高級計量經濟學第1章

多元時間序列主要內容1.1

多變量GARCH模型（MGARCH)

1.2

向量自回歸模型(VAR)

1.3

結構向量自回歸模型(SVAR)1.4

VAR模型的診斷和檢驗1.5誤差修正模型(ECM)2025/4/183主要內容1.6

向量誤差修正模型(VECM)

1.7

向量誤差修正模型(VECM)的協整秩1.8

VECM的診斷和檢驗 1.9

VAR/VEC模型預測 1.10

脈沖響應和方差分解分析 1.11

動態因子模型 1.12

狀態空間模型2025/4/1841.1

多變量GARCH模型Mgarch可以實現四種常用的多變量GARCH模型：對角向量（DVECH）模型恒定條件相關（CCC）模型動態條件相關（DCC）模型和時變條件相關（VCC）模型。2025/4/1851.1

多變量GARCH模型本節將圍繞mgarch中實現的模型進行介紹。首先給出了一般MGARCH模型的形式化定義，以便進行模型比較。一般MGARCH模型如下所示：1.1

多變量GARCH模型在一般MGARCH模型中，

是單變量

GARCH

模型的矩陣推廣。例如，在具有一個自回歸條件異方差（ARCH）項和一個GARCH項的一般

MGARCH

模型中：

其中

函數將對稱矩陣中主對角線上或主對角線下的元素堆疊成一個向量，s是參數向量，A和B是參數的一致矩陣。由于該模型使用

函數來提取和建模

的獨特元素，因此也被稱為VECH模型。2025/4/1871.1.1DVECH-MGARCH模型Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）開發的一般DVECH-MGARCH模型可以寫成:2025/4/188Stata實現DVECH-GARCH模型的Stata實現：【1】其菜單操作為：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH2025/4/189Stata實現

2025/4/1810【2】stata實現的函數mgarch的語法為：mgarchdvecheq[eq…eq][if][in][,options]其中選擇項options有以下設定：Stata實現例1.1：具有公共協變量的模型下面以Stata官方數據集為例說明軟件實現。該數據集中有六個月期美國國債tbill的二級市場利率和穆迪評級為AAA的公司債券收益率bond的數據。我們將tbill的一階差分和債券的一階差分建模為帶有ARCH（1）項的GARCH（1）模型。（1）下載數據use/data/r17/irates4（2）DVECH-GARCH模型估計mgarchdvech(D.bondD.tbill=LD.bondLD.tbill),arch(1)2025/4/1811Stata實現例1.2：具有因方程不同而不同的協變量的模型我們通過從模型中刪除不重要的參數來改進前面的示例：（1）DVECH-GARCH模型估計mgarchdvech(D.bond=LD.bondLD.tbill,noconstant)mgarchdvech(D.bond=LD.bondLD.tbill,noconstant)2025/4/1812Stata實現例1.3：帶約束的模型在這里，我們分析了一些虛構的每周數據，關于在AcmeInc.和AnvilInc.的工廠中發現的壞部件的百分比。我們將這些時序數據建模為一階自回歸過程。這些公司的適應性管理風格導致差異遵循一個DVECH-MGARCH過程，帶有一個ARCH項和一個GARCH項。此外，我們施加了兩個公司的ARCH系數相同以及GARCH系數相同的約束。2025/4/1813Stata實現（1）下載數據use/data/r17/acme（2）施加約束constraint1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2constraint2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2（3）DVECH-GARCH模型估計mgarchdvech(acme=L.acme)(anvil=L.anvil),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1814Stata實現例1.4：帶有GARCH項的模型一些金融數據模型不包含協變量或常數項。例如，在對AcmeInc.和AnvilInc.的股票收益率的虛構數據建模時，我們發現最好不要包含任何協變量或常數項。我們包括兩個ARCH項和一個GARCH項來模擬條件方差。（1）下載數據use/data/r17/aacmer（2）DVECH-GARCH模型估計mgarchdvech(acmeanvil=,noconstant),arch(1/2)garch(1)課堂練習：寫出模型表達式2025/4/1815Stata實現例1.5：動態預測（1）下載數據use/data/r17/acme（2）施加約束constraint1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2constraint2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2（3）DVECH-GARCH模型估計mgarchdvech(acme=L.acme)(anvil=L.anvil),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/18161.1.2CCC-GARCH模型條件相關（CC）模型使用單變量GARCH模型的非線性組合來表示條件協方差。在每個條件相關模型中，條件協方差矩陣構造為正定矩陣，并且結構簡單，便于參數估計。隨著時間序列數量的增加，CC模型的參數增長率低于DVECH模型。在CC模型中，

分解為條件相關性矩陣

和條件方差對角矩陣：

其中，每個條件方差遵循一個單變量GARCH過程，

的參數化因模型而異。2025/4/18171.1.2CCC-GARCH模型Bollerslev（1990）提出了一個CC-MGARCH模型，其中相關矩陣是不時變的。正是由于這個原因，該模型被稱為恒定條件相關（CCC）MGARCH模型。將

限制為常數矩陣，可以減少參數數量，并簡化估計，但在許多經驗應用中可能過于嚴格。

2025/4/1818Stata實現CCC-GARCH模型的Stata實現為：【1】其菜單操作為：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH【2】語句為：mgarchccceq[eq…eq][if][in][,options]每一個eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/1819Stata實現

