第2講方程與不等式（組）模塊一：整式方程知識精講等式及其性質(zhì)1、如果，那么．2、如果，那么；如果（），那么．方程及相關(guān)概念1、未知數(shù)：用字母x、y…等表示所要求的未知的數(shù)量，這些字母稱為未知數(shù)．2、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．3、元：在方程中，所含的未知數(shù)又稱為元．4、列方程：為了求得未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等量關(guān)系式，就是列方程．5、項：在方程中，被“+”、“”號隔開的每一部分（包括這部分前面的“+”、“”號在內(nèi)）稱為一項；如在方程和中，x、2.5、、都是方程中的一項．6、系數(shù)：在一項中，數(shù)字或者表示已知數(shù)的字母因數(shù)叫做未知數(shù)的系數(shù)；如x的系數(shù)為1，的系數(shù)為．7、次數(shù)：在一項中，所含有的未知數(shù)的指數(shù)和稱為這一項的次數(shù)；如x、的次數(shù)都是1．8、常數(shù)項：不含未知數(shù)的項稱為常數(shù)項；如2.5，．9、方程的解：如果未知數(shù)所取的某個值能使方程左右兩邊的值相等，那么這個未知數(shù)的值叫做方程的解．一元一次方程1、一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程．2、解方程：求方程的解的過程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步驟： （1）去分母； （2）去括號；（3）移項；（4）化成（）的形式；（5）兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解．4、含有字母系數(shù)的一元一次方程的解法：（1）含有字母系數(shù)的一元一次方程：在方程（）中，x是未知數(shù)，a、b是用字母表示的已知數(shù)，對x來說，字母a是x的系數(shù)，叫做字母系數(shù)，字母b是常數(shù)，我們稱它為含有字母系數(shù)的一元一次方程．（2）解法：（a、b）．當方程的解是；當，方程的解為任意數(shù)；當，時，無解．二元一次方程1、二元一次方程：含有兩個未知數(shù)的一次方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有無數(shù)個，二元一次方程的解的全體叫做這個二元一次方程的解集．二元一次方程組1、二元一次方程組：如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程叫做二元一次方程組．2、二元一次方程組的解：在二元一次方程組中，使每個方程都適合的解，叫做二元一次方程組的解．3、代入消元法：通過“代入”消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法．4、加減消元法：通過兩個方程相加（或相減）消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做加減消元法．三元一次方程組1、三元一次方程組：如果方程組中含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，這樣的方程組叫做三元一次方程組．2、解三元一次方程組的思想：三元一次方程組三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程

消元

消元一元二次方程1、式方程中，只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的方程叫做一元二次方程．2、二次方程的一般形式是（）．其中叫做二次項，叫做一次項，c叫做常數(shù)項；a叫做二次項的系數(shù)，b叫做一次項的系數(shù)．3、二次方程的常用解法（1）直接開平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．4、一元二次方程根的判別式：關(guān)于x的一元二次方程（）的根的判別式為．（1）一元二次方程（）有兩個不相等實數(shù)根，即．（2）一元二次方程（）有兩個相等實數(shù)根，即．（3）一元二次方程（）無實數(shù)根．二元二次方程（組）1、二元二次方程：方程中僅含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程．2、二元二次方程組：僅含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程組成的方程組叫做二元二次方程組．3、二元二次方程組的解法：代入消元法、加減消元法．夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2019·上海虹口區(qū)·中考模擬）方程的解為（）A．x＝4 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝10．【答案】D【分析】將等式兩邊同時平方得到一元一次方程x﹣1＝9，解方程并檢驗即可解題.【詳解】將方程兩邊平方得x﹣1＝9，解得：x＝10經(jīng)檢驗：x＝10是原無理方程的解。故選D．【點睛】本題考查了無理方程及一元一次方程的解法，解本題的關(guān)鍵是注意解出方程之后一定要進行檢驗，確保式子有意義.2．（2019·上海嘉定區(qū)·中考模擬）如果關(guān)于的方程（為常數(shù)）的解是，那么的值是（）A． B． C． D．.【答案】C【分析】把x=-1代入方程即可求出m．【詳解】把x=-1，代入關(guān)于x的方程x-m+2=0（m為常數(shù)）得：

-1-m+2=0，解得：m=1，故選C．【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，重點是理解一元一次方程的解和會解一元一次方程．3．為了獎勵學(xué)習有進步的學(xué)生，老師請小杰幫忙到文具店買了20本練習簿和10支水筆，共花了36元．已知每支水筆的價格比每本練習簿的價格貴1.2元，如果設(shè)練習簿每本為x元，水筆每支為y元，那么下面列出的方程組中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】題目中有兩個相等關(guān)系：買20本練習簿的錢數(shù)+買10支水筆的錢數(shù)=36元，每支水筆的價格－每本練習簿的價格=1.2元；據(jù)此列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)練習簿每本為x元，水筆每支為y元，根據(jù)題意，得.故選B.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意、找準相等關(guān)系是正確列出方程組的關(guān)鍵.4．（2020·上海黃浦區(qū)·九年級二模）下列方程沒有實數(shù)根的是（）A．x2＝0 B．x2+x＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0【答案】C【分析】分別計算出每個方程判別式的值，再進一步判斷即可得出答案．【詳解】解：A．此方程判別式?＝02﹣4×1×0＝0，故方程有兩個相等的實數(shù)根；B．此方程判別式?＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有兩個不相等的實數(shù)根；C．