第10章聯(lián)立方程模型上海師范大學商學院聯(lián)立方程模型授課大綱10.1聯(lián)立方程模型概述10.2聯(lián)立方程模型的識別10.3多元回歸10.4似不相關回歸10.5三階段最小二乘法10.6系統(tǒng)廣義矩估計10.7全息最大似然估計法10.8非線性似不相關估計2025/4/14310.1聯(lián)立方程模型概述

變量與隨機項之間相互聯(lián)系的多個計量經濟方程聯(lián)立，并同時做計量經濟分析的方程組，就是聯(lián)立方程模型。M個方程組成的聯(lián)立方程模型的結構式表達式為：2025/4/144（10.1）10.1.2聯(lián)立方程模型的公式式中，為內生變量；為外生變量；其第一個下標為第t個觀測值()，第二個下標表示第i個內生變量（）,或第j個外生變量（）。為內生變量的系數(shù)；為外生變量的系數(shù)。為結構方程的擾動項。完整的方差系統(tǒng)中內生變量個數(shù)等于方程個數(shù)M。

2025/4/14510.1聯(lián)立方程模型概述聯(lián)立方程模型的矩陣表達式為：（10.2）用矩陣表示為：（10.3）10.1聯(lián)立方程模型概述其中，系數(shù)矩陣與的每一列對應一個方程，如第一個方程為：（10.4）擾動項由第t期各方程的擾動項組成，假設擾動項滿足經典假設。記其協(xié)方差矩陣為：10.1聯(lián)立方程模型概述（10.5）為求解聯(lián)立方程組(10.3)，把聯(lián)立方程模型整理為：（10.6）假設非退化，在上式兩邊同時右乘，（10.7）（10.8）10.1聯(lián)立方程模型概述方程(10.8)稱為聯(lián)立方程模型的簡化式，其系數(shù)矩陣為，其擾動項為，故。簡化式擾動項與外生變量不相關，因為：（10.9）簡化式擾動項的協(xié)方差矩陣為（10.10）10.2聯(lián)立方程模型的識別10.2.1聯(lián)立方程模型識別10.2.2結構式識別條件10.2.3

簡化式識別條件2025/4/141010.2.1聯(lián)立方程模型的識別的概念

判別聯(lián)立方程模型是否可以估計，就是聯(lián)立方程模型的識別。即從已知簡化式確定起結構式方程的系數(shù)問題就是聯(lián)立方程系統(tǒng)的識別問題。（1）如果從聯(lián)立方程系統(tǒng)的簡化式形式，能夠估計出所有的結構式參數(shù)，則稱該聯(lián)立方程模型是可以識別的。

（2）如果無法從簡化式形式得到結構式方程參數(shù)的估計值，這個聯(lián)立方程模型就是不可識別的。2025/4/141110.2.1聯(lián)立方程模型的識別的概念

（3）方程中每個需要估計參數(shù)的隨機方程都存在識別問題，如果一個模型中所有的隨機方程都可以識別的，則認為聯(lián)立方程系統(tǒng)是可以識別的。反過來，只要存在一個不可識別的隨機方程，則聯(lián)立方程系統(tǒng)是不可識別的。（4）當某一個隨機方程在給定有關變量的樣本觀測值時，其參數(shù)具有確定的估計值。一種情況是只有唯一一組參數(shù)估計值，此時稱這個方程為恰好識別；另外一種是具有多種參數(shù)估計值，則稱為過度識別。2025/4/141210.2.2結構式識別條件

假設聯(lián)立方程模型的結構式為：。第i個方程包含個內生變量（含被解釋變量）和先決變量（含常數(shù)項），系統(tǒng)中的內生變量和先決變量的數(shù)目為k和g。矩陣表示第i個方程中未包含的變量（包括內生變量和先決變量）在其他k-1個方程中對應的系數(shù)所組成的矩陣，則判斷第i個結構方程識別狀態(tài)的結構式識別條件為：

1.如果，則第i個結構方程不可識別；注：矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個基本概念，它描述了矩陣中行向量或列向量的最大線性無關組中向量的個數(shù)。矩陣的秩可以用來判斷矩陣是否可逆，以及線性方程組是否有解、解的個數(shù)等。2025/4/141310.2.2結構式識別條件