2025/4/1820Stata實現例1.7

CCC-GARCH模型的Stata實現：（1）下載數據use/data/r17/stocks（2）CCC-GARCH模型估計mgarchccc(toyotanissanhonda=L.toyotaL.nissanL.honda,noconstant),arch(1)garch(1)2025/4/1821Stata實現例1.8：具有因方程不同而不同的協變量的模型通過從模型中刪除不重要的參數來改進前面的示例。為了去除這些參數，我們將本田方程式與豐田和日產方程式分開指定：（1）CCC-GARCH模型估計mgarchccc(toyotanissan=,noconstant)(honda=L.nissan,noconstant),arch(1)garch(1)課堂練習：寫出模型表達式2025/4/1822Stata實現例1.9：帶約束的模型這里我們為豐田和日產的股票建立了一個雙變量CCC-MGARCH模型。這些汽車制造商的份額遵循相同的過程，因此我們對這兩家公司施加了ARCH和GARCH系數相同的約束。（1）施加約束constraint1_b[ARCH_toyota:L.arch]=_b[ARCH_nissan:L.arch]constraint2_b[ARCH_toyota:L.garch]=_b[ARCH_nissan:L.garch]（2）CCC-GARCH模型估計mgarchccc(toyotanissan=,noconstant),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1823Stata實現例1.10：帶有GARCH項的模型在這個例子中，對于Acme和Anvil公司的股票收益數據，我們認為這兩種股票的走勢受不同的過程控制。因此為Acme的條件方差方程指定了一個ARCH和一個GARCH項，為Anvil的條件方差方程指定了兩個ARCH項。此外，我們還將Anvilcorporation的主要子公司Apex的股票回報率滯后值納入Anvil方差方程。對于Acme，我們有與Acme在afrelated生產的產品相關的產品的期貨價格指數變化的數據。對于Anvil，我們有關于Anvil在afinputs中使用的投入品期貨價格指數變化的數據。（1）下載數據use/data/r17/acmeh24（2）CCC-GARCH模型估計mgarchccc(acme=afrelated,noconstantarch(1)garch(1))>(anvil=afinputs,arch(1/2)het(L.apex))2025/4/1825Stata實現例1.11：動態預測在本例中，我們獲得了mgarchccc例2中建模的豐田、日產和本田股票收益的動態預測。在下面的輸出中，我們重新估計了模型的參數，使用tsappend擴展數據，并使用predict獲得樣本中的提前一步預測和收益條件方差的動態預測。我們將下面的預測圖表化。（1）下載數據use/data/r17/stocks（2）CCC-GARCH模型估計quietlymgarchccc(toyotanissan=,noconstant)2025/4/1826Stata實現CCC-GARCH模型的Stata命令為：其菜單操作為：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH語句為：mgarchccceq[eq…eq][if][in][,options]每一個eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/18271.1.3

DCC-GARCH模型Engle（2002）提出的動態條件相關多元GARCH（DCC-GARCH）模型可以寫成

2025/4/1828Stata實現

2025/4/1829Stata實現其菜單操作為：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCHDCC-GARCH模型的Stata命令為：mgarchdcceq[eq…eq][if][in][,options]每一個eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/1830Stata實現2025/4/1831Stata實現例1.12：具有公共協變量的模型從2003年1月2日到2010年12月31日，我們有豐田、日產和本田三家汽車制造商的股票收益率的每日數據。我們將收益的條件均值建模為一階向量自回歸過程，將條件協方差建模為DCC-MGARCH過程，其中每個干擾項的方差遵循GARCH（1,1）過程。（1）下載數據use/data/r17/acmeh（2）DCC-GARCH模型估計mgarchdcc(toyotanissanhonda=L.toyotaL.nissanL.honda,noconstant),arch(1)garch(1)課堂練習：寫出模型表達式2025/4/1832Stata實現例1.13：具有因方程不同而不同的協變量的模型

我們通過從模型中刪除不重要的參數來改進前面的示例。為了去除這些參數，我們將本田方程式與豐田和日產方程式分開指定：（1）DCC-GARCH模型估計mgarchdcc(toyotanissan=,noconstant)(honda=L.nissan,noconstant),arch(1)garch(1)2025/4/1833Stata實現例1.14：帶約束的模型（1）施加約束constraint1_b[ARCH_toyota:L.arch]=_b[ARCH_nissan:L.arch]constraint2_b[ARCH_toyota:L.garch]=_b[ARCH_nissan:L.garch]（2）DCC-GARCH模型估計mgarchdcc(toyotanissan=,noconstant),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1834Stata實現例1.15：帶有GARCH項的模型在這個例子中，我們有Acme和Anvil公司的股票收益數據，我們認為這兩種股票的走勢受不同的過程控制。我們為Acme的條件方差方程指定了一個ARCH和一個GARCH 項，為Anvil的條件方差方程指定了兩個ARCH項。此外，我們還將Anvilcorporation的主要子公司Apex的股票回報率滯后值納入Anvil方差方程。對于Acme，我們有與Acme在afrelated生產的產品相關的產品的期貨價格指數變化的數據。對于Anvil，我們有關于Anvil在afinputs中使用的投入品期貨價格指數變化的數據。（1）下載數據use/data/r17/acmeh

2025/4/1835Stata實現（2）DCC-GARCH模型估計mgarchdcc(acme=afrelated,noconstantarch(1)garch(1))2025/4/18361.1.4VCC-GARCH模型時變條件相關多元GARCH（VCC-GARCH）模型可以寫成：