此方程判別式?＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程沒有實數(shù)根；D．此方程判別式?＝02﹣4×1×(﹣1)＝5＞0，故方程有兩個不相等的實數(shù)根；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當?<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根．5．（2020·上海寶山區(qū)·九年級二模）關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的值的范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式列出不等式，再求不等式即可解答．【詳解】解：由題意得：△=(-2)2+4k≥0,解得．故答案為B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，弄清題意、列出不等式是解答本題的關(guān)鍵．6．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）在下列方程中，不是二元二次方程的有（）A．； B．xy＝3； C．； D．．【答案】D【分析】根據(jù)二元二次方程的定義：指含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做二元二次方程，逐一判斷即可．【詳解】A.是二元二次方程，故本選項不符合題意；B.xy＝3是二元二次方程，故本選項不符合題意；C.是二元二次方程，故本選項不符合題意；D.是分式方程，不是二元二次方程，故本選項符合題意．故選D．【點睛】此題考查的是二元二次方程的判斷，掌握二元二次方程的定義是解決此題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2018·上海楊浦區(qū)·中考模擬）李明早上騎自行車上學(xué)，中途因道路施工推車步行了一段路，到學(xué)校共用時15分鐘．如果他騎自行車的平均速度是每分鐘250米，推車步行的平均速度是每分鐘80米，他家離學(xué)校的路程是2900米，設(shè)他推車步行的時間為x分鐘，那么可列出的方程是_____________.【答案】分析：根據(jù)題意把李明步行和騎車各自所走路程表達出來，再結(jié)合步行和騎車所走總里程為2900米，列出方程即可.詳解：設(shè)他推車步行的時間為x分鐘，根據(jù)題意可得：80x+250(15-x)=2900.故答案為80x+250(15-x)=2900.點睛：弄清本題中的等量關(guān)系：李明推車步行的路程+李明騎車行駛的路程=2900是解題的關(guān)鍵.8．（2018·上海青浦區(qū)·中考模擬）關(guān)于x的方程ax=x+2(a1)的解是________.【答案】分析：依據(jù)等式的基本性質(zhì)依次移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可得出答案．詳解：移項，得：ax﹣x=2，合并同類項，得：（a﹣1）x=2．∵a≠1，∴a﹣1≠0，方程兩邊都除以a﹣1，得：x=．故答案為x=．點睛：本題主要考查解一元一次方程的能力，熟練掌握等式的基本性質(zhì)及解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．9．（2019·上海九年級其他模擬）方程組的解是_________.【答案】【分析】把方程進行變形，再根據(jù)平方的非法性得到x-3y=0，再根據(jù)二元一次方程組的解法即可求解.【詳解】解，變形得到故，令①-②得4y=3,解得，代入②得所以原方程組的解為.【點睛】此題主要考查方程組的求解，解題的關(guān)鍵熟知完全平方公式及平方的非法性.10．（2020·上海靜安區(qū)·九年級二模）運輸兩批救援物資：第一批220噸，用4節(jié)火車皮和5輛貨車正好裝完；第二批158噸，用3節(jié)火車皮和2輛貨車正好裝完．如果每節(jié)火車皮的運載量相同，每輛貨車的運載量相同，那么一節(jié)火車皮和一輛貨車共裝救援物資______噸．【答案】54【分析】設(shè)一節(jié)火車皮裝救援物資x噸，一輛貨車裝救援物資y噸，由題意得等量關(guān)系：4節(jié)火車皮運載量+5輛貨車運載量＝220噸，3節(jié)火車皮運載量+2輛貨車運載量＝158噸，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可．【詳解】解：設(shè)一節(jié)火車皮裝救援物資x噸，一輛貨車裝救援物資y噸，由題意得：，解得：，則一節(jié)火車皮和一輛貨車共裝救援物資：50+4＝54（噸），故答案為：54．【點睛】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程組．11．（2020·上海奉賢區(qū)·）寫出二元一次方程x+2y=3的正整數(shù)解___________．【答案】【分析】把y看做已知數(shù)求出x，即可確定出正整數(shù)解．【詳解】解：方程x+2y=3，變形得：x=-2y+3，當y=1時，x=1，則方程的正整數(shù)解為，故答案為：.【點睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將y看做已知數(shù)求出x．12．（2021·上海奉賢區(qū)·九年級一模）如圖，用一段籬笆靠墻圍成一個大長方形花圃(靠墻處不用籬笆)，中間用籬笆隔開分成兩個小長方形區(qū)域，分別種植兩種花草，籬笆總長為米(恰好用完)，圍成的大長方形花圃的面積為平方米，設(shè)垂直于墻的一段籬筐長為米，可列出方程為________________________．【答案】【分析】垂直于墻的一段籬筐長為米，共有三段垂直于墻的籬笆，所以垂直于墻的籬笆總長度為，又因為籬笆總長為米(恰好用完)，所以大長方形花圃的長為米，最后根據(jù)長方形的面積公式即可求解．【詳解】解：由題意可得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意大長方形花圃的寬有三段都是籬笆．13．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）方程3＋1＝7的根是_______________．【答案】【分析】移項得到，再系數(shù)化為1，直接開平方即可解答．【詳解】解：移項得：，系數(shù)化為1得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查開平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法正確計算是本題的解題關(guān)鍵.14．（2019·上海虹口區(qū)·中考模擬）如果關(guān)于x的方程kx2﹣6x+9＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么k的值為_____．【答案】1．【分析】根據(jù)題意方程有兩個相等實根可知△=0，代入求值即可解題.【詳解】∵關(guān)于x的方程kx2﹣6x+9＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0，解得：k＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，本題解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得到根的情況，代值到判別式即可解題.15．