2.如果，則第i個結構方程可以識別，并且：（1）如果，則第i個結構方程恰好識別，即秩條件；（2）如果，則第i個結構方程過度識別，為階條件。2025/4/141410.2.3簡化式識別條件

2025/4/1415對于簡化式模型，識別條件為：1.如果，則第i結構方程不可識別；2.如果，則第i結構方程可以識別，并且：（1）如果，則第i個結構方程恰好識別，即秩條件；（2）如果，則第i個結構方程過度識別，為階條件。10.3多元回歸10.3.1聯(lián)立方程模型估計的分類10.3.2聯(lián)立方程模型估計參數(shù)的表達式10.3.3多元回歸的stata命令2025/4/141610.3.1聯(lián)立方程模型估計的分類

2025/4/1417聯(lián)立方程模型的估計方法可以分為兩類。【1】單一方程估計法，也稱作有限信息估計法；該方法對聯(lián)立方程組中的每一個方程分別進行估計。【2】系統(tǒng)估計法，也稱作全信息估計法，該方法把聯(lián)立方程模型的多個方程作為一個系統(tǒng)進行聯(lián)合估計。

其中，單一方程估計法又包括：普通最小二乘法、間接最小二乘法、兩階段最小二乘法、廣義矩估計法、有限信息最大似然估計法等，具體如下：10.3.1聯(lián)立方程模型估計的分類

2025/4/1418（1）普通最小二乘法由于存在內生解釋變量，一般來說OLS是不一致的。但是對于特殊的遞歸模型，即為下三角矩陣，而協(xié)方差矩陣為對角矩陣，即不同方程之間的擾動項不相關的情形，OLS依然是一致估計的。（2）間接最小二乘法在恰好識別的情況下，可以先用OLS來一致地估計簡化式參數(shù)，然后通過結構式參數(shù)與簡化式參數(shù)的恒等關系，求解結構式參數(shù)。這種方法就是間接最小二乘法（ILS）。其估計結果是一致的，但不是最有效的。10.3.1聯(lián)立方程模型估計的分類

2025/4/1419（3）兩階段最小二乘法

在結構方程可識別的情況下，其排斥的外生變量個數(shù)大于或等于包含的內生解釋變量個數(shù)。而所有排斥的外生變量都是有效工具變量，所以可以用工具變量法估計。如果結構方程的擾動項滿足同方差、無自相關的經典假設，則兩階段最小二乘法（2SLS）是最有效率的工具變量法。也是最常用的單一方程估計法。（4）廣義矩估計法在過度識別的情況下，如果結構方程的擾動項存在異方差或者自相關，則廣義矩估計法比兩階段最小二乘法更有效。在恰好識別的情況下，二者等價。10.3.1聯(lián)立方程模型估計的分類

2025/4/1420（5）有限信息最大似然估計法如果假定結構方程的擾動項服從正態(tài)分布，就可以使用最大似然估計法對單一方程進行估計。這種方法稱之為有限信息最大似然估計法（LIML）。在大樣本情況下，LIML與2SLS是漸進等價的。但是小樣本性質不如2SLS。然而如果存在弱工具變量，則LIML比2SLS更穩(wěn)健。10.3.2聯(lián)立方程模型估計參數(shù)的表達式

2025/4/1421對于q個方程和p個外生變量（包括常數(shù)項）的聯(lián)立方程模型，參數(shù)估計值用p×q矩陣表示為：(10.11)式中，為內生變量的n×q維矩陣；為外生變量的n×q維矩陣；W為權重矩陣，可以設定為W=I，或，或