2025/4/18372025/4/1838Stata實現VCC-GARCH模型的Stata命令為：其菜單操作為：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH命令語法為：mgarchvcceq[eq…eq][if][in][,options]每一個eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/1839Stata實現2025/4/1840Stata實現例1.16VCC-MGARCH過程從2003年1月2日到2010年12月31日，我們有豐田、日產和本田三家汽車制造商的股票收益率的每日數據。我們將收益的條件均值建模為一階向量自回歸過程，將條件協方差建模為VCC-MGARCH過程，其中每個干擾項的方差遵循GARCH（1,1）過程。（1）下載數據use/data/r17/stocks（2）VCC-MGARCH模型估計mgarchvcc(toyotanissanhonda=L.toyotaL.nissanL.honda,noconstant),arch(1)garch(1)課堂練習：寫出模型表達式2025/4/1841Stata實現例1.17：具有因方程不同而不同的協變量的模型通過從模型中刪除不重要的參數來改進前面的示例。為了實現這一點，我們將本田方程式與豐田和日產方程式分開指定：（1）VCC-MGARCH模型估計mgarchvcc(toyotanissan=,noconstant)(honda=L.nissan,noconstant),arch(1)garch(1)2025/4/1842Stata實現例1.18：帶約束的模型我們建立了豐田和日產的股票的一個雙變量VCCMGARCH模型。這些汽車制造商的份額遵循相同的過程，因此我們施加的約束條件是，兩家公司的ARCH系數相同，GARCH系數也相同。（1）施加約束constraint1_b[ARCH_toyota:L.arch]=_b[ARCH_nissan:L.arch]constraint2_b[ARCH_toyota:L.garch]=_b[ARCH_nissan:L.garch]（2）VCC-MGARCH模型估計mgarchvcc(toyotanissan=,noconstant),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1843Stata實現例1.19：帶有GARCH項的模型在這個例子中，我們有Acme和Anvil公司的股票收益數據，我們認為這兩種股票的走勢受不同的過程控制。我們為Acme的條件方差方程指定了一個ARCH和一個GARCH項，為Anvil的條件方差方程指定了兩個ARCH項。此外，我們還將Anvilcorporation 的主要子公司Apex的股票回報率滯后值納入Anvil方差方程。對于Acme，我們有與Acme在afrelated生產的產品相關的產品的期貨價格指數變化的數據。對于Anvil，我們有關Anvil在afinputs中使用的投入品期貨價格指數變化的數據。（1）下載數據use/data/r17/acmeh2025/4/1844（2）VCC-MGARCH模型估計mgarchvcc(acme=afrelated,noconstantarch(1)garch(1))>(anvil=afinputs,arch(1/2)het(L.apex))2025/4/18451.2

向量自回歸模型向量自回歸(VAR)是基于數據的統計性質建立模型，VAR模型把系統中每一個內生變量作為系統中所有內生變量的滯后值的函數來構造模型，從而將單變量自回歸模型推廣到由多元時間序列變量組成的“向量”自回歸模型。VAR模型是處理多個相關經濟指標的分析與預測最容易操作的模型之一，并且在一定的條件下，多元MA和ARMA模型也可轉化成VAR模型，因此，近年來VAR模型受到越來越多的經濟工作者的重視。46向量自回歸模型一般VAR(p)模型的數學表達式是

其中：yt是k維內生變量列向量，xt

是d維外生變量列向量，p是滯后階數，T是樣本個數。k

k

維矩陣

1，…，

p和k

d

維矩陣H是待估計的系數矩陣。47向量自回歸模型

t

是k維擾動列向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關且不與等式右邊的變量相關，假設

是

t

的協方差矩陣，是一個(k

k)的正定矩陣。是維擾動列向量，一般假設它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關且不與等式右邊的變量相關，假設

是

t

的協方差矩陣，是一個(k×k)的正定矩陣。即矩陣表達式，481.2向量自回歸模型即含有

個時間序列變量的模型

由

個方程組成。還可以將式做簡單變換,表示為向量自回歸表達式：

其中，

是關于外生變量回歸的殘差。上式可以簡寫為滯后算子表達式：

式中

是滯后算子的參數矩陣。一般稱上式為非限制向量自回歸模型（unrestrictedVAR），即一般的簡化VAR模型。沖擊向量

是白噪聲向量，因為

沒有結構性的含義，被稱為簡化形式的沖擊向量。2025/4/1849Stata實現菜單操作：Statistics>Multivariatetimeseries>Vectorautoregression(VAR)模型估計var命令語法格式為：vardepvarlist[if][in][,options]其中options選項如下：2025/4/1850Stata實現

2025/4/1851Stata實現例1.20:VAR模型（1）下載數據use/data/r17/lutkepohl2（2）設置時間序列tsset （3）VAR模型估計vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstatsdfk課堂練習：寫出VAR模型的滯后算子表達式

2025/4/1852Stata實現例1.21:帶約束的VAR模型在第一個例子中，我們將一個完整的VAR（2）轉換為一個三方程模型。Dln_inv方程中的系數與dln_inc方程中的系數都不顯著；許多個體系數與零沒有顯著差異。在本例中，我們將系數限制在L2上。Dln_inc在dln_inv和L2上的系數的方程式中。Dln_inc方程中的dln_consump為零。（1）施加約束constraint1[dln_inv]L2.dln_inc=0constraint2[dln_inc]L2.dln_consump=0（2）VAR模型估計vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstatsdfk>constraints(12)2025/4/18531.3

結構向量自回歸模型54下面考慮k個變量的情形，p階結構向量自回歸模型SVAR(p)為

其中：

,,

2025/4/18(1.18)

