試題PAGE1試題2023-2024學(xué)年江蘇省南京市聯(lián)合體九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）下列選項中，是一元二次方程的是（）A．x2﹣y﹣2＝0 B．x?1x=0 C．x2﹣2x﹣5 D．x2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0，下列配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣4）2＝21 B．（x+4）2＝21 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝93．（2分）若關(guān)于x的方程x2﹣2x+a＝0有實(shí)數(shù)根，則常數(shù)a的值不可能為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（2分）歌唱比賽有二十位評委給選手打分，統(tǒng)計每位選手得分時，會去掉一個最高分和一個最低分，這樣做，肯定不會對所有評委打分的哪一個統(tǒng)計量產(chǎn)生影響（）A．平均分 B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．極差5．（2分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若AB的長等于半徑，∠BAC＝110°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°6．（2分）如圖，在扇形OAB中，點(diǎn)D在OA上，點(diǎn)C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．4.8 C．25 D．32二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）7．（2分）一組數(shù)據(jù)﹣2，3，﹣4，5的極差是．8．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是．9．（2分）設(shè)x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩個根，且x1+x2﹣x1x2＝1．則m＝．10．（2分）某測試中心分別從操作系統(tǒng)、硬件規(guī)格、屏幕尺寸、電池壽命四個項目對新投入市場的一款智能手機(jī)進(jìn)行測評，各項得分如下表：測試項目操作系統(tǒng)硬件規(guī)格屏幕尺寸電池壽命項目成績/分7863最后將四項成績按3：3：2：2的比例計算綜合成績，則該手機(jī)的綜合成績?yōu)榉郑?1．（2分）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”．問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測得深度CD為1寸，鋸長AB為10寸，則圓材的半徑為寸．12．（2分）某商場出售甲，乙，丙三種型號的商品，若購買甲2件，乙3件，丙2件，共需116元；購買甲1件，乙5件，丙1件，共需100元．若購買甲，乙，丙各1件，則需元．13．（2分）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為cm．14．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)E，AC=2BD．若∠DEB＝69°，則BD的度數(shù)為15．（2分）如圖擺放的兩個正六邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D在圓上．若AB＝2，則該圓的半徑為．16．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠DCB＝30°，AD＝2，BC＝4，E為AD的中點(diǎn)，連接BE，CE，則△BEC面積的最小值為．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0；（2）（x+2）2＝6+3x．18．（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，OE＝OF．求證：AC＝BD．19．（8分）關(guān)于x的方程x2﹣（m+4）x+3m+3＝0．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根小于2，則m的取值范圍是．20．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)是；（2）判斷⊙M與y軸的位置關(guān)系，并說明理由．21．（8分）甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下：命中的環(huán)數(shù)/環(huán)5678910甲命中次數(shù)124210乙命中次數(shù)142111（1）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是環(huán)；（2）求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（3）經(jīng)過計算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán)2．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，評價甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平．22．（7分）如圖，在長為40m、寬為22m的矩形地面內(nèi)，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少？23．（8分）某文化用品商店用1200元購進(jìn)一批文具盒，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進(jìn)第二批同樣的文具盒，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的1.5倍，但單價貴了2元，結(jié)果購進(jìn)第二批文具盒用了3000元．求第一批購進(jìn)文具盒的單價是多少元？24．