（2020·上海普陀區(qū)·九年級二模）如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成兩個一次方程，那么所得的兩個一次方程分別是__．【答案】x﹣2y＝0或x+y＝0【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0進行因式分解可以變?yōu)椋▁﹣2y）（x+y）＝0，即可解決問題．【詳解】∵x2﹣xy﹣2y2＝0，∴（x﹣2y）（x+y）＝0，∴x﹣2y＝0或x+y＝0．故答案為：x﹣2y＝0或x+y＝0．【點睛】考查了二元二次方程降次的方法，正確進行因式分解是解題的關(guān)鍵．16．（2020·上海浦東新區(qū)·九年級三模）方程組的解是____．【答案】,【分析】首先把方程①變形為，然后利用代入法消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，從而求解．【詳解】解：，由①得③，把③代入②式，整理得，解得，．把代入，得，把代入，得．故原方程組的解為，．故答案為：，．【點睛】此題主要考查了二元二次方程組的解法，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個未知數(shù)再解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個較簡單的方程中即可．17．（2020·上海松江區(qū)·九年級二模）方程組的解是_____．【答案】或【分析】原方程運用代入法求解即可.【詳解】方程組，由①得，y＝2﹣x③，把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3，解得：x1＝3，x2＝﹣1，把x1＝3，x2＝﹣1分別代入③得，y1＝﹣1，y2＝3，∴原方程組的解為：或．故答案為：或．【點睛】此題主要考查了解二元二次方程組，熟練掌握運算法則是解答此題的關(guān)鍵18．（2021·上海奉賢區(qū)·九年級一模）已知點是線段上一點，且，如果厘米，那么________________（厘米）．【答案】【分析】設(shè)厘米，得厘米，根據(jù)題意得，通過求解方程，即可得到答案．【詳解】設(shè)厘米，根據(jù)題意得：厘米∵，∴，∴，故舍去；∴，即厘米故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程、二次根式、線段的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．三、解答題19．某種型號的家用車在高速公路上勻速行駛時，測得部分數(shù)據(jù)如下表：行駛路程（千米）……油箱內(nèi)剩余油量（升）……（1）如果該車的油箱內(nèi)剩余油量（升）與行駛路程（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫出它的定義域）；（2）張老師租賃該型號的家用車也在該高速公路的相同路段以相同的速度勻速行駛千米（不考慮小轎車載客的人數(shù)以及堵車等因素）.假如不在高速公路上的服務(wù)區(qū)加油，那么在上高速公路之前，張老師這輛車的油箱內(nèi)至少需要有多少升汽油？請根據(jù)題目中提供的相關(guān)信息簡要說明理由.【答案】（1）函數(shù)關(guān)系式為（2）張老師的這輛車的油箱內(nèi)至少需要有升汽油.【解析】（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)，其函數(shù)表達式為y=kx+b，將已知的點代入，求得表達式；（2）每行駛100耗油8升，列方程求出耗油的升數(shù)．解：（1）設(shè)油箱內(nèi)剩余油量（升）與行駛路程（千米）之間的函數(shù)關(guān)系式為.分別將，；，代入上式，得解得：∴所求的函數(shù)關(guān)系式為（2）由題意可得，該型號的汽車在該路段行駛時，每行駛耗油升.設(shè)行駛公里時需要耗油升，可得，解得升.“點睛”

本題考查的是用一次函數(shù)解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題．利用已知的點，來求函數(shù)解析式，再將已知條件代入解析式，求解實際問題．20．（2019·上海虹口區(qū)·中考模擬）解方程組：【答案】或.【分析】對于第1個方程利用因式分解法可得x﹣6y＝0或x+y＝0，再將它們與方程②分別組成方程組，分別求解可得．【詳解】解：由①得，x﹣6y＝0或x+y＝0，將它們與方程②分別組成方程組，得：或分別解這兩個方程組，得原方程組的解為或．【點睛】本題是考查高次方程，高次方程的解法思想：通過適當?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．21．（2020·上海靜安區(qū)·九年級二模）解方程：＝1．【答案】x＝2．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：x﹣1+2＝x2﹣1，整理得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，經(jīng)檢驗：x＝﹣1是增根，舍去；x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2．【點睛】本題考查了分式方程的解法和一元二次方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．22．（2017·上海徐匯區(qū)·九年級二模）解方程組：．【答案】【分析】根據(jù)代入消元法，將第一個方程帶入到第二個方程中，即可得到兩組二元一次方程，分別計算解答即可【詳解】由②得：（2x﹣3y）2＝16，2x﹣3y＝±4，即原方程組化為和，解得：，即原方程組的解為：．【點睛】本題的關(guān)鍵是將第一個方程式帶入到第二個方程式中得到兩組方程組能力提升一、單選題1．（2019·上海楊浦區(qū)·中考模擬）下列關(guān)于x的方程一定有實數(shù)解的是()A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件、分式方程的增根逐一判斷即可得．【詳解】A．x2-mx-1=0中△=m2+4＞0，一定有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；

B．a(chǎn)x=3中當a=0時，方程無解，不符合題意；

C．由可解得不等式組無解，不符合題意；