與簡化的VAR模型不同，SVAR模型包含了變量之間的當期關系，而這些當期關系在VAR模型中是隱含在模型隨機誤差項中的。SVAR模型每個方程的左邊是內生變量，右邊是其自身的滯后變量和其他內生變量的當期和滯后。1.3結構向量自回歸模型可以將（1.18）寫成滯后算子形式：其中：,是滯后算子L的k*k參數矩陣，C0

Ik。需要注意的是，本書討論的SVAR模型，C0

矩陣均是主對角線元素為1的矩陣。如果C0是一個下三角矩陣，則SVAR模型稱為遞歸的SVAR模型。2025/4/18551.3結構向量自回歸模型不失一般性，在式(1.18)假定結構式誤差項(結構沖擊)

ut

的方差-協方差矩陣標準化為單位矩陣Ik。同樣，如果矩陣多項式C(L)可逆，可以表示出SVAR的無窮階的VMA(∞)形式：其中:2025/4/18561.3結構向量自回歸模型

因為其中所有內生變量都可以表示為ut的分布滯后形式。而且結構沖擊ut

是不可直接觀測得到，需要通過

yt

各元素的響應，才可觀測到。所以，可以通過轉變簡化式的誤差項得到結構沖擊ut

。可以得到典型的SVAR模型：上式對于任意的t都是成立的。2025/4/18571.3結構向量自回歸模型由于A0

=Ik

，可得或

在

兩端平方取期望，可得所以我們可以通過對B0施加約束來識別SVAR模型。由前面的推導，有

2025/4/1858(1.22)1.3結構向量自回歸模型更一般的，假定A、B是(k

k)階的可逆矩陣，A矩陣左乘VAR模型，則得如果A、B滿足下列條件：A

t

=But

,E(ut

)=0k

,E(utut

)=Ik

，則稱上述模型為AB型-SVAR模型。特別的，在

中，A=D0-1

,B=Ik

。2025/4/1859Stata實現菜單操作：Statistics>Multivariatetimeseries>Structuralvectorautoregression(SVAR)語法格式：（1）短期約束：svardepvarlist[if][in],{aconstraints(constraints_a)aeq(matrix_aeq)acns(matrix_acns)bconstraints(constraints_b)beq(matrix_beq)bcns(matrix_bcns)}[short_run_options]（2）長期約束：svardepvarlist[if][in],{lrconstraints(constraints_lr)lreq(matrix_lreq)lrcns(matrix_lrcns)}[long_run_options]2025/4/1860Stata實現例1.22:短期SVAR模型（1）下載數據use/data/r17/lutkepohl2（2）施加約束matrixA=(1,0,0\.,1,0\.,.,1)matrixB=(.,0,0\0,.,0\0,0,.)（3）短期SVAR模型估計svardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),aeq(A)beq(B)2025/4/1861Stata實現例1.23：長期SVAR模型假設我們有一個理論，貨幣供應量的意外變化不會對產出的變化產生長期影響，同樣，產出的意外變化也不會對貨幣供應量的變化產生長期影響。這個理論隱含的C矩陣是：（1）下載數據use/data/r17/m1gdp（2）施加約束matrixlr=(.,0\0,.)（3）長期SVAR模型估計svard.ln_m1d.ln_gdp,lreq(lr)2025/4/18621.4

VAR模型的診斷和檢驗1.4.1滯后階數確定VAR模型中一個重要的問題就是滯后階數的確定。在選擇滯后階數p時，一方面想使滯后階數足夠大，以便能完整反映所構造模型的動態特征。但是另一方面，滯后階數越大，需要估計的參數也就越多，模型的自由度就減少。所以需要綜合考慮，既要有足夠數目的滯后項，又要有足夠數目的自由度。事實上，這是VAR模型的一個缺陷，在實際中常常會發現，將不得不限制滯后項的數目，使它少于反映模型動態特征性所應有的理想數目。最優滯后階數的確定通常包括三類方法：LR(似然比)檢驗、FPE、AIC信息準則和SBIC準則。631.4.1滯后階數確定LR(LikelihoodRatio)檢驗,是從最大的滯后階數開始，檢驗在滯后階數為j時系數矩陣

的元素均為0的原假設。(Wald)統計量如下：其中，m是可選擇的其中一個方程中的參數個數：m=d+kj，d是外生變量的個數，k是內生變量個數，

和

分別表示之后階數為(j-1)和j的VAR模型的殘差協方差矩陣的估計。

從最大滯后階數開始，比較LR統計量和5%水平下的臨界值。如果

，則拒絕原假設，表示統計量顯著，此時表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計值；否則，接受原假設。每次減少一個滯后階數，直到拒絕原假設。

641.4.1滯后階數確定2.模型階數統計量Lütkepohl（2005）給出了最終預測誤差（FinalPredictionError）。FPE統計量定義為：然而，這個公式假設模型中有一個常數，并且沒有因為共線而忽略任何變量。為了解決這些問題，FPE的實現如下：其中

是K方程上的平均參數數。651.4.1滯后階數確定確定VAR模型滯后階數常用的信息準則一般有AIC、SBIC和HQIC。默認情況下，AIC、SBIC和HQIC根據其標準定義計算，其中包括對數似然中的常數項：