。

10.3.2聯(lián)立方程模型估計參數(shù)的表達式

2025/4/1422（1）殘差協(xié)方差矩陣為：

(10.12)估計值的協(xié)方差估計值為。（2）拉格朗日乘數(shù)檢驗統(tǒng)計量，即卡方檢驗統(tǒng)計量及其分布為：

(10.13)式中，r是方程殘差之間的相關系數(shù)估計值；n是觀察值數(shù)。10.3.3多元回歸的stata命令

2025/4/1423mvreg—Multivariateregression：（1）多元回歸估計的實現(xiàn)函數(shù)及語法規(guī)則為：mvregdepvars=indepvars[if][in][weight][,options]mvreg適用于具有相同自變量的多個因變量的多元回歸模型。（2）菜單操作：Statistics>Multivariateanalysis>MANOVA,multivariateregression,andrelated>Multivariateregression

10.3.3多元回歸的stata命令

2025/4/1424例10.1利用汽車數(shù)據(jù)auto.dta，我們將空間變量（凈空、行李箱和轉彎）的多元回歸擬合為一組其他變量，包括三個性能變量（排量、傳動比和mpg）。實現(xiàn)程序與結果為：*下載數(shù)據(jù).clearall.sysuseauto*擬合多元回歸模型.mvregheadroomtrunkturn=pricempgdisplgear_ratiolengthweight

10.3.3多元回歸的stata命令

2025/4/142510.3.3多元回歸的stata命令

2025/4/1426*重現(xiàn)結果，抑制標題和系數(shù)表，但報告相關矩陣

.mvreg,notablenoheadercorr

*檢驗三個變量在三個方程中的顯著性

.testmpgdisplacementgear_ratio

10.3.3多元回歸的stata命令

2025/4/1427**三個方程的聯(lián)合顯著性檢驗

.test[headroom]

.test[trunk],accum

10.3.3多元回歸的stata命令

2025/4/1428.test[turn],accum

10.4似不相關回歸

2025/4/142910.4.1似不相關回歸的概念10.4.2似不相關回歸的形式10.4.3似不相關回歸的估計10.4.4似不相關回歸的檢驗10.4.5似不相關回歸的stata命令

10.4.1似不相關回歸的概念

各方程的變量之間沒有內在聯(lián)系，但各方程的擾動項之間存在相關性，就是似不相關回歸（SUR）。2025/4/143010.4.2似不相關回歸的形式

假設n個方程，n個被解釋變量，每個方程有T（）個觀測值，在第i個方程中，共有個解釋變量，則似不相關回歸模型設定為：2025/4/1431(10.14)把所有方程聯(lián)立可得：10.4.2似不相關回歸的形式

2025/4/1432(10.15)擾動項的協(xié)差矩陣為：10.4.2似不相關回歸的形式

2025/4/1433(10.16)擾動項的協(xié)差矩陣為：10.4.2似不相關回歸的形式

2025/4/1434(10.17)假設同一方程不同期的擾動項不存在自相關，且方差也相同，記第i個方程的方差為，則協(xié)方差矩陣中的主對角線上的第（i,i）個矩陣為：假設不同方程的擾動項之間存在同期相關，即：(10.18)10.4.2似不相關回歸的形式

2025/4/1435(10.19)則協(xié)方差矩陣中的第（i,j）個矩陣（）為：則協(xié)方差矩陣為：(10.20)10.4.2似不相關回歸的形式

2025/4/1436對于任意兩個矩陣與B，克羅內克爾乘積為：。使用克羅內克爾乘積，協(xié)方差矩陣可以簡化為：(10.21)10.4.2似不相關回歸的形式

2025/4/1437其中，

為同期協(xié)方差矩陣。根據(jù)克羅內克爾乘積的性質，協(xié)方差矩陣的逆矩陣為：

(10.22)10.4.3似不相關回歸的估計

2025/4/1438假設協(xié)方差矩陣已知，則GLS是最有效的估計方法：

(10.23)協(xié)方差矩陣未知時，首先要估計，然后進行FGLS估計。

假設每個方程的OLS殘差向量為，則用單一方程OLS殘差一致估計的第（i,j）個殘差之間的協(xié)方差為：(10.24)10.4.3似不相關回歸的估計

2025/4/1439因此有：把代入方程(10.23)可得似不相關估計量：(10.25)使用FGLS后得到新的殘差，可以再一次計算，不斷迭代直至系數(shù)估計值收斂為止。10.4.4似不相關回歸的檢驗