D．有增根x=1，此方程無解，不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件、分式方程的增根．2．（2019·上海市嘉定區(qū)豐莊中學(xué)九年級二模）方程2y﹣＝y(tǒng)﹣中被陰影蓋住的是一個常數(shù)，此方程的解是y＝﹣．這個常數(shù)應(yīng)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】設(shè)被陰影蓋住的一個常數(shù)為k，原方程整理得，k=-y+，把代入k=-y+，中得，k=-×()+==3，故選C.3．（2020·上海青浦區(qū)·九年級二模）下列方程中，沒有實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0【答案】D【分析】分別計算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判定方程根的情況即可．【詳解】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A選項錯誤；B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以B選項錯誤；C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，所以C選項錯誤；D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程沒有實數(shù)根，所以D選項正確．故選D．4．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）常凱申公司一月份利潤是1萬元，二月份、三月份平均每月增長10％，則第一季度的總利潤是（）A．（1＋10％）2萬元： B．（1＋10％）10％萬元：C．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]萬元： D．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]萬元．【答案】D【分析】首先表示出二月份的利潤：1月份的利潤×(1+10%)，再表示出三月份利潤：2月份的利潤×(1+10%)，然后把三個月的利潤加起來即可．【詳解】解：由題意得：二月份的利潤為：1×(1+10%)=(1+10%)三月份的利潤為：1×(1+10%)(1+10%)=(1+10%)2故第一季度的利潤為：1+(1+10%)+(1+10%)2萬元.。故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b．得到三月份的產(chǎn)量的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題5．某商店購進一批童裝，每件售價120元，可獲利20%，這件童裝的進價是_____元．【答案】100【分析】設(shè)這件童裝的進價為x元，根據(jù)利潤＝售價﹣進價，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這件童裝的進價為x元，依題意，得：120﹣x＝20%x，解得：x＝100．故答案為100．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海崇明區(qū)·九年級二模）某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標價8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進價是______元.【答案】2000，【分析】設(shè)這種商品的進價是x元，根據(jù)提價之后打八折，售價為2240元，列方程解答即可.【詳解】設(shè)這種商品的進價是x元，由題意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x＝2000，故答案為2000.【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用——銷售問題，弄清題意，熟練掌握標價、折扣、實際售價間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7．（2020·上海松江區(qū)·九年級二模）如果一個三角形中有一個內(nèi)角的度數(shù)是另外兩個內(nèi)角度數(shù)差的2倍，我們就稱這個三角形為“奇巧三角形”．已知一個直角三角形是“奇巧三角形”，那么該三角形的最小內(nèi)角等于_____度．【答案】22.5【分析】按照題干給的定義設(shè)出一個最小角和另一個內(nèi)角列方程求解即可．【詳解】設(shè)直角三角形的最小內(nèi)角為x，另一個內(nèi)角為y，由題意得，，解得：，答：該三角形的最小內(nèi)角等于22.5°，故答案為：22.5．【點睛】此題表面是考查對新定義的理解，其實是考查一元二次方程組的應(yīng)用．8．（2019·上海楊浦區(qū)·中考模擬）如果當a≠0，b≠0，且a≠b時，將直線y=ax+b和直線y=bx+a稱為一對“對偶直線”，把它們的公共點稱為該對“對偶直線”的“對偶點”，那么請寫出“對偶點”為(1，4)的一對“對偶直線”：______．【答案】【分析】把（1,4）代入兩函數(shù)表達式可得：a+b=4,再根據(jù)“對偶直線”的定義，即可確定a、b的值.【詳解】把（1,4）代入得：a+b=4又因為，，且，所以當a=1是b=3所以“對偶點”為（1,4）的一對“對偶直線”可以是：故答案為【點睛】此題為新定義題型，關(guān)鍵是理解新定義，并按照新定義的要求解答.9．（2019·上海長寧區(qū)·九年級二模）方程組的解是_________．【答案】或【分析】首先把方程①變形為，然后利用代入法消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，從而求解．【詳解】解：，由①得，③，把③代入②得，，解得：，，把，分別代入③得，，，∴原方程組的解為：或，故答案為：或．【點睛】此題主要考查了二元二次方程組的解法，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個未知數(shù)再解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個較簡單的方程中即可．三、解答題10．（2019·上海松江區(qū)·中考模擬）解方程組：【答案】，【分析】先由②得（x-3y）2=1，x-3y=1或x-3y=1，再把原方程組分解為：，，最后分別解這兩個方程組即可．【詳解】解：由②得：（x-3y）2=1，則原方程組化為，解這兩個方程組得原方程組的解為，原方程的組解為，【點睛】本題考查高次方程，解答此類題目一般是先把高次方程分解為低次方程，再分別解低次方程．11．（2019·上海楊浦區(qū)·中考模擬）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求a、b的值．【答案】或【分析】把代入二元一次方程組得到關(guān)于a，b的方程組，經(jīng)過整理，得到關(guān)于b的一元二次方程，解之即可得到b的值，把b的值代入一個關(guān)于a，b的二元一次方程，求出a的值，即可得到答案．【詳解】把代入二元一次方程組得：，

由①得：a=1+b，把a=1+b代入②，整理得：b2+b-2=0，

解得：b=-2或b=1，把b=-2代入①得：a+2=1，

解得：a=-1，把b=1代入①得：a-1=1，解得：a=2，