式中，

是模型中的參數總數，LL是對數似然值。66Stata實現菜單操作：（1）VARs模型估計前檢驗菜單Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(preestimation)（2）VARs模型估計后檢驗菜單Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(postestimation)（3）VECMs模型估計后檢驗菜單Statistics>Multivariatetimeseries>VECdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(preestimation)（4）VECMs模型估計后檢驗菜單Statistics>Multivariatetimeseries>VECdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(postestimation)67Stata實現語法格式：（1）估計前語法：varsocdepvarlist[if][in][,preestimationoptions]（2）估計后語法：varsoc[,estimates(estname)]68Stata實現例1.24估計前varsoc檢驗下面使用varsoc作為估計前檢驗的命令：（1）下載數據：use/data/r17/lutkepohl2（2）進行估計前滯后階數檢驗varsocdln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstats69Stata實現例1.25估計后varsoc檢驗當未指定因變量時，varsoc用作后估計命令。（1）建立VAR模型vardln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstatsexog(l.dln_inv)（2）進行估計后檢驗varsoc701.4.2Granger因果關系檢驗Granger因果關系檢驗實質上是檢驗一個變量的滯后變量是否可以引入到其他變量方程中。一個變量如果受到其他變量的滯后影響，則稱它們具有Granger因果關系。在一個二元p階的VAR模型中：

711.4.2Granger因果關系檢驗當且僅當系數矩陣

中的系數全部為0時，變量x不能Granger引起y，等價于變量x外生于變量y。這時，判斷Granger原因的直接方法是利用F-檢驗來檢驗下述聯合檢驗：

其檢驗統計量為：

如果S1大于F的臨界值，則拒絕原假設；否則接受原假設：x不能Granger引起y。721.4.2Granger因果關系檢驗其中，

是式中y方程的殘差平方和：

是不含x的滯后變量，如下方程的殘差平方和：

731.4.2Granger因果關系檢驗在滿足高斯分布的假定下，檢驗統計量具有精確的F分布。如果回歸模型形式是如1.34式的VAR模型，一個漸近等價檢驗可由下式給出：

注意，

服從自由度為p的

分布。如果

大于

的臨界值，則拒絕原假設；否則接受原假設：x不能Granger引起y。74Stata實現Granger因果關系檢驗的Stata命令：菜單選項：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Grangercausalitytests語法：vargranger[,estimates(estname)separator(#)]75Stata實現例1.26估計后Granger因果關系檢驗VAR之后。在這里，我們使用德國的數據建立VAR模型，然后用vargranger進行Granger因果關系檢驗。（1）下載數據：use/data/r17/lutkepohl2（2）建立VAR模型：vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),dfksmall（3）Granger檢驗vargranger761.4.3殘差檢驗1.殘差自相關的LM檢驗J階滯后的LM檢驗統計量的公式為：

其中

為VAR模型的樣本觀測期，

是VAR擾動項的方差-協方差矩陣

的極大似然估計，并且

是增廣VAR的

極大似然估計。77Stata實現殘差自相關LM檢驗的Stata命令：菜單操作：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>LMtestforresidualautocorrelation語法：varlmar[,options]其中option選項：78Stata實現例1.27估計后varlmar檢驗VAR之后。現在我們使用德國的數據重新擬合VAR模型，并使用varlmar進行檢驗（1）下載數據use/data/r17/lutkepohl2（2）擬合VAR模型vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),dfk（3）進行LM檢驗varlmar,mlag(5)791.4.3殘差檢驗2.殘差的正態性檢驗Stata命令：菜單操作：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Testfornormallydistributeddisturbances語法格式為：varnorm[,options]80Stata實現例1.28殘差正態性檢驗（1）下載數據：use/data/r17/lutkepohl2（2）擬合VAR模型vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),dfk（3）進行殘差正態性檢驗varnorm811.4.4VAR模型平穩性檢驗菜單操作：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>CheckstabilityconditionofVARestimates語法：Varstable[,options]821.4.4VAR模型平穩性檢驗83Stata實現例1.30模型平穩性檢驗（1）下載數據：use/data/r17/lutkepohl2（2）擬合數據vardln_invdln_incdln_consumpifqtr>=tq(1961q2)&qtr<=tq(1978q4)（3）模型平穩，畫圖varstable,graph841.5

脈沖響應和方差分解分析在實際應用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，且由于模型的OLS估計量只具有一致性，導致很難對單個參數估計值進行經濟解釋，因此在VAR模型的應用中，我們往往不是分析一個變量對另一個變量的影響，而是分析當一個誤差項發生變化，或者說當模型受到某種沖擊時對系統產生的動態影響，這種分析方法稱為脈沖響應函數方法(impulseresponsefunction，IRF)。它描述的是在某個內生變量的隨機誤差項上施加一個標準差大小的沖擊后對所有內生變量的當期值和未來值所產生的影響。851.5.1脈沖響應分析考慮如下的VAR（p）模型：

其中，

是k維擾動列向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關且不與方程右邊的變量相關。設滯后算子為L，

，則根據式可得VMA(∞)模型：861.5.1脈沖響應分析根據式可得VMA(∞)模型的系數矩陣：

的第i行、第j列元素可表示為：

上式即為脈沖響應函數，它表示當其他擾動項在任何時期都不變的情況下，第j個變量在時期t的擾動項增加一個單位，對第i個內生變量在t+q期產生的影響。871.5.1脈沖響應分析根據上式，

可以依次計算出的脈沖引起

的響應函數如下：

可得由

的脈沖引起的

的累積響應函數為

。881.5.2方差分解分析脈沖響應函數描述的是在某個內生變量的隨機誤差項上施加一個標準差大小的沖擊后對所有內生變量的當期值和未來值所產生的影響。而方差分解（variancedecomposition）是通過分析每一個結構沖擊對內生變量變化（通常用方差來度量）的貢獻度，并進一步評價不同結構沖擊的重要性。VAR模型的方差分解給出的是每個隨機擾動的相對重要性信息，一般可以用相對方差貢獻率（relativevariancecontribution，RVC）來衡量。891.5.2

