湖北省三校2025屆高三5月第一次聯考數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若函數的圖象恒在軸的上方，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，，若，則的值為()A．1 B．－1 C．8l D．－813．已知集合，則（）A． B．C． D．4．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．記為等差數列的前項和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－136．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．集合的真子集的個數為()A．7 B．8 C．31 D．328．已知是偶函數，在上單調遞減，，則的解集是A． B．C． D．9．已知非零向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實數的值為（）A． B． C．或 D．10．設雙曲線的左右焦點分別為，點.已知動點在雙曲線的右支上，且點不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在復平面內，復數（為虛數單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.14．函數的極大值為______.15．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為．16．的展開式中的系數為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數列中，．（1）求的通項公式；（2）設，記為數列前項的和，若，求．18．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面上的射影為的中點G，點E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）若函數的最小值為，求的最小值.20．（12分）某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數據分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數的平均數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．21．（12分）已知的內角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.22．（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

函數的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數的圖象在直線上方，先求出兩者相切時的值，然后根據變化時，函數的變化趨勢，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠在的上方，設與的切點，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．【點睛】本題考查函數圖象與不等式恒成立的關系，考查轉化與化歸思想，首先函數圖象轉化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉化為函數圖象，最后由極限位置直線與函數圖象相切得出參數的值，然后得出參數范圍．2、B【解析】

根據二項式系數的性質，可求得，再通過賦值求得以及結果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，故可得，令，故可得，又因為，令，則，解得令，則.故選：B.【點睛】本題考查二項式系數的性質，以及通過賦值法求系數之和，屬綜合基礎題.3、C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.4、B【解析】

根據約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經過點時，取得最小值－5；經過點時，取得最大值5，故.故選：B【點睛】本題考查根據線性規劃求范圍，屬于基礎題.5、B【解析】

由題得，，解得，，計算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，前項和公式，考查了學生運算求解能力.6、D【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.7、A【解析】

計算，再計算真子集個數得到答案.【詳解】，故真子集個數為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數，意在考查學生的計算能力.8、D【解析】

先由是偶函數，得到關于直線對稱；進而得出單調性，再分別討論和，即可求出結果.【詳解】因為是偶函數，所以關于直線對稱；因此，由得；又在上單調遞減，則在上單調遞增；所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點睛】本題主要考查由函數的性質解對應不等式，熟記函數的奇偶性、對稱性、單調性等性質即可，屬于?？碱}型.9、D【解析】

根據向量垂直則數量積為零，結合以及夾角的余弦值，即可求得參數值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，，解得（舍去）.故選：D.【點睛】本題考查向量數量積的應用，涉及由向量垂直求參數值，屬基礎題.10、A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.11、C【解析】

化簡復數為、的形式，可以確定對應的點位于的象限．【詳解】解：復數故復數對應的坐標為位于第三象限故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的運算，復數和復平面內點的對應關系，屬于基礎題．12、C【解析】

根據線面的位置關系，結合線面平行的判定定理、平行線的性質進行判斷即可.【詳解】A：當時，也可以滿足∥，b∥，故本命題不正確；B：當時，也可以滿足，，故本命題不正確；C：根據平行線的性質可知：當∥，，時，能得到，故本命題是正確的；D：當時，也可以滿足，b∥，故本命題不正確.故選：C【點睛】本題考查了線面的位置關系，考查了平行線的性質，考查了推理論證能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

根據約束條件畫出可行域，再把目標函數轉化為，對參數a分類討論，當時顯然不滿足題意；當時，直線經過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結果；當時，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當時，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結果.【詳解】根據約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點，由可得，當時顯然不滿足題意；當即時，由可行域可知當直線經過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當即時，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當即時，根據可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時.故答案為：3.【點睛】本題主要考查線性規劃問題，約束條件和目標函數中都有參數，要對參數進行討論.14、【解析】

先求函的定義域，再對函數進行求導，再解不等式得單調區間，進而求得極值點，即可求出函數的極大值．【詳解】函數，，，令得，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，當時，函數取到極大值，極大值為.故答案為：．【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域優先法則的應用．15、【解析】由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.16、80.【解析】

只需找到展開式中的項的系數即可.【詳解】展開式的通項為，令，則，故的展開式中的系數為80.故答案為：80.【點睛】本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數，考查學生的計算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項公式；（2）由等差數列前項和公式求得，可求得．【詳解】解：（1）設的公差為，由題設得因為，所以解得，故．（2）由（1）得．所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，由得，解得．【點睛】本題考查求等差數列的通項公式和等比數列的前項和公式，解題方法是基本量法．18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性質可證得,由射影可得平面,進而求證；（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數量積求解即可.【詳解】（1）在等腰梯形中,點E在線段上,且,點E為上靠近C點的四等分點,,,,,點P在底面上的射影為的中點G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,由（1）易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設平面的法向量為,則，即,令,則,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算能力與空間想象能力.19、（1）（2）【解析】

（1）用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式；（2）由（1）得的最小值為4，則由，代換后用基本不等式可得最小值．【詳解】解：（1）討論：當時，，即，此時無解；當時，；當時，.所求不等式的解集為（2）分析知，函數的最小值為4，當且僅當時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查用基本不等式求最小值．解絕對值不等式的方法是分類討論思想．20、（1）（2）預算經費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.【詳解】（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數為（萬分）（2）由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率．設每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費用的數學期望為（元），因為，所以顯然預算經費不夠測試完這100顆芯片．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數的計算，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據正弦函數的性質計算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因為，所以.（Ⅱ）當時，的周長有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因為，所以，所以當即時，取到最大值2，所以的周長有最大值，最大值為3.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角