即或．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵．12．（2018·上海楊浦區(qū)·九年級三模）解方程組：【答案】【分析】設(shè)=a，=b，則原方程組化為，求出方程組的解，再求出原方程組的解即可．【詳解】設(shè)=a，=b，則原方程組化為：，①+②得：4a=4，解得：a=1，把a=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，即，解得：，經(jīng)檢驗是原方程組的解，所以原方程組的解是．【點睛】此題考查利用換元法解方程組，注意要根據(jù)方程組的特點靈活選用合適的方法.解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理.13．（2019·上海長寧區(qū)·中考模擬）某文具店每天售出甲、乙兩種筆，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)：甲、乙兩種筆同一天售出量之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系，設(shè)甲、乙兩種筆同一天的售出量分別為x（支）、y（支），部分數(shù)據(jù)如表所示（下表中每一列數(shù)據(jù)表示甲、乙兩種筆同一天的售出量）．甲種筆售出x（支）…468…乙種筆售出y（支）…61218…（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫出函數(shù)的定義域）（2）某一天文具店售出甲、乙兩種筆的營業(yè)額分別為30元和120元，如果乙種筆每支售價比甲種筆每支售價多2元，那么甲、乙兩種筆這天各售出多少支？【答案】（1）y=3x-6；（2）甲、乙兩種這天筆各售出10支、24支【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式即可求出答案．【詳解】（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），由圖象過點（4，6），（6，12），得：，解之得：所以y關(guān)于x的解析式為：y=3x-6．（2）設(shè)甲種筆售出x支，則乙種筆售出（3x-6）支，由題意可得：整理得：x2-7x-30=0解之得：x1=10，x2=-3（舍去）3x-6=24答：甲、乙兩種這天筆各售出10支、24支．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找出等量關(guān)系，本題屬于中等題型．14．（2020·上海浦東新區(qū)·九年級三模）某商品的原價為100元，如果經(jīng)過兩次降價，且每次降價的百分率都是m，那么該商品現(xiàn)在的價格是多少元（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）【答案】100（1-m）2.【分析】根據(jù)降低率問題等量關(guān)系可知：現(xiàn)在的價格=原價×（1-降價的百分率）2.根據(jù)上述關(guān)系列出來即可.【詳解】解：等量關(guān)系是：現(xiàn)在的價格=原價×（1-降價的百分率）2

即100（1-m）2元．

故答案為：100（1-m）2．【點睛】本題難度中等，考查根據(jù)實際問題情景列代數(shù)式．熟練掌握增長率（降低率）問題的一般公式是解題關(guān)鍵.15．（2018·上海長寧區(qū)·中考模擬）解方程組：【答案】,.【分析】先將方程①變形為（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0，分別與方程組成二元一次方程組，從而求出方程的解.【詳解】解：方程①可變形為（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0將它們與方程②分別組成方程組，得（Ⅰ）或（Ⅱ）解方程組（Ⅰ），解方程組（Ⅱ），所以原方程組的解是,．故答案為,.【點睛】此題是解高次方程，解題思路與解一元一次方程組差不多，都是先消元再代入來求解，只是計算麻煩點.模塊二：分式方程與無理方程知識精講分式方程1、分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程．2、分式方程的解法：通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解．3、增根：分式方程在化整式方程求解過程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母為0，那么這個解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去分母，化成整式方程；（2）解這個整式方程，求出整式方程的根；（3）檢驗．有兩種方法：①將求得的整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，則這個根為增根，方程無解；如果最簡公分母不等于0，則這個根為原方程的根，從而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，則這個根為原方程的根，從而解出原方程的解；如果不成立，則這個根為增根，方程無解．6、易錯知識辨析：（1）去分母時，不要漏乘沒有分母的項；（2）解分式方程的重要步驟是檢驗，檢驗的方法是可代入最簡公分母，使最簡公分母為0的值是原分式方程的增根，應(yīng)舍去，也可直接代入原方程驗根．（3）如何由增根求參數(shù)的值：①將原方程化為整式方程；②將增根代入變形后的整式方程，求出參數(shù)的值．7、分式方程組：由兩個或兩個以上的分式方程構(gòu)成的方程組叫做分式方程組．無理方程無理方程：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．2、無理方程的解法：通過平方把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解．3、解無理方程的一般步驟：（1）方程兩邊平方，化成整式方程；（2）解這個整式方程，求出整式方程的根；（3）檢驗：直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，則這個根為原方程的根，從而解出原方程的解；如果不成立，則這個根為增根，方程無解．夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2018·北京東城區(qū)·中考模擬）某畫室分兩次購買了相同的素描本，第一次用120元購買了若干本，第二次在同一家商店又購買了240元，這次商家每本優(yōu)惠4元，結(jié)果比上次多買了20本．設(shè)第一次買了x本素描本，列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知第二次買了（x＋20）本素描本，然后根據(jù)“第二次購買比第一次購買每本優(yōu)惠4元”列出分式方程即可．【詳解】解：由題意可知：故選A．【點睛】此題考查的是分式方程的應(yīng)用，掌握實際問題中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．2．（2019·上海虹口區(qū)·中考模擬）方程的解為（）A．x＝4 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝10．【答案】D【分析】將等式兩邊同時平方得到一元一次方程x﹣1＝9，解方程并檢驗即可解題.【詳解】將方程兩邊平方得x﹣1＝9，解得：x＝10經(jīng)檢驗：x＝10是原無理方程的解，故選D．【點睛】本題考查了無理方程及一元一次方程的解法，解本題的關(guān)鍵是注意解出方程之后一定要進行檢驗，確保式子有意義.3．（2020·上海閔行區(qū)·九年級一模）下列方程中，有實數(shù)根的是（）A．＝﹣x B．+＝0C． D．x2+2020x﹣1＝0【答案】D【分析】A選項中，≥0，﹣x＜0，則方程無實數(shù)根；B選項中，當x＝1時+有最小值1，則方程無實數(shù)根；C選項中，解得x＝1是方程的增根，則方程無實數(shù)根；D選項中，△＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．