（8分）如圖，點(diǎn)M在∠BAC的AB邊上，用直尺與圓規(guī)分別按下列要求作圖：（1）在圖中作⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，M，且圓心O在AC上；（2）在圖中作⊙O，使⊙O與AC相切，且與AB相切于點(diǎn)M（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．25．（8分）若x＝m時，代數(shù)式ax2+bx+c的值也為m，則稱m是這個代數(shù)式的“x優(yōu)值”．例如，當(dāng)x＝0時，代數(shù)式x2﹣x的值為0；當(dāng)x＝2時，代數(shù)式x2﹣x的值為2，所以0和2都是x2﹣x的“x優(yōu)值”．（1）代數(shù)式x2的“x優(yōu)值”是；（2）判斷代數(shù)式x2﹣x+n2+2是否存在“x優(yōu)值”，并說明理由；（3）代數(shù)式x2﹣n2+n存在兩個“x優(yōu)值”且差為5，求n的值．26．（9分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，C為ACB的中點(diǎn)，D在BC上，連接AD．（1）如圖，若AD⊥BC，垂足為E，直線OC分別交AD，AB于點(diǎn)F，G．（Ⅰ）求證：CG⊥AB；（Ⅱ）求證：EF＝DE．（2）如圖，若AD與BC不垂直，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，連接DB，寫出AE，DE，DB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．27．（10分）如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝m．過A，B，C三點(diǎn)的⊙O的圓心位置和半徑，隨著m的變化而變化．解決下列問題：【特殊情形】（1）如圖②，當(dāng)m＝0時，圓心O在AD上，求⊙O的半徑．【一般情形】（2）（Ⅰ）當(dāng)m＝2時，求⊙O的半徑；（Ⅱ）當(dāng)m＞0時，隨著m的增大，點(diǎn)O的運(yùn)動路徑是．（填寫序號）①射線②弧③雙曲線的一部分④不規(guī)則的曲線【深入研究】（3）如圖③，連接AC，以O(shè)為圓心，作出與CD邊相切的圓，記為小⊙O．當(dāng)小⊙O與AC相交且與BC相離時，直接寫出m的取值范圍．

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市聯(lián)合體九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）下列選項中，是一元二次方程的是（）A．x2﹣y﹣2＝0 B．x?1x=0 C．x2﹣2x﹣5 D．x【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．方程x2﹣y﹣2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．方程x?1C．x2﹣2x﹣5不是方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D．方程x2＝4x是一元二次方程，故本選項符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）是解此題的關(guān)鍵．2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0，下列配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣4）2＝21 B．（x+4）2＝21 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9【分析】方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上4變形即可得到結(jié)果．【解答】解：方程變形得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2分）若關(guān)于x的方程x2﹣2x+a＝0有實(shí)數(shù)根，則常數(shù)a的值不可能為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由根的判別式可求得a的取值范圍，再判斷即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a≥0，解得：a≤1，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac間的關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．4．（2分）歌唱比賽有二十位評委給選手打分，統(tǒng)計每位選手得分時，會去掉一個最高分和一個最低分，這樣做，肯定不會對所有評委打分的哪一個統(tǒng)計量產(chǎn)生影響（）A．平均分 B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．極差【分析】去掉一個最高分和最低分后不會對數(shù)據(jù)的中間的數(shù)產(chǎn)生影響，即中位數(shù)．【解答】解：統(tǒng)計每位選手得分時，會去掉一個最高分和一個最低分，這樣做不會對數(shù)據(jù)的中間的數(shù)產(chǎn)生影響，即中位數(shù)．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了統(tǒng)計量的選擇，屬于基礎(chǔ)題，相對比較簡單，解題的關(guān)鍵在于理解這些統(tǒng)計量的意義．5．（2分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若AB的長等于半徑，∠BAC＝110°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】連接OA、OB、OC，如圖，先證明△OAB為等邊三角形得到∠OAB＝60°，則可計算出∠OAC＝50°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠AOC＝80°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AB＝OA＝OB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠OAB＝60°，∵∠BAC＝110°，∴∠OAC＝110°﹣60°＝50°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠ABC=12∠故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．