2025/4/1440SUR模型假設：各方程擾動項之間存在同期相關。因此使用SUR模型之前先用驗證該假設是否成立。該檢驗的原假設H0為：為對角矩陣。LM檢驗統(tǒng)計量為：(10.26)其中，根據(jù)殘差計算的擾動項之間的同期相關系數(shù)，則為同期相關系數(shù)矩陣主對角線以下各項的平方和。10.4.5似不相關回歸的stata命令

2025/4/1441sureg擬合了看似無關的回歸模型（Zellner1962；ZellnerandHuang1962；Zellner1963）。首字母縮略詞SURE和SUR通常用于估算。其語法為：（1）基本語法：sureg(depvar1varlist1)(depvar2varlist2)...(depvarNvarlistN)[if][in][weight]（2）完整語法：sureg([eqname1:]depvar1a[depvar1b...=]varlist1[,noconstant])([eqname2:]depvar2a[depvar2b...=]varlist2[,noconstant])...([eqnameN:]depvarNa[depvarNb...=]varlistN[,noconstant])[if][in][weight][,options]10.4.5似不相關回歸的stata命令

2025/4/1442模型設定選項（options）有：isure：迭代直到估計值收斂；constraints(constraints)：應用指定的線性約束。dfadj.的選項有：small：小報告小樣本統(tǒng)計；dfk：使用小樣本調整；dfk2：使用交替調整。（3）菜單操作：Statistics>Linearmodelsandrelated>Multiple-equationmodels>Seeminglyunrelatedregression10.4.5似不相關回歸的stata命令

2025/4/1443例10.2當我們用同一組右側變量擬合模型時，看似不相關的回歸結果（就系數(shù)和標準誤差而言）與單獨擬合模型（比如使用回歸）相同。嵌套模型時也是如此。即使在這種情況下，當我們想要執(zhí)行聯(lián)合測試時，sureg也是有用的。

例如，假設

由于模型具有相同的解釋變量集，我們可以分別估計這兩個方程。然而，我們仍然可以選擇使用sureg對其進行評估，因為我們希望執(zhí)行聯(lián)合測試。

10.4.5似不相關回歸的stata命令

2025/4/1444*使用速記語法（DatasetsforStataBaseReferenceManual,Release18）.sureg(priceforeignweightlength)(mpgdispl=foreignweight)結果略。*使用全局宏

.globalprice(priceforeignweightlength).globalmpg(mpgforeignweight).globaldispl(displforeignweight).sureg$price$mpg$displ結果略。

10.4.5似不相關回歸的stata命令

2025/4/1445

*有限制的似不相關回歸sureg.constraint1[price]foreign=[mpg]foreign.constraint2[price]foreign=[displacement]foreign.sureg(priceforeignlength)(mpgdisplacement=foreignweight),const(12)10.4.5似不相關回歸的stata命令

2025/4/144610.5三階段最小二乘法2025/4/144710.5.1三階段最小二乘法基本思路10.5.2三階段最小二乘法的估計過程10.5.3三階段最小二乘法的stata命令

10.5.1三階段最小二乘法基本思路2025/4/1448當方程右邊變量與誤差項相關并且存在異方差，同時殘差項相關時，3LSL是有效方法。因為二階段最小二乘法是單方程估計方法，沒有考慮到殘差之間的協(xié)方差，所以，一般說來，它不是很有效。