方差分解分析

記

，那么在上式兩邊求方差，假設擾動項無序列相關，則有：再假定擾動項向量的協方差矩陣是對角矩陣，則yi的方差是上述方差的k項簡單和：

901.5.2

方差分解分析yi的方差可以分解成k種不相關的影響，因此為了測定各個擾動項相對yi的方差有多大程度的貢獻，因此可以定義相對方差貢獻率為：

相對方差貢獻率度量了第j個變量基于正交化沖擊的方差的相對貢獻度，反映了第j個變量對第i個變量的影響。當

大時，表明第j個變量對第i個變量的影響大，與之相反，當

小時，表明第j個變量對第i個變量的影響小。911.5.3

脈沖響應和方差分解分析創建和分析IRF、動態乘數函數和FEVDs（forecast-errorvariancedecomposition）的Stata語句：語句格式：irfsubcommand...[,...]92Stata實現例1.30VAR模型的脈沖響應分析和方差分解分析要在Stata中分析IRF和FEVDs，首先要擬合一個模型，然后使用irfcreate來估計IRF和FEVDs并將其保存在一個文件中，最后使用irfgraph或其他任何irf分析命令來檢查結果。（1）使用數據.use/data/r17/lutkepohl2（2）估計VAR模型.vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lags(1/2)dfk93Stata實現例1.31SVAR模型的脈沖響應分析和方差分解分析（1）使用數據use/data/r17/lutkepohl2（2）構建矩陣mata=(.,0,0\0,.,0\.,.,.)matb=I(3)（3）估計SVAR模型svardln_invdln_incdln_consump,aeq(a)beq(b)941.6誤差修正模型與向量誤差修正模型

ARMA模型中要求經濟時間序列是平穩的，但是由于實際應用中大多數時間序列是非平穩的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩趨勢，使得序列平穩化后建立模型，這就是ARIMA模型。

但是變換后的序列限制了所討論經濟問題的范圍，并且有時變換后的序列由于不具有直接的經濟意義，使得化為平穩序列后所建立時間序列模型不便于解釋。2025/4/18951987年Engle和Granger提出的協整理論及其方法，為非平穩序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經濟變量的本身是非平穩序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩序列。這種平穩的線性組合被稱為協整方程，且可解釋為變量之間的長期穩定的均衡關系。961.6.1協整關系假定一些經濟指標被某經濟系統聯系在一起，那么，從長遠看來這些變量應該具有均衡關系，這是建立和檢驗模型的基本出發點。在短期內，因為季節影響或隨機干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時的，那么隨著時間推移將會回到均衡狀態；如果這種偏離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關系。協整(co-integration)可被看作這種均衡關系性質的統計表示。971.6.1協整關系協整概念是一個強有力的概念。因為協整允許我們刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩關系。對于每一個序列單獨來說，可能是非平穩的，這些序列的矩，如均值、方差或協方差隨時間而變化，而這些時間序列的線性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質。98協整關系99k維向量Y

=(y1，y2，…，yk)

的分量間被稱為d,b階協整，記為Y

～CI(d，b)，如果滿足：

(1)y1，y2，…，yk都是d階單整的，即yi～I(d)，i=1,2,…,k；

(2)存在非零向量

=(

1,

2,

…,

k

)，使得

Y～I(d-b)，0<b≤d。簡稱Y

是協整的，向量

稱為協整向量。協整與協整向量需要注意的是：(1)作為對非平穩變量之間關系的描述，協整向量是不惟一的；(2)協整變量必須具有相同的單整階數；(3)最多可能存在k-1個線性無關的協整向量(Y的維數是k)；(4)協整變量之間具有共同的趨勢成分，在數量上成比例。1001.6.2協整的恩格爾-格蘭杰檢驗協整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數的協整檢驗，如Johansen協整檢驗；另一種是基于回歸殘差的協整檢（Residual-basedTests），如CRDW(cointegrationregressionDurbin-Watson)檢驗、EG（Engle-Grangertest）檢驗、AEG（augmentedEngle-Grangertest）檢驗和PO（Phillips-Ouliaris）檢驗。101協整的恩格爾-格蘭杰檢驗Engle和Granger（1987）提出了基于殘差的協整檢驗方法。這種協整檢驗方法是對回歸方程的殘差進行單位根檢驗。從協整理論的思想來看，因變量和自變量之間存在協整關系。也就是說，因變量能被自變量的線性組合所解釋，兩者之間存在穩定的均衡關系，因變量不能被自變量所解釋的部分構成一個殘差序列，這個殘差序列應該是平穩的。因此，檢驗一組變量（因變量和解釋變量）之間是否存在協整關系等價于檢驗回歸方程的殘差序列是否是一個平穩序列。102103EG檢驗和AEG檢驗的主要步驟如下：1、若個序列和都是1階單整序列，建立回歸方程：式中是因變量，是解釋變量向量，是

維系數變量，ut

是擾動項。模型估計的殘差為104（2）EG或AEG檢驗，檢驗殘差序列?t是否平穩。

（3）EG和AEG檢驗方程中還可包含和DF或ADF檢驗類似的截距項和趨勢項。協整檢驗統計量EG和AEG也等價于t統計量：

1.6.3誤差修正模型（ECM)

