第八章立體幾何初步8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積人教A版高一數(shù)學(xué)必修二第二學(xué)期

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積核心素養(yǎng)目標1.數(shù)學(xué)抽象：通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式．2.直觀想象：借助直觀圖形，想象棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，理解表面積和體積公式的推導(dǎo)過程，建立空間觀念。3.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)逐步培養(yǎng)我們的類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力。4.數(shù)學(xué)運算：能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題．教學(xué)目標教學(xué)重點：通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式．教學(xué)難點：能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題問題1：在初中我們已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積,是如何得到長方體和正方體的表面積公式的？初中我們通過長方體和正方體的展開圖從而得到了它們的表面積公式。追問：能否將立體圖形平面化的思路來探究任何多面體的表面積呢？多面體的表面積就是圍成多面體的各個面的面積的和.追問：棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的多面體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？棱柱的側(cè)面圖是平行四邊形，底面是全等的多邊形棱錐的側(cè)面圖是多個三角形，底面是多邊形棱臺棱臺的側(cè)面是若干個梯形，底面是兩個相似的多邊形。知識梳理求棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題，而計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和。

追問：棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的多面體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？棱柱的側(cè)面圖是平行四邊形，底面是全等的多邊形棱錐的側(cè)面圖是多個三角形，底面是多邊形棱臺棱臺的側(cè)面是若干個梯形，底面是兩個相似的多邊形。知識梳理求棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題，而計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和。

問題2：我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)長方體的體積公式V=Sh，其中S是長方體的底面積，h是長方體的高．那么公式是否適用于一般的棱柱呢？

活動：取一摞書放在桌面上，并改變它們的位置，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？高度、書中每頁紙面積和順序不變祖暅原理冪勢既同，則積不容異.由祖暅原理：等底面積等高的兩個任意柱體體積相等可以得到棱柱的體積公式

由祖暅原理：等底面積等高的任意兩個錐體體積也相等可以得到棱錐的體積公式

一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，（h指棱錐頂點到地面的距離）那么該棱錐的體積：為什么圓錐是同底等高圓柱的三分之一？除度量之外還能怎么解釋？探究：如下圖可以將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？

探究：如下圖可以將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？我們知道棱臺是由棱錐截成的，從這個角度看，我們該如何計算棱臺的體積呢？練習(xí)：棱臺上下底面面積分別是2，4，高是3，求棱臺的積？棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離.OO`課本8.6節(jié)例6（P154）觀察棱柱、棱錐、棱臺體積公式為什么體積公式形式類似，但又不完全相同？是什么導(dǎo)致了這樣的結(jié)果？

棱柱、棱錐、棱臺的表面積hs柱體正方體、長方體，以及正棱柱的體積公式可以統(tǒng)一為：V=Sh（S為底面面積，h為高）一般棱柱的體積公式也是V=Sh，其中S為底面面積，h為高（即兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離。錐體正棱椎的體積公式是

(其中S為底面面積，h為高)它是同底同高的棱柱的體積的

棱錐的體積公式也是

棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離。錐體根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差．得到棱臺的體積公式(過程略)．棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離。思考：柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？S為底面面積，h為柱體高S為底面面積，h為錐體高上底擴大上底縮小S、分別為上、下底面面積，h為臺體高例正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面面積為780cm2.求其體積.正四棱臺的大致圖形如圖所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中點E1，AB的中點E，則E1E為側(cè)面底邊上的高.設(shè)O1，O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1為直角梯形.∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E