6．（2分）如圖，在扇形OAB中，點(diǎn)D在OA上，點(diǎn)C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．4.8 C．25 D．32【分析】以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑畫圓，延長CD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，BD，則BD＝5，BE為⊙O的直徑，然后在Rt△BCE中，CE＝8，BC＝4，由勾股定理得BE=45，據(jù)此可得半徑OB【解答】解：以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑畫圓，延長CD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，BD，如圖所示：在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD=B∵∠BCD＝90°，∴BE為⊙O的直徑，∴點(diǎn)B，O，E在同一條直線上，∴OB＝OE，∵∠AOB＝90°，∴DE＝BD＝5，在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4，由勾股定理得：BE=C∴OB＝OE=12BE故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了圓的有關(guān)概念，圓周角定理，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）7．（2分）一組數(shù)據(jù)﹣2，3，﹣4，5的極差是9．【分析】根據(jù)極差的概念求解．【解答】解：極差為：5﹣（﹣4）＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了極差的知識，極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差．8．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．【分析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x＝0或x﹣2＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故答案為：x1＝0，x2＝2．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．9．（2分）設(shè)x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩個根，且x1+x2﹣x1x2＝1．則m＝3．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，確定x1+x2、x1x2的值，然后代入方程中，解方程確定m的值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩個根，∴x1+x2＝4，x1x2＝m，∵x1+x2﹣x1x2＝1∴4﹣m＝1，∴m＝3故答案為：3【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元一次方程的解法，將x1+x2＝4，x1x2＝m代入方程，并解方程是解決此類題目經(jīng)常使用的方法．10．（2分）某測試中心分別從操作系統(tǒng)、硬件規(guī)格、屏幕尺寸、電池壽命四個項目對新投入市場的一款智能手機(jī)進(jìn)行測評，各項得分如下表：測試項目操作系統(tǒng)硬件規(guī)格屏幕尺寸電池壽命項目成績/分7863最后將四項成績按3：3：2：2的比例計算綜合成績，則該手機(jī)的綜合成績?yōu)?.3分．【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法進(jìn)行計算即可．【解答】解：該手機(jī)的綜合成績?yōu)椋?×3+8×3+6×2+3×23+3+2+2故答案為：6.3．【點(diǎn)評】本題考查加權(quán)平均數(shù)，理解加權(quán)平均數(shù)的定義，掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．11．（2分）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”．問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測得深度CD為1寸，鋸長AB為10寸，則圓材的半徑為13寸．【分析】設(shè)圓材的圓心為O，延長CD，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，由題意知CE過點(diǎn)O，且OC⊥AB，AD＝BD＝5，設(shè)圓形木材半徑為r，可知OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，根據(jù)OA2＝OD2+AD2列方程求解可得．【解答】解：設(shè)圓材的圓心為O，延長CD，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，如圖所示：由題意知：CE過點(diǎn)O，且OC⊥AB，則AD＝BD＝AB＝5，設(shè)圓形木材半徑為r寸，則OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣1）2+52，解得：r＝13，∴⊙O的半徑為13寸，故答案為：13．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2分）某商場出售甲，乙，丙三種型號的商品，若購買甲2件，乙3件，丙2件，共需116元；購買甲1件，乙5件，丙1件，共需100元．若購買甲，乙，丙各1件，則需52元．【分析】首先設(shè)甲種型號的商品每件x元，乙種型號的商品每件y元，丙種型號的商品每件z元，再依題意列出方程組2x+3y+2z=116①x+5y+z=100②，然后將②×2﹣①得y＝12，再將y＝12代入②可得x+z＝40，據(jù)此再求出x+y+z【解答】解：設(shè)甲種型號的商品每件x元，乙種型號的商品每件y元，丙種型號的商品每件z元．