第27章

相似形

27.2.1.1

相似三角形的性質定理1三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內角的度數，高、中線、角平分線的長度等，如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關系呢？思考新課導入根據相似三角形的定義可知,相似三角形的對應角相等,對應邊成比例.現在,我們研究相似三角形的其他幾何量之間的關系.新課講解已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′,它們的相似比為k,AD,A′D′是對應高.1.相似三角形對應邊上的高有什么關系呢？求證:ABCDC′B′A′D′新課講解證明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠B=∠B′.∵∠BDA=∠B′D′A′=90°,∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.

∴ABCDC′B′A′D′相似三角形對應邊上的高之比等于相似比.新課講解2.相似三角形對應邊上的中線有什么關系呢？（1）如圖,△ABC,AE為BC邊上的中線,則把三角形擴大2倍后得△A′B′C′,A′E′為BC邊上的中線.△ABC與△A′B′C′的相似比是多少？AE與A′E′的比是多少？ABCEE′A′B′C′新課講解（2）如右圖兩個相似三角形的比為k,則對應邊上的中線的比是多少呢？說說你判斷的理由是什么？ABCEE′A′B′C′相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.新課講解3.相似三角形對應角的角平分線有什么關系呢？B′A′C′D′BACD已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′,它們的相似比為k,AD,A′D′分別是∠BAC,∠B′A′C′的角平分線.求證:新課講解證明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠BAC=∠B′A′C′,∴∠DAC=∠D′A′C′,∴△DAB∽△D′A′B′.

∴B′A′C′D′BACD∠C=∠C′.又∵AD,A′D′分別是∠BAC,∠B′A′C′的角平分線.相似三角形對應角的角平分線之比等于相似比.新課講解相似三角形的性質定理1相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′新課講解1.判斷題（1）相似三角形的中線比等于相似比()（2）兩個相似三角形的邊長之比等于高之比.

()××課堂練習2.填空.（1）相似三角形對應邊的比為2∶3,那么相似比為_______,對應角的角平分線的比為______.（2）兩個相似三角形的相似比為1∶4,則對應高的比為______,對應角的角平分線的比為______.2∶32∶31∶41∶4課堂練習3.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,點F在BC上,連DF與AB的延長線交于點G.（1）求證:△CDF∽△BGF;（2）當點F是BC的中點時,過F作EF∥CD交AD于點E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長.課堂練習（1）證明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD,

∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.

課堂練習（2）由（1）知△CDF∽△BGF,又F是BC的中點,

∴BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=FG,CD=BG.又∵EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AG,得2EF=AB+BG.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2,∴CD=BG=2cm．課堂練習課堂小結第三部分PART

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相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′課堂小結三邊對應相等的兩個三角形全等，這是判定三角形全等的SSS方法.類似地，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢？新課導入任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍.度量這兩個三角形的角，他們分別相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同學交流一下，看看是否有同樣的結論.交流新課導入如圖，在△ABC和△A'B'C‘中，求證:△ABC∽△A'B'C'.ABCA′B′C′新課講解ABCA′B′C′證明：在線段A′B′（或它的延長線）上截取A′D=AB,過點D作DE∥B′C′

,交A′C′于點E,根據前面的定理,可得△A'DE∽△A'B'C'.DE新課講解∴.又,A'D=AB.∴,.∴DE=BC,A'E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.ABCA′B′C′DE新課講解如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似.相似三角形判定定理3可以簡單說成:三邊成比例的兩個三角形相似.新課講解幾何語言：∵ABCA′B′C′∴△A′B′C′∽△ABC.新課講解例1在△ABC和△A′B′C′中,已知下列條件成立,判斷這兩個三角形是否相似,并說明理由.（1）AB=5,AC=3,∠A=45°,A′B′=10,A′C′=6,

∠A=45°;（2）∠A=38°,∠C=97°,∠A′=38°,∠B′=45°;（3）AB=5,BC=,AC=,A′B′=,B′C′=1,A′C′=.新課講解（1）AB=5,AC=3,∠A=45°,A′B′=10,A′C′=6,

∠A=45°;解∵,

∴.

∵∠A=∠A′

=45°.

∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解（2）∠A=38°,∠C=97°,∠A′=38°,∠B′=45°;∵∠B=180°-(∠A+∠C)

=180°-(38°+97°)=45°.

∴∠B=∠B′=45°.∵∠A=∠A′=38°,∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解（3）AB=5,BC=,AC=,A′B′=,B′C′=1,A′C′=.∵,

,

,

∴.∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解A例3如圖,方格網的小方格是邊長為1的正方形,△ABC與△A′B′C′的頂點都在格點上,判斷△ABC與△A′B′C′是否相似,為什么？CBA′B′C′新課講解解由于△ABC與△A′B′C′的頂點均在格點上,根據勾股定理,得ACBA′B′C′,AC=2,

新課講解ACBA′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解

1.試判定△ABC與△A′B′C′是否相似并說明理由.已知:AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.解∵∴△ABC∽△A′B′C′

.

課堂練習2.試判定△ABC與△A′B′C′是否相似,并說明理由.在△ABC和△A′B′C′中,已知:AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A′B′=16cm,B′C′=

20cm,A′C′=30cm.不相似，因為對應邊的比不相等.課堂練習3.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6,另一個三角形框架的一邊長為2,它的另外兩條邊長應當是多少？你有幾個答案？解設另外兩條邊長分別為x,y.

方案(1)課堂練習3.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6,另一個三角形框架的一邊長為2,它的另外兩條邊長應當是多少？你有幾個答案？方案(2)課堂練習3.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6,另一個三角形框架的一邊長為2,