如果一個內生變量yt

只被表示成同一時點的外生變量xt

的函數，xt

對yt

的長期影響很容易求出。然而如果每個變量的滯后項也出現在模型之中，其長期影響將通過分布滯后的函數反映，這就是ARDL模型。

設因變量為yt，解釋變量為x1,t,x2,t,…,xk,t，并且都是一階單整序列I(1)或平穩序列I(0)。ARDL模型是一個同時包含滯后因變量和滯后解釋變量的最小二乘回歸方程，通常用ARDL(p,q1,q2,…,qk)來表示，其中p代表因變量的滯后階數，q1,q2,…,qk代表第1~k個解釋變量的滯后階數。ARDL(p,q1,q2,…,qk)模型的具體設定形式為:

（1.17）2025/4/181051.6.3誤差修正模型ARDL模型估計了因變量和解釋變量之間的動態關系，因此，可以把ARDL模型轉化成長期形式表達式，反映解釋變量對因變量的長期影響。

第j個解釋變量對因變量的長期影響為：2025/4/181061.6.3誤差修正模型先考慮一階自回歸分布滯后模型，記為ADL(1,1)：

（1.19）其中：ut

～i.i.d.(0,

2)，記

y*=E(yt)，x*=E(xt)

，由于E(ut)

=0，在式(1.19)兩邊取期望得：

（1.20）進而有：

（1.21）記k0=

0/(1-

1)，k1=(

2+

3)

/(1-

1)，則式可寫為：

（1.22）2025/4/181071.6.3誤差修正模型其中，k1度量了yt與xt的長期均衡關系，也是yt關于xt的長期乘數。在式1.19兩端減去

yt-1，在右邊加減

2xt-1得到

：

（1.23）利用

2+

3=k1(1-

1)，

0=k0(1-

1)，式1.23又可改寫成：

（1.24）令

=

1-1，則式1.24可寫成：

（1.25）上式稱為誤差修正模型

(ErrorCorrectionModel，簡記ECM)。2025/4/181081.6.3誤差修正模型

當長期平衡關系是

y*=k0+k1x*時，誤差修正項是如

(yt-k0-k1xt)的形式，它反映了

yt關于

xt在第

t時點的短期偏離。一般地，由于式(1.24)中

|

1|<1，所以誤差項的系數

=(

1-1)<0，通常稱為調整系數，表示在

t-1期

yt-1關于

k0+k1xt-1之間的偏差調整的速度。誤差修正模型還可以削弱原模型的多重共線性，以及擾動項的序列相關性。2025/4/181091.6.4兩步ECM估計最常用的ECM模型的估計方法是Engle和Granger(1981)兩步法，其基本思想如下：第一步是求模型：的OLS估計，又稱協整回歸，得到及殘差序列,并用AEG方法檢驗是否平穩：第二步是若?t是平穩的，用?t-1替換，即對再用OLS方法估計其參數。由此可知，誤差修正模型不再單純地使用變量的水平值（指變量的原始值）或變量的差分建模，而是把兩者有機地結合在一起，充分利用這兩者所提供的信息。2025/4/181101.6.5

誤差修正模型的不同形式由于序列y1

，y2

的不同特征，模型可以指定成不同的形式：①如果兩個內生變量y1和y2不含趨勢項，并且協整方程不含截距，則VEC模型有如下形式

②如果兩個內生變量y1和y2不含趨勢項，并且協整方程有截距

，則VEC模型有如下形式

2025/4/181111.6.5

誤差修正模型的不同形式③假設在序列中有線性趨勢

，則VEC模型有如下形式：

④類似地，協整方程中可能有趨勢項

t，其形式為

⑤如果序列中存在著隱含的二次趨勢項

t，等價于VEC模型的括號外也存在線性趨勢項，其形式為

2025/4/18112Stata實現恩格爾-格蘭杰（EG）和增廣恩格爾-格蘭杰（AEG）協整檢驗和兩步ECM估計的主要函數為egranger，其語法格式為：egrangervarlist[,ecmLags(#)TRendQTRendREGress]其選項及說明為：ecm：要求估計恩格爾-格蘭杰兩步ecm。默認情況是報告EG/AEG協整測試。lags（#）：指定要包含在AEG測試回歸中的殘差的第一個差值的lags數或要包含在ECM第二步回歸中的潛在協整變量的第一個差值的lags數。trend：指定線性趨勢包含在第一步回歸中。2025/4/18113Stata實現qtrend：指定在第一步回歸中包含二次趨勢。regress：要求報告第一步和（如適用）EG/AEG測試回歸。egranger命令對Engle和Granger（1987）提出的協整進行測試，報告測試統計數據加上MacKinnon（1990，2010）計算的臨界值。egranger還將使用Engle和Granger（1987）提出的兩步程序估計ECM（誤差校正機制）模型。2025/4/18114Stata實現例1.32

誤差修正模型示例如下。（1）加載數據webuserdinc（2）協整檢驗egrangerln_neln_se補充更新：Do文件：ecm+vecm課堂練習：寫出ECM模型表達式2025/4/181151.6.6

向量誤差修正模型

變量之間存在協整關系，就能由自回歸分布滯后模型導出誤差修正模型。

在VAR模型中的每個方程都是一個自回歸分布滯后模型，因此，可以認為VEC模型是含有協整約束的VAR模型，多應用于具有協整關系的非平穩時間序列建模。

任意一個VAR（p）都可以改寫為VEC模型（vecintro—Introductiontovectorerror-correctionmodels）。

p階滯后的VAR模型：

改寫得到的VEC模型為：1161.6.6向量誤差修正模型為了簡便說明，不妨忽略外生變量，則VAR（p）模型可寫為其中每個方程的誤差項

i(i

=1，2，…，k)都具有平穩性。一個協整體系由多種表示形式，用向量誤差修正模型表示，即：1171.6.6

向量誤差修正模型其中

ecmt-1=

yt-1

是誤差修正項，反映變量之間的長期均衡關系，系數矩陣

反映變量之間的均衡關系偏離長期均衡狀態時，將其調整到均衡狀態的調整速度。所有作為解釋變量的差分項的系數反映各變量的短期波動對作為被解釋變量的短期變化的影響，我們可以剔除其中統計不顯著的滯后差分項。1181.6.6