依題意得：2x+3y+2z=116①x+5y+z=100②②×2得：2x+10y+2z＝200③，③﹣①得：7y＝84，解得：y＝12，將y＝12代入②得x+z＝100﹣5×12＝40，∴x+y+z＝10+12＝52．答：購買甲，乙，丙各1件，則需52元．故答案為：52．【點(diǎn)評】此題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程是解決問題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為6cm．【分析】易得圓錐的底面周長，也就是側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長．【解答】解：圓錐的底面周長＝2π×2＝4πcm，則：120π×l180=4解得l＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計算，用到的知識點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長；弧長公式為：nπr18014．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)E，AC=2BD．若∠DEB＝69°，則BD的度數(shù)為46【分析】連接OB、OD、BC，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出∠CEB＝111°，根據(jù)圓周角定理推出∠ABC＝2∠BCD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD＝23°，根據(jù)圓周角定理及圓心角、弧的關(guān)系求解即可．【解答】解：連接OB、OD、BC，∵∠DEB＝69°，∠CEB+∠DEB＝180°，∴∠CEB＝111°，∵AC=2BD∴∠ABC＝2∠BCD，∵∠ABC+∠BCD+∠CEB＝180°，∴3∠BCD＝69°，∴∠BCD＝23°，∴∠BOD＝2∠BCD＝46°，∴BD的度數(shù)為46°，故答案為：46．【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖擺放的兩個正六邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D在圓上．若AB＝2，則該圓的半徑為13．【分析】由正六邊形的性質(zhì)可得∠GEF＝60°，∠FGE＝30°，再根據(jù)勾股定理可得答案．【解答】解：如圖，設(shè)圓的圓心為點(diǎn)O，即點(diǎn)O為正六邊形邊的中點(diǎn)，∴GO＝1，∵正六邊形的每個內(nèi)角都為120°，∴∠GEF＝60°，∠FGE＝30°，在Rt△EFG中，EG＝2，∴EF＝1，∴FG=E∴BG＝23，∴OB=B∴該圓的半徑為13．故答案為：13．【點(diǎn)評】此題考查的是正多邊形和圓，正確作出圖形及輔助線是解決此題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠DCB＝30°，AD＝2，BC＝4，E為AD的中點(diǎn)，連接BE，CE，則△BEC面積的最小值為23?2【分析】延長BA，CD交于點(diǎn)F，連接FE，分別過點(diǎn)F，E作FG⊥BC，EG⊥BC于點(diǎn)H，G，得∠BFC＝90°，當(dāng)EG最小時，△BEC面積的最小，此時EG=3?1，進(jìn)而可得△【解答】解：如圖，延長BA，CD交于點(diǎn)F，連接FE，分別過點(diǎn)F，E作FG⊥BC，EG⊥BC于點(diǎn)H，G，∵∠ABC＝60°，∠DCB＝30°，∴∠BFC＝90°，∵E為AD的中點(diǎn)，AD＝2，∴EF＝AE＝DE=12∵∠DCB＝30°，∴BF=12∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°，∴BH=12∴FH=3BH=∵△BEC面積=12BC?EG＝2∵EG最小，△BEC面積的最小，此時EG=3∴△BEC面積的最小值為23?故答案為：23?【點(diǎn)評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0；（2）（x+2）2＝6+3x．【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）x2﹣6x+5＝0，（x﹣5）（x﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝5，x2＝1；（2）（x+2）2＝6+3x，移項，得（x+2）2﹣（3x+6）＝0，（x+2）2﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x+2﹣3）＝0，x+2＝0或x+2﹣3＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，OE＝OF．求證：AC＝BD．【分析】連接OC，OD，根據(jù)HL定理得出Rt△OEC≌Rt△OFD，由全等三角形的性質(zhì)得出∠AOC＝∠BOD，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】證明：連接OC，OD，∵CE⊥AB、DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°．在Rt△OEC和Rt△OFD中，OE=OF，OC=OD．∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD．【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理及垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（8分）關(guān)于x的方程x2﹣（m+4）x+3m+3＝0．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根小于2，則m的取值范圍是m＜1．【分析】（1）直接根據(jù)根的判別式計算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，結(jié)合方程有一個根小于2，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍．【解答】（1）證明：b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4（3m+3）＝（m﹣2）2，∵無論m取何值時，（m﹣2）2≥0，∴原方程總有兩個實(shí)數(shù)根．（2）解：x2﹣（m+4）x+3m+3＝0，（x﹣3）（x﹣m﹣1）＝0，x＝3或x＝m+1，若方程有一個根小于2，則m+1＜2，解得m＜1．綜上可知，若方程有一個根小于2，m的取值范圍為m＜1．故答案為：m＜1．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時，方程有兩個實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根．20．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，2）；（2）判斷⊙M與y軸的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，以AB為半徑的圓為所求，然后根據(jù)網(wǎng)格的特征可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）先利用勾股定理求出MA=10，即得⊙M的半徑為r=10，再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d＝3，然后比較d與r的大小即可得出⊙M于【解答】解：（1）連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，則以點(diǎn)M為圓心，以AM為半徑的圓為所求，如圖所示：根據(jù)網(wǎng)格的特征可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2），故答案為：（3，2）．（2）⊙M于y軸相交，理由如下：由勾股定理得：MA=1即⊙M的半徑為r=10∵⊙M的圓心M的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d＝3，∵d＜r，∴⊙M于y軸相交．【點(diǎn)評】此題主要考查了過三點(diǎn)的圓，圓與直線的位置關(guān)系，熟練掌握過三點(diǎn)圓的圓心的位置，理解圓與直線的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．21．（8分）甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下：命中的環(huán)數(shù)/環(huán)5678910甲命中次數(shù)124210乙命中次數(shù)142111（1）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是7環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是6環(huán)；（2）求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（3）經(jīng)過計算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán)2．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，評價甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義即可得出答案；（2）根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算即可得出答案；（3）從集中趨勢和穩(wěn)定性兩個方面來考查兩人的成績．【解答】解：（1）甲學(xué)生命中的環(huán)數(shù)從小到大排列后，第5個和第6個數(shù)據(jù)都是7，所以甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是7+72乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)最多的是6環(huán)，故眾數(shù)是6；故答案為：7，6；（2）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：110S2甲=110×[（5﹣7）2+2×（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2（3）從平均水平看，甲、乙兩名學(xué)生射擊的環(huán)數(shù)平均數(shù)均為7環(huán)，成績一樣；從離散程度看，S2甲＜S2乙，甲的成績比乙更加穩(wěn)定；從集中趨勢看，甲的眾數(shù)比乙大，甲的中位數(shù)也比乙大；所以甲的射擊水平更好一些．【點(diǎn)評】此題主要考查了學(xué)生對平均數(shù)，眾數(shù)，方差的理解及運(yùn)用能力，正確求出方差是解題關(guān)鍵．22．（7分）如圖，在長為40m、寬為22m的矩形地面內(nèi)，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少？【分析】把四塊耕地拼到一起正好構(gòu)成一個矩形，矩形的長和寬分別是（40﹣x）和（22﹣x），根據(jù)矩形的面積公式，列出關(guān)于道路寬的方程求解．【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米．依題意得：（40﹣x）（22﹣x）＝760，解得x1＝2，x2＝60（不合題意舍去）答：道路的寬應(yīng)為2m．【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是將四個矩形用恰當(dāng)?shù)姆绞狡闯纱缶匦瘟谐龅攘筷P(guān)系．23．（8分）某文化用品商店用1200元購進(jìn)一批文具盒，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進(jìn)第二批同樣的文具盒，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的1.5倍，但單價貴了2元，結(jié)果購進(jìn)第二批文具盒用了3000元．求第一批購進(jìn)文具盒的單價是多少元？