三階段最小二乘法的基本思路是：先用2SLS估計每個方程，然后再對整個聯(lián)立方程系統(tǒng)利用廣義最小二乘法估計。

（1）在第一階段，先估計聯(lián)立方程系統(tǒng)的簡化形式。10.5.1三階段最小二乘法基本思路2025/4/1449（2）第二階段，用全部內生變量的擬合值得到聯(lián)立方程系統(tǒng)中所有方程的2SLS估計。一旦計算出2SLS的參數(shù)，每個方程的殘差值就可以用來估計方程之間的方差和協(xié)方差，類似于SUR的估計過程。（3）第三階段也就是最后階段，將得到廣義最小二乘法的參數(shù)估計量。很顯然，3SLS能得到比2SLS更有效的參數(shù)估計量，因為它考慮了方程之間的相關關系。10.5.2三階段最小二乘法的估計過程2025/4/1450聯(lián)立方程模型的第j個方程為：(10.27)其中，；。把所有方程聯(lián)立疊加可得聯(lián)立方程模型為：10.5.2三階段最小二乘法的估計過程2025/4/1451(10.28)假設，記為第j個方程的解釋變量對所有外生變量（工具變量）回歸的擬合值，則第j個方程的兩階段最小二乘法估計值為：10.5.2三階段最小二乘法的估計過程2025/4/1452(10.29)定義，則所有方程的單一方程2SLS估計值為：(10.30)10.5.2三階段最小二乘法的估計過程2025/4/1453(10.31)利用單一方程2SLS估計得到的協(xié)方差矩陣估計值的元素為：(10.32)定義3SLS估計值為：對于3SLS，也可以進行迭代優(yōu)化，即用3SLS殘差重新估計協(xié)方差矩陣，再使用GLS，如此反復，直至收斂。10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/1454三階段最小二乘法實現(xiàn)的reg3命令的基本語法：

reg3(depvar1varlist1)(depvar2varlist2)...(depvarNvarlistN)[if][in][weight]1、完整語法：

reg3([eqname1:]depvar1a[depvar1b...=]varlist1[,noconstant])([eqname2:]depvar2a[depvar2b...=]varlist2[,noconstant])...([eqnameN:]depvarNa[depvarNb...=]varlistN[,noconstant])[if][in][weight][,options]10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/1455（1）模型設定選項（options）有：ireg3：迭代直到估計值收斂；constraints(constraints)：應用指定的線性約束；exog（varlist）：系統(tǒng)方程中未指定的外生變量；endog（varlist）：額外的右側內生變量；inst（varlist）：外部變量的完整列表；allexog：所有右邊的變量都是外生的；noconstant：從變量列表中壓縮常數(shù)。10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/1456（2）估計方法選項（options）有：3sls：三階段最小二乘法（默認值）；2sls：兩階段最小二乘法；ols：普通最小二乘法（ols）；sure：確定看似無關的回歸估計（確定）；mvreg：帶OLS自由度調整的sure；corr(correlation)：非結構化或獨立的相關性結構；默認值是非結構化的。10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/14572、菜單操作為：

Statistics>Endogenouscovariates>Three-stageleastsquaresreg3估計一個結構方程組，其中一些方程包含解釋變量中的內生變量。通過三階段最小二乘法（3SLS）進行估計；通常，內生的解釋變量是系統(tǒng)中其他方程的因變量。reg3支持迭代GLS估計和線性約束。reg3還可以通過看似無關的回歸估計（SERE）、多元回歸（MVREG）和逐方程普通最小二乘法（OLS）或兩階段最小二乘法（2SLS）來估計方程組。10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/1458例10.3三階段最小二乘法

一個簡單的宏觀經濟模型將消費（consump）與支付的私人和政府工資（wagepriv和wagegovt）聯(lián)系起來。同時，私人工資取決于消費、政府總支出（政府）和經濟中滯后的資本存量（資本1）。雖然這不是一個合理的模型，但它確實符合簡單的標準。這個模型可以寫成

10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/1459如果我們假設這是一個完整的系統(tǒng)，那么消費和工資將是內生變量，而工資、政府和資本是外生的。關于這些變量的美國經濟數(shù)據(jù)取自克萊因（1950）。這個模型用三階段最小二乘法擬合估計參數(shù)的實現(xiàn)代碼即結果為：*下載數(shù)據(jù).clearall.webuseklein*三階段最小二乘估計系統(tǒng).reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1)10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/146010.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/1461*單方程OLS估計

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),ols.estimatesstoreOLS*單方程2SLS估計

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),2sls.estimatesstoreTWO_SLS*顯示3SLS第一階段結果

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),first.estimatesstoreThree_SLS*迭代3SLS估計

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),ireg3.estimatesstoreThree_SLS_iter*為便于比較，列表顯示四個結果