【詳解】解：∵≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∴﹣x＜0，∴≠﹣x，∴A不正確；∵≥0，≥0，當x＝1時+有最小值1，∴+≥1，∴B不正確；兩邊同時乘以x2﹣1，得x＝1，經(jīng)檢驗x＝1是方程的增根，∴方程無解；∴C不正確；x2+2020x﹣1＝0，∵△＝20202+4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴D正確；故選：D．【點睛】本題考查分式方程、無理方程、一元二次方程；熟練掌握分式方程解法、一元二次方程根的判別式、掌握二次根式成立的條件是解題的關(guān)鍵．4．（2019·上海中考模擬）下列方程中，一定有實數(shù)解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先逐個對每一項的方程分析求解，即可得出結(jié)論．【詳解】A.通過移項得,原方程有實數(shù)解，故本選項錯誤，B.方程，△=16>0，原方程有實數(shù)解，故本選項正確，C.解方程得，此時最簡公分母為0，原方程沒有實數(shù)解，故本選項錯誤，D項通過移項可知任何數(shù)的算術(shù)平方根都不可能為負數(shù)，故等式不成立，故本選項錯誤.故選B.【點睛】考查了無理方程，根的判別式以及分式方程的解法，在解無理方程時最常用的方法是兩邊平方法.二、填空題5．（2020·上海九年級專題練習）方程的根是_____．【答案】【分析】按分式方程的解法，去分母化分式方程為整式方程求解即可．【詳解】解:方程的兩邊都乘以，得，所以．當時，，所以1不是原方程的根；當時，，所以-1是原方程的根．所以原方程的解為:．故答案為:．【點睛】本題考查了分式方程的解法．題目比較簡單，解分式方程易忘記檢驗而出錯．解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．6．（2018·上海金山區(qū)·九年級二模）方程的解是__________.【答案】.【分析】根據(jù)解分式方程的步驟依次計算可得.【詳解】解：去分母，得：，解得：，當時，，所以是原分式方程的解，故答案為：.【點睛】本題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.7．方程的解是．【答案】【分析】根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號（本題不需要）、移項、合并同類項、系數(shù)化為1進行求解.【詳解】將原方程去分母得：，移項：合并同類項：，系數(shù)化為1：，故填：2.8．（2020·上海長寧區(qū)·九年級二模）方程的根為________．【答案】【分析】此題需要把方程兩邊平方去根號后求解，然后把求出的結(jié)果進行檢驗即可．【詳解】解：方程兩邊平方得：3-x=4，x=-1，檢驗：當x=-1時，原方程左邊=2，右邊=2，∴x=-1是原方程的根；故答案為：x=-1．【點睛】此題主要考查無理方程，在解無理方程最常用的辦法利用平方轉(zhuǎn)換為有理方程或者換元法解方程，此題用的是平方法，但要進行檢驗．9．如果關(guān)于x的方程的一個根為3，那么a=．【答案】3【分析】根據(jù)方程的解的意義，把x=3代入原方程，然后解關(guān)于a的方程，解答后，一定要驗根.【詳解】∵關(guān)于x的方程的一個根為3，∴x=3一定滿足關(guān)于x的方程，∴，方程的兩邊同時平方，得6+a=9，解得a=3；檢驗：將a=3代入原方程得，左邊=，右邊=3，∴左邊=右邊，∴a=3符合題意，故填：3.三、解答題10．（2019·上海普陀區(qū)·中考模擬）解方程：．【答案】x=1【分析】先去分母，化成整式方程，然后求出整式方程的解，最后檢驗得出結(jié)論．【詳解】解：去分母得，.整理得，.解得，．經(jīng)檢驗，是增根，舍去．所以，原方程的解是【點睛】本題考查了解分式方程，將分式方程化成整式方程求解是解題的關(guān)鍵．11．（2017·上海靜安區(qū)·中考模擬）解方程：+=1．【答案】無解試題分析：先把移到等號右邊，兩邊平方，再把含根號的項放到等號左邊，兩邊再一次平方化為一個一元二次方程，即可求解，最后要驗根.解：，，．，，，經(jīng)檢驗：都是增根，所以原方程無解．能力提升一、單選題1．（2020·上海徐匯區(qū)·九年級二模）下列方程中，有實數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件以及分數(shù)方程的定義進行判斷即可．【詳解】根據(jù)一元二次方程根的判別式計算：A：，方程無實根，錯誤；B：，方程有兩個不等實根，正確；C：,二次根式無意義，方程無解，錯誤；D：，分式方程需滿足分母不為0，此方程無解，錯誤．故答案選：B【點睛】本題一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件以及分數(shù)方程的定義，掌握相關(guān)的定義與計算是解題關(guān)鍵．2．下列方程中，2是其解的是（）A．x2﹣4=0 B． C． D．x+2=0【答案】A【解析】解此題時可將x=2代入各方程，然后看方程的左邊的解是否等于右邊．解：將x=2分別代入各方程得：A、x2﹣4=0，∴本選項正確；B、x﹣2=0，是增根，∴本選項錯誤；C、=3≠1，∴本選項錯誤；D、x+2=4≠0，∴本選項錯誤；故選A．3．（2019·上海江灣初級中學(xué)九年級三模）下列方程中，有實數(shù)解的個數(shù)是（）①，②，③，④A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】①先把-1從左邊移到右邊，再把兩邊平方；②③④兩邊直接平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解，然后檢驗是否符合題意即可．【詳解】①∵，∴，∴2x+8=1,∴x=-,經(jīng)檢驗x=-符合題意，故原方程有實數(shù)解；②∵，∴x-6=(4-x)2，∴x2-9x++22=0，∵?=81-88=-7<0，∴該方程無實數(shù)解；③∵，∴x+5=2-x,∴x=-,經(jīng)檢驗x=-符合題意，故原方程有實數(shù)解；④∵∴x+2=9x2，∴9x2-x-2=0<∴x=．經(jīng)檢驗x=是方程的解．故該方程有實數(shù)解．綜上可知，①③④有實數(shù)解，故選D.【點睛】本題考查了無理方程的解法，解含未知數(shù)的二次根式只有一個的無理方程時，一般步驟是：①移項，使方程左邊只保留含有根號的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；②兩邊同時平方，得到一個整式方程；③解整式方程；④驗根．4．下列關(guān)于x的方程一定有實數(shù)解的是（）A． B．=1-xC．x2-x-1=0 D．x2-x+1=0【答案】C【分析】根據(jù)解分式方程、無理方程的步驟和方法以及根的判別式逐一判定即可．【詳解】A、去分母的2-1-x=0，解得x=1，x-1=0，此方程無解，此選項錯誤；B、兩邊平方的x-2=x2-2x+1，x2-3x+3=0，△=（-3）2-4×1×3＜0，此方程無解，此選項錯誤；C、△=（-1）2-4×1×（-1）＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項正確；D、△=（-1）2-4×1×1＜0，此方程無解，此選項錯誤．故選C．二、填空題5．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）方程的解是_____．