此得出平方差公式：

兩個數的和與這兩個數差的積，等于這兩個數的平方差

>即：

>經典例題

例題1：計算

(1)a2(a+b)(a-b)^a2b2⑵(2x-5)(2%+5)-2x(2x-3)

同步練習

一、選擇題

1.下列各式能用平方差公式計算的是()

A.B.

C.D.

2.下列式子中，不成立的是：（)

A.

B.

C.

D.

3.,括號內應填入下式中日勺（).

A.B.C.D.

4.對于任意整數n,能整除代數式的整數是（）.

A.4B.3C.5I）.2

5.在H勺計算中，第一步對口勺H勺是).

A.B.

C.D.

6.計算的成果是（）.

A.B.C.

7.R勺成果是（）.

A.B.C.D.

二、填空題

1.

2.

3.

4.

5.

6..

7.

8.

9.,則

10.

三、判斷題

1..()

2..()

3..()

4..()

5..()

6..()

7..()

四、解答題

1.用平方差公式計算：

⑴(2八》)(-$-2。)⑵(/.向(/+歷

(3)(2w+3?)(2w-3?)-(3w-2?)(3w+2，)

(4)(『+6)(『刊-(-0)2,(-5)

251x24-

(5)88x92(6)77

2.計算：

/16、/4、

2(x-*—)(x+-)

(1)1998-1997x1999(2)255

⑶(a-26+3c)(a+26-3c)(4)(3。+26)(6。-?)(2fc-3a)(56+6a)

⑸l(2x-l)(2.+W+lX/+l)

2864

(6)(2+1)(2+1)(2、1)(2+1)……(2+1)+1

3.先化簡，再求值，其中

4.計算:

6.求值：.

五、新奇題

1.你能求出的值嗎？

2.觀測下列各式：

(x-l)(x+l)=?-l

(x-l)(?+x+l)=？-l

(x-lXx3+?+x+l)=/-l

根據前面II勺規律，你能求出的值嗎？

1.6完全平方公式

>知識導航

請同學們分別計算，仔細觀測成果

下面我們用圖形來描述以上問題

如右圖一種邊民為a的正方形，邊氏增長b,這時候圖形的面積變成

了，也可以看作4塊小圖形的面積和也就是

因此：（〃+人）2+〃

一種邊長為（a-b）的正方形日勺面積是,也可以看作是由一種邊長

為a”勺正方形去掉兩個長為a,寬為b的長方形，再加上一種邊長為a

的正方形后來得到。

因此；（a-b）?=a2-2ab+b?

由此我們可以得出完全平方公式：

兩個數日勺和（差）的平方等于兩個數日勺平方和加上（減去）它們乘積日勺兩倍

（Q土bp=a2±2ab+b2

>同步練習

一、選擇題

1.下列各式中，可以成立的等式是（）.

A.B.

C.D.

2.下列式子：①②③④中對的FI勺是（）

A.①B.①②C.①②③D.@

3.（）

A.B.C.D.

4.若，則M為（）.

A.B.C.D.

5.一種正方形的邊長為，若邊長增長，則新正方形的面積人增長了（）.

A.B.C.D.以上都不對

6.假如是一種完全平方公式，那么a的值是（）.

A.2B.12C.D.

7.若一種多項式的平方的I成果為，則（）

A.B.C,D.

8.下列多項式不是完全平方式的是（）.

A.B.C.I）.

9.已知，則下列等式成立口勺是（）

/+4=2/+[=2x*+4=2X--=0

①X②X③X④X

A.①B.①②C.①②③D.③④

二、填空題

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

三、解答題

1.運用完全平方公式計算:

(-4x--v)2

⑵2

%)(36-/)

(3)(4)1982

2.運用乘法公式計算:

（1）（2加+"一2）2⑵-2

⑶（X+?（］-＞）(4)(2"3&+c)(c-2a+3i)

3.計算：

（1）（。+6）（。?右）（『-/）

⑵(X+4)(X-4)-(X-4)2

(3)(2也-%)2(2用+3閥)2(4)(3a-b+c)(%+b-c)

⑸(。+b+3)(a-A3)（6）Q幽+〃-力（2活一x+「）

(7)。一廠2)(8)473-94X27+273

0整式的除法

1.7

>知識導航

單項式除以單項式法則

單項式相除，把系數，同底數暴分別相除后，作為商的因式：對于只在被除式里具有時

字母，則連同它口勺指數一起作為商的因式。

例題1:計算

多項式除以單項式的法則

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加

例題2:計算

(1)(—4F+12X2>,—16xV)-r(—4x2)

>同步練習

一、填空題

1.2x3y24-6xy2=4xy24-(—xy)=;15m2+5m2=.

2.(3X108)4-(2X103)=;x2y+(—x)=.

3.x5y3z4-xy3=;(-x4yz2)4-(x2z2)=.

4.27a2n—1,b2mc34-9an—1bm=;xyz2?(—