常州市聯盟學校2024-2025學年度第二學期學情調研高一年級數學試卷本試卷共19大題，滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，點，則點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的坐標表示即可得出點的坐標.【詳解】設點，由向量的坐標表示可知，，所以，解得，即點的坐標為.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由二倍角的余弦公式即可算出答案.【詳解】由二倍角的余弦公式可得.故選：D.3.已知，，，若，，三點共線，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據向量加法求出，再利用向量共線的性質列出等式，最后求解.【詳解】已知，，則.因為，，三點共線，所以與共線.可得.即.等式兩邊同時除以（因為，若，則，此時），得到.故選：B.4.在平面直角坐標系中，角與的頂點均為坐標原點O，始邊均為x軸的非負半軸．若角的終邊與單位圓交于點，將OP繞原點O按逆時針方向旋轉后與角的終邊重合，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義求得，，再利用兩角和的余弦公式求解．【詳解】由題意可得，，由于，所以．故選：A．5.在平行四邊形中，，，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】利用向量的加法運算及平行四邊形的性質先把用表示，再利用數量積的運算律即可得出答案.【詳解】由向量的加法運算及題干條件可知，，所以.故選：C.6.若函數取最小值時，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡整理，得到輔助角與的關系，利用三角函數的圖像和性質分析函數的最值，計算正弦值即可.【詳解】，其中，因為當時取得最小值，所以，故.故選：B.7.已知，則（）A.5 B. C.-5 D.【答案】D【解析】【分析】由角的變換，利用余弦的和，差角公式和展開，從而可得答案.【詳解】，則則，即，所以，∴，故選：D8.已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得兩次最大值1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數在區間上是增函數，則有，在區間上恰好取得兩次最大值1，得，即可求解.【詳解】由函數在區間上是增函數，則有，由可得，所以，又函數在區間上恰好取得兩次最大值1，得，所以ω>0ω≤352故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列式子化簡正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由誘導公式和逆用兩角和的余弦公式可得結果；對于B，由誘導公式和逆用二倍角的正弦公式可得結果；對于C，由輔助角公式可得結果；對于D，逆用兩角和正切公式可得結果.【詳解】對于A，由誘導公式可知，逆用兩角和的余弦公式可得，故A錯誤；對于B，由誘導公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正確；對于C，由輔助角公式可知，故C正確；對于D，逆用兩角和的正切公式可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，，是同一平面內的三個非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.若，則C.若，滿足，則與的夾角為D.與向量垂直【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據數量積的定義運算推導即可；對B，舉反例推導即可；對C，根據畫圖分析即可；對D，根據兩向量垂直的數量積關系，結合數量積的運算律求解判斷.【詳解】對于A，，又，所以，故A正確；對于B，當為零向量時，可以不為相等向量，故B錯誤；對于C，因為，所以圍成的是正三角形，如圖，由平行四邊形法則可知與的夾角為，故C正確；對于D，，與垂直，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.是的一個最小正周期 B.是偶函數C.在上單調遞減 D.是圖象的一條對稱軸【答案】BC【解析】【分析】根據函數周期性定義，奇偶性定義，對稱性定義，復合函數單調性，結合誘導公式計算，二倍角公式化簡，逐個判斷各選項的正誤.【詳解】根據誘導公式，可得：，所以是的一個周期.下面判斷是否為最小正周期：.，所以是的最小正周期，則不是的一個最小正周期，A選項錯誤.

函數的定義域為，關于原點對稱.可得：所以是偶函數，B選項正確.

已知,當時，，根據復合函數單調性，知道在單調遞減，故C選項正確.

由于，當，即為圖象對稱軸，所以不是圖象一條對稱軸，D選項錯誤.

故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的值為__________．【答案】2【解析】【分析】利用正切的和角公式進行化簡求值.【詳解】已知，故，所以故答案為：213.若函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，則的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】求出平移后所得函數的解析式，根據正弦函數的奇偶性可得出關于的表達式，即可得出正數的最小值.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，由于函數為偶函數，則，可得，因為，故當時，取最小值.故答案為：.14.已知，，是同一平面內的三個單位向量，且，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再根據向量模的性質，求出的最大值.【詳解】由于，因為是單位向量，所以，則，.已知，代入上式可得：，則.根據向量模的性質，可得：因為是單位向量，所以，可得：當且僅當與同向時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數基本關系與兩角和的正切公式求解，（2）由兩角差的余弦公式求解．【小問1詳解】因為所以所以.所以【小問2詳解】由（1）知，因為，，所以所以的值為；16.已知向量，滿足，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，求的值；（3）若向量在方向上的投影向量為，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通過向量數量積的運算律求出，再利用向量夾角公式求出夾角；（2）根據向量垂直的性質列出方程求解；（3）先求出投影向量，再計算.【小問1詳解】已知，根據向量數量積的分配律展開可得：,因為，所以；，所以.代入上式可得，即，解得.設向量與的夾角為，，根據向量夾角公式可得：，因為，所以.【小問2詳解】因為，可知.同樣根據向量數量積的分配律展開可得：將，，代入上式可得：，解得.【小問3詳解】向量在方向上的投影向量.則.將，代入可得：.17.函數的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象可得到，再分別利用點和求得和即得的解析式；（2）先利用三角恒等變換知識求出的解析式，再結合三角函數的單調性求出的最大值.【小問1詳解】由圖象可知的最大值是，所以，當時，，可得，又，所以，當時，有最小值，所以，解得，所以；【小問2詳解】，可得所以，即時，取得最大值為.18.在中，滿足：，是的中點．（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；（3）若點是內一點，且，，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據已知條件結合數量積的運算律分別求出，然后利用向量的夾角公式求解即可；（2）由已知可得，設，則，然后化簡，再利用二次函數的性質可求出其最小值；（3）根據題意設，，則由，，可得，，然后化簡，再利用正弦函數的性質可求得答案.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，，，所以；【小問2詳解】因為，，是中點，所以，設，則，因為是的中點，所以所以，當且僅當時，的最小值是．【小問3詳解】設，，則，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以當，即時，，所以，所以19.閱讀下面材料：，解答下列問題：（1）用表示；（2）利用（1）的結論，求的值；