【答案】x＝3【分析】最簡公分母是（x+2）（x-2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．【詳解】解：方程的兩邊同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）+4＝（x+2）（x﹣2），x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，解得x＝3或x＝﹣2．經(jīng)檢驗x＝﹣2是原方程的增根∴原方程的解為：x＝3．故答案為：x＝3．【點睛】考查解分式方程；掌握基本步驟是解決本題的關(guān)鍵；注意分式方程必須驗根．6．（2019·上海楊浦區(qū)·中考模擬）甲、乙兩名學(xué)生練習打字，甲打135個字所用時間與乙打180個字所用時間相同，已知甲平均每分鐘比乙少打20個字，如果設(shè)甲平均每分鐘打字的個數(shù)為x，那么符合題意的方程為：______．【答案】【分析】設(shè)甲平均每分鐘打x個字，則乙平均每分鐘打（x+20）個字，根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率結(jié)合甲打135個字所用時間與乙打180個字所用時間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】∵甲平均每分鐘打x個字，∴乙平均每分鐘打（x+20）個字，

根據(jù)題意得：，故答案為．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海九年級專題練習）解放軍某部承擔一段長1500米的清除公路冰雪任務(wù)．為盡快清除冰雪，該部官兵每小時比原計劃多清除20米，結(jié)果提前24小時完成任務(wù)．若設(shè)原計劃每小時清除公路冰雪x米，則可列出方程【答案】．【分析】設(shè)原計劃每小時清除公路冰雪x米，則實際每小時清除（x+20）米，根據(jù)提前24小時完成任務(wù)，列出方程即可．【詳解】設(shè)原計劃每小時清除公路冰雪x米，則實際每小時清除（x+20）米，由題意得，．8．在方程中，如果設(shè)y=x2﹣4x，那么原方程可化為關(guān)于y的整式方程是__．【答案】【分析】先把方程整理出含有x2-4x的形式，然后換成y再去分母即可得解．【詳解】方程可變形為x2-4x++4=0,因為，所以，整理得，9．（2019·上海黃浦區(qū)·中考模擬）方程的解的是__________________．【答案】【分析】把方程兩邊平方去根號后即可轉(zhuǎn)化成整式方程，解方程即可求出x的值，然后進行檢驗.【詳解】兩邊平方得：x+1=9，解得：x=8．檢驗：x=8是方程的解．故答案為x=8．【點睛】本題考查的知識點是平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平方根.三、解答題10．（2020·上海長寧區(qū)·九年級二模）解方程：【答案】【分析】按照分式方程的求解方法解題計算即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以去分母得：x+6=x+3，去括號得：，移項整理得：，因式分解得：（x-3）（x-1）=0，解得：x=3或x=1，代入原方程檢驗得：x=1，所以原方程的解是：x=1，【點睛】此題是分式方程，但考查的知識點包含了一元二次方程，有一定的難度．11．（2017·上海徐匯區(qū)·九年級二模）某足球特色學(xué)校在商場購買甲、乙兩種品牌的足球．已知乙種足球比甲種足球每只貴20元，該校分別花費2000元、1400元購買甲、乙兩種足球，這樣購得甲種足球的數(shù)量是購得乙種足球數(shù)量的2倍，求甲、乙兩種足球的單價各是多少元？【答案】購買一個甲種足球需50元，一個乙種足球需70元【分析】設(shè)甲種足球單價x元，由“乙種足球比甲種足球每只貴20元”可知乙中足球單價為x+20元，再根據(jù)“分別花費2000元、1400元購買甲、乙兩種足球，這樣購得甲種足球的數(shù)量是購得乙種足球數(shù)量的2倍”即可列出分式方程，解答即可【詳解】（1）設(shè)購買一個甲種足球需要x元，，解得，x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是原分式方程的解，所以x+20＝70（元），答：購買一個甲種足球需50元，一個乙種足球需70元．【點睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程式模塊三：一元一次不等式（組）知識精講不等式1、不等式的概念：用不等號“>”、“<”、“”或“”表示的關(guān)系式，叫做不等式．2、不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或用一個含字母的式子，不等號的方向不變．即：如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m．3、不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．即：已知m>0，如果a>b，那么am>bm（或）；如果a<b，那么am<bm（或）．4、不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．即：已知m<0，如果a>b，那么am<bm（或）；如果a<b，那么am>bm（或）．一元一次不等式只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次且系數(shù)不為零的不等式，稱為一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）化成（或等）的形式（其中）；（5）兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集．一元一次不等式組一元一次不等式組：有幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．2、不等式組的解集：不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集．3、解不等式組：求不等式組解集的過程叫做解不等式組．4、解一元一次不等式組的一般步驟：（1）求出不等式組中各個不等式的解集；（2）在數(shù)軸上表示各個不等式的解集；（3）確定各個不等式解集的公共部分，就得到這個不等式組的解集．夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2020·上海浦東新區(qū)·九年級三模）如果，那么下列結(jié)論不正確的是（）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】本題可通過不等式兩邊同時加減相同的數(shù)，其不等號不變判斷A,B選項；根據(jù)不等式兩邊同時乘一個正數(shù)，其不等號不變判斷C選項；最后根據(jù)不等式兩邊同時乘一個負數(shù)，其不等號改變判斷D選項．【詳解】不等式兩邊同時加3，不改變不等號方向，故A正確；不等式兩邊同時減3，不改變不等號方向，故B正確；不等式兩邊同時乘正數(shù)3，不改變不等號方向，故C正確；不等式兩邊同時乘負數(shù)-3，改變不等號方向，故D錯誤；故本題答案為D選項．【點睛】本題考查不等式運算規(guī)則，求解不等式過程中兩邊同時相加減，不等號方向不變，特別注意兩邊乘除負數(shù)時需要變號．2．