【分析】設(shè)第一批購進(jìn)文具盒的單價是x元，則第二批購進(jìn)文具盒的單價是（x+2）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合第二批所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的1.5倍，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)第一批購進(jìn)文具盒的單價是x元，則第二批購進(jìn)文具盒的單價是（x+2）元，根據(jù)題意得：3000x+2=1.5解得：x＝3，經(jīng)檢驗，x＝3是所列方程的解，且符合題意．答：第一批購進(jìn)文具盒的單價是3元．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．24．（8分）如圖，點(diǎn)M在∠BAC的AB邊上，用直尺與圓規(guī)分別按下列要求作圖：（1）在圖中作⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，M，且圓心O在AC上；（2）在圖中作⊙O，使⊙O與AC相切，且與AB相切于點(diǎn)M（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．【分析】（1）作AM的垂直平分線交AC于點(diǎn)O；（2）過M作AB的垂線與∠BAC的平分線的交點(diǎn)即為所求．【解答】解：（1）如圖所示，⊙O即為所求．（2）如圖所示，⊙O即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握角平分線的性質(zhì)、圓的切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．25．（8分）若x＝m時，代數(shù)式ax2+bx+c的值也為m，則稱m是這個代數(shù)式的“x優(yōu)值”．例如，當(dāng)x＝0時，代數(shù)式x2﹣x的值為0；當(dāng)x＝2時，代數(shù)式x2﹣x的值為2，所以0和2都是x2﹣x的“x優(yōu)值”．（1）代數(shù)式x2的“x優(yōu)值”是0和1；（2）判斷代數(shù)式x2﹣x+n2+2是否存在“x優(yōu)值”，并說明理由；（3）代數(shù)式x2﹣n2+n存在兩個“x優(yōu)值”且差為5，求n的值．【分析】（1）利用新定義的規(guī)定，通過計算判定即可得出結(jié)論；（2）假定存在“x優(yōu)值”，得到一元二次方程，利用根的判別式解答即可得出結(jié)論；（3）設(shè)“x優(yōu)值”為x，則有x2﹣n2+n＝x，利用一元二次方程飛解法求得“x優(yōu)值”，再利用已知條件列出關(guān)于n的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝0時，代數(shù)式x2的值為0，當(dāng)x＝1時，代數(shù)式x2的值為1，∴0和1都是x2的“x優(yōu)值”．故答案為：0和1；（2）不存在“x優(yōu)值”．理由如下：假設(shè)存在優(yōu)值為x，則有x2﹣x+n2+2＝x，整理得：x2﹣2x+n2+2＝0，則b2﹣4ac＝22﹣4（n2+2）＝﹣4n2﹣4，∵無論n取何值時，﹣4n2﹣4＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，即代數(shù)式x2﹣x+n2+2不存在“x優(yōu)值”．（3）設(shè)“x優(yōu)值”為x，則有x2﹣n2+n＝x，整理得：x2﹣x﹣n（n﹣1）＝0，∴（x﹣n）（x+n﹣1）＝0，∴x1＝n，x2＝1﹣n．∵兩個“x優(yōu)值”差為5，∴n﹣（1﹣n）＝5或（1﹣n）﹣n＝5，∴n＝3或n＝﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．26．（9分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，C為ACB的中點(diǎn)，D在BC上，連接AD．（1）如圖，若AD⊥BC，垂足為E，直線OC分別交AD，AB于點(diǎn)F，G．（Ⅰ）求證：CG⊥AB；（Ⅱ）求證：EF＝DE．（2）如圖，若AD與BC不垂直，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，連接DB，寫出AE，DE，DB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）（Ⅰ）連接OA、OB，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)解答即可；（Ⅱ）連接CD，利用圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解答即可；（2）在AE上截取EF＝DE，連接CF、CD，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】（1）（Ⅰ）證明：連接OA、OB，如圖，∵C為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，∴AC=∴AC＝BC，又OA＝OB，∴O、C都在AB的垂直平分線上，即CG是AB垂直平分線，∴CG⊥AB；（Ⅱ）證明：連接CD，如圖，∵AD⊥BC，CG⊥AB，∴∠CFE+∠BCG＝90°，∠B+∠BCG＝90°，∴∠B＝∠CFE，∵∠B＝∠D，∴∠CFE＝∠D，∴CF＝CD．又AD⊥BC，∴EF＝DE；（2）解：DE+BD＝AE．理由：在AE上截取EF＝DE，連接CF、CD，如圖，∵CE⊥DF，EF＝DE，∴CE為線段DF的垂直平分線，∴CF＝CD．∴∠CFD＝∠CDF，∵AC＝BC．∴∠CAB＝∠CBA，∵∠CDA＝∠CBA，∴∠CAB＝∠CDA．∵∠CFD+∠CDF+∠FCD＝∠CAB+∠CBA+∠ACB＝180°，∴∠FCD＝∠ACB．∴∠FCD﹣∠FCB＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ACF＝∠BCD．在△CAF和△CBD中，AC=BC∠ACF=∠BCD∴△CAF≌△CBD（SAS），∴AF＝BD．∴DE+BD＝EF+AF＝AE．∴AE，DE，DB之間的數(shù)量關(guān)系為：DE+BD＝AE．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，連接圓的半徑和同弧所對的圓周角是解決此類題目常添加的輔助線．27．（10分）如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90