.esttabOLSTWO_SLSThree_SLSThree_SLS_iter,r2mtitles10.5.3三階段最小二乘法估計的stata命令2025/4/146210.6系統(tǒng)廣義矩估計2025/4/1463GMM估計基于假設方程組中的擾動項和一組工具變量不相關。

GMM估計是將準則函數(shù)定義為工具變量與擾動項的相關函數(shù)，使其最小化得到的參數(shù)為估計值。如果在準則函數(shù)中選取適當?shù)臋鄶?shù)矩陣，廣義矩法可用于解決方程間存在異方差和未知分布的殘差相關。廣義矩估計法的基本思想是待估計的參數(shù)需要滿足一系列的理論矩條件，廣義矩估計量是通過最小化下面的準則函數(shù)來定義的：

(10.33)10.7全息最大似然估計法2025/4/1464完全信息極大似然法(fullinformationmaximumlikelihood，F(xiàn)IML)是極大似然法（ML）的直接推廣，是基于整個系統(tǒng)的系統(tǒng)估計方法，它能夠同時處理所有的方程和所有的參數(shù)。如果似然函數(shù)能準確的設定，F(xiàn)IML會根據(jù)已經得到樣本觀測值，使整個聯(lián)立方程系統(tǒng)的似然函數(shù)達到最大，以得到所有結構參數(shù)的估計量。

當同期誤差項具有一個聯(lián)合正態(tài)分布時，利用此方法求得的估計量是所有的估計量中最有效的。10.7全息最大似然估計法2025/4/1465對于聯(lián)立方程系統(tǒng)，假設u服從零均值，方差矩陣為V=

IT的多元正態(tài)分布。則可以寫出Y的對數(shù)似然函數(shù)為:其中：B是內生變量的k

k

階結構參數(shù)矩陣。對上面的極大似然函數(shù)進行求解，就可以得到結構參數(shù)的FIML估計量。但是這個非線性方程系統(tǒng)求解非常復雜，需要采用牛頓迭代方法或阻尼迭代方法等。(10.34)10.8非線性似不相關回歸2025/4/1466非線性似不相關回歸(nlsur)通過FGNLS擬合非線性方程組。對于個觀測值和個方程，非線性聯(lián)立方程模型為：(10.35)10.8非線性似不相關回歸2025/4/1467式中，為第i觀測值的誤差項，誤差項可以相關。其第i個觀測的聯(lián)立方程系統(tǒng)為：其廣義非線性最小二乘系統(tǒng)估計值為：式中，是維的正定權重矩陣。(10.36)(10.37)10.8非線性似不相關回歸2025/4/1468如果假設誤差項獨立，且服從多元正態(tài)分布，則非線性聯(lián)立方程模型的對數(shù)似然函數(shù)為：式中，,。(10.38)10.8非線性似不相關回歸2025/4/1469非線性方程組的估計命令及語法為（1）交互式版本語法：

nlsur(depvar_1=<sexp_1>)(depvar_2=<sexp_2>)...[if][in][weight][,options]（2）可編程替代表達式版本語法：

nlsursexp_prog:depvar_1depvar_2...[varlist][if][in][weight][,options]（3）函數(shù)計算器程序版本：nlsurfunc_prog@depvar_1depvar_2...[varlist][if][in][weight],nequations(#){parameters(namelist)|nparameters(#)}[options]其中，depvar_j是方程j的因變量；<sexp>j是方程式j的可替代表達式；sexp_prog是一個可替代的表達程序；和func_prog是一個函數(shù)計算器程序。10.8非線性似不相關回歸2025/4/1470模型設定選項（options）有：fgnls：使用兩步FGNLS估計法（默認值）；ifgnls：使用迭代FGNLS估計法；nls：使用nls估計法；variables(varlist)：模型中的變量initial(initial_values)：參數(shù)的初始值*nequations(#)：模型中方程的數(shù)量（僅限函數(shù)計算器程序版本）*parameters(namelist)：模型中的參數(shù)（僅限functionevaluator程序版本）*nparameters(#)：模型中的參數(shù)數(shù)量（僅限functionevaluator程序版本）sexp_options：可替換表達式程序的選項func_options：函