（2020·上海閔行區(qū)·九年級一模）不等式﹣2x＞3的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接把x的系數(shù)化為1即可．【詳解】解：不等式的兩邊同時除以﹣2得，x＜﹣．故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2018·上海奉賢區(qū)·）下列四個不等式組中，解集在數(shù)軸上表示如圖所示的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題涉及的知識點是不等式組的表示方法，根據(jù)規(guī)律可得答案．【詳解】由解集在數(shù)軸上的表示可知，該不等式組為，故選D．【點睛】本題重點考查學(xué)生對于在數(shù)軸上表示不等式的解集的掌握程度，不等式組的解集的表示方法：大小小大取中間是解題關(guān)鍵．4．如果，，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、在不等式的兩邊同時加上c不等號方向不變，故本選項正確；B、在不等式的兩邊同時乘以-1，加上c后不等號方向改變，故本選項錯誤；C、兩邊同時乘以負數(shù)c，不等號方向改變，故本選項錯誤；D、兩邊同時除以負數(shù)c，不等號方向改變，故本選項錯誤；故選A．5．（2017·上海長寧區(qū)·九年級二模）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)求出不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出來即可.【詳解】解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，∴不等式組的解集為﹣1≤x＜2，故選：B．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握不等式的性質(zhì)和一元一次不等式組求解集是解題關(guān)鍵.6．（2020·上海九年級專題練習）不等式組的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分別求解各不等式的解集，再找到其公共解集即可.【詳解】解不等式組得,故解集為故選B.【點睛】此題主要考查不等式的解法，解題的關(guān)鍵是熟知不等式的性質(zhì).7．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．【答案】A試題分析：原不等式可化為：∴在數(shù)軸上可表示為：故選A．考點：1.解一元一次不等式組；2.在數(shù)軸上表示不等式的解集．8．（2018·上海楊浦區(qū)·中考模擬）若x＞y，則下列式子錯誤的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．﹣3x＞﹣3y C．x+3＞y+3 D．【答案】B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)在不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變即可得出答案：A、不等式兩邊都減3，不等號的方向不變，正確；B、乘以一個負數(shù)，不等號的方向改變，錯誤；C、不等式兩邊都加3，不等號的方向不變，正確；D、不等式兩邊都除以一個正數(shù)，不等號的方向不變，正確．故選B．9．（2017·上海徐匯區(qū)·九年級二模）已知點M(1－2m，m－1)在第四象限內(nèi)，那么m的取值范圍是()A．m＞1 B．m＜ C．＜m＜1 D．m＜或m＞1【答案】B【分析】根據(jù)M(1－2m，m－1)在第四象限內(nèi)可列出不等式的，即可解出m的值.【詳解】根據(jù)題意，可得解不等式①，得m＜，解不等式②，得m＜1，∴m＜，故選B.【點睛】此題主要考查列出不等式組及求解，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵.二、填空題10．（2017·黑龍江牡丹江市·中考模擬）不等式組的解集是．【答案】－1≤x＜3試題分析：先分別求出兩個不等式各自的解，即可得到結(jié)果.由得，由得，則不等式組的解集是.考點：本題考查的是解一元一次不等式組點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握求一元一次不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，小小大大找不到（無解）.11．（2020·上海楊浦區(qū)·九年級二模）不等式組的解集是_____．【答案】【分析】先求出各個不等式的解集，再求它們的公共解集即為不等式組得解集．【詳解】解：，解不等式①，得；解不等式②，得x≤3；所以原不等式組的解集為：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式（組），關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．12．（2020·上海閔行區(qū)·九年級二模）不等式組的解集是______．【答案】【分析】先分別解兩個一元一次不等式，然后即可確定不等式組的解集．【詳解】解①得，，解②得，∴不等式組的解集為，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．13．（2019·上海中考模擬）對于三個數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數(shù)的中位數(shù)，用max{a，b，c}表示這三個數(shù)中最大的數(shù)．例如：M{–2，–1，0}=–1；max{–2，–1，0}=0，max{–2，–1，a}=，根據(jù)以上材料，解決下列問題：若max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}，則x的取值范圍為______．【答案】【分析】理解題意明白max和M所對應(yīng)的值，一個是這三個數(shù)的最大數(shù)，一個是這三個數(shù)的中位數(shù)，得出max{3，5–3x，2x–6}=3進而建立不等式組求解即可得出結(jié)論．【詳解】∵max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}=3，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，求中位數(shù).解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意得到不等式去求解，考查綜合應(yīng)用能力.三、解答題14．（2020·上海徐匯區(qū)·九年級二模）解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】；數(shù)軸見解析.【分析】將不等式分別求解，再找出公共部分即可．【詳解】由①得：，解得：由②得：，解得：∴不等式的解集為：，在數(shù)軸上表示為：【點睛】本題考查不等式組的解法，掌握不等式組的解法以及公共部分的尋找是解題關(guān)鍵．能力提升一、單選題1．（2020·上海松江區(qū)·九年級二模）不等式組的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2【答案】C【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，解不等