向量誤差修正模型的不同形式（vecintro）

含趨勢項的JohansenVEC模型：

2025/4/18119設：代入上式，則得其中，v是k×1維的常數向量；t是線性時間趨勢項。1.6.6

向量誤差修正模型的設定

常數項與趨勢項的五種設定：vec函數估計的VEC模型設定為：2025/4/18120s1,...,sm是sinindicators（）選項中指定的正交化季節指標，以及w1,...,w??是正交化季節指標的k×1為系數向量。1.6.6

向量誤差修正模型

向量誤差修正模型用最大對數似然函數法估計，可以得到有效的參數估計值。

上述僅討論了簡單的VEC模型，與VAR類似，我們可以構造結構VEC模型，同樣也可以考慮VEC模型的Granger因果檢驗、脈沖響應函數和方差分解分析。2025/4/181211.6.6

向量誤差修正模型構建與應用的主要步驟滯后階數選擇；協整檢驗；擬合估計VEC模型；估計后模型設定檢驗；動態分析：脈沖響應分析；方差分解分析。預測。2025/4/181221.6.6

向量誤差修正模型構建的相關命令

2025/4/18123命令參考幫助效用擬合VEC模型vec[TS]vec擬合向量誤差修正模型（VECM)模型診斷和推理vecrank[TS]vecrank估計VEC模型的協整秩veclmar[TS]veclmar在vec之后對殘差自相關進行LM檢驗vecnorm[TS]vecnormvec后的隨機擾動項的正態分布檢驗vecstable[TS]vecstable檢查VEC模型估計的穩定性條件varsoc[TS]varsoc獲取VAR和VEC模型的滯后順序選擇統計數據VEC模型預測fcastcompute[TS]fcastcompute計算動態預測fcastgraph[TS]fcastgraphfcast計算后的圖形預測動態分析irf[TS]irf創建脈沖響應函數（IRF），做脈沖響應分析和預測誤差方差分解分析（FEVD）擬合估計VEC模型的Stata命令菜單操作：Statistics>Multivariatetimeseries>Vectorerror-correctionmodel(VECM)語法格式為：vecdepvarlist[if][in][,options]124Stata示例例1.31VECM模型構建的stata示例本例使用美國經濟分析局（BEA）八個地區的人均可支配個人收入年度數據。我們使用1948年至2002年的對數數據。對這些序列進行的單位根檢驗未能拒絕每個地區人均可支配收入包含單位根的原假設。由于資本和勞動力可以輕易地在美國不同地區之間流動，因此我們預計沒有一個序列會與所有剩余序列產生分歧，并且存在協整關系。下面是新英格蘭和東南部地區平均處置收入的自然對數。（1）下載數據use/data/r17/rdinc（2）畫圖lineln_neln_seyear1251.7向量誤差修正模型的協整秩確定

在估計VECM模型的參數之前，必須選擇基礎VAR中的滯后數、趨勢識別以及協整方程的數量（即協整秩）。目前識別協整方程數量

的方法主要有三種，第一種是跡統計方法，第二種是最大特征值統計方法，第三種使用最小化信息準則選擇法。

這三種方法都是基于VECM的Johansen最大似然（ML）估計量。基本的VECM可以定義為：

1261.7向量誤差修正模型的協整秩以Anderson（1951）的工作為基礎，Johansen（1995）推導了用于推斷參數的最大似然估計量和兩個似然比（LR）檢驗。這些似然比檢驗被稱為跡統計量和最大特征值統計量，因為對數似然可以寫成一個矩陣行列式的對數加上另一個矩陣特征值的簡單函數。

1271.7.1特征根跡檢驗(trace檢驗)由于r個最大特征根可得到r個協整向量，而對于其余k

r

個非協整組合來說，

r+1，…，

k應該為0，于是可得到原假設、備選假設為相應的檢驗統計量為

r稱為特征根跡統計量。

該統計量考慮了所有大于r的特征根的累積效應，反映了從r個協整關系到所有可能的協整關系的總體變化。128

即模型最多有r個協整關系即模型超過r個協整關系k為變量個數，T是樣本數量，λ是協整矩陣的特征根跡檢驗的判斷準則比較跡統計量與臨界值。如果統計量大于臨界值，拒絕原假設，說明存在超過r個協整關系。如果統計量小于臨界值，接受原假設，說明存在至多r個協整關系。

應用場景與優缺點：優點：考慮了所有特征根的累積效應，對協整關系的整體變化更為敏感。缺點：可能過于保守，尤其是在特征根差異較小的情況下。2025/4/18129跡統計量檢驗依次檢驗跡統計量的顯著性，直到r=k-1，其中k為變量的個數：（1）當

0不顯著時(即

0值小于某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值)，接受H00(r=0)，表明有k個單位根，0個協整向量(即不存在協整關系)；當

0顯著時(即

0值大于某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值)，拒絕H00

(r=0)，則表明至少有一個協整向量，必須接著檢驗

1的顯著性。130

跡統計量檢驗（2）當

1不顯著時，接受H10，表明只有1個協整向量，依次進